Експертні процедури для прийняття рішень

Підемо іншим шляхом. Задамо "розумні апріорні" вимоги до колективного ранжування у вигляді аксіом.

Аксіома А1 (повнота). Для будь-яких кандидатів a і b колективний порядок встановлює, що або a ??b , або a = b, або a ??b (скорочено - ? a b, ? A: (a ??b) ? (a = b) ? (a ??b)).

Аксіома А2 (транзитивність): (a ??b) ? (b ??c) ?a ??c .

Аксіома А3 (одностайність): якщо для всіх виборців a ??b , то й у i k колективному порядку також a ??b (? ?i N a: ??b ? a ??b ).

Цю аксіому можна назвати і "паретовість" і "ефективність".

Аксіома А4 (незалежність). Розташування будь-яких двох кандидатів a і b у колективному порядку залежить лише від їхнього взаємного розташування в індивідуальних порядках і не залежить від розташування інших кандидатів.

Відмова від першої аксіоми може призвести до ситуації - "вибори не відбулися", відмова від транзитивності теж виглядає досить дивною, порушення аксіоми одностайності однозначно свідчить про "фальсифікацію" виборів, відмова від аксіоми незалежності приводить до можливості маніпулювання шляхом зняття чи введення кандидатів (по-

k ложення кандидатів a і b у колективному порядку, наприклад, a ?b , не повинно залежати від індивідуальної переваги у вигляді a ??c ??b , чи a ??b ??c , чи c ??a ??b , чи взагалі у відсутності кандидата c).

Теорема 3.3.1. ("Парадокс Ерроу", 1951). Єдиним колективним порядком, що задовольняє аксіомам А1-А4, є "диктаторський", тобто існує виборець k ?N такий, що колективний порядок збігається з його індивідуальним порядком.

Парадокс Ерроу свого часу вразив науковий світ, згадаймо, якою була геополітична карта світу у 1951 р. Можливо він дає пояснення, чому наша цивілізація пройшла через диктаторські режими (а в деяких країнах ще й зараз існують диктатури). Хоча не все так сумно. Якщо a = b, то b = a , тобто теорема Ерроу стверджує не лише те, що колективний порядок "задається" індивідуальним порядком "диктатора", але й те, що індивідуальний порядок деякого виборця ("провидця") збігається з колективним порядком. А в цьому не має нічого поганого! З іншого боку, якщо до аксіом А1 - А4 приєднати аксіому ВД "відсутності диктатора", то цим аксіомам за теоремою Ерроу відповідає "порожній" вибір. Для "непорожності" вибору можна спробувати послабти аксіому ВД. Саме це і реалізує система аксіом Ерроу-Гурвиця [18], в якій аксіома ВД заміняється аксіомою ДД "допустимості диктатора". Переходимо до доведення теореми.

Визначення 3.3.1. Будь-яка підмножина M множини виборців N називається коаліцією. Коаліція M називається K-вирішальною для кандидата a проти кандидата b тоді і лише тоді, коли з того, що всі члени коаліції M ставлять a вище за b, а всі виборці, що не входять у M, ста-

K влять b вище за a, випливає a ?b . Цей факт записується як

M = K a b( , ) ? (? ?i M ? N : a ?i b , ? ?j N \M : a?j b ? a ?K b ).

Визначення 3.3.2. Якщо для будь-яких двох кандидатів a і b коаліція M є K-вирішальною для a проти b, вона називається просто Kвирішальною. Тобто M = K a b( , ),?a b, ? A . Зауважимо, що вся множина N є K-вирішальною (у силу А3). Порожня множина не може бути K-вирішальною для a проти b, ні для яких a і b. Якщо ніхто не K ставить a вище за b, тобто у всіх b > a , то знову у силу А3 : b a??, і не K може бути a ?b .

Лема 3.3.1. Існує пара кандидатів (a,b), для якої знайдеться коаліція L, що складається з одного виборця {l} така, що L = K a b( , ).

Доведення. Позначимо через T множину таких коаліцій M, для кожної з яких існує пара (a,b) така, що M = K a b( , ). Множина T не порожня, оскільки N ? T . Візьмемо у T коаліцію L, що містить найменшу кількість виборців. Оскільки T ? ? , то L має не менше за одного виборця ( L ?1). Нехай L ? 2. Розіб'ємо L на 2 не порожні підмножини, що не перетинаються: одна L? = {l} з одного елемента, інша L?? - з усіх останніх. Розглянемо профіль, заданий табл. 3.3.6.

Таблиця 3.3.6

L?	L??	N\L
a	c	b
b	a	a
c	b	c

Оскільки коаліція L - K-вирішальна, то a ?K b . Якщо c ?K b , то L?? є K- вирішальною c проти b. Але в L?? менше виборців, ніж у множині L, яка за визначенням мінімальна. Отже c не може бути гіршим за b, K K Kзвідси (у силу аксіоми повноти А1) b c??. Отже, a ?b , b c? і за аксіо-мою транзитивності А2 a ?K c . Але це означає, що L? є K-вирішальною для a проти c, що суперечить мінімальності L. Лему доведено.

