ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

2

Вступ

Експертна інформація відіграє важливу роль при використанні сучасних методів підтримки прийняття рішень. Методи її отримання, представлення й обробки утворюють невід'ємну частину технології підтримки прийняття рішень.



1. Загальні проблеми

При підтримці прийняття рішень використовується експертна інформація двох видів: концептуально-понятійна й оціночна. Інформація першого типу представляє собою формування цілей, критеріїв, альтернатив, визначення принципів оптимальності. Вона представляється у текстовому вигляді природною мовою. До другого виду відноситься інформація про оцінку цілей, критеріїв та альтернатив. При цьому розрізняються абсолютні та відносні оцінки, останні, у свою чергу, поділяються на ординарні й кардинальні. Найкраще, звичайно, мати абсолютні оцінки (вартість засобів для досягнення цілі; час, необхідний на реалізацію рішення; ефективність отриманого рішення), але, як правило, витрати на їхнє отримання дуже великі, а їхня точність, навпаки, низька. Відносні оцінки отримати, як правило, простіше, з іншого боку, "все пізнається у порівнянні" ("Порівняно з шістдесятитонним кашалотом десятитонні самочки здаються мініатюрними" - з TVпередачі "У світі тварин"). У цьому сенсі "абсолютні" оцінки є результатом порівняння деякої альтернативи з усіма можливими.

Ординарні оцінки альтернатив являють собою їхні ранги (місця) у послідовності переваг за деяким критерієм.

Кардинальні оцінки - це числа, що вказують відносну значимість альтернатив, цілей або критеріїв у тому або іншому сенсі у певній шкалі.

Шкали зручно поділити на дві групи - для кількісної та якісної оцінки альтернатив.

Розглянемо основні шкали першої групи. Прикладами оцінок альтернатив в абсолютній шкалі є: кількість об'єктів, час виконання роботи, імовірність реалізації альтернативи тощо. Прикладами оцінок у шкалі відношень можуть бути: вага товару у кілограмах, фунтах, пудах; довжина в метрах, футах, сажнях тощо. У шкалі інтервалів зберігаються відношення різниць оцінок, початок відліку й масштаб можуть змінюватись (значення температури у шкалах Цельсія, Фаренгейта, Кельвіна).

Для представлення якісних оцінок використовується номінальна шкала, шкали порядку й гіперпорядку. Оцінки у номінальній шкалі являють собою номери класів еквівалентності, у які були включені альтернативи внаслідок їхньої класифікації (представлення множини студентів номером навчальної групи, потоку, спеціальності тощо). У порядковій шкалі представляються ординарні оцінки альтернатив, що відображають лише порядок альтернатив у ряду переваг за деяким критерієм (наприклад, "важливості", "корисності" тощо). У шкалі гіперпорядку зберігаються не лише порядок альтернатив, але й відношення порядку між різницями їхніх оцінок.

При розробці методів обробки експертної інформації необхідно враховувати психофізіологічні властивості людей, особливості їхньої поведінки у процесі прийняття колективних оцінок, особливості пам'яті людини.

Найобґрунтованішою експериментальними даними у даний час є так звана трикомпонентна модель пам'яті [4]. Відповідно до цієї моделі розрізняють три види пам'яті: сенсорну, короткотермінову й довготермінову (так же, як і у комп'ютері: регістри прийому інформації, оперативна пам'ять й пам'ять на зовнішніх носіях). Різноманіття видів пам'яті проявляється в об'ємі інформації, що зберігається, часі збереження та способі кодування. У сенсорну пам'ять інформація поступає від органів відчуттів і зберігається у ній біля третини секунди. Із сенсорної пам'яті інформація переписується в короткотермінову пам'ять, де вона зберігається до 30 с й обробляється. Потім інформація або губиться, або надходить у довготермінову пам'ять із дуже великою ємністю і дуже великим часом зберігання (і ємність, і час вважаються практично необмеженими).

Дослідження психологів показують, що процеси прийняття рішень відбуваються за участю саме короткотермінової пам'яті, у яку інформація може надходити із сенсорної й довготермінової. Об'єм короткотермінової пам'яті обмежений 7 ± 2 одиницями (залежно від індивідуума), які називаються чанками [4]. При цьому чанком може бути і простий символ, і складний образ, але важливо, що об'єкт, який описується чанком, сприймається людиною як єдиний образ. При порівнянні об'єктів (альтернатив, критеріїв) кожен із них описується чанком. Тому при розробці методів підтримки прийняття рішень число об'єктів, які повинен порівнювати експерт, необхідно обмежити цим "магічним" числом 7 ± 2.

Значний теоретичний і практичний інтерес мають оцінки виконання елементарних операцій, що використовуються в методах підтримки прийняття рішень:

9 "Складні" (С), при виконанні яких ОПР допускає багато протиріч, використовує спрощені стратегії (наприклад, виключає частину альтернатив чи критеріїв).

9 "Допустимі" (Д), ОПР може виконувати їх із малими протиріччями та з використанням складних стратегій.

9 "Допустимі при малій розмірності" (ДМ), при невеликій кількості об'єктів ОПР виконує їх достатньо надійно.

9 "Невизначені" (Н), ОПР може винести лише попередні висновки про допустимість (матимемо тип оцінки НД) або складності (тип оцінки НС) операції.

