Математическое представление информационных процессов управления на предприятии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автономная некоммерческая организация высшего профессионального образования Центросоюза Российской Федерации

Российский Университет Кооперации

Сыктывкарский Филиал

Кафедра информационных технологий

Курсовая работа

по дисциплине: «Теория систем и системный анализ»

на тему: «Математическое представление информационных процессов управления на предприятии»

Выполнил: Студент 2 курса

Рочев Василий Александрович

Специальность: Прикладная Информатика

(сокращённый срок обучения)

Шифр 230700.62

Проверил: Миронов Р.В ст.преп.

Сыктывкар 2013

Содержание

Введение

1. Информационные процессы управления на предприятии

1.1 Понятие и сущность управленческой информации

1.2 Содержательные аспекты процесса управления, его этапы, функции и свойства

2. Математическое моделирование информационных процессов

2.1 Линейное программирование

2.2 Основные понятия линейной алгебры, применяемые в теории математического программирования

3. Использование экономико - математических методов в решении типичных задач предприятия

3.1 Задачи управления запасами и распределения ресурсов

3.2 Задачи оптимальное распределение инвестиций и выбор оптимального маршрута перевозки грузов

Заключение

Список используемых источников

Введение

Последнее десятилетие характеризуется не только радикальным изменением социально-экономической среды, в которой функционируют российские предприятия и организации всех форм собственности, но и устойчивой тенденцией развития информатизации процессов управления.

Необходимость действовать в условиях рыночной экономики, все обостряющейся конкуренции товаропроизводителей обусловливает повышенные требования к профессиональным качествам специалистов, ответственности руководителей за результаты и последствия принимаемых решений. Чрезвычайно актуальными становятся учет временного фактора и организация анализа материальных, товарных, финансовых потоков, поиск обоснованных решений в регулировании производственно-хозяйственных и финансовых ситуаций.

Внедрение в управленческую деятельность исследовательского подхода базируется на применении информационных технологий, математического моделирования, обеспечивающих полноту, своевременность информационного отображения управляемых процессов, возможность их моделирования, анализа, прогнозирования. Исследовательский подход, лежащий в основе менеджмента, одинаково присущ как федеральным, региональным, местным органам управления, так и предприятиям, фирмам, корпорациям.

Целью данной курсовой работы является рассмотрение сущности и содержания процесса управления, а также применения математических моделей, математического программирования, для реализации успешного управления на предприятии.

Для достижения обозначенной цели были поставлены следующие задачи:

· Рассмотреть понятие и сущность управленческой информации.

· Проанализировать содержательные аспекты процесса управления, его этапы, функции и свойства.

· Рассмотреть сущность линейного программирования для решения задач управления.

· Изучить основные понятия линейной алгебры, применяемые в теории математического программирования.

· Рассмотреть типичные задачи управления запасами и распределения ресурсов.

· Рассмотреть типичные задачи оптимальное распределение инвестиций и выбор оптимального маршрута перевозки грузов.

Объектом изучения в данной курсовой работе является сущность и содержание процесса управления.

Предметом данной курсовой работы является математическое представление процессов управления.

Актуальность проблемы. Для успешного осуществления управленческой деятельности необходимо составить четкое представление о структуре организации, взаимодействии ее составных частей и связях организации с внешней средой, с этой задачей может помочь справится математическое представление информационных процессов на предприятии.

Практическая значимость изучаемой темы заключается в том, что особенностью современного процесса управления является его направленность на эффективное ведение хозяйства в условиях дефицитности ресурсов, постепенное уменьшение регулирования производства административными методами, интенсификацию производства. Эти задачи во многом позволяет решить математическое программирование процессов управления на предприятии.

1. Информационные процессы управления на предприятии

1.1 Понятие и сущность управленческой информации

Процесс управления в наше динамичное время представляет собой сложную работу, которую нельзя выполнять успешно, руководствуясь стандартными для всех сфер деятельности формулами. Управление - это процесс планирования, организации, мотивации и контроля, необходимый для того, чтобы сформулировать и достичь цели организации. Управление - это синтез средств и способов подготовки управленческих решений и организация их исполнения.

Управление неотделимо от процесса производства, является его составной частью, необходимым элементом. Основные задачи управления -- обеспечение наиболее эффективного использования материальных, трудовых, финансовых и информационных ресурсов, создание предпосылок для всемерного повышения эффективности производства. Сложность и динамичность современных технологических процессов, информационных потоков, производственных и хозяйственных связей, значительный объем работ по сбору и обработке информации -- все это обуславливает повышение требований к организации процесса управления на предприятии.

Многогранность процесса управления организацией и наличие огромного количества факторов, определяющих ее функционирование, побудила исследователей к разработке новых подходов к теории организации.