Лема 3.3.2. Коаліція L = {l}, існування якої доведено у лемі 3.1, є Kвирішальною.

Доведення. Нехай c - довільний кандидат. Розглянемо профіль 1 незалежності А4 маємо, що a ?c незалежно від b, звідки {l} = K a c( , ).

Аналогічно для будь-якого кандидата d, розглянувши профіль 2,

K можна довести, що d ?c . Отже, {l} = K(c,d) для ?c d, .

Доведення. Розглянемо профіль ...???a ...???c ...???b ..., усі інші виборці ставлять c вище за a і b, інші кандидати розташовуються дові

Повернемось до вивчення методів голосування, що широко застосовуються на практиці.

По-перше, узагальнимо правило Борда й Кондорсе.

Задамо неспадаючу послідовність дійсних чисел s0 ? s1 ? ... ? sm?1, s0 < sm?1. Виборці ранжують кандидатів, причому s0 балів дається за останнє місце, s1 - за передостаннє і т. д. Вибирається кандидат із максимальною сумою балів. Тим самим отримуємо "узагальнене правило Борда" або "метод голосування з підрахуванням балів".

Правило відносної більшості, таким чином, є частинним випадком методу голосування з підрахунком очок (у ньому s0 = s1 = ... = sm?2 = 0, sm?1 =1). І, звичайно, саме правило Борда є частинним випадком цього методу (s0 = 0,s1 =1,...,sm?1 = m ?1).

Цікаво порівняти правила Кондорсе й Борда (узагальнене правило Борда). У певному сенсі вони є "несумісними" - існують профілі, при яких переможець Кондорсе не може бути переможцем Борда ні за якою системою балів.

Розглянемо профіль (табл. 3.3.7, Фішберн, 1973). Нехай спочатку s0 < s1 < s2 (нерівності строгі). Для цього профілю c - переможець

Кондорсе (переконайтесь у цьому). З іншого боку, сума балів кандидата a більша за суму c: na = 3s2 + 3s1 + s0 >nc = 3s2 + 2s1 + 2s0.¦

Твердження залишається справедливим і для випадку неспадаючої послідовності балів. Нехай, s0 ? s1 ? s2 , s2 > s0 . У профілі, що задається табл. 3.3.8, a - переможець Кондорсе (a b: = 6:5,a c: = 6:5), але na = 4s2 + 4s1 + 3s0 , nb = 5s2 + 4s1 + 2s0 , і nb ?na = s2 ? s0 > 0. Про-

філь 3.3.8 запропоновано студентом факультету кібернетики КНУ ім. Т. Шевченка С.В. Акулініним у 2006 р. У [7] "найменший" відомий приклад для цього випадку містить 17 виборців і три кандидати.

Множину кандидатів, які можуть бути вибраними при деякому методі підрахунку балів, можна легко описати. Для даного профілю і даного кандидата a будуємо вектор Г( )a ?Em?1 так: Г1( )a - це число виборців, у яких a має перше місце; Г2 ( )a - число виборців, у яких a має перші два місця і т. д.

Тоді кандидат a не може бути переможцем ні при якому узагальненому методі Борда, якщо вектор Г( )a домінується за Парето вектором Г( )b для деякого іншого кандидата b. Більше того, можна показати, що a є переможцем за правилом підрахунку очок тоді і лише тоді, коли вектор Г( )a є слабо оптимальним за Парето (не існує канди-дата b, для якого Гi ( )b > Гi ( )a для i =1,m ?1). Якщо система балів утворює строгу послідовність (s0 < s1 < ... < sm?1), то переможець a узгоджується з "просто" оптимальністю за Парето. Цікаво також відмітити, що переможець (найгірший) за Кондорсе не може бути найгіршим (переможцем) за правилом Борда, як це може мати місце для правила відносної більшості (див. профіль на табл. 3.3.1). Ці твердження випливають із того, що переможець за правилом Борда має у середньому найбільше число виборців, що його підтримують у "бінарних дуелях" із іншими кандидатами.

Найчастіше використовують два такі правила, що узагальнюють метод Кондорсе.

Правило Копленда. Позначимо через K a x( , ) число виборців, для яких кандидат а кращий за х, a ? x . Порівняємо кандидата a із будьяким іншим кандидатом x. Припишемо K a x( , ) = +1, якщо для більшості виборців a кращий за x, інакше K a x( , ) = ?1; 0 при рівності. Оцінка Копленда кандидата a є K a( ) = ?K a x( , ). Переможцем Копленда (пе-x a? реможцем за Коплендом) називається кандидат (кандидати) з найвищою оцінкою Копленда.