№	Назва елементарної операції	Оцінка
1	Операції з критеріями
1.1	Впорядкування за корисністю	НД
1.2	Призначення кількісних ваг критеріїв	С
1.3	Декомпозиція складного критерію на прості	ДМ
2	Операції з оцінками альтернатив за критеріями
2.1	Кількісний еквівалент для якісної оцінки	НС
2.2	Побудова кривої корисності за критерієм	С
2.3	Якісне порівняння змін оцінок двох критеріїв	Д
2.4	Кількісне заміщення для двох критеріїв	НС
2.5	Визначення задовільного значення	НД
3	Операції з альтернативами
3.1	Порівняння двох альтернатив як сукупності оцінок	ДМ
3.2	Порівняння двох альтернатив як цілісних об'єктів	НД
3.3	Знаходження ймовірнісних оцінок для альтернатив	С
3.4	Відношення альтернатив до класів рішень	ДМ
3.5	Кількісна оцінка корисності	С
3.6	Декомпозиція складної альтернативи на прості	ДМ
3.7	Призначення якісних оцінок імовірностей	Д

Особливо потрібно акцентувати увагу на психологічних аспектах прийняття колективних (групових) рішень. Основи теорії "групової свідомості" були вперше сформульовані у 1971 р. Ірвіном Янісом (Janis). Основні ознаки групової свідомості зводяться до такого: належність до конкретної групи, ізоляція від інших; "стереотипування" інших - інші не розуміють їх; тиск на інакомислячих; загроза групі; ілюзія невразливості, ілюзія одностайності і т. д.

Експериментально доведено, що на ефективність групової свідомості впливають одностайність групи й колективна загроза. Якість групового рішення є гіршим в умовах сильної загрози й сильної одностайності й слабкої загрози та слабкої одностайності, ніж в умовах сильної загрози й слабкої одностайності або слабкої загрози й сильної одностайності.

Наслідком наявності ознак групової свідомості є прийняття "поганих" рішень. Існує декілька підходів до визначення способів утручання з метою компенсування групової свідомості. Так, наприклад, рекомендується запрошення експертів "ззовні"; запрошення "адвоката диявола" (тобто людини, яка помічає в інших лише недоліки); застосування методики "виконання декількох ролей" (членам групи пропонується поставити себе на місце інших); стимулювання інтелектуальної боротьби думок у групі, зокрема, захист думок меншості.

Загальна схема експертизи. Аналіз існуючих експертиз показує, що у процесі їхньої побудови можна виділити таку послідовність дій.

9 Дослідник (консультант) знаходить множину "можливих" оцінок Щ, у якій знаходиться шукана оцінка.

9 Дослідник (консультант) визначає множину допустимих оцінок Щ??, із якої здійснюють вибір експерти.

9 Кожен експерт вибирає свою оцінку ai = Ci ( )Щ ? Щ????, i =1,n , тобто розв'язує задачу вибору найкращої оцінки з Щ??.

9 Дослідник (аналітик) проводить обробку отриманої від експертів інформації і знаходить результуючу (інтегральну, колективну) оцінку з Щ??, яка приймається за розв'язок початкової задачі оцінювання.

9 Якщо отриманий розв'язок не задовольняє дослідника, він може організувати "обернений зв'язок", після чого експерти знову розв'язують відповідні задачі вибору.

На рис. 3.1.1. подано блок-схему експертизи. Її параметри: Щ - множина можливих оцінок;Щ? - множина допустимих оцінок; L - взаємодія між експертами; Q - обернений зв'язок; ц - обробка

(відображення Щ??n > Щ ).

Назвемо схемою експертизи п'ятірку параметрів, що подані на блок-схемі. Під підготовкою експертизи будемо розуміти попередню розробку схеми експертизи та підбір експертів, під реалізацією експертизи - отримання інформації та її обробку.

Підготовка експертизи полягає у конкретизації параметрів:

І. Множина можливих оцінок (ММО) визначається задачею оцінювання, що розв'язується, наприклад, так:

1) Щ = {0,1}. Відповідна задача попарного порівняння полягає у знаходженні кращого з двох об'єктів А і В. При цьому C( )Щ = {1 ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

2

А краще за В; 0ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

2

інакше}.

2) Щ = {(i1,...,in )} - множина перестановок натуральних чисел від 1 до n. Відповідна задача ранжування полягає у впорядкуванні об'єктів за спаданням (зростанням) значення деякої ознаки. При цьому

C( )Щ = (s1,...,sn ), де si - номер і-го об'єкта.

3) Щ = {1,...,l}. Відповідна задача класифікації полягає у віднесенні елемента x ?S до однієї з l підмножин S1,...,Sl . При цьому C( )Щ = i , якщо x ?Si .

4) Щ = Em . Відповідна задача чисельної оцінки полягає у зіставленні системі одного чи декількох чисел. При цьому ( )C Щ = a , якщо оцінкою системи є вектор a ?Em .

ІІ. Множина допустимих оцінок (МДО). Для конкретизації Щ необхідно описати вид його представлення експерту, який залежить від форми опитування експерта. Опитування типу інтерв'ю передбачає розмову дослідника з експертом, під час якої дослідник ставить питання відповідно з розробленою програмою. До недоліків методу відносяться складність формалізації та високі вимоги до дослідника й експерта.

Найчастіше застосовується форма опитування, що носить назву анкетування. Анкета - це набір питань, на які пропонується відповісти експерту. Багатьма дослідженнями встановлено, що людина краще відповідає на "якісні" питання ("гірше-краще"), ніж на кількісні. Рекомендується спочатку формувати загальні питання, потім часткові.

Аналітична форма опитування передбачає тривалу самостійну роботу експерта, направлену на аналіз характерних властивостей і тенденцій системи, що досліджується. Таку форму називають методом доповідної записки. Форма доповідної записки часто застосовується як перший етап складнішої експертизи, що дозволяє уточнити напрям досліджень і зміст питань, що будуть задаватись на таких етапах.

ІІІ. Виділяють три форми взаємодії експертів (параметр L):

1) експерти вільно обмінюються інформацією; 2) обмін інформацією між експертами регламентовано; 3) експерти ізольовані один від одного.

У схемі типу круглого столу взаємодія між експертами не регламентована. У процесі обговорення проблеми експерти вільно обмінюються думками, збагачуючись ідеями один одного. Негативний бік, зумовлений підвищеними вимогами до експертів: уміння висловити думку, що не залежить від думки більшості; здатність відмовитись від свого погляду, якщо він виявиться невірним.