В современной теории можно выделить три основных направления:

- процессный подход

- системный подход

- ситуационный подход

Процессный подход рассматривает управление как непрерывную серию взаимосвязанных управленческих функций. Концепция процессного подхода, применимая ко всем типам организаций, возникла в рамках классической школы. Основными функциями считаются функции планирования, организации, мотивации и контроля. Коммуникации и принятие решений считаются связующими процессами, поскольку они требуются для реализации всех четырех функций.

Системный подход рассматривает организацию как открытую систему, состоящую из нескольких взаимосвязанных подсистем. Основные подсистемы - люди, структура, задачи и технологии, должны быть ориентированы на достижение различных целей в условиях меняющейся внешней среды. Организация получает из нее ресурсы, обрабатывает их и выдает обратно товары и услуги. Теория систем помогает руководителям понять взаимосвязь между отдельными частями организации и между организацией и средой, окружающей ее.

Современный менеджмент основывается на использовании системного анализа и синтеза, на компьютерных технологиях сбора, передачи, обработки и хранения информации. В их контурах развитие получили ситуационный и маркетинговый подходы в управлении организаций. Однако и тот, и другой подходы базируются на интеграции различных концепций. [4, с. 6].

Особенности реализации ситуационного подхода:

1) освоение средств профессионального управления, которые доказали свою эффективность: понимание процесса управления, изучение индивидуального и группового поведения персонала, системного анализа, методов планирования и контроля, а также методов принятия решений;

2) необходимость предвидения вероятных последствий (положительных и отрицательных) от применения конкретных методик или концепций;

3) умение правильно интерпретировать ситуацию, определить, какие факторы являются наиболее важными в данной ситуации и какой вероятный эффект может повлечь за собой изменение одной или нескольких переменных;

4) применение конкретных приемов таким образом, чтобы получить наименьший отрицательный эффект и иметь меньше всего недостатков.

Невозможно определить все ситуационные переменные, влияющие на управление организацией. На практике менеджеры могут рассматривать только те факторы, которые наиболее значимы для организации. Специалисты считают, что существует не более десятка важнейших факторов, которые можно сгруппировать по двум основным классам: внутренние и внешние переменные.

Управление маркетингом, или маркетинговый подход в менеджменте, - это анализ, планирование, претворение в жизнь бизнес-плана и контроль за проведением мероприятий, рассчитанных на установление, укрепление и поддержание выгодных обменов с целевыми покупателями ради достижения определенных задач организации, таких, как получение прибыли, рост объема продаж, увеличение доли рынка. Схема процессов маркетингового подхода управления организацией представлена на рисунке 1.

Рис 1.Схема маркетингового подхода управления организацией

В данное время можно выделить пять концепций.

1. Концепция совершенствования производства утверждает, что потребители будут благожелательны к товарам, которые широко распространены и доступны по цене, а следовательно, руководство организацией должно сосредоточить свои усилия на совершенствовании производства и повышении эффективности системы распределения. [7, с. 12].

2. Концепция совершенствования товара или услуги: потребители будут благосклонны к товарам или услугам, предлагающим наивысшее качество, лучшие эксплуатационные свойства и характеристики, а следовательно, организация должна сосредоточить свою энергию на постоянном совершенствовании товара.

3. Концепция интенсификации коммерческих услуг,: потребители не будут покупать товары организации в достаточных количествах, если она не предпримет значительных усилий в сфере сбыта и стимулирования.

4. Концепция чистого маркетинга: залогом достижения целей организации являются определение нужд и потребностей целевых рынков и обеспечение желаемой удовлетворенности более эффективными и более продуктивными, чем у конкурентов, способами. Сущность его определяется с помощью логической формулы типа «Отыщите потребности и удовлетворите их», «Производите то, что можете продать, вместо того чтобы пытаться продать то, что можете произвести» и т. д. Концепции интенсификации коммерческих усилий и маркетинга часто путают друг с другом.

Коммерческие усилия по сбыту - это забота о нуждах продавца по превращению его товара в наличные деньги, а маркетинг - забота об удовлетворении нужд клиента посредством товара и целого ряда факторов, связанных с созданием, поставкой и, наконец, потреблением этого товара. Сопоставление концепции интенсификации коммерческих усилий и концепции маркетинга на схемах позволяет видеть их различие (см. рис. 2).

информационный управление программирование



Рис 2. Сопоставление концепций управления

5. Концепция социально-этичного маркетинга: задачей организации является установление нужд, потребностей и интересов целевых рынков и обеспечение желаемой удовлетворенности более эффективными и более продуктивными (чем у конкурентов) способами с одновременным сохранением или укреплением благополучия потребителя и общества в целом.