Правило Сімпсона. Аналогічно S a x( , ) - число виборців, для яких кандидат a кращий за x, a ? x . Оцінкою Сімпсона кандидата a називається число S a( ) = min ( , )S a x . Переможцем Сімпсона називається x a? кандидат (кандидати) з найвищою оцінкою Сімпсона.

Отже, для того, щоб перемогти за правилом Копленда, вам необхідно виграти в найбільшої кількості інших кандидатів. Для виграшу за правилом Сімпсона, необхідно, щоб проти вас ніякий інший кандидат не зібрав значної більшості. Зазначимо також, що правило Копленда відповідає утилітарному критерію вибору, Сімпсона - егалітарному. Очевидно, що переможець Кондорсе (якщо він існує) буде також переможцем і Копленда, і Сімпсона. Очевидно, також, що правила Копленда та Сімпсона, на відміну від правила Кондорсе, завжди визначають переможця (переможців).

Розглянемо основні властивості, яким повинні задовольняти правила голосування. Найперше, звичайно, необхідно вимагати забезпечення рівноправства виборців і кандидатів, що формально гарантуються наступними аксіомами.

Аксіома А5 (анонімність). Імена виборців не мають значення: якщо два виборці поміняються голосами, то результат не зміниться.

Аксіома А6 (нейтральність). Імена кандидатів не мають значення: якщо поміняти місцями кандидатів a і b у перевазі кожного виборця, то результат голосування зміниться відповідно (якщо раніше вибирався кандидат a, то тепер буде вибиратись кандидат b і навпаки; якщо раніше вибирався деякий кандидат c, відмінний від a і b, то тепер він же і буде вибраний).

Не можна, звичайно, відмовитись і від аксіоми А3 одностайності (оптимальності за Парето). Тому узагальнимо її так:

Аксіома A3' (ефективність). Якщо кандидат a для всіх виборців кращий за кандидата b, то b не може бути вибраним.

Розглянуті вище правила Борда, Копленда та Сімпсона анонімні, нейтральні й оптимальні за Парето. Те ж саме справедливо і для будьякого правила голосування з підрахунком балів, якщо останні різні (sk < sk+1), при рівності балів оптимальність за Парето може порушуватись. Якщо ж нам необхідно виділити єдиного кандидата (при застосуванні правил підрахунку очок, Копленда, Сімпсона), то у загальному випадку це неможливо зробити без порушення або анонімності або нейтральності. Це стає очевидним, якщо розглянути профіль Кон- 1 1 2 2 3 3 дорсе: a ???b c , b???c a , c ???a b . Якщо при анонімному, нейтральному і однозначному правилі голосування вибирається, наприклад a, то при перестановці a і b, b і c, c і a (унаслідок цього отримаємо профіль:

1 1 2 2 3 3

b???c a , c ???a b , a ???b c ), з одного боку (за анонімністю), перемож-цем повинен залишитись a, з іншого (за нейтральністю) - переможцем повинен стати c (оскільки ми поміняли "імена" a і c).

На практиці нас цілком влаштовують відображення голосування (такі, як множина переможців за Борда або за Коплендом), для котрих виконуються три вище наведених принципи і які "не дуже часто" приводять до рівності очок. Якщо необхідний однозначний вибір, то ми використовуємо або анонімне правило (вибираємо, скажімо, серед переможців того, за якого голосує "голова журі") або нейтральне правило (переможця вибираємо за алфавітом).

Наступний "критерій" - властивість монотонності. Він говорить про те, що більша підтримка кандидата не може зменшити його шанси бути вибраним. Ця властивість називається позитивним оберненим зв'язком.

Аксіома А7 (монотонність). Нехай a вибирається при даному профілі й профіль змінюється так, що положення a покращується, а відносне порівняння пари будь-яких кандидатів для будь-якого виборця залишається незмінним. Тоді a для нового профілю також буде вибраним.

Легко зрозуміти, що узагальнене правило Борда, правила Копленда та Сімпсона є монотонними. Правило ж відносної більшості з вибуванням, що широко застосовується на практиці, є немонотонним!

Розглянемо два профілі (табл. 3.3.9, 3.3.10). Другий профіль відрізняється від першого лише останнім стовпчиком, у якому положення a порівняно з b покращується. Перевірте, що для першого профілю переможцем за правилом відносної більшості з вибуванням є a, а для другого профілю c. Покращення позиції a приводить до його поразки! Можна уявити гіпотетичну ситуацію, у якій перший профіль - "істинний" (відповідає індивідуальним перевагам виборців), у другому профілі "підкуплені" два виборці міняють свою перевагу між a і b. Резюме - голосуйте чесно!

Метод альтернативних голосів. Виключаємо тих кандидатів, хто отримав найменшу кількість голосів. Потім знову підраховуємо голоси виборців для кандидатів, що залишились і знову виключаємо "найгірших" до того часу, поки не залишиться один кандидат (або декілька з рівною кількістю голосів).

