A_i,p = 0, если i не равно q

и

A_i,p = 1, если i = q.

Указанные шаги симплекс-метода повторяются, пока не будет получена симплекс-таблица, которая одновременно является прямо и двойственно допустимой. Если положит в такой симплекс-таблице текущие базисные переменные равными A_i,0, а свободные - нулю, то будет получено оптимальное решение. Практика применения симплекс метода показала, что число итераций, требуемых для решения задачи линейного программирования обычно колеблется от 2m до 3m, хотя для некоторых специально построенных задач вычисления по правилам симплекс метода превращаются в прямой перебор базисных допустимых решений[2, с. 54].

Ограничения задачи вырезают на плоскости некоторый многоугольник. Пусть при некотором L прямая с₁х₁+с₂х₂ = L пересекает допустимую область. Это пересечение дает какие-то значения переменных (х₁,х₂), которые являются планами. Увеличивая L мы начнем двигать нашу прямую и её пересечение с допустимой областью будет изменяться (см. рис. 7). В конце концов эта прямая выйдет на границу допустимой области ? как правило, это будет одна из вершин многоугольника. Дальнейшее увеличение L приведёт к тому, что пересечение прямой с₁х₁+с₂х₂ = L с допустимой областью будет пустым. Поэтому то положение прямой с₁х₁+с₂х₂ = L, при котором она вышла на граничную точку допустимой области, и даст решение задачи, а соответствующее значение L и будет оптимальным значением целевой функции.

3. Использование экономико - математических методов в решении типичных задач предприятия

В современной экономике математика выступает в качестве необходимого инструмента, с помощью которого предприниматель может выбрать наилучший вариант действий из многих возможных. Соединение экономики бизнеса с математическими расчетами получило название экономико-математических методов. При этом для построения математической модели решения любой экономической задачи существует свой математический метод.

3.1 Задачи управления запасами и распределения ресурсов

Фирмы часто делают различные запасы. Хранятся сырье, заготовки, готовая продукция, предназначенная для продажи. Запасов не должно быть ни слишком много, ни слишком мало. В первом случае возникает необходимость неоправданных затрат на хранение, на амортизацию товара. Во втором случае может оказаться так, что на складе не будет нужного товара. Кроме того, малое количество запасов подразумевает их частое пополнение, что также требует затрат.

Задача управления запасами состоит в том, чтобы избежать обеих крайностей и сделать общие затраты по возможности меньше. Отметим, что в целом эта область науки управления развита довольно хорошо, разработаны многочисленные модели с применением различных математических методов. Мы рассмотрим несколько простейших детерминированных моделей управления запасами. [15, с. 87].

Основная модель

Важнейшую роль в наших рассмотрениях будет играть функция изменения запаса. Это связь между количеством единиц товара на складе (обозначим его через Q) и временем t. Будем считать, что имеется один вид товара. Если на товар есть спрос, то функция изменения запаса Q = Q(t) убывает. Если товар, наоборот, завозят на склад, то эта функция возрастает. Мы будем считать возможным мгновенное пополнение запаса. Затраты, связанные с запасами, можно разделить на три части.

1. Стоимость товара.

2. Организационные издержки. Это расходы, связанные с оформлением товара, его доставкой, разгрузкой и т. д.

3. Издержки на хранение товара. Это затраты на аренду склада, амортизацию в процессе хранения и т. д.

Рассмотрим основные величины и предположения относительно них, принятые в рамках основной модели. Мы будем в основном использовать в качестве единицы измерения денежных средств условные единицы (у. е.), это могут быть рубли, доллары и т. п.; в качестве единицы измерения времени - год, хотя можно было бы взять месяц, квартал и т. п.

1. Цена единицы товара - с у. е. Цена постоянна, рассматривается один вид товара.

2. Интенсивность спроса - d единиц товара в год. Будем считать, что спрос постоянный и непрерывный.

3. Организационные издержки - s у. е. за одну партию товара. Будем считать, что организационные издержки не зависят от размера поставки, т. е. от количества единиц товара в одной партии.

4. Издержки на хранение запаса - h у. е. на единицу товара в год. Будем считать эти издержки постоянными.

5. Размер одной партии товара постоянен - q единиц. Партия поступает мгновенно в тот момент, когда возникает дефицит, т. е. когда запас на складе становится равным нулю. [19, с.100].