Деяка регламентація спілкування експертів у схемі круглого столу дозволяє уникнути вказаних недоліків. Відповідна модифікація називається методом мозкового штурму (мозкової атаки). Він полягає у тому, що протягом деякого проміжку часу будь-яка висловлена думка не обговорюється і не відкидається. Обговорення висловлених думок здійснюється на таких етапах після того, як кожен експерт встигає обдумати їх, порівняти зі своєю.

Якщо експерти ізольовані, то кожен висловлює свою думку незалежно від інших. Оцінки окремих експертів при цьому можна розглядати як незалежні реалізації випадкової величини.

ІV. Обернений зв'язок в експертизі. Кожному експерту надають результуючу оцінку, разом із деякою іншою інформацією (наприклад, із "найгіршою" й "найкращими" оцінками). На основі одержаних даних експерти уточнюють свої оцінки, після чого процедура повторюється знову, поки не буде одержана узгодженість оцінок, що задовольняє дослідника.

До числа найбільш відомих процедур з оберненим зв'язком відноситься метод Делфі. Експертам пропонується відповісти на ряд питань і свої відповіді аргументувати. Аналітик вивчає відповіді експертів і визначає їхню узгодженість. Якщо думки експертів недостатньо узгоджені, то він повідомляє кожному з них додаткові відомості про систему, а також відповіді на поставлені питання й аргументації інших членів експертної групи. Із врахуванням отриманої інформації експерти знову відповідають на сформульовані питання. Недоліком методу є великі витрати часу на проведення всіх турів опитування та велика трудомісткість процедури, що пов'язана з переглядом думок експертів.

V. Підбір експертів. Спочатку визначається число експертів - воно має бути достатньо великим для того, щоб були всебічно враховані суттєві властивості задачі, з іншого боку, при занадто великій кількості експертів виникають труднощі в організації процедури. Доцільно організовувати групу з 10-20 експертів, хоча можливі відхилення як у більшу, так і меншу сторону.

Коли чисельність групи визначена, переходять до підбору експертів. Для цього визначають перелік задач, що потребують розв'язання, і складають список осіб, що є компетентними спеціалістами у даній (або близьких до даної) області. Крім компетентності, хороший експерт повинен мати ще цілий ряд якостей. Основні з них такі: креативність - здатність розв'язувати задачі, метод розв'язку котрих, повністю або частково невідомий; евристичність - здатність виявляти неочевидні проблеми; інтуїція - здатність "вгадувати" розв'язок без його обґрунтування; предикатність - здатність "передбачати" розв'язок; незалежність - здатність протистояти думці більшості; всебічність - здатність бачити проблему з різних поглядів.

Вимоги до експертів залежать також від методу організації експертизи. Так, при роботі експерта у комісії, де експерти вступають у безпосередній контакт, важливе значення набувають психологічні фактори, у першу чергу, сумісність, незалежність. Необхідно враховувати також зацікавленість експерта у результаті експертизи.

У деяких випадках при підборі експертів використовують числові оцінки, що характеризують їхні якості. Такі оцінки мають або статистичний характер, або ґрунтуються на результатах психології та соціоніки.

Ступінь компетентності експертів, як правило, визначають на основі статистичного аналізу участі експерта у попередніх експертизах,

отримуючи так звані ваги експертів бi , i =1,n . Нехай aЦj - фактична оцінка у j-й експертизі, aij - оцінка i-го експерта. Тоді відносна похибка i-го експерта у j-й експертизі еij = aЦj ?aij aЦj , а його вага

Ваги експертів можна обраховувати й іншими способами, зокрема, враховувати їхні психофізіологічні характеристики (схильність до ризику, "правдивість", "незалежність", "реалістичність" і т. п.). Задачу визначення ваги експертів, у свою чергу, можна розглядати як задачу обробки експертної інформації. У загальному випадку ваги експертів можна визначати у довільних шкалах, тоді, як правило, їх нормалізують: б = б?i i?бi , де бi - вага i-го експерта у довільній шкалі (б ?i 0,

2. Методи обробки експертної інформації

Методи обробки експертної інформації поділяються на три основні групи: статистичні методи, алгебраїчні методи й методи шкалювання. Статистичні методи базуються на припущенні, що відхилення оцінок експертів від істинних значень відбувається у силу випадкових причин. Суть алгебраїчних методів полягає у такому: на множині допустимих оцінок задається відстань і результуюча оцінка визначається як така, відстань якої до оцінок експертів (за певним критерієм) мінімальна. Ідея методів шкалювання полягає у тому, що за експертною інформацією про степінь відмінності об'єктів установлюється мінімальний (або близький до мінімального) набір критеріїв та оцінок об'єктів за цими критеріями, що зумовлюють вказані експертами відмінності.

Статистичні методи

Тобто результуюча числова оцінка a знаходиться за формулою середньозваженого значення (математичного сподівання випадкової величини). Степінню узгодженості думок експертів є дисперсія:

n у2 = ?бi (a ?ai )2 .

Як модифікація (Е1) розглядається така експертиза 2: Щ = Щ =? E3 ,

Для експерта - "реаліста" (психологічний тип експерта можна визначити відповідним тестуванням) доцільно покладати г1 =1, г2 = 4, г3 =1; для експерта - "оптиміста" г1 = 3, г2 = 0, г3 = 2 (він "завищує" оптимістичну оцінку), для експерта - "песиміста" г1 = 2, г2 = 0, г3 = 3

(він "занижує" оптимістичну оцінку). Степінь узгодженості між оцінками визначається величиною

у2 = ?n б у +i i2 ?бi (a ?ai )2 ,

де - степінь невпевненості i -го експерта у своїй оцінці (для експерта реаліста г4 = 36, для інших - г4 = 25).