Наступна властивість вперше була введена Смітом (1973) і Янгом (1974) і відома, як аксіома Янга про поповнення.

Аксіома А8 (поповнення (однозначні правила голосування)). Дві групи виборців N1 і N2, що не перетинаються, вибирають одного і того ж кандидата a з множини A. Тоді виборці з множини N = N1 ?N2 також вибирають a.

За цією властивістю виборці розбиваються на "територіальні" дільниці або законопроект розглядається в підкомісіях.

Аксіома А'8 (поповнення (відображення голосування)). Нехай виборці з N1 вибирають кандидатів A1 з A, із N2 - з A2, N1 ?N2 = ? , A1 ??A2 ? 0. Тоді виборці з N = N1 ?N2 виберуть кандидатів з A1 ??A2.

Теорема 3.3. (Янг, 1975). Усі правила голосування, що базуються на підрахунку балів, задовольняють аксіомі поповнення. Якщо при рівності очок вибір відбувається на основі фіксованого порядку на A, то відповідні правила також задовольняють аксіомі поповнення. Правило Кондорсе (або його узагальнення таке, що вибирається переможець Кондорсе, якщо останній існує) не задовольняє аксіомі поповнення.

Аксіома А9 (участі). Нехай кандидат a ? A вибирається виборцями з N. Нехай до множини виборців добавляється новий виборець i (i ?N ). Тоді виборці з N ?{i} повинні вибрати або a, або кандидата, який для агента i є строго кращим a.

Переможця за Кондорсе для наведеного профілю (табл. 3.3.11) не існує, переможцем за Сімпсоном є кандидат a: S a( ) = 6,S b( ) = 4, S c( ) = 3, S d( ) = 5. Нехай до розглянутого профілю додаються ще чотири виборці з перевагами: c ?????a b d . Для нового профілю переможцем буде b (S a( ) = 6,S b( ) = 8,S c( ) = 7,S d( ) = 5). Отже, чотирьом новим виборцям краще залишитись удома, щоб переміг a!

Для всіх правил голосування з підрахунком очок, коли при рівності очок вибір відбувається з допомогою заданого порядку на A, аксіома участі виконується. Якщо A має хоча б чотирьох кандидатів, то для правил типу Кондорсе не задовольняється аксіома участі.

Для формування одного з найбільш відомих результатів теорії голосування знадобиться ще одна аксіома.

Аксіома 10 (неперервність). Нехай виборці з N1 вибирають a ? A , із

N2 - b ? A, a ? b , N1 ?N2 = ? . Тоді існує (досить велике) натуральне число m таке, що (mN1)?N2 вибере a.

Ця вимога є досить "м'якою": якщо група виборців N2 є досить малою, то вона не повинна впливати на результат виборів, що визначається m "дуелями" групи виборців N1. Ця аксіома, зокрема, гарантує відсутність диктатора.

Теорема 3.3.5. (Янг, 1975). Відображення голосування базується на правилі підрахунку балів тоді й лише тоді, коли задовольняє наступним чотирьом аксіомам: анонімності, нейтральності, поповнення й неперервності.

Доведення цієї теореми (що є характеризацією правила підрахунку очок) є вельми складним.

Не дивлячись на складнощі, що виявлені вище для методів типу Кондорсе, вони широко застосовуються на практиці.

Голосування з послідовним виключенням. Задається послідовність кандидатів, наприклад, abcd. Перші два кандидати порівнюються і за правилом більшості виключається один із них. Той кандидат, що залишився, порівнюється з наступним і т. д. При рівності голосів залишається, наприклад, "лівий" кандидат.

За таким методом у конгресі США організовується "процес поправок" (a - поправка до закону, b - поправка до поправки, c - початкова редакція, d - status quo). Цей метод, очевидно, є методом типу Кондорсе: якщо a - переможець Кондорсе, то він і виграє. Очевидно, також, що метод не є нейтральним - порядок виключення ("порядок денний") впливає на результат. Нехай маємо наступний профіль табл. 3.3.12. Для послідовності (abcd) переможець буде d, для (abdc) - c, (adbc) - b, (bdac) - a. Отже, "голова" (той, хто визначає порядок денний) може впливати на результат (хоча, звичайно, не для будь-якого профілю). Цікаво також зазначити, що цей метод може порушувати й оптимальність за Парето. Для послідовності (abcd) переможцем буде кандидат d, хоча кандидат a для всіх виборців кращий за d. Розглянемо ще одне правило, що широко використовується (особливо у спорті).

Правило паралельного виключення. Для заданої послідовності кандидатів, наприклад, abcd, за правилом більшості порівнюється a з b і c з d ("півфінал"), потім переможці у парах порівнюються між собою ("фінал"). Цей метод є методом типу Кондорсе, у випадку відсутності рівності при попарних порівняннях він зберігає оптимальність за Парето. Якщо рівності можливі, то оптимальність за Парето може порушуватись.