Социально-этичный маркетинг - явление самого последнего времени. Эта концепция порождена сомнениями относительно концепции чистого маркетинга и его соответствия нашему времени с его ухудшением качества окружающей среды, нехваткой природных ресурсов, инфляцией и запущенным состоянием сферы социальных услуг.

Управление в современных условиях может развивается в направлениях[4, с. 65]:

* углубленного изучения психологических аспектов управления;

* компьютеризации принятия управленческих решений на основе системного подхода;

* учета глобализации информационно-экономического пространства.

Задачей для любого предприятия в связи с этим в современных условиях является умение обеспечивать индивидуальную и групповую мотивацию трудового поведения каждого работника при решении проблем на основе максимально стандартизированных приемов и навыков. Выполнять это следует в условиях интеграции хозяйственной деятельности при наличии свободной торговли и движения капиталов, развития международного рынка труда.

Для того, чтобы организация могла добиться своих целей, ее задачи должны быть скоординированы. Поэтому управление является существенно важной деятельностью для организации. Оно представляет собой неотъемлемую часть любой человеческой деятельности, которая в той или иной степени нуждается в координации. В управлении нуждается не только производство, но и государства, города и территории, отрасли, больницы и университеты, церкви и агентства социального обеспечения.

Сущность и содержание процесса управления проявляется в его функциях.

Управление - это интегрированный процесс планирования, организации, координации, мотивации и контроля, необходимый для достижения целей организации.

Самой очевидной характеристикой организаций является разделение труда. Как только в организации происходит горизонтальное и вертикальное разделение труда, появляется необходимость в управлении.

Итак, в организации существуют две внутренние органичные формы разделения труда. Первая - это разделение труда на компоненты, составляющие части общей деятельности, т. е. горизонтальное разделение труда. Второе, называемое вертикальным, отделяет работу по координированию действий от самих действий. Деятельность по координированию работы других людей и составляет сущность управления.

Процессный подход к управлению позволяет интегрировать все виды управленческой деятельности в единую логически взаимосвязанную цепочку. Такой подход позволяет представить управление как процесс реализации взаимосвязанных функций, изменяющихся в пространстве и во времени, целью которого является решение проблем и задач организации.

Процесс управления есть информационный процесс, т. е. процесс формирования, восприятия, передачи, обработки и хранения информации. Следует особо отметить, что управление не сводится к информации, но и немыслимо вне информации. Указанные пять стадий возникновения, прохождения и использования информации реализуются в ряде действий руководителей и исполнителей в соответствии с их должностными обязанностями.

Главной же задачей людей, занятых управлением, является эффективное использование и координация всех ресурсов организации (денег, зданий, оборудования, материалов, труда, информации) для достижения целей.

Продуктивность фирмы означает тот баланс между факторами производства (материальными, финансовыми, человеческими, информационными и прочее), который дает наибольший выпуск при наименьших усилиях. Поэтому повышение продуктивности - одна из главных задач менеджеров.

Управление идентифицируется с органом или аппаратом управления. Это означает, что без управления любая организация как целостное образование не может существовать и работать эффективно. Поэтому аппарат управления является составной частью любой организации и ассоциируется с понятием её менеджмента.

1.2 Содержательные аспекты процесса управления, его этапы, функции и свойства

Выполнение функций управления всегда требует определенных затрат времени и сил, в результате которых управляемый объект приводится в заданное или желаемое состояние. Это и составляет основное содержание понятия "процесс управления". Чаще всего под ним понимается определенная совокупность управленческих действий, которые логично связываются друг с другом, чтобы обеспечить достижение поставленных целей путем преобразования ресурсов на "входе" в продукцию или услуги на "выходе" системы [27].

В этом определении подчеркивается целенаправленный характер процесса, осуществляемого аппаратом управления организации, а также его связь с функциями, целями и необходимыми для их реализации ресурсами. Наряду с этим в литературе широко используется и другое определение процесса управления, в котором в качестве его ключевого момента рассматриваются не функции, а управленческое решение, на разработку, принятие и выполнение которого направляются усилия и организационная деятельность профессиональных управляющих. Процесс управления представляется как совокупность циклических действий, связанных с выявлением проблем, поиском и организацией выполнения принятых решений.

Начальный импульс процессу принятия решений задает информация о состоянии контролируемых параметров управляемого объекта, а воздействие осуществляется после выработки и принятия соответствующего решения, которое в виде той или иной информации (команды, приказа, распоряжения, плана и т.д.) подается на "вход" управляемого объекта. Процесс принятия управленческих решений носит циклический характер, начинается с обнаружения несоответствия параметров плановым заданиям или нормативам и заканчивается принятием и реализацией решений, которые должны это несоответствие ликвидировать. В центре этой циклически осуществляемой деятельности находятся три элемента процесса: проблема или неиспользованная возможность, решение и люди, участвующие в процессе на всех его этапах [19, с. 87].