При сделанных предположениях график функции изменения запаса будет таким, как показано на рис. 4.1: он состоит из повторяющихся циклов запаса между двумя соседними дефицитами. Вертикальные отрезки отвечают мгновенному пополнению запаса.

Параметры с, d, s, h считаются заданными. Задача управления запасами состоит в выборе параметра q таким образом, чтобы минимизировать годовые затраты. Для решения сформулированной задачи надо прежде всего выразить эти затраты через параметры с, d, s, h, q.

1. Поскольку годовая интенсивность спроса равна d, а цена единицы товара - с, то общая стоимость товара в год равна cd.

2. Поскольку в одной партии q единиц товара, а годовой спрос равен d, то число поставок равно . В течение года организационные издержки равны: .

3. Средний уровень запаса равен отношению площади под графиком за цикл к продолжительности цикла. Этот средний уровень равен q/2 (на рис. 4.1 обозначен пунктиром). Поскольку годовые издержки на хранение единицы товара равны h, то общие издержки на хранение составляю: .

Рис. 4.1. График функции изменения запаса основной модели

Таким образом, общие издержки С вычисляются по формуле:

.

Рис. 4.2. График функции общих издержек

Еще раз напомним, что в рамках модели параметры с, d, s, h считаются заданными и требуется найти такое число q*, чтобы функция C = С(q) принимала наименьшее значение на множестве q > 0 именно в точке q*.

График функции С = C(q) показан на рис. 4.2[8, с. 96].

Для нахождения точки q* минимума функции С = C(q) найдем ее производную (с, d, s, h - фиксированные числа):

.

Приравнивая C'(q) к нулю, получаем:

.

Отсюда можно найти q*:

.

Полученная формула называется формулой оптимального запаса, или формулой Харриса (Harris).

Пример 1. Пусть интенсивность равномерного спроса составляет 1000 единиц товара в год. Организационные издержки равны 10 УЕ, издержки на хранение - 4 УЕ на единицу товара в год, цена товара - 5 УЕ. Определить оптимальный размер партии в предположении, что система подчиняется основной модели.

Решение. Имеем: d = 1000, s = 10, h = 4, c = 5.

Общие затраты равны:

.

Тогда , а оптимальный размер поставки q* является решением уравнения , т. е. .

Замечание. Найдя оптимальный размер заказа, можно определить оптимальное число поставок за год n* и соответствующую продолжительность цикла изменения запаса t*:

, дней.

Задача распределение ресурсов

Постановка задачи распределения ресурсов.

1. Организационная система (оргсистема, организация) - это система, включающая технику и коллективы людей, интересы которых существенно связаны с ее функционированием. Примерами здесь могут служить семья, фирма, университет, город, страна. Каждая оргсистема состоит из элементов (которые в свою очередь тоже могут представлять собой системы).

Существенными являются следующие два обстоятельства. С одной стороны, система существует для достижения каких-либо определенных целей, т. е. можно говорить об интересах системы в целом. С другой стороны, элементы системы зачастую преследуют собственные интересы, вообще говоря, не совпадающие с интересами системы в целом. Все это дает основание формализовать некоторые аспекты функционирования оргсистем в терминах теории игр. [22, с.133].

В данном разделе мы будем рассматривать простейшую двухуровневую модельную оргсистему, состоящую из Центра и некоторого числа однотипных Элементов. Управление такой системой мы рассмотрим на примере задачи распределения ресурсов. Суть этой задачи состоит в следующем. Элементы (в дальнейшем мы будем называть их Потребителями) представляют Центру заявки на получение некоторого ресурса (для простоты рассматривается один вид ресурса). Центр на основании этих заявок распределяет имеющийся в его распоряжении ресурс (который предполагается делимым).

Если все заявки могут быть полностью удовлетворены, то Центру, по-видимому, так и следует поступить - выделить каждому Потребителю столько, сколько он просит.

Существенно сложнее ситуация дефицита, когда суммарный объем заявок превосходит имеющийся в распоряжении Центра ресурс. В этом случае задача распределения ресурса становится нетривиальной. Универсальных рекомендаций здесь не существует. Ниже будут рассмотрены некоторые способы, или механизмы, распределения ресурсов, каждый из которых обладает определенными достоинствами и недостатками.