При голосуванні за правилом відносної більшості з вибуванням іноді буває доцільним віддати свій голос не найкращому для себе кандидату, а деякому іншому: якщо я знаю, що найкращий для мене кандидат a все рівно не пройде, оскільки кандидати b і c гарантовано наберуть більше голосів, то я краще допоможу тому кандидату з b, c, котрий для мене переважніший (згадайте свої міркування під час виборів у Верховну Раду України 26 березня 2006 р., коли у бюлетенях було 45 партій і блоків). Тому природно виникає питання - чи існує "захищене від маніпулювання" правило голосування, тобто таке правило, що кожен виборець, знаходячись у кабіні для голосування, завжди захоче вказати свій пріоритет правдиво? У випадку бінарного вибору (при двох кандидатах - другий і третій тури виборів Президента України 2004 р.) голосування за правилом більшості є, очевидно, неманіпульованим. Якщо ж кандидатів не менше трьох, то єдиним неманіпульованим правилом голосування є диктаторське правило. Цей результат, аналогічний теоремі Ерроу, був доведений Гіббартом (1973) і Саттертвайтом (1975). Зрозуміло, що диктаторське правило не може бути прийнято, як найбільш несправедливе (для абсолютної більшості людей). Однак для будь-якого недиктаторського правила голосування існує профіль переваг, при якому деякому агенту вигідно не повідомляти правдиво свої переваги. Таким чином, голосування не є механізмом збору інформації про переваги виборців, що заслуговує на довіру. Але що ж робити? Як подолати негативний результат Гіббарта-Саттертвайта? Головною особливістю цієї теореми є те, що будь-який профіль переваги є допустимим "входом" для правил голосування. Якщо можна зі змістовних міркувань обмежити область переваг, то загроза маніпуляцій, можливо, зникне. Наприклад, нехай профіль переваг змінюється в області, у якій переможець Кондорсе завжди існує. Тоді голосування за правилом більшості (що вибирає у точності переможця Кондорсе) є захищеним від маніпулювання.

На завершення даного параграфа сформулюємо теорему Гіббарта- Саттертвайта строго. Нехай L(A) - множина лінійних порядків на скінченій множині кандидатів A (повних, транзитивних, асиметричних відношень на A). Нехай N - скінченна множина виборців. Думка виборця i ?N записується з допомогою функції корисності ui : A > E1 , що відображає порядок на A (байдужості виключаються). Наприклад, u ai( ) > u bi( ) > u ci( ) - для i-го виборця кандидат a на першому місці, b - на другому і т. д.

Правило голосування є однозначне відображення S L A: ( )N > A , що ставить кожному профілю u = (u ii, ?N) результат виборів S(u). Нехай

S є відображенням "на": для кожного a існує такий профіль u, що S u( ) = a (ніякий кандидат не може бути апріорі відкинутим).

Визначення 3.3.3. Правило голосування є захищеним від маніпулювання, якщо для будь-якого профілю u ?L A( )N і будь-якого виборця i ?N виконується: u S ui( ( )) ? u S v ui( ( i, N i\ )) для ?vi ? L A( ).

Якщо A має більше двох кандидатів, то правило S є захищеним від маніпулювання тоді і лише тоді, коли воно є диктаторським: S = Si* для деякого агента i* - диктатора, де Si*( )u = maxui* для всіх u ?L A( )N .

Як бачить читач, за останні шістдесят років стало багато що зрозумілим у теорії голосування, отримано багато цікавих результатів, виявлено багато "екзотичних" властивостей правил голосування, що широко використовуються на практиці. Чому ці правила все ще широко використовуються дає нам уявлення про те (за Е. Муленом, [7]), "із якою швидкістю теорії прокладають собі шлях у реальний світ".

З іншого боку виявилось, що спроба апріорі вимагати від переможця "хороших" (логічних, демократичних, розумних) властивостей призводить до диктаторства (див. теореми 3.3.1, 3.3.6). Який вихід? Забезпечувати "демократичність" не переможця, а правил вибору, і приймати переможця таким, який він є - "Народ має тих керівників, яких заслуговує". Чому так виходить? А тому, що (цитуємо М. Бердяєва [13]) "Правда й істина може бути в меншості, а не в більшості, , навіть завжди, вона буває в меншості… Якщо немає правди й істини, будемо вважати за правду й істину те, що визнає більшість".

4. Метод аналізу ієрархій

Деякі складні задачі експертного оцінювання мають структуровану множину критеріїв. Однією з найбільш поширених структур множини критеріїв є ієрархія. У вершині ієрархії знаходиться найважливіший критерій. Деяка підмножина критеріїв утворює другий (за важливістю) рівень ієрархії, інша підмножина - третій і т. д. На нижньому рівні ієрархії знаходяться безпосередньо альтернативи. На рис. 3.4.1 наведено загальну схему ієрархії, де f ji - елементи ієрархії критеріїв, xi - альтернативи.