В експертизах E1, E2 можна визначити статистичну значимість отриманих результатів. Задаємо ймовірність похибки p , вважаючи, що величина a розподілена за нормальним законом із центром a і дисперсією у2 . Тоді: a ? Д ? a ? a + Д , де Д = уt n , величина t має розподіл Ст'юдента з (n ?1)-м степенем свободи (визначаємо за таблицею розподілу Ст'юдента, за величиною р).

Опишемо застосування метода Делфі для Е1 у вигляді такої експе-

ртизи 3: Щ = E1 , Щ =? ??z ?Ek?k zi =1, zi ? 0??.

Відображення ц задається так. Весь інтервал допустимих значень величин, що оцінюються, розбивається на k інтервалів: t1,...,tk . Експерт оцінює ймовірність попадання величини, що оцінюється, у кожен з k інтервалів. Нехай pij - оцінка ймовірності попадання у j -й інтервал, що дається i -м експертом. Тоді ймовірність попадання величини в інтервал tj на основі думок усіх експертів оцінюється вели-

чиною: ptj = ?бi pij , j =1,k .

За колективну оцінку береться медіана q2 побудованого розподілу, яка визначається з умови: p t( ? q2 ) = 0,5.

Емпірично встановлено, що процедуру можна зупиняти, коли діапазон квантілів Дq = q3 ? q1 (де p t( ? q3 ) = 0,75, p t( ? q1) = 0,25) зменшився в 1,6 рази порівняно з початковим [5].

Експертиза 4 полягає у зіставленні індивідуальним ранжуванням експертів колективного ранжування: Щ = Щ =??{множина всіх перестановок m об'єктів}, експерти ізольовані, обернений зв'язок відсутній.

Відображення ц визначається так. Кожен експерт задає місце (ранг) кожного об'єкта: rij - ранг j -го об'єкта, визначеного i -м експертом.

Об'єкти впорядковуються відповідно до величин rj = ?rij , j =1,m (су-ма рангів кожного об'єкта по всіх експертизах; вважаємо, що експерти мають рівну компетентність) - на перше місце ставиться об'єкт з мінімальним rj і т. д. Колективне ранжування може бути нестрогим (ми розглядаємо випадок строгих індивідуальних ранжувань).

Степінь узгодженості думок експертів визначається за допомогою "коефіцієнта конкордації" W , що визначається нижче. Розглянемо два крайніх випадки:

9 ранжування всіх експертів співпадають;

9 усі ранжування відмінні (вважаємо, що n < m !).

j=1 j= =1 i 1 i=1 j=1

ранги від 1 до m ), то "середній ранг" rc = 1m?j=1rj = 0,5?n m( +1) і за узгодженість експертів беруть суму квадратів відхилень rj від середнього значення rc . Коефіцієнтом конкордації W для випадку строгих індивідуальних ранжувань називається величина:

W =12?jm=1 ???rj ? ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

2

12n m( +1)???2 /n2 (m3 ?m).

У випадку нестрогих індивідуальних ранжувань (Експертиза 5) об'єктам, які "ділять" місця, приписуються рівні ранги (так, якщо два об'єкти ділять місця 2-3, то кожен із них отримує ранг 2,5). Коефіцієнт конкордації для нестрогого ранжування:

W =12?jm1 ???rj ? /ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

2

12n m( +1)???2 ???n2 (m3 ?m) ?n??in=1 jk=i1 (tij3 ?tij )???,

де ki - число груп рівних рангів, введених i -м експертом; tij - кількість об'єктів у j -й групі, введеної i -м експертом.

Статистичну значимість ранжування перевіряють так. Вибирається допустима ймовірність похибки p ; вважається, що величина n m( ?1)W має ч2 - розподіл з (m ?1) - м степенем свободи. За таблицею розподілу ч2 знаходиться Wp і, якщо W ?Wp , то отримане ранжування вважається статистично значимим (тобто значимим є узгодженість думок експертів). Якщо експерти не рівнокомпетентні, бi -

вага i -го експерта, то rj = ?бi ijr , інші формули залишаються без змін

Експертиза 6 визначається для задачі знаходження колективного ранжування за нестрогими індивідуальними ранжуваннями за допомогою попарних порівнянь об'єктів.

Множина Щ така ж, як і в E5; експерти ізольовані, обернений зв'язок відсутній, Щ? - множина всіх матриць A = (aij ), де aij ?{0,1},

aij +a ji =1 (i ? j ), aii = 0, i, j =1,m . Кожен експерт робить Cm2 порівнянь, порівнюючи кожен об'єкт із кожним. Результат порівнянь i -го експерта представляється матрицею Ai розмірності m mЧ , у якій aijk =1 тоді й лише тоді, коли для i -го експерта об'єкт j переважає об'єкт k . Для будь-якої пари об'єктів або перший переважає другого, або навпаки; a jj = 0 за визначенням.

Матриця Ai , що задається i -м експертом (i =1,m ), є матрицею деякого бінарного відношення, яке називається відношенням переваги i -го експерта. Очевидно, що бінарне відношення, що задається мат-

рицею Ai є повним, антирефлексивним, антисиметричним і, взагалі кажучи, не є ациклічним.

Визначення 3.2.1. Відношення переваги з матрицею A може бути виражене рангами, якщо всі об'єкти, упорядковані так, що a jk =1 тоді й лише тоді, коли ранг j -го об'єкта менший за ранг k .

Теорема 3.2.1. Необхідною й достатньою умовою того, що перевага виражається рангами, є ациклічність відношення переваги.

Теорема 3.2.2. Властивості відношень переваги Ai приводять до еквівалентності умов ациклічності та наявності циклів довжини 3.