Проведем формализацию вышеописанной задачи. Имеется n Потребителей, каждый из которых сообщает Центру число s_i (i = 1, 2,..., n) - заявку (рис. 5.1), а также, быть может, еще некоторую информацию (на рис. 5.1 обозначено пунктирной стрелкой). Далее Центр на основании заявок Потребителей, имеющегося в его распоряжении ресурса R и дополнительной информации о Потребителях вычисляет по некоторому правилу числа x_i (i = 1, 2, ..., n) - объем ресурса, выделяемый i-му Потребителю.

В случае (отсутствие дефицита) естественным решением Центра является следующее: x₁ = s₁, x₂ = s₂, …, x_n = s_n (каждый Потребитель получает столько, сколько просил).

Рис. 5.1. Двухуровневая организационная система

В дальнейшем мы будем считать выполненным неравенство:

(суммарная заявка Потребителей превосходит ресурс Центра).

Отметим следующее важное обстоятельство. Потребители формируют свои заявки на основании собственных реальных потребностей r_i, которые им известны, но неизвестны Центру. Можно сказать, что числа s_i являются стратегиями Потребителей как участников иерархической игры. В свою очередь, стратегией Центра являются числа х_i. [13, с.91].

3.2 Задачи оптимальное распределение инвестиций и выбор оптимального маршрута перевозки грузов

Требуется распределить имеющиеся В единиц средств среди n предприятий, доход g_i(x_i) от которых, в зависимости от количества вложенных средств х_i, определяется матрицей (nхn), приведенной в табл. 6.1, так, чтобы суммарный доход со всех предприятий был бы максимальным.

Таблица 6.1

Запишем математическую модель задачи.

Определить X* = (х^*₁, х^*₂, …, х^*_k, …, х^*_n), удовлетворяющий условиям

и обеспечивающий максимум целевой функции

Очевидно, эта задача может быть решена простым перебором всех возможных вариантов распределения В единиц средств по n предприятиям, например на сетевой модели. Однако решим ее более эффективным методом, который заключается в замене сложной многовариантной задачи многократным решением простых задач с малым количеством исследуемых вариантов. [3, с. 59].

С этой целью разобьем процесс оптимизации на n шагов и будем на каждом k-м шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только предприятий с k-го по n-е. При этом естественно считать, что в остальные предприятия (с первого по (k-1)-е тоже вкладываются средства, и поэтому на инвестирование предприятий с k-го по n-е остаются не все средства, а некоторая меньшая сумма С_k В. Эта величина и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на k-м шаге назовем величину х_k средств, вкладываемых в k-e предприятие. В качестве функции Беллмана F_k(C_k) на k-м шаге можно выбрать максимально возможный доход, который можно получить с предприятий с k-го по n-е при условии, что на их инвестирование осталось С_k средств. Очевидно, что при вложении в k-e предприятие х_k средств будет получена прибыль g_k(x_k), а система к (k+1)-му шагу перейдет в состояние S_k+1 и, следовательно, на инвестирование предприятий с (k+1)-го до n-го останется С_k+1 = (С_k - х_k) средств.

Таким образом, на первом шаге условной оптимизации при k = n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-го предприятия. При этом на его инвестирование может остаться количество средств С_n, 0 С_n В. Чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия, можно вложить в него все эти средства, т. е. F_n(С_n) = g_n(С_n) и х_n = С_n.

На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана необходимо использовать результаты предыдущего шага. Пусть на k-м шаге для инвестирования предприятий с k-го по n-е осталось С_k средств (0 С_k В). Тогда от вложения в k-e предприятие х_k средств будет получена прибыль g_k(C_k), а на инвестирование остальных предприятий (с k-го по n-е) останется С_k+1 = (С_k - х_k) средств. Максимально возможный доход, который может быть получен с предприятий (с k-го по n-е), будет равен:

,

k = 1, …, n (6.4)

Максимум выражения (6.4) достигается на некотором значении х^*_k, которое является оптимальным управлением на k-м шаге для состояния системы S_k. Действуя таким образом, можно определить функции Беллмана и оптимальные управления до шага k = 1.

Значение функции Беллмана F₁(c₁) представляет собой максимально возможный доход со всех предприятий, а значение х^*₁, на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в первое предприятие. Далее на этапе безусловной оптимизации для всех последующих шагов вычисляется величина С_k = (С_k-1 - х_k-1) оптимальным управлением на k-м шаге является то значение х_k, которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы S_k.

Выбор оптимального маршрута перевозки грузов

Математический аппарат ДП, основанный на методологии пошаговой оптимизации, может быть использован при нахождении кратчайших расстояний, например, на географической карте, представленной в виде сети. Решение задачи по определению кратчайших расстояний между пунктами отправления и пунктами получения продукции по существующей транспортной сети является исходным этапом при решении таких экономических задач, как оптимальное прикрепление потребителей за поставщиками, повышение производительности транспорта за счет сокращения непроизводительного пробега и др.

Пусть транспортная сеть состоит из 10 узлов, часть из которых соединены магистралями. На рис. 6.2 показаны сеть дорог и стоимости перевозки единицы груза между отдельными пунктами сети, которые проставлены у соответствующих ребер. Необходимо определить маршрут доставки груза из пункта 1 в пункт 10, обеспечивающий наименьшие транспортные расходы.

Рис. 6.2. Модель транспортной сети

В задаче имеется ограничение - двигаться по изображенным на схеме маршрутам можно только слева на право, т. е. попав, например, в пункт 8, мы имеем право переместиться только в пункт 10 и не можем возвратиться обратно в 5-й или 6-й. Эта особенность транспортной сети дает право отнести каждый из десяти пунктов к одному из поясов. Будем считать, что пункт принадлежит k-му поясу, если из него попасть в конечный пункт ровно за k шагов, т. е. с заездом ровно в (k - 1)-й промежуточный пункт. Таким образом, пункты 7, 8 и 9 принадлежат к первому поясу, 5 и 6 - ко второму, 2, 3 и 4 - к третьему и 1 - к четвертому. Тогда на k-м шаге будем находить оптимальные маршруты перевозки груза из пунктов k-го пояса до конечного пункта. Оптимизацию будем производить с конца процесса, и потому, дойдя до k-го шага, неизвестно, в каком из пунктов k-го пояса окажется груз, перевозимый из первого пункта.

Введем обозначения:

k - номер шага (k = 1, 2, 3, 4);

i - пункт, из которого осуществляются перевозки (i = 1, 2, ..., 9);

j - пункт, в который доставляется груз (j = 2, 3 , .., 10);

с_i,j - стоимость перевозки груза из пункта i в пункт j.

F_k(i) - минимальные затраты на перевозку груза на k-м шаге решения задачи из пункта i до конечного пункта.

Очевидно, что минимум затрат на перевозку груза из пунктов k-го пояса до пункта 10 будет зависеть от того, в каком пункте этого пояса мы оказались. Номер i пункта, принадлежащего k-му поясу, будет являться переменной состояния системы на k-м шаге. Поскольку оптимизация осуществляется с конца процесса, то, находясь в некотором пункте i k-го пояса, принимается решение о перемещении груза в один из пунктов (k - 1)-го пояса, а направление дальнейшего движения известно из предыдущих шагов. Номер j пункта (k - 1)-го пояса будет переменной управления на k-м шаге. [17, с. 54].

Для первого шага управления (k = 1) функция Беллмана представляет собой минимальные затраты на перевозку груза из пунктов 1-го пояса в конечный пункт, т. е. F₁(i) = С_i,10. Для последующих шагов затраты складываются из двух слагаемых - стоимости перевозки груза С_i,j из пункта i k-го пояса в пункт у (k - 1)-го пояса и минимально возможных затрат на перевозку из пункта j до конечного пункта, т. е. F_k-1(j). Таким образом, функциональное уравнение Беллмана будет иметь вид:

(6.8)

Минимум затрат достигается на некотором значении j^*, которое является оптимальным направлением движения из пункта i в конечный пункт.

На четвертом шаге попадаем на 4-й пояс и состояние системы становится определенным i = 1. Функция F₄(l) представляет собой минимально возможные затраты по перемещению груза из 1-го пункта в 10-й. Оптимальный маршрут определяется в результате анализа всех шагов в обратном порядке, а выбор некоторого управления у на k-м шаге приводит к тому, что состояние системы на (k - 1)-м шаге становится определенным.

Таким образом, мы рассмотрели некоторые типичные случаи применения математических методов для решения круга задач присущих любому предприятию. Применение математического моделирования позволяет грамотно распределять ресурсы предприятия, выбирать оптимальные пути при решении разного рода проблем. Позволяет просчитать риски , прибыль при выборе варианта развития ситуации что в конечном итоге позволяет предприятию продумывать свою политику, искать наилучшие пути развития, сохранять стабильность.

Заключение

Для управленческой деятельности, особенно в процессе принятия решений, наиболее полезны модели, которые выражаются словами или формулами, алгоритмами и иными математическими средствами. Математические методы управления можно разделить на несколько групп:

· методы оптимизации;

· методы, учитывающие неопределенность, прежде всего вероятностно-статистические;

· методы построения и анализа имитационных моделей;

· методы анализа конфликтных ситуаций (теории игр);

Математическое моделирование процессов управления предполагает последовательное осуществление трех этапов исследования:

1. От исходной практической проблемы до теоретической чисто математической задачи;

2. Внутриматематическое изучение и решение этой задачи;

3. Переход от математических выводов обратно к практической проблеме.

Список использованных источников

1. Спицнадель В.Н. Основы системного анализа: Учеб. пособие. М.: Бизнес-пресса, 2000.

2. Сурмин Ю.П. Теория систем и системный анализ: Учеб. пособие. / Межрегиональная академия управления персоналом. Киев, 2003.

3. Анфилатов B.C. и др. Системный анализ в управлении: Учебное пособие/ Под ред. А.А. Емельянова. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 368 с.

4. Ван Гиг Дж. Прикладная теория систем: в 2 кн. М.: Мир, 1981.

5. Введение в системный анализ: Учеб. пособие для студ. агроном. спец. / А.М. Гатаулин; Московская с.-х. академия им. К.А. Тимирязева. М.: МСХА, 2005. -- 76 c.

6. Волкова В.Н., Денисов А.А. Теория систем: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 2006. -- 512 с.

7. Гатаулин А.М. Система прикладных статистико-математических методов обработки экспериментальных данных. М., Изд-во МСХА, 2002.

8. Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В. и др. Математическое моделирование экономических процессов . М. , 2000.

9. Исаев В.В. Общая теория систем: Учеб. пособие. СПб.: СПбГИЭУ, 2001. -- 139 с.

10. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта. М.: Мир, 2001.

11. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М., 2008.

12. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1999. -- 488с.

13. Применение искусственного интеллекта в информационных технологиях : учеб. пособие для студентов экон. специальностей / Н.М. Светлов, Г.Н. Светлова. М. : Изд-во МСХА, 2004.

14. Светлов Н.М. Альбом наглядных пособий по теории систем и системному анализу: Учеб. пособие для студ. бакалавриата по направлениям «Прикладная информатика в экономике» и «Математические методы в экономике». М.: Изд-во РГАУ-МСХА им. К.А. Тимирязева, 2008.

15. 1. Вершигора, Е. Е. Менеджмент: учебное пособие / Е.Е. Вершигора. - М.: ИНФРА-М, 2006. - 364 с.

16. 2. Виханский, О.С., Наумов, А.И. Менеджмент: учебник / О.С. Виханский, А.И. Наумов. - М.: Гардарики, 2007. - 267 с.

17. 3. Глухов, В.В. Менеджмент: учебник / В.В. Глухов. - СПб.: Издательство «Лано», 2006. - 284 с.

18. 4. Егоршин, А.П. Управление персоналом / А.П. Егоршин - Н. Новгород: НИБМ, 2008. - 294 с.

19. 5. Зуб, А.Т. Лидерство в менеджменте / А. Т. Зуб, С. Г. Смирнов. - М.: Принт-Ателье, 2009. - 216 с.

20. Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика). - М.: Изд-во Российского университета дружбы народов, 1999.

21. Большаков А.С. Моделирование в менеджменте. Учебное пособие. - М.: Филинъ, 2000.

22. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б., Математические методы и модели для менеджмента. 2-е изд., испр. и доп.-СПб.: «Лань», 2005.

23. Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике. Под общей ред. Сидоровича А.В. 2-ое издание. - М.: Дело и сервис, 1999.

24. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь 4-е издание - М.: Наука, 2006.

Размещено на Allbest.ru