Верхній індекс елементів вказує рівень ієрархії, нижній - порядковий номер. Метод аналізу ієрархій (МАІ, запропонований Сааті [22]) реалізує декомпозицію задачі експертного оцінювання на простіші складові частини. Унаслідок цього визначається відносна значимість альтернатив за ієрархічною системою критеріїв. Відносна значимість виражається чисельно у вигляді векторів пріоритетів. Отримані таким чином значення векторів пріоритетів є оцінками у шкалі відношень і відповідають так званим жорстким оцінкам.

Можна виділити ряд модифікацій МАІ, які визначаються характером зв'язків між критеріями й альтернативами, розташованими на найнижчому рівні ієрархії, а також методом порівняння альтернатив. За характером зв'язків між критеріями й альтернативами визначається два типи ієрархій. До першого типу відносяться такі, у яких кожен критерій, що має зв'язок з альтернативами, пов'язаний з усіма розглянутими альтернативами (тип ієрархій з однаковим числом і функціональним складом альтернатив). До другого типу ієрархій належать такі, у яких кожен критерій, що має зв'язок з альтернативами, пов'язаний не з усіма альтернативами (тип ієрархій із різним числом і функціональним складом альтернатив). У МАІ відомі три методи порівняння альтернатив: попарне порівняння; порівняння альтернатив щодо стандартів і порівняння альтернатив копіюванням. Нижче розглядаються методологія МАІ та відмінні риси його модифікацій.

Метод попарного порівняння елементів ієрархії. У цій модифікації методу розглядається ієрархія з однаковими числом і функціональним складом альтернатив.

Для установлення відносної важливості елементів ієрархії використовується шкала відношень (табл. 3.4.1). Ця шкала дозволяє експерту ставити у відповідність ступеням переваги одному порівнюваному об'єкту перед іншим - деяке число.

Таблиця 3.4.1. Шкала відношень (ступеня значущості дій)

Ступінь значимості	Визначення	Пояснення
1	Однакова значимість	Дві дії вносять однаковий внесок у досягнення мети
3	Слабка значимість	Існують недостатньо переконливі міркування на користь переваги однієї з дій
5	Істотна значимість	Є дані для того, щоб довести перевагу однієї з дій
7	Очевидна значимість	Переконливе свідчення на користь однієї дії перед іншою
9	Абсолютна значимість	Незаперечні переконливі свідчення на користь переваги однієї дії іншій
2, 4, 6, 8	Проміжні значення сусідніми судженнями	Ситуація, коли необхідно компромісне рішення

Правомірність цієї шкали доведена практично при порівнянні з багатьма іншими. При використанні зазначеної шкали експерт, порівнюючи два об'єкти в змісті досягнення цілі, розташованої на вищому рівні ієрархії, повинен поставити у відповідність цьому порівнянню число в інтервалі від 1 до 9 або обернене до нього. У тих випадках, коли важко розрізнити скільки є проміжних градацій від абсолютного до слабкої переваги або цього не потрібно в конкретній задачі, може використовуватися шкала з меншим числом градацій. Гранично шкала має дві оцінки:

1 - об'єкти рівнозначні; 2 - перевага одного об'єкта над іншим.

Матриці попарних порівнянь. Після побудови ієрархії встановлюється метод порівняння її елементів. Якщо приймається метод попарного порівняння, то будується множина матриць попарних порівнянь. Для цього в ієрархії виділяють елементи двох типів: елементи - "батьки" і елементи - "нащадки". Елементи - "нащадки" впливають на відповідні елементи вищого рівня ієрархії, які є для них "батьками". Матриці попарних порівнянь будуються для всіх елементів - "нащадків", що відносяться до відповідного елемента - "батька". Елементами - "батьками" можуть бути елементи, що належать будь-якому ієрархічному рівневі, крім останнього, на якому розташовані, як правило, альтернативи. Парні порівняння проводяться в термінах домінування одного елемента над іншим. Отримані судження виражаються в цілих числах за дев'ятибальною шкалою (див. табл. 3.4.1).

Заповнення квадратних матриць попарних порівнянь здійснюється за таким правилом. Якщо елемент E1 домінує над елементом E2, то комірка матриці, що відповідає рядкові E1 і стовпчику E2 заповнюється цілим числом, а комірка, що відповідає E2 і E , 1 заповнюється оберненим до нього числом. Якщо елемент домінує E2 над E1, то ціле число ставиться в комірку, що відповідає рядкові E2 і стовпчику E1, а дріб проставляється в клітку, що відповідає E1 і E2. Якщо елементи рівноцінні, то в симетричних комірках матриці ставляться одиниці.

Нехай E E1, 2,...,En - множина з n елементів (альтернатив) і м1,м2,...,мn відповідно до їхньої ваги або інтенсивності. Порівняємо попарно вагу або інтенсивність, кожного елемента з вагою або інтенсивністю, будь-якого іншого елемента множини відносно до загальної для них властивості або цілі (стосовно елемента - "батько"). У цьому випадку матриця попарних порівнянь має поданий вигляд.