В системе управления производством и принятия решений основным и ведущим ее «элементом» являются процессы управления. Процесс управления по сравнению с другими элементами системы управления в значительной мере зависит от человеческого фактора, что затрудняет его формализацию. Как всякое реальное функционирование, процесс управления наиболее полно и развернуто характеризует систему управления в целом. В то же время он является наиболее сложным для анализа.

Характер содержания процесса управления определяется характером решаемых задач. В зависимости от этого различают 6 основных аспектов содержания управления, которые представлены на рисунке 4.

Рис 4. Характер содержания процесса управления

Методологическое содержание управления, как один из аспектов процесса управления, предполагает представление процесса управления в виде последовательности четырех его этапов: определения цели, оценки ситуации, определения проблемы и отыскания решения управленческого решения (см. рис. 5).

Рис 5. Этапы процесса управления

Управленческое решение как заключительный этап процесса управления представляет собой нахождение путей разрешения проблемы и организационную работу по практическому ее разрешению в управляемой системе. Решение является заключительным этапом процесса управления, его соединением с процессом производства, импульсом воздействия управляющей системы на управляемую.

Процесс управления имеет экономическое содержание, которое обусловлено тем, что в процессе управления находит свое выражение использование ресурсов производства -- от оценки их наличия до превращения в продукт. Экономическое содержание процесса управления проявляется при выполнении следующих этапов (рис. 6):

Рис 6.Экономическое содержание процесса управления

В свою очередь, социальное содержание процесса управления раскрывается ролью человека в его осуществлении. Каждый этап этого процесса (целеполагание, оценка ситуации, определение проблемы, принятие управленческого решения) предполагает непременное участие человека.

Организационное содержание процесса управления проявляется в последовательности использования организационных рычагов воздействия этапов (рис. 7)[1, с. 34]:

· регламентирования (регламент -- совокупность правил, положений, определяющих порядок выполнения работ);

· нормирования -- показателя, характеризующего относительную величину (степень) использования орудий и предметов труда, живого труда, денежных средств и другое, их расходования на единицу продукции, площади, веса и т. п.;

· инструктирования -- процесса разъяснения порядка и способа выполнения какой-либо работы или действия;

· указания на меру ответственности за невыполнение или неправильное выполнение порученной работы.

Рисунок 7. Организационное содержание процесса управления

Функциональное содержание процесса управления проявляется в масштабной последовательности и предпочтительности реализации основных функций управления. Можно выделить следующие формы проявления целенаправленного воздействия на коллективы людей (рис. 8):

· планирование, прогнозирование -- выработка и постановка целей и задач в сфере управления производством, а также определение путей и средств реализации планов для достижения поставленных целей;

· организация -- создание новых и упорядочение функционирующих организационных структур управления как элементы процесса реализации планов;

· координация, регулирование -- обеспечение необходимой согласованности действий людей как элемент процесса реализации намеченных планов;

· стимулирование, активизация--побуждение людей к действию, предусматривающее обеспечение повышения эффективности деятельности системы управления как элемент процесса реализации планов;

· контроль, анализ, учет -- систематическое наблюдение за деятельностью людей для выявления отклонений от установленных норм, правил и требований в процессе реализации планов [16, с.154].

Рис8. Функциональное содержание процесса управления

Информационное содержание процесса управления проявляется в последовательности выполнения работ в процессе управления на следующих этапах (рис. 9): поиск информации; комплектование информации; обработка информации; передача информации.

Рис 9. Информационное содержание процесса управления

Понимание свойств процесса управления имеет большое значение в успешном решении всех проблем его совершенствования, повышения эффективности управления предприятием.

Основным условием деятельности современной организации в условиях рынка является управление. Управление представляет собой функцию специфического органа организации, которая обеспечивает направление деятельности всех без исключения элементов организации, удерживает в допустимых пределах отклонение отдельных частей и организации в целом от поставленных целей.

В процессе управления происходит замер контролируемых параметров в структурных единицах организации, сравнение их с существующими нормами и целями организации, а затем осуществляется принятие управленческого решения в целях приведения параметров в соответствие с нормой. Такая схема управления осуществляется во всех современных организациях.

Системный подход к построению управления организацией можно охарактеризовать как специфичный способ мышления и анализа проблем организации и управления ею. Согласно ему организация воспринимается как система взаимосвязанных элементов, имеющих общую цель - обеспечить свое существование и развитие в окружающей среде.

Таким образом, процесс управления - это деятельность объединенных в определенную систему субъектов управления, направленная на достижение целей фирмы путем реализации определенных функций с использованием методов управления.