Відображення ц в Е6 визначається так. Будується матриця

A = (a jk ) = ?n Ai , де Ai = (aijk ) - матриця оцінок i -го експерта. Знахо-

дяться величини a j = ?a jk , j =1,m . Об'єкт із максимальним a j отри-

Алгебраїчний метод

Для визначення колективної числової оцінки алгебраїчним методом використовується експертиза 7: Щ = Щ =??E1 , експерти ізольовані, обернений зв'язок відсутній. Відстань d між числовими оцінками a і b визначається як d a b( , ) = a ?b . За колективну оцінку a беруться, наприклад, оцінки:

Для визначення колективного ранжування алгебраїчним методом експерти задають матриці Ai = (aijk ), у яких aijk =1 тоді й лише тоді, коли об'єкт i передує об'єкту k ; якщо об'єкти j і k рівноцінні або j = k , a jk = 0; якщо a jk =1 ( j ? k ), то akj = ?1.

Ранжування A і відповідну йому матрицю A будемо позначати одним символом.

Визначення 3.2.2. Ранжування C знаходиться між ранжуваннями

A і B , якщо для ?i, j =1,m aij ? cij ? bij або aij ? cij ? bij .

Відстань між ранжуваннями вводиться аксіоматично: А1. d A B( , ) ? 0, причому d A B( , ) = 0 ? A = B ;

А2. d A B( , ) = d B A( , ) (симетричність);

А3. d A B( , ) + d B C( , ) ? d A C( , ), причому рівність досягається тоді й лише тоді, коли ранжування B знаходиться між ранжуваннями A і C (аксіома трикутника);

А4. При однакових перестановках об'єктів у ранжуваннях A і B відстань між отриманими ранжуваннями d A B( ?, ?) = d A B( , ) (інваріантність відносно позначень);

А5. Якщо двоє ранжувань відрізняються одне від одного лише на частині об'єктів, то відстань між початковими ранжуваннями дорівнює відстані між ранжуваннями лише цих об'єктів;

А6. Мінімальна додатня відстань між ранжуваннями дорівнює 1.

Теорема 3.2.3. Аксіоми А1-А6 однозначно визначають відстань (відстань Хемінга) d A B( , ) при будь-якій довжині ранжувань m ? 2, а

формула: d A BЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

2

, ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

2

= 0,5? ?ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

2

aij ?bij ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЕКСПЕРТНІ ПРОЦЕДУРИ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

2

, визначає єдину відстань d A B( , ),

i j, =1

Експертиза 8: Щ = Щ =??{матриці Ai , елементи яких визначені вище}, експерти ізольовані, обернений зв'язок відсутній. За відстань береться відстань Хемінга, колективне ранжування визначається критеріями: ? AKS ? ArgminA A???бid A A( , i ) (медіана Кемені-Снелла); n

? i=1

9 AVG ? ArgminmA A? ? i=1a,mx бid A A( , i ) (компроміс);

9 ASZ ? Argmin?n б d2 (A A, i ) (середнє значення).

A A? ? i=1 i

Вище A? - множина матриць m mЧ з елементами aij ? +{ 1, 1,? 0}, що відповідають ранжуванням (тобто матриці ациклічні). Як видно - критерій 1 відповідає принципу утилітаризма, критерій 2 - егалітаризма.

Приклад. Нехай n = m = 3, A1 = A2 =< a b c, , > , A3 =< b a c, , > (позначення < a b c, , > означає: a ???b c ). Випишемо відповідні матриці:

A1 = A2 = ???1 0 1??, A3 = ?? 1 0 1??.

???1 ?1 0?? ???1 ?1 0??

Потрібно знайти медіани 1, 2 на множині матриць, що відповідають ранжуванням: A1 =< a b c, , >, A2 =< a c b, , >, A3 =< b a c, , >.

A4 =< b c a, , >, A5 =< c a b, , >, A6 =< c b a, , >. Виписуємо відповідні матриці: A1 = A = B , A3 = C ,

Знаходимо: d A A( 1, 1) = d A A( 1, 2 ) = 0,d A A( 1, 3 ) = 2; d A A( 2, 1) = d A A( 2, 2 ) = 2,d A A( 2, 3 ) = 4; d A A( 3, 1) = d A A( 3, 2 ) = 2,d A A( 3, 3 ) = 0; d A A( 4, 1) = d A A( 4, 2 ) = 4,d A A( 4, 3 ) = 2; d A A( 5, 1) = d A A( 5, 2 ) = 4,d A A( 5, 3 ) = 6; d A A( 6, 1) = d A A( 6, 2 ) = 6,d A A( 6, 3 ) = 4.

Таким чином, AKS = AVG = ASZ = {A A1, 3} (цього слід було очікувати, оскільки ранжування двох експертів збіглися, ранжування третього відрізняються від їхнього ранжування лише однією перестановкою). Нехай, A1 = A1 , A2 = A4 , A3 = A6 . Тоді AKS = {A A3, 4}, AVG = {A3}, ASZ = {A3}.

Методи шкалювання

У методах шкалювання експерти оцінюють попарні відмінності між об'єктами, вказують відповідні числа. Задача полягає у зіставленні кожному об'єкту точки простору Er , r ?1, а всій системі, що складається з m об'єктів, m точок у Er так, щоб відстані у Er між точками були достатньо близькими до вказаних експертами чисел. Таким чином, розв'язок задачі оцінювання у цьому випадку є вектором довжини m r? .

Експертиза 9 (одновимірне шкалювання): Щ = Em , Щ =??{нестрогі ранжування}, експерти ізольовані, оберненого зв'язку немає. Для побудови ц необхідно зробити такі операції:

9 Обчислюється матриця P = ?Ai /n , де Ai - матриця, що відповідає ранжуванню, даному i -м експертом. Елементи pjk матриці P - імовірності переваги j -го об'єкта над k -м.

Задача багатовимірного метричного шкалювання полягає у наступному. Задається симетрична матриця відмінностей D = (Djk ) між m об'єктами A1,...,Am на основі агрегування думок n експертів (наприклад, так, як у попередній експертизі). Необхідно знайти координати m точок a j ?Er , що відповідають об'єктам, так, щоб матриця

X = (x jk ) відстаней між цими точками була близькою до матриці початкових відмінностей D за певним критерієм. Якщо значення критерію обертається у нуль, то говорять, що задача має точний розв'язок.

В основі Експертизи 10 лежить метод простої ординації, який полягає в такому.

Розглянемо спосіб побудови точок a1,...,am ?Em , що відповідають об'єктам A1,...,Am . За A1 і A2 оберемо об'єкти, відстань Djk між якими в агрегованій матриці D максимальна. Тоді a11 = 0, a12 = Djk ;

a1j = a2j = 0, j = 2,m .

Побудовані точки належать півпростору E1, утвореного першою віссю Em .

Нехай Er - r -вимірний півпростір, що утворюється осями з номерами 1,...,r , у якому вже знайдено точки a1,...,ar +1. У цих точок у Em усі координати, починаючи з (r +1)-ї, дорівнюють нулю. Проекції інших точок ar +2,...,am в Er знаходяться із заданих відстаней Djk між об'єктами j і k , j,k =1,m . Нехай координати проекції точки al ,

l > r +1, в Er - це a1l ,...,arl , hl - відстань між точкою al й підпросто-

ром Er . Маємо: ,

s=1

j =1,r +1? hl2 = D2jl ? ?(asj ?asl )2 , j =1,r +1. (3.2.2)



s=1

Ліва частина останньої рівності не залежить від a j . Прирівнюючи праві частини при j і j +1, отримаємо систему r рівнянь відносно r невідомих a1l ,...,arl :

D2jl ? ?(asj ?asl )2 = D2j+1,l ? ?(asj+1 ?asl )2 , j =1,r . r r

s=1 s=1

Розв'язавши цю систему при l = r + 2,m , отримаємо проекцію точки

al в Er . Із рівності (3.2.2) знайдемо hl для l = r + 2,m й покладемо

arl +1 = hl .

Оберемо об'єкт Aj , для якого h j = maxhl . Зіставимо йому у просто-

l r= +2,m

рі Em точку a j = (a1j ,...,a hrj , j ,0,...,0). Перенумеруємо об'єкти Ar +2,...,Am так, щоб вибраний об'єкт мав номер r + 2. Таким чином, отримали координати точки ar +2 й проекції точок ar +3,...,am у простір Er +1 . Критерій завершення процесу вибирається так:б =1? s s?, де

s? a a , s = ? D2jk . j k, =1 s=1 j k, =1 j k< j k<

Якщо б менше вибраного е > 0, обчислення координат точок припиняємо і образами об'єктів A1,...,Am вважаються проекції точок a1,...,am в Er .

В основі експертизи 11 (метод "трійок") лежать такі теоретичні побудови. Розглянемо трикутник зі сторонами Dij ,Dik , Djk (рис 3.2.1). За теоремою косинусів: 

D Dij ik cosИ = (Dij2 + Dik2 ? D2jk )/2.

Побудуємо матриці Bi , i =1,m , з елементами: bijk = (Dij2 + Dik2 ? D2jk )/2. Наступні властивості матриць Bi визначають

існування точного розв'язку задачі метричного шкалювання й мінімальну розмірність простору Er , при якому точний розв'язок існує.

Теорема 3.2.4. У випадку додатної напіввизначеності матриць Bi ,

i =1,m (тобто (B x xi , ) ? 0 для ?x ) задача метричного шкалювання має точний розв'язок. Мінімальна розмірність простору Er , r = minсi , де

Bi = XX T , X = (x pq ), де xpq = aqp , p =1,m , p ? i , q =1,r , ail = 0, l =1,r .

У розглянутих випадках відображення ц є лінійним. У загальному випадку неможлива побудова точок a j , j =1,m , у просторі достатно малої розмірності Er із збереженням бажаної точності. Тому використовуються нелінійні методи, що базуються на інтерполяційних процедурах.

Основою Експертизи 12 ("нелінійне багатовимірне шкалювання") є така процедура. Упорядкувавши за зростанням m2 елементів матриці відмінностей D , отримаємо лінійний порядок r A( ). Відобразимо об'єкти Aj у простір Er , лінійний порядок зі зростання елементів матриці X відстаней між точками a j , j =1,m , позначимо через r a( ).

Виконуємо операції:

1. Будуємо ранжування r A( ) і нормалізуємо елементи матриці D так, щоб мінімальний дорівнював нулю, максимальний - одиниці.

Отриману матрицю позначимо через D??.

2. Точки a j , j =1,m , знаходимо як вершини правильного (m ?1)вимірного симплекса, центр якого знаходиться у початку координат, ребра мають довжину 1. Координати вершин симплекса обчислюються за формулами: a2jq?1 = cos 2 ([ q j ?1)р/m]/ m , a2jq = sin 2 ([ q j ?1)р/n]/ m ,

де q =1,[(m ?1)/2] ([ ]x - ціла частина x ).

Для парного m проекція на (m ?1)-у вісь: amj ?1 = ?( 1)j?1 / 2m .

3. Будуємо ранжування r a( ). Якщо r a( ) = r A( ), то обчислення закінчується. Інакше нормуємо матрицю X відстаней між точками a j ,

j =1,m (аналогічно матриці D , крок 1), отримуючи X??.

4. Знаходимо нові значення координат точок a j , j =1,m , за формулами:

akj = akj + Дakj , j =1,m ?1,

б(D??? x??)(ai ?a j ) в(D??? D)(ak ?ak )

де Дakj = ?i j Pjik + Rkji , Pjik = ji xji ji k k , Rkji = ji Dji i j ,

D = ? D??jim2 ; б = 0,2, в = 0,05.

5. Покладемо a j = a j , j =1,m , будуємо ранжування r a( ) і переходимо на крок 1.

Методи побудови кардинальних оцінок

У практичних задачах дуже часто важливо не лише вказати факт переваги одного об'єкта над іншим (або побудувати ранжування), але й оцінити ступінь цієї переваги.

Нехай ранжуванню об'єктів o1 ??o2 ?... ??om відповідає вектор числових оцінок в = (в1,...,вm ).

Розглянемо основні методи визначення оцінок.

Метод фон Неймана-Моргенштерна (експертиза 13). Нехай m = 2. Маємо ранжування o1 ??o2 і об'єкту o2 приписується оцінка в2 =1.

Експерт вибирає таке значення величини , 0г < г 1, при якому, на його думку, гв1 = в2 . З останього співвідношення маємо в =1 1г .

Якщо m = 3, то в3 =1 і експерт визначає значення г1,г2 з умов г в1 1 = в3, г в2 2 = в3 , звідки в =1 1г1 ,в2 = 1г2 . Після цього експерт повинен визначити г3 з умови г в3 1 = в2 . Оцінки об'єктів вважаються узгодженими, якщо г3 = г1 г2 , інакше експерт переглядає початкові значення г1,г2.

При m об'єктах число перевірок дорівнює

1 2 ...+ + +m ? 2 = (m ?1)(m ? 2)2. Загальне число оцінок, які повинен встановити експерт, складається з m ?1 початкових оцінок і (m ?1)(m ? 2)2 вторинних оцінок, всього m m( ?1)2 = Cm2 .

Отримані внаслідок оцінки в в1, 2,...,вm є абсолютними. Для отримання відносних оцінок потрібно обчислити значення gi =. вj

Для підвищення "об'єктивності" процедури її можна легко узагальнити на випадок n експертів (використавши, наприклад, алгоритм, описаний в §§ 1, 2).

В експертизі 14 (метод Гергомена-Акофа) експерт будує ранжування (нехай це буде : o1 ?????o2 ... om ).

Об'єкту om приписується оцінка вm =1, останнім об'єктам експерт виставляє оцінки, порівнюючи їх з об'єктом om . Значення всіх оцінок повинно монотонно спадати зі зростанням порядкових номерів об'єктів.

Далі об'єкт o1 послідовно порівнюється з "сумою" об'єктів o2 +...+ o on , 2 +...+ on?1,...,o2 + o3 до того часу, поки o1 не стане еквіва-

лентним або кращим за відповідну "суму", тобто експерт вважає, що

в1 ? ?вi , s ? 3. Після цього експерт порівнює o2 із "сумами"

?o li , ? m, і т. д.

У знайдені нерівності підставляються оцінки об'єктів

і якщо нерівності справедливі, то призначені експертом оцінки і є шуканими. Інакше оцінки коректуються.

У цьому методі кількість початкових оцінок дорівнює Cm2 , але самі порівняння для експертів є складнішими, оскільки кожного разу один об'єкт порівнюється з декількома.

3. Методи голосування

Більшість суспільних рішень приймається на основі голосування. Голосуванням обираються президенти, народні депутати, голосуванням приймаються рішення у Верховній Раді, на засіданнях Вчених рад університету і факультетів, на засіданнях кафедр, при прийнятті рішень Державною екзаменаційною комісією, у студентських колективах, у сім'ї (яку телевізійну програму дивитись) і т. п. Хоча практика голосування нараховує тисячі років, фактичне його вивчення почалося близько двохсот років тому у працях французів Борда (Жан Шарль де Борд [1733-1799], фізик, математик, політик, член Французької Академії наук) і Кондорсе (Жан Антуан Ніколя де Кондорсе, [1745-1794], філософ, математик член Французької АН, у 1776- 1792 рр. був член-кореспондентом Петербурзької Академії наук, у 1792 р. виключений за велінням Катерини ІІ за жирондистські погляди, закінчив життя на гільйотині).

Розглянемо найуживаніші на практиці методи голосування. Нехай

N = {1,n} - множина "виборців", A = {a b c, , ,...} = {a a1, 2,...,am} - множина "кандидатів". Кожен виборець задає "індивідуальну перевагу" на множині кандидатів у вигляді строгого ранжування, тобто задає лінійний порядок L A( ) (повне, транзитивне, асиметричне бінарне відношення). Система всіх індивідуальних переваг називається профілем. Розглянемо профіль, що задається табл. 3.3.1 (далі будемо писати "профіль табл. 3.3.1"). Цей профіль містить інформацію про те, що п'ять перших виборців на перше місце поставили кандидата a , на друге - d , на третє - c , на четверте (останнє) -b . Аналогічно, наступні три виборці розташували кандидатів у послідовності - a , d , b , c і т.д. Отже, маємо n =17 i m = 4.

Таблиця

Кількість голосів	5	3	5	4
Впорядкування кандидатів	a	a	b	c
	d	d	c	d
	c	b	d	b
	b	c	a	a

Правило (метод) відносної більшості. На перше місце вісім виборців поставили кандидата a (na = 8), п'ять виборців - b (nb = 5) і чотири виборці - c (nc = 4),nd = 0. Перемагає той кандидат, за якого проголосувала більшість виборців (у даному випадку - a , випадок рівності голосів поки що не розглядаємо). Зрозуміло, що перемогти може й кандидат, за якого проголосували, наприклад, 1 % виборців (за інших - ще менше). Абсурд? Так, але ж за цим методом обираються "мери" в Україні. Тому назвемо це "парадоксом голосування".