Матриця попарних порівнянь має властивість зворотної симетрії, тобто мij =1мji . При проведенні попарних порівнянь варто відповідати на такі питання: який із двох порівнюваних елементів є важливішим (або має більший вплив) чи є ймовірним (або важливішим). При порівнянні критеріїв звичайно запитують, який із критеріїв важливіший; при порівнянні альтернатив стосовно критерію - яка з альтернатив краща або ймовірна.

Оцінка однорідності суджень. Ранжування елементів, що аналізуються з використанням матриці попарних порівнянь, здійснюється на підставі аналізу головних власних векторів матриці попарних порівнянь. Обчислення головного власного вектора W додатної квадратної матриці А проводиться на підставі рівності AW = лmaxW , де лmax

- максимальне власне число матриці А.

Для додатної квадратної матриці А правий власний вектор W, що відповідає максимальному власному числу лmax із точністю до постійного множника С, можна обчислити за формулою:

На практиці обчислення власного вектора виконуються до досягнення заданої точності о: e WT ( k ?W k?1) ? о. Із достатньої для практики точністю можна прийняти о = 0,01 незалежно від порядку матриці. Максимальне власне значення обчислюється за формулою:

лmax = e AWT .

У практичних задачах кількісна (кардинальна) і транзитивна (порядкова) однорідність (погодженість) порушується, оскільки людські відчуття не можна виразити точною формулою. Для покращення однорідності в числових судженнях, яка величина aij не була б узята для порівняння i-го елемента з j-м, aij приписується значення оберненої величини, тобто 1a . ij Звідси, якщо один елемент у a раз є важливішим за інший, то останній лише в 1a раз є важливішим за перший.

При порушенні однорідності ранг матриці буде відмінний від одиниці і вона буде мати кілька власних значень. Однак при невеликих відхиленнях суджень від однорідності одне з власних чисел буде істотно більшим за інші та приблизно дорівнюватиме порядкові матриці. Таким чином, для оцінки однорідності суджень експерта необхідно використовувати відхилення величини максимального власного числа від порядку матриці n.

Однорідність суджень оцінюється індексом однорідності (ІО) або відношенням однорідності (ВО) з допомогою таблиці, у якій М(ІО) - середнє значення (математичне сподівання) індексу однорідності випадково складеної матриці попарних порівнянь, що базується на експериментальних даних (табл. 3.4.2).

Таблиця 3.4.2. Середнє значення індексу однорідності

Порядок матриці	М(ІО)	Порядок матриці	М(ІО)	Порядок матриці (п)	М(ІО)
1	0,00	6	1,24	11	1,51
2	0,00	7	1,32	12	1,48
3	0,58	8	1,41	13	1,56
4	0,90	9	1,45	14	1,57
5	1,12	10	1,49	15	1,59

За припустиме береться значення ВО? 0,1. Якщо для матриці попарних порівнянь відношення однорідності BO > 0,1, то це свідчить про істотне порушення логічності суджень, допущеному експертом при заповненні матриці, тому експертові пропонується переглянути дані, використані для побудови матриці, щоб покращити однорідність.

Ієрархічний синтез використовується для зважування власних векторів матриць попарних порівнянь альтернатив вагами критеріїв (елементів), що знаходяться в ієрархії, а також для обчислення суми по усіх відповідних зважених компонентах власних векторів нижчого рівня ієрархії. Далі розглядається алгоритм ієрархічного синтезу з урахуванням позначень, прийнятих у попередній ієрархії. Крок 1. Визначаються вектори пріоритетів альтернатив W x j щодо

(fi ) елементів fij передостаннього рівня ієрархії (i = S). Тут через fij позначені елементи ієрархії, причому верхній індекс і указує рівень ієрархії, а нижній індекс j - порядковий номер елемента на рівні. Обчислення множини векторів пріоритетів альтернатив WSx щодо рівня ієрархії S здійснюється за ітераційним алгоритмом, реалізованим на основі співвідношень (3.4.1) і (3.4.2) по вихідним даним, зафіксованим у матрицях попарних порівнянь. Унаслідок цього визначається множина векторів:



WSX = { WfX1S ,WfX2S ,...,WfXpS }.

Крок 2. Аналогічно обробляються матриці попарних порівнянь власне елементів f ji . Дані матриці, побудовані так, щоб визначити перевагу елементів визначеного ієрархічного рівня щодо елементів вищого рівня, із якими вони безпосередньо пов'язані. Наприклад, для обчислення векторів пріоритетів елементів третього ієрархічного рівня (див. рис. 3.4.1) обробляються три матриці попарних порівнянь:

Отримані значення векторів використовуються згодом при визначенні векторів пріоритетів альтернатив щодо всіх елементів ієрархії.