Как правило, процессы управления фирмой очень многообразны, многомерны и имеют сложную структуру (состоят из большого числа стадий и фаз). В общем смысле процесс управления состоит из общих функций управления, которые объединяются в циклы управления и служат для решения основных задач фирмы, в том числе и для достижения наивысшей эффективности производства[9, с. 26].

2. Математическое моделирование информационных процессов

2.1 Линейное программирование

Развитие современного общества характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования и хозяйственного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству экономической жизнью общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства. Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики. В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение в экономических исследованиях и планировании. Этому способствует развитие таких разделов математики, как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники. Уже накоплен достаточный опыт постановки и решения экономических задач с помощью математических методов. Особенно успешно развиваются методы оптимального планирования, которые и составляют сущность математического программирования.

Одной из основных становится задача создания единой системы оптимального планирования и управления народным хозяйством на базе широкого применения математических методов и электронно-вычислительной техники в экономике.

Линейное программирование является частным случаем математического программирования. Одновременно оно - основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования.

Математическое программирование, математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). Математическое программирование -- раздел науки об исследовании операций , охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи. Задачи Математическое программирование находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования. Наименование «Математическое программирование» связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий. Математическая формулировка задачи Математическое программирование: минимизировать скалярную функцию j(x) векторного аргумента х на множестве

X = {x: g_i(x) і 0, h_i(x) = 0, I = 1, 2, ..., k},

где g_i(x) и h_i(x) -- также скалярные функции; функцию j(x) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X -- допустимым множеством, решение х* задачи Математическое программирование -- оптимальной точкой (вектором). В Математическое программирование принято выделять следующие разделы. Линейное программирование: целевая функция j(x) и ограничения g_i(x) и h_i (х) линейны; выпуклое программирование: целевая функция и допустимое множество выпуклы; квадратичное программирование: целевая функция квадратична и выпукла, допустимое множество определяется линейными равенствами и неравенствами; дискретное программирование: решение ищется лишь в дискретных, например целочисленных, точках множества X; стохастическое программирование: в отличие от детерминированных задач, здесь входная информация носит элементы неопределённости; например, в стохастических задачах о минимизации линейной функции при линейных ограничениях , i = 1, 2, …, m, либо все величины c_j, a_ij, b_i, либо часть из них случайны. Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи -- задачи, для которых указанное свойство не выполняется. В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна -- Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x*: для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть

, X = {x: g_i(x) і 0, i = 1, 2, ..., k},

необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* = (у*₁, у*₂, ..., у*_k), чтобы пара точек х*, у* образовывала седло функции Лагранжа

Последнее означает, что L(x*, y) Ј L(x*, y*) Ј L(x, у*) для любых х и всех у і 0. Если ограничения g_i(x) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве. Если функции j(x) и g_i(x) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку , j = 1, 2, …, n; ; ; i = 1, 2, …, k; , y_i і 0, i = 1, 2, …, k. Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств. На основе теоремы Куна -- Таккера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа. В Математическое программирование одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке x^k О X выбирается направление спуска s^k, то есть одно из направлений, по которому функция j(x) убывает, и вычисляется x^k+1 = p(x^k + a_ks^k), где p(x^k + a_ks^k) означает проекцию точки x^k + a_ks^k на множество X:

,

число a_k > 0 выбирается при этом так, чтобы j(x^{k +1}) < j(x^k). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда s^k = - grad j(x^k). В Математическое программирование доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {х^k}, построенная методом проекции градиента, такова, что стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии. Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач Математическое программирование является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи математическое программирование, связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта.-- так называемому процессу регуляризации[14, с. 176].

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

Математическая формулировка задачи линейного программирования

Нужно максимизировать при условиях при i = 0, 1, 2, . . . , m .

Иногда на x_i также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя ее во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции f).

Такую задачу называют "основной" или "стандартной" в линейном программировании.

Дана линейная функция

Z=С₁х₁+С₂х₂+...+С_Nx_N (1.1)

и система линейных ограничений

a₁₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_1NХ_N = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2NХ_N = b₂

. . . . . . . . . . . . . . .

a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_iNХ_N = b_i (1.2) . . . . . . . . . . . . . . .

a_M1x₁ + a_M2x₂ + ... + a_MNХ_N = b_M

x_j 0 (j = 1, 2, ... ,n) (1.3) линейное программирование

где а_ij, b_j и С_j - заданные постоянные величины.

Найти такие неотрицательные значения х₁, х₂, ..., х_n, которые удовлетворяют системе ограничений (1.2) и доставляют линейной функции (1.1) минимальное значение.

Общая задача имеет несколько форм записи.