Правило відносної більшості з вибуванням ("відносна більшість у два тури", "абсолютна більшість"). За подібним правилом відбуваються вибори Президента України. Якщо деякий кандидат набрав більше половини голосів, то він - переможець. Інакше до другого туру проходять два кандидати, що набрали відносну більшість голосів (тому - "відносна у два тури"). Для нашого профілю у другий тур проходять кандидати a і b . Після "відсіювання" інших кандидатів (тому - "відносна більшість з вибуванням"), маємо табл. 3.3.2 (переваги виборців після першого туру не змінюються).

Таблиця

Кількість голосів	5	3	5	4
Впорядкування кандидатів	a	a	b	b
	b	b	a	a

У другому турі na = 8, nb = 9, тобто перемагає кандидат b (перемагає "абсолютно", набираючи більше половини голосів, тому метод і називається методом "абсолютної більшості"). Зауважимо, що випадок рівності голосів ми поки що виключаємо. Не розглядається і випадок "голосування" проти обох, як при виборах Президента України, коли перемогти може кандидат, який набрав менше половини голосів виборців.

Правило Борда ("підрахунку очок"). У цьому правилі за останнє місце кандидата йому нараховується 0 балів (очок), за передостаннє -

1, ..., за перше - (m - 1).

Розглянемо профіль (табл. 3.3.3). Маємо: na = 24, nb = 22, nc = 27, nd = 29. Перемагає кандидат, що набрав найбільшу кількість балів, у нашому випадку - це кандидат d .

Таблиця

Кількість голосів	5	3	5	4	S
Впорядкування кандидатів	a	a	b	c	3
	d	d	c	d	2
	c	b	d	b	1
	b	c	a	a	0

Зауважимо, що за подібним методом часто визначаються переможці у спортивних змаганнях (наприклад, у багатоборстві враховують кількість перших, других місць і т. д.).

Правило Кондорсе. За Кондорсе переможцем оголошується той кандидат, що "перемагає" всіх інших у попарних порівняннях. Так, у попередньому профілі: вісім виборців поставило кандидата a вище за b, дев'ять виборців поставило a нижче за b (позначимо це a b: = 8:9). Маємо b c: = 8:9, c d: = 9:8, a c: = 8:9, b d: = 5:12, a d: = 8:9.

Єдиний кандидат, який "перемагає" всіх інших - це кандидат c.

Зауважимо, що правило Кондорсе видається вельми логічним - переможець перемагає всіх інших у єдиноборствах. Шахіст, що переміг усіх інших претендентів у мікро матчах (скажімо, із двох партій) - безумовно найкращий. Та й при формуванні індивідуальної переваги виборець попарно порівнює (свідомо чи підсвідомо) кандидатів. Але в читача вже, мабуть, виникло запитання. А як бути, якщо кожен із кандидатів когось перемагає, а комусь програє? У цьому випадку за визначенням переможця за Кондорсе (переможця Кондорсе) не існує. Це один із так званих "парадоксів голосування". Найпростіший випадок маємо при n = m = 3: для першого виборця a кращий за b і c, b кращий за c (позначимо це a ??b ??c ); для другого b ??c ??a ; для третього c ??a ??b . Цей профіль на-

зивається "Циклом Кондорсе". Маємо - a b: = 2:1, a c: =1:2, b c: = 2:1 (у кожного по одному виграшу і по одному програшу).

Повернемось до правил голосування. Наведені вище правила (чи подібні до них) застосовуються в житті, усі є досить логічними, кожне з них має свої "переваги". Але їхнє застосування до одного й того самого профілю (табл. 3.3.1) дає абсолютно різні результати! Це ще один "парадокс голосування". експертний статистичний шкалювання голосування

Який висновок можна зробити? Не все так просто, як може здатись на перший погляд, правила голосування потрібно вивчати. Причому, можна робити це двома шляхами. Перший - придумувати "хороші" ("логічні", "розумні") правила голосування (і сприймати результат як даність), другий - задавати "розумні" ("логічні", "хороші") умови на результат і підбирати" правила, які приводять до цього результату (наприклад, "результат виборів повинен бути таким, щоб не було ображених").

Спочатку розглянемо знаменитий "парадокс Ерроу" (Р. Ерроу, американський математик, економіст, лауреат Нобелівської премії), із якого власне і почалась сучасна теорія голосування.

Розглянемо загальну задачу. Нехай на основі індивідуальних преваг необхідно знайти не лише "колективного" ("спільного") переможця, а й "колективний порядок". Причому, нехай, як і раніше індивідуальні переваги будуть строгими (кандидати в індивідуальних перевагах не повинні "ділити" місця), колективний же порядок може бути і нестрогим (єдиним розумним компромісом при рівноправності виборців і кандидатів у випадку переваг a ??b (одного виборця) і b ??a (в іншого), звичайно, буде a = b (a і b "ділять" місце)). Найпростіший метод побудови колективного порядку за даним правилом голосування є наступний - переможець виключається з профілю, для отриманого профілю знову знаходиться переможець, який займає друге місце у колективній перевазі, і т. д.

Так, для профілю табл. 3.3.1, після виключення переможця a для правила відносної більшості маємо профіль табл. 3.3.4. Для цього профілю переможцем буде кандидат d, після його виключення маємо профіль табл. 3.3.5, для якого переможцем буде c. Отже, правило відносної більшості дає колективну перевагу a ?????d c b .

Таблиця 3.3.4

Кількість голосів	5	3	5	4
Впорядкування кандидатів	d	d	b	c
	c	b	c	d
	b	c	d	b

Таблиця 3.3.5

Кількість голосів	5	3	5	4
Впорядкування кандидатів	c	b	b	c
	b	c	c	b

Аналогічно, правило абсолютної більшості дає колективну перевагу b ?????c d a (зверніть увагу, ця перевага "повністю протилежна" по-

передній).

Правило Борда дає: d ??c ??a ??b , Кондорсе: c ??d ??b ??a .

Отже, "достатньо розумні" правила побудови колективного порядку приводять до різних результатів (аж до протилежних).