Крок 3 . Здійснюється власне ієрархічний синтез, що полягає в послідовному визначенні векторів пріоритетів альтернатив щодо критеріїв f ji , які знаходяться на всіх ієрархічних рівнях, крім передостаннього, що містить критерії f jS . Обчислення векторів пріоритетів проводиться в напрямку від нижніх рівнів до верхнього з урахуванням конкретних зв'язків між критеріями, що належать різним рівням. Обчислення проводиться шляхом перемножування відповідних векторів і матриць.

Вираз для обчислення векторів пріоритетів альтернатив визначається так:

WfXji = ???WfX1i?1,WfX2i?1,...,WfXni?1 ??? ?Wffji?1 ,

де WfXji - вектор пріоритетів альтернатив щодо критерію W Xji?1 , що виf значає j-й стовпчик матриці; W fi - вектор пріоритетів критеріїв f j

f1i?1, f2i?1,...,fni?1, пов'язаних із критерієм f ji вищого рівня ієрархії.

Оцінка однорідності ієрархії. Після розв'язання задачі ієрархічного синтезу оцінюється однорідність всієї ієрархії за допомогою підсумовування показників однорідності всіх рівнів, приведених шляхом "зважування" до першого рівня ієрархії, де знаходиться коренева вершина. Число кроків алгоритму з обчислення однорідності визначається конкретною ієрархією.

Розглянемо принципи обчислення індексу та відношення однорідності ієрархії. Нехай задана ієрархія критеріїв і альтернатив (рис. 3.4.2) і для кожного рівня визначений індекс однорідності та вектори пріоритетів критеріїв так: ІО11 - індекс однорідності для 1-го рівня; {ІО12, ІО22} - індекси однорідності для 2-го рівня; {ІО13 , ІО32 , ІО33 } - індекси однорідності для 3-го рівня; {W11} - вектор пріоритетів f12, f22 відносно критерію f11; {W12 }, {W22 } - вектори пріоритетів кри-

теріїв f13, f23, f33 відносно критеріїв f12, f22 другого рівня.

У цьому випадку індекс однорідності розглянутої ієрархії можна визначити за формулою:

Визначення відношення однорідності ВО для всієї ієрархії здійснюється за формулою: BO = IO /M IO( ), де М(ІО) - індекс однорідності ієрархії при випадковому заповненні матриць попарних порівнянь.

Розрахунок індексу однорідності М(ІО) за експериментальними даними (див. табл. 3.4.2) виконується за формулою аналогічною індексу однорідності. Однорідність ієрархії вважається задовільною при значеннях BO ? 0.1.

Агрегація думок декількох експертів. Для агрегування думок експертів береться середнє геометричне, що обчислюється за таким співвідношенням: aijA = n a1ij...aijn , де aijA - агрегована оцінка елемента, що належить і-му рядку j-му стовпчику матриці попарних порівнянь; n - число матриць попарних порівнянь, кожна з яких складена одним експертом. Логічність цього критерію стає очевидною, якщо два експерти вказують при порівнянні об'єктів відповідно оцінки a і 1/a, що при обчисленні агрегованої оцінки дає одиницю і свідчить про еквівалентність порівнюваних об'єктів.

Осереднення суджень експертів може здійснюватися і на рівні власних векторів матриць попарних порівнянь. Покажемо це на прикладі. Нехай задані судження двох експертів у виді матриць попарних порівнянь:

Власні вектори Wi , максимальні власні значення лmax й оцінки однорідності (ІО, ВО) для цих матриць мають такий вигляд:

9 для матриці A1

W1 = (0,15, 0,16, 0,744)T , лmax = 3,121, IO = 0,06, BO = 0,103;

9 для матриці A2

W2 = (0,223, 0,127, 0,65)T , лmax = 3,297, IO = 0,148, BO = 0,255.

Осереднення на рівні елементів власних векторів дає

W = (0,184, 0,117, 0,7)T . Осереднюючи елементи матриць A1, A2,

одержимо матрицю: A = ??0,41 1 0,26??.

Власним вектором матриці А буде: WA = (0,184, 0,116, 0,7)T .



Література

1. Волошин О.Ф., Мащенко С.О. Теорія прийняття рішень : навч. посібн. - К., 2006.

2. Волошин О.Ф., Мащенко С.О. Методичні рекомендації до виконання практичних і лабораторних робіт з теорії прийняття рішень. - К., 2001.

3. Катренко А.В., Пасічник В.А., Пасько В.П. Теорія прийняття рішень. - К., 2009.

4. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. - М., 2000.

5. Макаров И.М., Виноградская Т.М., Рубчинский А.А. Теория выбора и принятия решений : Учебн. пособие. - М., 1982.

6. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. - М., 1985.

7. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. - М., 1991.

8. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. - М., 1990.

9. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. - М., 1981.

10. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М., 1982.

11. Розен В.В. Цель - оптимальность - решение. - М., 1982.

12. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. - М., 1978.

Размещено на Allbest.ru