Векторная форма записи. Минимизировать линейную функцию Z = СХ при ограничениях

А₁х₁ + А₂x₂ + ... + А_Nx_N = А_о, X₀ (1.4)

где С = (с₁, с₂, ..., с_N); Х = (х₁, х₂, ..., х_N); СХ - скалярное произведение; векторы A₁ = A₂ = ,..., A_N состоят соответственно из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.

Матричная форма записи. Минимизировать линейную функцию, Z = СХ при ограничениях

АХ = А₀Х₀,

где С = (с₁, с₂, ..., с_N) - матрица-cтрока; А = (а_ij) - матрица системы; Х =(x_ij)- матрица-столбец, А₀ = (а_i) матрица-столбец

Запись с помощью знаков суммирования. Минимизировать линейную функцию Z = С_jх_j при ограничениях

0пределение 1. Планом или допустимым решением задачи линейного программирования называется Х = (х₁, х₂, ..., х_N), удовлетворяющий условиям (1.2) и (1.3).

0пределение 2. План Х = (х₁, х₂, ..., х_N) называется опорным, если векторы А (i = 1, 2, ..., N), входящие в разложение (1.4) с положительными коэффициентами х , являются линейно независимыми[24, с. 99].

2.2 Основные понятия линейной алгебры, применяемые в теории математического программирования

Кратко напомним некоторые фундаментальные определения и теоремы линейной алгебры и выпуклого анализа, которые широко применяются при решении проблем как линейного, так и нелинейного программирования. Фундаментальным понятием линейной алгебры является линейное (вещественное) пространство. Под ним подразумевается множество некоторых элементов (именуемых векторами или точками), для которых заданы операции сложения и умножения на вещественное число (скаляр), причем элементы, являющиеся результатом выполнения операций, также в соответствии с определением должны принадлежать исходному пространству. Частными случаями линейных пространств являются вещественная прямая, плоскость, геометрическое трехмерное пространство.

Вектор l₁a¹ + l₂a² + …+ l_ma^m называется линейной комбинацией векторов а¹ а²,..., а^m с коэффициентами l₁, l_2, l_m,

Система векторов линейного пространства а¹ а²,..., а^m называется линейно зависимой, если существуют такие числа l₁, l_2, l_m не равные одновременно нулю, что их линейная комбинация l₁a¹ + l₂a² + …+ l_ma^m равняется нулевому вектору (вектору, все компоненты которого равны нулю). В противном случае систему а¹, а²,..., а^m называют линейно независимой, т. е. линейная комбинация данных векторов может быть равна нулевому вектору только при нулевых коэффициентах l₁, l_2, …, l_m

Максимально возможное количество векторов, которые могут образовывать линейно независимую систему в данном линейном пространстве, называют размерностью пространства, а любую систему линейно независимых векторов в количестве, равном размерности, - базисом пространства.

Линейное пространство обычно обозначают как Rⁿ, где n - его размерность.

Любое подмножество данного линейного пространства, которое само обладает свойствами линейного пространства, называется линейным подпространством. Множество Н, получаемое сдвигом некоторого линейного подпространства L Є Rⁿ на вектор a Є Rⁿ: H=L+a, называется аффинным множеством (пространством). Если фундаментальным свойством любого линейного пространства или подпространства является принадлежность ему нулевого вектора, то для аффинного множества это не всегда так. На плоскости примером подпространства является прямая, проходящая через начало координат, а аффинного множества - любая прямая на плоскости. Характеристическим свойством аффинного множества является принадлежность ему любой прямой, соединяющей две любые его точки. Размерность аффинного множества совпадает с размерностью того линейного подпространства, сдвигом которого оно получено.

Если рассматривается некоторое линейное пространство Rⁿ, то принадлежащие ему аффинные множества размерности 1 называются прямыми, а размерности (n-1) - гиперплоскостями. Так, обычная плоскость является гиперплоскостью для трехмерного геометрического пространства R³, а прямая - гиперплоскостью для плоскости R². Всякая гиперплоскость делит линейное пространство на два полупространства.

Множество V векторов (точек) линейного пространства Rⁿ называется выпуклым, если оно содержит отрезок прямой, соединяющей две его любые точки, или, другими словами, из того, что a ЄV и bЄV , следует, что х = (1- l) х а+ l х b Є V , где 0 ? l ? 1.

Линейная комбинация векторов а¹, а²... а^m называется выпуклой, если l_i ?0, i Є1:m и

Множество, содержащее все возможные выпуклые комбинации точек некоторого множества М, называют выпуклой оболочкой данного множества. Можно показать, что выпуклая оболочка множества М является наименьшим выпуклым множеством, содержащим М.

Выпуклая оболочка конечного множества точек называется выпуклым многогранником, а непустое пересечение конечного числа замкнутых полупространств - многогранным выпуклым множеством. В отличие от выпуклого многогранника последнее может быть неограниченным.

Точка v выпуклого множества V называется его угловой (крайней) точкой, если она не является внутренней точкой ни для какого отрезка, концы которого принадлежат множеству V. Угловые точки выпуклого многогранника являются его вершинами, а сам он -- выпуклой оболочкой своих вершин. Множество К называется конусом с вершиной в точке x₀, если x₀ Є К , и из того, что некоторая точка х принадлежит К ( х Є К ), следует, что в К содержится и луч, начинающийся в х₀ и проходящий через х, или выпуклая оболочка конечного множества лучей, исходящих из одной точки, называется многогранным выпуклым конусом с вершиной в данной точке.

Для понимания полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = 3.

Наиболее наглядна эта интерпретация для случая n = 2, т.е. для случая двух переменных x₁ и x₂. Пусть нам задана задача линейного программирования в стандартной форме.

Возьмём на плоскости декартову систему координат и каждой паре чисел (x₁,x₂)поставим в соответствие точку на этой плоскости. Обратим прежде всего внимание на ограничения x₁ ?0 и x₂ ? 0. Они из всей плоскости вырезают лишь её первую четверть (см. рис. 1). Рассмотрим теперь, какие области соответствуют неравенствам вида a₁ x₁ + a₂ x₂ ? b. Сначала рассмотрим область, соответствующую равенству a₁ x₁ + a₂ x₂ = b. Как Вы, конечно, знаете, это прямая линия. Строить её проще всего по двум точкам. Пусть b ? 0. Если взять x₁ = 0, то получится x₂ = b/a₂. Если взять x₂ = 0, то получится x₁ = b/a₁. Таким образом, на прямой лежат две точки (0, b/a₂) и (b/a₁, 0). Дальше через эти две точки можно по линейке провести прямую линию. Если же b=0, то на прямой лежит точка (0,0). Чтобы найти другую точку, можно взять любое отличное от нуля значение x₁ и вычислить соответствующее ему значение x₂.

Эта построенная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. В одной её части a₁x₁ + a₂x₂ < b, а в другой наоборот a₁x₁ + a₂x₂ > b. Узнать, в какой полуплоскости, проще всего посмотрев, какому неравенству удовлетворяет какая-то точка плоскости, например, начало координат, т.е. точка (0,0).

Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме записи:

max f(X) = с₁х₁ + с₂х₂ + ... + с_пх_п (*)

при ограничениях:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n ? b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nх_n ? b₂

……………………………..

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + а_mnх_n ? b_m

х_j ? 0, j = 1, 2, …, n.

Рассмотрим эту задачу на плоскости, т.е. при п = 2. Пусть система неравенств (**), (***) совместна (имеет хотя бы одно решение):

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ ? b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ ? b₂

…………..

а_m1х₁ + а_m2х₂ ? b_m

x₁ ? 0; х₂ ? 0.

Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой а_i1х₁ + а_i2х₂ ? b_i i = 1, m. Условия неотрицательности определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми x₁ = 0; х₂ = 0.. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых составляют решение данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, замкнутый многоугольник, неограниченная многоугольная область.

Если в системе ограничений (**) - (***) n = 3, то каждое неравенство геометрически представляет полупространство трехмерного пространства, граничная плоскость которого а_i1х₁ + а_i2х₂ + а_i3х₁ ? b_i, а условия неотрицательности - полупространства с граничными плоскостями соответственно x_i = 0 (i = 1, 2, 3). Если система ограничений совместна, то эти полупространства, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют в трехмерном пространстве общую часть, которая называется многогранником решений.

Пусть в системе (**) - (***) п > 3, тогда каждое неравенство определяет полупространство n-мерного пространства с граничной гиперплоскостью а_i1х₁ + а_i2х₂ + … + а_inх_n ? b_i i = 1, т , а условия неотрицательности -полупространства с граничными гиперплоскостями x_j = 0, j = 1, n.

Таким образом, геометрически задача линейного программирования представляет собой отыскание такой точки многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции минимальное значение, причем допустимыми решениями служат все точки многогранника решений.

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Симплекс метод - метод линейного программирования, который реализует рациональный перебор базисных допустимых решений, в виде конечного итеративного процесса, необходимо улучшающего значение целевой функции на каждом шаге.

Применение симплекс-метода для задачи линейного программирования предполагает предварительное приведение ее формальной постановки к канонической форме с n неотрицательными переменными: (X₁, ..., X_n), где требуется минимизация линейной целевой функции при m линейных ограничениях типа равенств. Среди переменных задачи выбирается начальный базис из m переменных, для определенности (X₁, ..., X_m), которые должны иметь неотрицательные значения, когда остальные (n-m) свободные переменные равны 0. Целевая функция и ограничения равенства преобразуются к диагональной форме относительно базисных переменных, переменных, где каждая базисная переменная входит только в одно уравнение с коэффициентом [10, с. 196].

Симплекс-таблица

	1	X1	X2	...	Xm	Xm+1	...	Xn
X0	A0,0	0	0	...	0	A0,m+1	...	A0,n
X1	A1,0	1	0	...	0	A1,m+1	...	A1,n
X2	A2,0	0	1	...	0	A2,m+1	...	A2,n
...	...	...	...	...	...	...	...	...
Xm	Am,0	0	0	...	1	Am,m+1	...	Am,n

Верхняя строка симплекс-таблицы представляет целевую функцию задачи. Каждая строка симплекс-таблицы, кроме первой, соответствует определенному ограничению-равенству задачи. Свободные члены ограничений составляют крайний левый столбец таблицы. Слева от таблицы записаны текущие базисные переменные (X₁, ..., X_m). Сверху от таблицы приведен набор всех переменных задачи, где X_m+1, ..., X_n - свободные переменные задачи.

На начальном шаге алгоритма симплекс-метода должно быть выбрано базисное допустимое решение (X₁, ..., X_m) >= 0 при X_j = 0 (j = m+1, ..., n), следовательно, все свободные члены ограничений A_i,0 >= 0 (i = 1, ..., m). Когда это условие выполнено, симплекс-таблица называется прямо-допустимой, так как в этом случае базисные переменные, равные A_i,0, определяют допустимое решение прямой задачи линейного программирования. Если все коэффициенты целевой функции A_0,j >= 0 (j = 1, ..., m), то симплекс-таблица называется двойственно-допустимой, поскольку соответствующее решение является допустимым для двойственной задачи линейного программирования. Если симплекс-таблица является одновременно прямо и двойственно допустимой, т.е. одновременно все A_i,0 >= 0 и A_0,j >= 0, то решение оптимально. Действительно, поскольку допустимыми являются лишь неотрицательные значения управляемых параметров, то изменение целевой функции за счет вариации свободных переменных, через которые она выражена, возможно только в сторону увеличения, т.e. будет ухудшаться. Если среди ее коэффициентов имеются A_0,j < 0, то значение целевой функции еще можно уменьшить (т.e. улучшить), увеличивая значение любой свободной переменной X_j с отрицательным коэффициентом A_0,j при побочном уменьшении базисных переменных, чтобы оставались справедливы ограничения задачи. Теоретически можно использовать любую свободную переменную X_j с A_0,j < 0, но на практике обычно действуют в соответствии со стратегией наискорейшего спуска, выбирая минимальный элемент A_0,p < 0 из всех отрицательных A_0,j <&nbsp0:

A_0,p = min A_0,j < 0.

Столбец p симплекс-таблицы, соответствующий выбранному коэффициенту A_0,p < 0, называется ведущим столбцом. Свободная переменная ведущего столбца должна быть введена в базис вместо одной из текущих базисных переменных. Очевидно, из базиса следует исключить такую переменную X_q, которая раньше других обращается в нуль при увеличении переменной X_p ведущего столбца. Её индекс легко определить, если среди положительных элементов ведущего столбца p найти элемент, минимизирующий отношение (A_i,0 / A_i,p):

A_q,0 A_i,0

= min , i = 1,...,m.

A_q,p i A_i,p

Элемент A_q,p называется ведущим элементом, cтрока q симплекс-таблицы, содержащая ведущий элемент, называется, соответственно, ведущей строкой. Переменная ведущей строки X_q заменяется в базисе переменной ведущего столбца X_p и становится свободной переменной с значением 0, в то время как новая базисная переменная X_p достигнет максимально возможного значения, равного: max X_p = ( A_q,0 / A_q,p). После указанного взаимообразного обмена переменными X_p и X_q между наборами свободных и базисных переменных нужно модифицировать исходную каноническую модель задачи путем приведения ее к диагональной форме относительно нового множества базисных переменных. Для указанного преобразования можно формально использовать процедуру исключения Гаусса, которая, как известно, состоит из двух элементарных операций, применяемых к системе алгебраических уравнений ( в данном случае ограничений - равенств):

· умножение уравнения E₁(X) = 0 на константу K₁ и замена уравнения E₁(X) = 0 уравнением K₁*E₁(X) = 0. Сложение уравнений E₁(X) = 0 и E₂(X) = 0 c последующей заменой уравнения E₂(X) = 0 уравнением E₁(X) + E₂(X) = 0.

Исключения Гаусса позволяют привести систему уравнений к диагональной форме относительно желаемого множества переменных. В данном случае исключение Гаусса применяется так, чтобы все элементы симплекс-таблицы в ведущем столбце, кроме ведущего элемента A_q,p, стали нулевыми, а ведущий элемент стал равным единице: