Менеджмент

Эта часть процесса представляет собой формальное преобразование информации состояния в управляющую в соответствии с какой-либо математической моделью, описывающей интересующую нас производственно-экономическую ситуацию. Поскольку модель, как правило, не может учесть всех факторов, влияющих на решение задачи, то информация, полученная на выходе модели, должна подвергаться творческому анализу со стороны человека и лишь после этого принимается решение, т. е. вырабатывается управляющая информация.

Здесь под словом «человек» понимается человек или группа людей в органе управления, ответственных за принятие решения. Фактически решение может принимать не всегда один человек, но также объединение или группа людей, вырабатывающих единую линию поведения, даже в том случае, если некоторые из членов объединения имеют отличную от предполагаемой точку зрения.

Процесс принятия решения можно представить в виде этапов, составляющих модель переработки информации состояния в информацию управления или модель процесса принятия решения:

- анализ проблемной ситуации и постановка задачи;

- определение параметров операции и выбор показателей ее успешности;

- построение описательной (концептуальной) модели выбора решения;

- построение математической модели функционирования системы;

- формирование решения.

Вместе с тем это деление принято лишь для удобства рассмотрения процесса подготовки и принятия решения и является условным. Между указанными этапами этого единого процесса имеются как прямые, так и обратные связи. Рассмотрим в общих чертах содержание каждого из названных этапов.

Анализ проблемной ситуации и постановка задачи. Постановка задачи заключается в том, что принимающий решение устанавливает самостоятельно или получает от вышестоящей инстанции определенную цель (задачу).

Пути достижения указанной цели в этот период еще не ясны. Наличие цели при неясности путей ее достижения рождает проблему. Появление проблемы приводит к сознательному поиску действия, пригодного для достижения цели. Найти такое действие - означает решить проблему. В общем случае решение проблемы должно удовлетворять основным требованиям:

- его осуществление (воплощение на практике) должно иметь своим результатом достижение желаемого состояния (цели);

- оно должно быть таким, чтобы исходя из данного состояния его можно было осуществить путем некоторого действия или набора действий.

Совокупность проблемы, человека, призванного ее решить, и комплекса условий, в которых он столкнулся с этой проблемой, определяет так называемую проблемную ситуацию. Одним из основных моментов анализа ситуации является уяснение (уточнение) целей.

Обычно человеку, принимающему решение в сложной ситуации, трудно выявить одну-единственную цель, которую он бы преследовал на протяжении всего процесса принятия решения. Поскольку цели, несомненно, связаны между собой, определить глубину этих связей удается редко. Одни цели могут дополнять друг друга, а другие - противоречить друг другу. Поэтому при анализе проблемной ситуации первостепенную важность имеет выявление по крайней мере некоторых основных целей.

Цели, которые стремится достичь человек, не являются неизвестными. В некоторых случаях изменение целей происходит постепенно и не отражается заметным образом на процессе принятия решения. Иногда же замена целей приводит к существенным изменениям в принятом решении.

Следовательно, в процессе уяснения проблемной ситуации совершенно необходима максимально возможная определенность цели или целей. Этот момент является главенствующим в принятии правильного решения. Поэтому он требует пристального внимания и специального рассмотрения со стороны принимающего решение. В дальнейшем полагаем, что уточненная и доопределенная цель остается неизменной, пока она не будет достигнута.

Не менее важным моментом является сбор и обработка данных о признаках и элементах проблемной ситуации, т. е. получение информации о состоянии управляемых объектов и о состоянии среды.

Для принятия решения необходимы в первую очередь различные директивные и нормативные данные, статистические материалы. Кроме того, необходима та или иная информация о параметрах объектов управления и среды, об их взаимосвязях. Организуя поиск и добывание информации, следует всегда сопоставлять полноту и достоверность сведений с затратами их получение. Важное значение имеет своевременность получения информации. Как затрат на получение информации, так и ее своевременность следует оценивать с точки зрения достижения поставленной цели.

Анализ информации представляет собой весьма сложный и в первую очередь целевой процесс. Технически он включает оценку достоверности информации, выявление возможных ошибок, учет недостаточной представительности выработки, несовершенства источников информации. Вследствие этого возникает необходимость фильтрации данных и связанного с ней обобщения информации. В основу фильтрации могут быть положены операции: отсечка информации, ее агрегация, типологическая выборка информации.

При отсечке множество информации разбивается на два класса: протекаемой и отсекаемой с помощью различных пороговых величин, шкал важности и т. д.

При агрегации сведения укрупняются, отдельные данные объединяются в подмножества на основе избранных признаков агрегации. При этом, конечно, теряется определенная информация о микросвязях, но возникают обобщенные характеристики макросвязей. Здесь самое важное сохранить интересующие нас целевые характеристики и связи в удобном для последующего использования виде.

При типологической выборке производится разделение исходного множества на классы и отбор элементов, представляющих эти классы.

Определение параметров операции и выбор показателей ее успешности. На этом этапе предусматривается установление тех величин (параметров), которые наиболее существенным образом влияют на исход действий и путем изменения которых можно добиться наилучшего конечного результата. Выбор наилучшего варианта решения задачи сводится к установлению тех наивыгоднейших параметров, приемов и способов действий, которые приводят к наилучшему в данных условиях (оптимальному) результату.

Показатели успешности (эффективности) операции - количественные критерии (числа), характеризующие ожидаемый результат операции. В качестве показателей должны выбираться такие величины, которые позволяют:

- прогнозировать ожидаемый исход действий;

- сравнивать различные приемы и способы действий между собой для выбора наилучшего;

- оценивать степень соответствия полученного результата действий требуемому.

Для того чтобы показатели успешности операции отвечали указанным требованиям, они должны вскрывать самую суть процессов операции, определять главные, решающие связи и показывать пути необходимых изменений параметров для повышения эффективности операции. Показатели успешности должны быть достаточно просты, наглядны и доступны для получения на практике.

Основной принцип выбора показателя успешности обоснован еще в 1945 году академиком А. Н. Колмогоровым и состоит в установлении строгого соответствия между целью, которая может быть достигнута в результате действий, и избранным показателем успешности. В этом смысле показатель успешности операции иногда называют целевой функцией.

Выбор наилучшего (оптимального) варианта решения задачи в самом общем виде можно представить как отыскание максимума целевой функции (показателя успешности операции W):

Выбор наилучшего варианта решения задачи можно сформулировать следующим образом: найти такие значения управляемых параметров 1, 2, ..., которые при заданных параметрах 1, 2,..., с учетом неизвестных параметров x1, x2, ..., обеспечивают максимум целевой функции - показателя успешности W. Столь простой на первый взгляд путь выбора наилучшего варианта решения задачи наталкивается, однако, на практике на ряд существенных трудностей.

Прежде всего, выбор одного из многих вариантов может потребовать огромного перебора параметров, недоступного даже для самой быстродействующей ЭВМ. Подсчитано, например, что при решении задачи распределения 20 средств по 10 объектам число возможных вариантов составит 108. Даже если расчет каждого варианта потребует всего 10 арифметических операций, то и тогда общее число расчетных операций достигнет миллиарда, что не может быть выполнено ЭВМ в приемлемые сроки. Поэтому для решения подобных задач исследование операции применяет вместо «слепого» перебора специальные методы так называемого направленного перебора. Эти методы составляют, например, содержание линейного и нелинейного программирования.

Зачастую искомое решение задачи должно не только обеспечить максимум избранного показателя успешности, но и удовлетворять ряду дополнительных требований, например ограничениям по материальным средствам, времени решения задачи и т. п. Исследование операций располагает специальными методами, позволяющими учесть эти ограничения и выбрать из множества возможных решений именно то (или те), которое им полностью удовлетворяет.

Для ряда производственных задач характерно отсутствие или неполнота информации. В этих случаях приходится принимать решения в условиях неопределенности. Для выработки наилучших решений в условиях неопределенности создан специальный математический аппарат (например, методы теории игр и статистических решений), который широко применяется в исследовании операций.

Выбор оптимального способа ведения действий на научной основе и с использованием вычислительной техники порой приводит к результатам, значительно отличающимся от тех, которые могут быть получены на основе так называемого здравого смысла с помощью современных научных методов.

Следует отметить, что анализ проблемной ситуации продолжается на протяжении всего процесса принятия решения. После этого проблемная ситуация переходит в ситуацию принятия решения, в основе которой лежит проблемная ситуация, подлежащая всестороннему исследованию и анализу, так как только на этой основе и возможно принятие наиболее целесообразного решения.

Вообще изучение любой деятельности можно проводить как изучение ситуаций, в которых приходится принимать решения, т. е. таких ситуаций, когда человек сталкивается с необходимостью выбора какого-нибудь одного действия из нескольких. Решение может состоять из числа или из сложного множества правил, которым нужно следовать в течение длительного промежутка времени.

Элементами ситуации принятия решения являются:

- множество мотивирующих целей; _

- множество допустимых стратегий (Ui);

- множество состояний обстановки, среды (Zj) - параметры состояний;

- множество следствий (исходов).

Рассмотрим более подробно каждый из названных элементов. Множество мотивирующих целей представляет собой систему подцелей, возникшую в результате уяснения и разработки основной (главной) цели.

Допустим, что цели лица, принимающего решение (ЛПР), выявлены и имеют достаточную ясность. Возможные способы достижения этих целей принято называть стратегиями. Стратегия - это план или программа действий, которая может быть выбрана ЛПР и осуществлена им или другими лицами, ответственными перед ним.

Все стратегии, которые могут быть полностью осуществлены, по мнению ЛПР, который вырабатывает свое суждение на основании опыта и имеющейся информации, составляют в совокупности множество возможных стратегий.

Возможные стратегии могут быть двух разновидностей: множество допустимых стратегий и множество недопустимых стратегий. Возможная стратегия допустима тогда и только тогда, когда ЛПР считает ее достойной рассмотрения и дальнейшей оценки, когда он чувствует, что есть вероятность того, что он осуществит ее. В противном случае стратегия считается недопустимой.

В различных ситуациях процесс выявления допустимых стратегий может потребовать не только таланта, присущего ЛПР, но также и использования специалистов различных профессий. Обычно этот процесс сопровождается большой исследовательской работой. Усилия, затраченные на поиски допустимых стратегий, зависят в том числе и от изобретательности ЛПР, ответственности, которую он несет, а также и от значения, которое придается рассматриваемой ситуации принятия решения.

Некоторые возможные стратегии могут оцениваться как недопустимые на основании различных доводов - правовых, социальных, моральных, материальных, отдельно или в любой их совокупности. Не исключена вероятность, что некоторые из возможных стратегий, первоначально оцененные как допустимые, могут быть с течением времени отнесены к недопустимым на основании дополнительной информации, полученной в процессе принятия решения.

Множество допустимых стратегий ограничивается и такими условиями, как состояние техники и знание исследуемой области. Существенное влияние на выявление номинального множества допустимых стратегий оказывает также выбор правильного направление оценки эффективности функционирования системы.

Состояния обстановки реализации решений представляют собой обстоятельства, которых могут произойти и которые не поддаются полному контролю со стороны ЛПР. Указанные состояния существенным образом связаны с состоянием среды исследуемой системы (явления): они могут повлиять на ход принятия решения, а также на конечный результат, т. е. выбор соответствующей стратегии.

В большинстве ситуаций принятия решений приходится сталкиваться с неопределенностью, особенно в сложных условиях. Ошибки в выработке решений часто заключаются в том, что недостаточно учитываются факторы, не зависящие непосредственно от ЛПР.

Анализ проблемной ситуации является сложным процессом, основанным на четком уяснении поставленной задачи, личном знании обстановки, правильной оценке состояния возможностей системы, а также на всестороннем изучении условий, в которых будет выполняться задача. Важным моментом здесь является определение возможности формализации всей задачи или части ее, выделение той части задачи, которая поддается формализации, и выбор показателя эффективности.

Построение описательной (концептуальной) модели выбора решения. Эта модель строится на основе определения ситуации принятия решения.

После определения показателя эффективности устанавливается возможность формализованного представления данной ситуации и степень влияния формализованного представления на решение задачи. При этом нужно установить, что в данной ситуации не поддается формализации и должно быть решено в процессе творческой деятельности человека, в том числе с помощью игровых моделей, описанных выше.

При оценке возможности формализации ситуации следует обязательно учесть время, которым располагает орган управления, и наличие тех или иных математических моделей, имеющихся в его распоряжении.

Построение математической модели функционирования системы. Этап формализации задачи в принципе может иметь два крайних случая. В первом случае в распоряжении органа управления к моменту получения задачи имеется формальная модель, подходящая для описания возникшей ситуации; во втором случае такой готовой модели нет, но время позволяет ее составить. На практике же, как правило, возникают случаи, когда есть модели, частично пригодные для формализации возникшей ситуации. Но, сузив или расширив область решения, описываемого математической моделью, их всегда важно отнести к одному из крайних случаев.

Если допустить, что в органе управления имеются достаточно квалифицированные специалисты, то решающим фактором для оценки возможности формализовать ситуацию при отсутствии готовой модели является наличие времени, имеющегося в распоряжении органа управления. Однако при составлении новой модели, а также при анализе моделей, имеющихся в наличии, органу управления необходимо обратить внимание на:

- уяснение характера и внутренней структуры исследуемого явления;

- выбор математического аппарата для формализации;

- установление ограничении и допущений, принятых при составлении формальной модели, и сравнение модели с реальной ситуацией.

Последний момент весьма важен, поскольку позволяет получить обоснованное суждение о ценности формализованной модели и уточнить формальную и творческую составляющие решения.

Формализованная модель производственно-экономической ситуации может быть представлена в виде формулы:

В формулу (7.2) входят две группы параметров. Группа параметров, обозначенная символами U = U1, U2,..., U*, представляет собой те параметры, изменение которых находится во власти органа управления. К числу параметров решения относятся также и параметры системы управления. Изменение значений каждого из параметров этой группы влечет за собой изменение достигнутого значения избранного показателя эффективности, т. е. влияет на степень решения поставленной задачи. Выбор совокупности параметров вида U = U1, U2,..., U*, и представляет собой с формализованной точки зрения выбор решения. Поэтому эта группа параметров, выбор значений которых находится во власти органа управления, как сказано выше, получила название параметров решения.

Однако на результат действий оказывают влияние не только те факторы, изменение которых находится во власти органа управления, но и такие факторы, изменить которые он не может, - состояние среды, взаимозависимость предприятий и т. д. (Эту группу факторов или параметров будем называть параметрами среды.)

После того как формальная модель, описывающая данную ситуацию составлена, нужно найти такое сочетание параметров решения, которое приводило бы к экстремальному значению показателя эффективности.

Поскольку, однако, экстремальное значение показателя эффективности связано не только со значениями параметров решения, но и со значениями параметров среды, задача принятия решения осложняется необходимостью учета факторов, не зависящих от органа управления и часто даже ему неизвестных или известных плохо.

Для решения этой задачи с учетом параметров среды составляется матрица решений. Приведем в качестве примера матрицу (см. табл. 7.1).

Таблица 7.1

Матрица решений I

Формула (7.3) может быть представлена сокращенно в виде:

Здесь U носит условное наименование параметра решения, a Z - параметра среды.

При этом считаем, что параметры среды есть сочетание определенных значений всех параметров обстановки, дающих определенный столбец матрицы, а параметр решения - сочетание соответствующих значений всех параметров решения, дающих в совокупности определенную строку матрицы. Строки матрицы соответствуют определенному сочетанию параметров решения, т. е. определенному варианту решения органа управления, а столбцы - определенному сочетанию параметров среды.

Элементами матрицы являются значения показателя эффективности, рассчитанные для сочетания параметра решения и параметра среды соответственно данной клетке матрицы. Так, элемент, записанный на пересечении j-го столбца и i-й строки матрицы, соответствует значению показателя эффективности, рассчитанному для значений параметров Ui и Zj.

При составлении матрицы следует стремиться к ее сжатию, для чего нужно выбирать такие шаги значений параметра решения и параметра среды, которые давали бы достаточно существенные изменения значения показателя эффективности.

Если бы органу управления удалось точно установить значение параметра среды Z** = Zj , то матрица решений сузилась бы до одного столбца, и задача оптимизации решения заключала в выборе из элементов этого столбца такой клетки, в которой значение показателя Wij** экстремальное. Этим было бы выбрано значение i = i**, т. е. предложена наивыгоднейшая комбинация параметров решения или, что то же самое, предложено лучшее решение данной математической задачи. Однако мы не всегда можно знать точно значение параметра среды. В связи с этим следует проводить оптимизацию не только по параметру решения, но и по параметру среды.

Формальная оптимизация заканчивается выработкой количественных оснований для принятия решений по результатам анализа конкретной математической модели.

Формирование решения. На последнем этапе процесса принятия решения - этапе формирования решения - производится сопоставление значения эффективности оптимальной стратегии с требующимся уровнем эффективности. Если результаты сопоставления окажутся удовлетворительными, то тогда эта стратегия подвергается соответствующим модификациям с целью учета неподдающихся формализации факторов (психологических, моральных, экономических т. п.), а также допущенных при формализации ограничений. Такая модифицированная формализованная стратегия и будет решением.

Если же результаты сопоставления окажутся неудовлетворительными, то производится так называемая внутренняя корректировка решения, т. е. возвращение к одному из описанных выше этапов с целью выявления возможности доопределения решения.

Поскольку любая формальная модель не учитывает ряда факторов в силу абстракций и допущений, а также вследствие неумения (а иногда и отсутствия целесообразности) формализовать ряд вопросов, связанных с психологическими, правовыми и другими моментами, окончательное решение - выработку командной информации в процессе управления - производит человек. При этом он, учитывая результат формальной оптимизации, стремится учесть и ряд других факторов.

Поскольку объектом управления является коллектив людей, деятельность их совершается в большой степени по законам психологии. Целевая функция социально-психологических методов состоит в том, чтобы, воздействуя определенным образом на работника, создать ситуацию, ориентирующую его на максимальную реализацию своих потенциальных способностей при выполнении поставленных задач.

Поэтому, принимая решение, следует учитывать следующие моменты психологического характера:

- социально-психологический уровень развития коллектива;

- способность коллектива к восприятию предстоящих целей и задач;

- индивидуальные качества исполнителей;

- желание людей выполнять задачи;

- степень самоорганизации коллектива;

- административно-правовое положение руководителя;

- личные качества работника, принимающего решения.

В силу творческого субъективного характера акта принятия решения невозможно установить какие-нибудь строгие единые правила. Основную роль здесь играет практический опыт, способность к предвидению хода событий. Вместе с тем следует учитывать возможность использования дополнительных (по сравнению с принятыми в формальной модели) показателей эффективности, а также дополнительную оценку качества информации состояния и всех допущений, принятых в формальной модели.

Процесс принятия решения завершается реализацией решения, анализом полученных результатов и корректировкой решения.

7.4 Примеры применения количественных методов выработки решений

Станковая задача

Современные методы управления тесно связаны с количественными обоснованиями принимаемых решений, с широким использованием экономико-математических методов и моделей управления производством.

Представим себе, например, группу из трех станков, каждый из которых может производить два типа деталей, назовем их условно деталями А и Б. Производительность каждого из станков по разным типам деталей, как правило, различна:

станок № 1 производит в одну минуту 5 деталей А или 5 деталей Б,

станок № 2 производит в одну минуту 6 деталей А или 2 детали Б,

станок № 3 производит в одну минуту 5 деталей А или 3 детали Б.

Задача осложняется тем, что требуется выполнить два важных условия или, как говорят в математике, учесть два ограничения:

- ни один из станков не должен простаивать;

- продукция должна быть комплектна, т. е. количество произведенных деталей А должно равняться количеству деталей Б (это, например, могут быть гайки и болты).

Несмотря на кажущуюся простоту задачи, ни одним из существовавших ранее методов она не решалась. Попробуем и мы, опуская некоторые несущественные подробности, решить столь поучительную задачу. Прежде всего, попытаемся, как, наверное, сделали и те, кто впервые столкнулся с этой задачей, получить ее глазомерное решение.

Все расчеты будем производить исходя из общей продолжительности времени работы в 6 часов = 360 минут (одна смена). Попробуем на все это время загрузить станок № 1 деталями А. Станки № 2 и № 3 также загрузим на все время работы, но деталями Б. Результат такого глазомерного решения изобразим следующим образом: слева от вертикальной черты покажем время загрузки станков по различным деталям, а справа - соответствующее количество произведенной продукции (произведение времени работы на минутную производительность).

Итак, глазомерное решение см. в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Станок	Продолжительность работы станка, мин	Производительность станка (количество деталей за время работы)
	А	Б	А	Б
№1	360	0	1800	0
№2	0	360	0	720
№3	0	360	0	1080
Общее количество 1800 + 1800 = выпущенной продукции = 3600 деталей

Глазомерное решение полностью отвечает поставленным условиям: во-первых, все станки полностью загружены в течение рабочего времени; во-вторых, количество произведенных деталей А равно количеству деталей Б. Остается, однако, открытым главный вопрос планирования: является ли наше глазомерное решение наилучшим в данных условиях? Нельзя ли составить другой план распределения станков, который отличался бы от глазомерного наибольшей производительностью?

Обоснованием такого оптимального решения занимается математическое программирование. Суть метода удобнее всего выразить с помощью наглядного геометрического представления, графика (рис. 7.3). Здесь показан построенный по правилам математического программирования многоугольник OABCD (он заштрихован). Многоугольник соответствует условиям нашей задачи и представляет собой область допустимых планов распределения времени работы станков № 2 и № 3 над деталью А. По соответствующим осям графика отмечена продолжительность работы этих станков. (В своих расчетах мы вполне можем обойтись двумя станками и одной деталью, так как по этим данным нетрудно рассчитать и все остальные.)

Рис. 7.3. График решения станковой задачи

Любая точка заштрихованной области допустимых планов, как видно из ее названия, даст нам какой-либо один возможный план, отвечающий обоим принятым условиям - ограничениям. Так, например, точка О соответствует нашему глазомерному плану: время работы над деталью А на станках № 2 и № 3 равно нулю.

В поисках наилучшего плана посмотрим, какой план распределения станков дает другие точки области. Вот, скажем, точка В. Как видно из графика, этой точке соответствует время работы над деталью А станка № 2, равное 90 минутам, станка № 3 - 360 минутам. По этим данным нетрудно составить второй план распределения станков, причем время, отводимое на производство детали Б станками № 2 и № 3, получится как дополнение до 360 минут времени, снятого с графика,- станки не должны простаивать. Что касается станка № 1, то его время работы подбирается таким, чтобы общее количество деталей А и Б совпадало.

Второе решение, следовательно, будет выглядеть так (табл. 7.3).

Таблица 7.3

Станок	Продолжительность работы станка, мин	Производительность станка (количество деталей за время работы)
	А	Б	А	Б
№1	0	360	0	1800
№2	90	270	540	540
№3	360	0	1800	0
Общее количество 2340 + 2340 = выпущенной продукции = 4680 деталей

Вот так результат! Мы сразу же, можно сказать бесплатно, на том же оборудовании увеличили производительность на 1080 деталей, т. е. на целых 30 %.

Нас, однако, продолжает мучить законный вопрос - добились ли мы уже самого лучшего, оптимального решения, или нет? Стоит ли дальше пытаться улучшить план?

В теории математического программирования убедительно показывается, что оптимальному решению соответствует одна из вершин многоугольника допустимых планов, а именно та, для которой общая производительность окажется максимальной. В нашем случае это вершина С.

Действительно, рассчитывая известным уже нам путем план распределения станков для этой точки, получим следующее решение (табл. 7.4).

Таблица 7.4

Станок	Продолжительность работы станка, мин	Производительность станка (количество деталей за время работы)
	А	Б	А	Б
№1	0	360	0	1800
№2	360	0	2160	0
№3	90	270	450	810
Общее количество 2610 + 2610 = выпущенной = 5220 деталей продукции

Мы получили план почти наполовину (на 45 %) лучше, чем глазомерный. И этот существенный прирост, подобно и предыдущему улучшению, ничего (если не считать умственных усилий на планирование) не стоит. Никакого дополнительного расхода каких-либо ресурсов не потребовалось. Те же станки, те же детали, те же станочники работают то же время. Не меняются и производительности станков. Эффект здесь чисто интеллектуальный, «умственный», - за счет рационального распределения ресурсов оборудования (кстати, латинское слово «рационалист» означает «разумный»). Умное, обоснованное решение сделало чудо, в которое даже трудно поверить. Подобный «чудесный» результат, как мы уже понимаем, характерен для всех решений, принимаемых с помощью научных методов.

Может возникнуть, правда, вопрос: а нельзя ли обойтись в подобных задачах без какого-либо специального математического аппарата, идя путем простого перебора всех возможных вариантов решения? Этот соблазн следует тут же отмести. Расчет показывает, что перебор всех возможных вариантов решений подобных задач не под силу даже самому большому коллективу вычислителей.

Уместно отметить еще несколько интересных моментов, связанных с решением данной задачи. Полученный нами оптимальный план - это не просто правильный, допустимый план распределения оборудования, по которому можно работать, - такими были и оба предыдущих. Они обеспечивали как беспростойность оборудования, так и комплектность продукции. Оптимальный план помимо того, что он должен отвечать этим требованиям, должен быть еще обязательно самым эффективным. В данном случае это означает требование максимума деталей. Действительно, как уже отмечалось, оптимизация обязательно должна предусматривать обращение одного из показателей в максимум (или минимум). Но только одного показателя. Нельзя вести оптимизацию по нескольким показателям одновременно. Между тем мы часто слышим: «максимум продукции при минимуме издержек». А правильно будет: «максимум продукции при данном уровне издержек» или «минимум издержек при данном уровне продукции».

И еще один важный вывод, к которому подводит станковая задача: оптимизация возможна лишь по верхнему уровню управления, для всей производственной системы в целом. В данном случае это означает, что мы получили оптимальный план лишь для всех трех станков вместе. А для каждого в отдельности? Тут оптимальности может и не быть. В нашей задаче оптимальный план явно не понравится станочнику, работающему на станке № 3: при большей производительности - 5 деталей в минуту - план предлагает ему работать всего 90 минут, а при меньшей - 3 детали в минуту - целых 270 минут. Но тут уже ничего не поделаешь: чтобы получить оптимальный, сбалансированный план предприятия, кому-то на нижнем уровне приходится работать в неоптимальном режиме. И значительно дешевле компенсировать издержки «внизу», чем лишиться огромного эффекта оптимизации работы целого предприятия.

Несколько слов о существе решения станковой задачи. Идея математического программирования заключается в том, чтобы вместо сплошного (иногда говорят - слепого или дурного) перебора всех возможных вариантов вести перебор выборочный, направленный на скорейшее последовательное улучшение результата. Поэтому в нашей задаче мы и рассматривали не все точки области допустимых планов (их бесчисленное множество), а только вершины многоугольника, одна из которых и дала нам наилучшее решение.

Методы математического программирования находят широкое применение для обоснования оптимальных решений в самых различных областях человеческой деятельности: при планировании перевозок и в торговле, для правильной организации труда, в управлении городским транспортом и строительством.

Рассмотрим, как вырабатываются правила решения еще одной важной производственной задачи.

Резервы раскроя

Изготовление многих видов современной промышленной продукции начинается с раскроя материала. Выкраивают не только одежду и обувь, но и детали корпуса корабля, кузова автомобиля, фюзеляжа самолета. Раскраивают ткани и кожу, бумагу и стекло, металл и пластмассу. Кроить можно по-разному...

Перед нами листы дефицитного материала размером 6 х 13 метров (рис. 7.4). Из каждого такого листа необходимо выкроить по несколько заготовок двух видов: заготовки А - размером 5x4 метра и заготовки Б - размером 2x3 метра. Задача заключается в том, чтобы получить как можно больше заготовок обоих видов с наименьшим количеством отходов. Кроме того, как и в задаче со станками, необходимо обеспечить комплектность заготовок: на 1 заготовку А должно приходиться 5 заготовок Б.

Как вести раскрой? Какое решение принять?



Рис. 7.4. Способы раскроя материала

Прежде всего, нужно установить все возможные способы раскроя наших листов по требуемым заготовкам. Начнем с того, что постараемся получить с одного листа как можно больше заготовок А - они крупнее, чем Б, и для них труднее подыскать место на листе. Оказывается, однако, что более трех заготовок А с листа выкроить невозможно. Исходя из этого предусмотрим способы раскроя для получения трех, двух и одной заготовки А и наибольшего возможного количества заготовок Б с листа. Каждому способу дадим номер:

способ № 1:3 заготовки А и 1 заготовка Б;

способ № 2: 2 заготовки А и 6 заготовок Б;

способ № 3: 1 заготовка А и 9 заготовок Б.

Заметим, что при всех способах раскроя часть площади листа остается неиспользованной и идет в отходы. На рис. 7.4 эта площадь заштрихована.

Для составления оптимального плана раскроя материала построим график, подобный тому, который мы рисовали в задаче со станками. На рис. 7.5 по оси X отложено количество заготовок А, а по оси Y - число заготовок Б. При этом каждому способу раскроя соответствует своя точка на графике. Так, точка «способ № 2» стоит на пересечении двух заготовок А и шести заготовок Б. Точки - способы раскроя - указывают границы области допустимых планов.

Рис. 7.5. График раскроя материала

Для того чтобы обеспечить комплектность заготовок, необходимо ограничиваться лишь теми точками области допустимых планов, которые лежат на луче ОЛ. Он построен таким образом, что все его точки соответствуют требуемому отношению заготовок А и Б:

Какой же план раскроя наиболее рационален?

Очевидно, тот, которому соответствует точка, наиболее отдаленная от начала координат, - ведь при этом число заготовок будет наибольшим. Этот план дает точка, лежащая на пересечении луча ОЛ с границей области допустимых планов - линией, соединяющей способы № 2 и № 3. Она находится как раз посередине между упомянутыми способами. Итак, оптимальный план раскроя заключается в том, что половина листов кроится способом № 2, а половина - способом № 3.

Проверим теперь наш оптимальный план на партии в 200 листов. Половину - 100 листов раскроим по способу № 2 и получим 100 х 2 = 200 заготовок Б. Всего же получилось 300 заготовок А и 1500 заготовок Б - комплектность 1 к 5 соблюдена. А чем этот план лучше других? На этот вопрос ответят следующие любопытные цифры.

Предположим, что тот, кто ведет раскрой, не знает современных методов обоснования решений и действует без расчета, «на глазок». Не исключено, что он станет раскраивать наши 200 листов способами № 1 и № 3. Для того чтобы иметь возможность сравнивать глазомерный план с оптимальным, примем, что способом № 1 раскраивалось 50, а способом № 3-15 листов. Вот что при этом получается.

50 листов, раскроенные по способу № 1, дают:

50 х 3 = 150 заготовок А и 50 х 1 = 50 заготовок Б;

150 листов, раскроенных по способу № 3, дают:

150 х 1 = 150 заготовок А и 150 х 9 = 1350 заготовок Б.

Всего получается 300 заготовок А и 1400 заготовок Б.

А куда же исчезло 100 заготовок Б? Ведь при оптимальном раскрое их было 1500. Их «съел» плохой план. Все они ушли в отходы. Дефицитный материал остался неиспользованным.

Таким образом, рациональный раскрой даже в такой скромной задаче, как наша,- разрезается всего 200 листов - экономит 600 квадратных метров дефицитного материала: 100 заготовок Б х 2 метра х 3 метра = 600 квадратных метров.

Еще одной важной областью выработки решений производственных задач является составление всевозможных расписаний. С помощью расписаний определяется порядок действий персонала предприятий, устанавливается последовательность выполнения операций обработки материалов и сборки сложных изделий, назначается очередность при распределении различных материальных благ и т. д. Как же строятся наилучшие расписания?

Управление очередями

Простейшее решение по составлению расписаний имеет так называемая задача директора. Сущность этой задачи заключается в следующем.

На прием к директору записалось несколько посетителей. Секретарь директора составил список в алфавитном порядке, указав для каждого требующуюся ему ориентировочную продолжительность приема. Фамилии записавшихся обозначены в списке их заглавными буквами (табл. 7.5).

На весь прием директор, как видно из таблицы, отвел 2 часа =120 минут, поэтому пришлось ограничиваться всего шестью посетителями. Является ли составленное расписание наилучшим?

Таблица 7.5

№ п/п	Фамилия (начальная буква)	Продолжительность приема, мин	Время ожидания, мин
1	Б	25	0
2	Д	15	25
3	Е	10	40
4	К	5	50
5	С	35	55
6	Т	30	90
Суммарное время 120 мин = 260 мин = = 2 часа = 4 часа 20 мин

С точки зрения общей продолжительности приема любая очередность посетителей равнозначна: суммарное время приема не меняется при любой его последовательности. А с точки зрения ожидания в очереди? Подсчитаем общее время ожидания как сумму времени ожидания всех посетителей. В нашем алфавитном списке оно составляет 260 минут = 4 часа 20 минут. Понятно, что это время желательно было бы уменьшить: ведь время ожидания - зря потраченное время. Но вот можно ли это сделать? Приведет ли расписание с другой последовательностью приема к экономии общего времени ожидания при сохранении намеченного суммарного времени приема?

Оказывается, получение такого расписания возможно. В одном из методов исследования операций - так называемой теории расписаний - доказывается, что наименьшее суммарное время ожидания получается при составлении расписания в порядке нарастания продолжительности приема. Составим такое расписание (табл. 7.6).

Таблица 7.6

№ п/п	Фамилия (начальная буква)	Продолжительность приема, мин	Время ожидания, мин
1	К	5	0
2	Е	10	5
3	Д	15	15
4	Б	25	30
5	Т	30	55
6	С	35	85
Суммарное время 120 мин = 190 мин = = 2 часа = 3 часа 10 мин

Полученное оптимальное расписание позволяет уменьшить суммарное время ожидания на 1 час 10 минут. Это значительное сэкономленное время можно использовать на полезные дела.

Задача директора находит применение не только в приемной руководителя. Ведь таким же образом можно составить и расписание очередности работы станка или другого оборудования над различными деталями. Продолжительность обработки при этом бывает различной, и нужно составить расписание таким образом, чтобы суммарное время обработки оказалось наименьшим. Это, как мы видели, дает существенный временной, а значит, и экономический эффект.

Задачу директора иногда называют задачей одного станка. Ее дальнейшим развитием является задача двух станков. В чем ее суть?

Детали обрабатываются последовательно на двух станках. В табл. 7.7 показана продолжительность этой обработки для каждой из 10 деталей на двух станках. Нумерация деталей и последовательность их обработки взяты при этом произвольно.

Таблица 7.7

Номера деталей и последовательность их обработки	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Продолжительность обработки на станке № 1 , мин	7	3	12	14	20	4	2	9	19	6
Продолжительность обработки на станке № 2, мин	18	13	9	5	8	16	20	15	1	13

Расчет показывает, что суммарное время обработки всех деталей составляет 118 минут. Кроме того, существует время ожидания обработки первой поданной детали на станке № 2, равное 7 минутам, и время ожидания, пока освободится станок № 2 для обработки детали № 5, равное 11 минутам. Итого - обработка всех деталей на двух станках с учетом времени ожидания продолжается 136 минут.

В теории расписаний доказывается, что в задаче двух станков для обеспечения оптимальной последовательности обработки с наименьшим временем ожидания необходимо составлять расписание, руководствуясь следующими правилами:

1) выбирается деталь с наименьшей продолжительностью обработки на одном из станков; в нашем примере это № 9;

2) выбранная деталь помещается в начало очереди, если наименьшая продолжительность обработки соответствует станку № 1, или в конец очереди, если - станку № 2; в нашем примере деталь № 9 помещается в конец очереди;

3) столбец таблицы 7.7, ранее занятый выбранной деталью, вычеркивается;

4) выбирается деталь среди оставшихся со следующей наименьшей продолжительностью обработки на одном из станков; в нашем примере - деталь № 7;

5) выбранная деталь помещается в начало или конец очереди по указанному в пункте 2 правилу; в нашем примере деталь № 7 помещается в начало очереди;

6) вычеркивается соответствующий столбец таблицы.

И так далее.

В итоге можно получить оптимальное расписание работы двух станков (табл. 7.8).

Таблица 7.8

Последовательность обработки (порядковый номер очереди)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер детали	7	2	6	10	1	8	3	5	4	9
Продолжительность обработки на станке № 1 , мин	2	3	4	6	7	9	12	20	14	19
Продолжительность обработки на станке № 2, мин	20	13	16	13	18	15	9	8	5	1

Полученное оптимальное расписание уменьшает время ожидания обработки до 2 минут (станок № 2 ждет в самом начале, пока станок № 1 обработает деталь № 7). Общее время обработки с учетом времени ожидания тем самым сокращается до 120 минут- на 12 %.

Заметим, что, не зная описанного простого правила, эту задачу не решить и опытному специалисту. Ведь чтобы выйти на оптимальное расписание, необходимо перебрать несколько миллионов вариантов очередности.

Данное решение, так же как и предыдущее, применяется не только для станков. Оно может быть использовано для составления расписаний очередности любых работ, последовательности процедуры применения, функционирования различных технических или организационных производственных систем.

Говоря о составлении наилучших расписаний, нельзя обойти еще один важный для практики тип задач. Речь пойдет о так называемой задаче о назначениях.

Задача о назначениях

На предприятии подготовлен резерв для замещения однородных должностей начальников производства (скажем, начальников производственных участков). Руководители предприятия, кадровая служба составили список резерва (в алфавитном порядке) и путем экспертного опроса установили, приблизительно конечно, степень соответствия каждого кандидата каждой из возможных вакансий. Например, установлено, что кандидат А для замещения должности IV подходит примерно в два раза лучше, чем для должности II, для замещения должности I кандидат Б в два раза хуже, чем В, и т. д. Придавая таким характеристикам численную форму, можно составить таблицу соответствия кандидатов различным должностям (табл. 7.9).

Таблица 7.9

Кандидат	Должность
	I	II	III	IV	V
А	10	20	50	40	60*
Б	40*	20	30	10	80
В	80	50*	30	30	70
Г	60	70	20*	10	40
Д	50	70	60	10*	40

Как будет проходить подбор кандидатов на должность? Решим эту задачу сначала глазомерно.

Первый по алфавиту кандидат А лучше всего отвечает должности V. Закрепим за ним эту должность, поставив в правом верхнем углу соответствующей клетки звездочку.

Следующего кандидата - Б лучше всего было бы назначить на должность V, но она уже занята. Поэтому направим его на наиболее подходящую из оставшихся - должность I. И так далее.

Оценку полученного штатного расписания произведем так, как мы это делали в задачах математического программирования - суммируя оценки соответствующих назначений:

60 + 40 + 50 + 20 + 10 = 180.

Хорошее ли это расписание? Ответить на такой вопрос можно, лишь зная оптимальный вариант. Получить его путем сплошного перебора всех возможных расписаний, как мы уже знаем, практически нельзя: при распределении всего 10 кандидатов по 10 должностям число возможных вариантов измеряется миллионами.

Существуют, к счастью, приемы направленного перебора вариантов, построенные на основе методов исследования операций. Применение этих приемов выводит на следующее оптимальное штатное расписание (табл. 7.10).

Таблица 7.10

Кандидат	Должность
	I	II	III	IV	V
А				*
Б					*
В	*
Г		*
Д			*

Оценка качества данного расписания:

40 + 80 + 80 + 70 + 60 = 330.

Оценка показывает, что оптимальное расписание почти в два раза лучше, чем глазомерное.

Еще один полезный метод выработки управленческих решений - сетевое планирование.

Управление временем

Сетевое планирование служит для составления рационального плана решения производственной задачи, предусматривающего осуществление его в кратчайший срок и с минимальными затратами.

Методы сетевого планирования дают возможность оценивать «узкие» места выполняемой задачи и вносить необходимые коррективы в организацию решения.

Сетевое планирование рассмотрим на следующем примере. Производственная задача решается в три этапа (I, II и III). Исходным моментом является получение директором предприятия задания (заказа). Далее на основании этого задания под руководством заместителя директора по производству разрабатываются задания подразделениям № 1 и № 2. После этого подразделения одновременно приступают к I этапу работы. Для того чтобы начать II этап работы, подразделение № 2 должно получить комплект изделий, изготовленных подразделением № 1 в ходе I этапа. Поэтому подразделение № 1 начинает II этап работы сразу же после окончания I этапа, а подразделение № 2- лишь после получения комплектующих из подразделения № 1. Далее роли подразделений меняются: для того чтобы начать III этап, теперь уже подразделение № 1 должно ожидать комплектующих от подразделения № 2. С окончанием III этапа работы обоими подразделениями изделие считается готовым. Транспортная служба доставляет его потребителю.

Все мероприятия решаемой задачи в их взаимосвязи представляются в виде наглядной схемы - сетевого графика (рис. 7.6), состоящего из двух типов элементов - работ и событий.



Рис. 7.6. Схема сетевого графика

Работа представляет собой выполнение некоторого мероприятия, например выполнение определенной технологической, транспортной или складской операции. Работа связана с затратой времени и расходом ресурсов, она должна иметь начало и конец. Работа обозначается на графике стрелкой, над которой проставлен номер работы (большая буква с индексом), а под ней - продолжительность работы (в скобках).

Событиями называются начальные и конечные точки работы, например начало или окончание производственной операции. Событие не является процессом и поэтому не сопровождается затратами времени или ресурсов. Событие обозначается кружком с буквенным обозначением внутри (маленькая буква с индексом).

Относительно данной работы события могут быть предшествующими (непосредственно перед ней) и последующими (непосредственно за ней). Относительно данной работы другие работы могут быть предшествующими и последующими. Каждая входящая в данное событие работа является предшествующей каждой выходящей работе; каждая выходящая работа является последующей для каждой входящей.

Основные свойства сетевого графика:

ни одно событие не может произойти до тех пор, пока не будут закончены все входящие в него работы;

ни одна работа, выходящая из данного события, не может начаться до тех пор, пока не произойдет данное событие;

ни одна последующая работа не может начаться раньше, чем будут закончены все предшествующие ей работы.

Приступая к построению сетевого графика, разрабатывают перечень событий, определяющих планируемый процесс - производственную задачу, без которых она не может состояться (табл. 7.11). Затем предусматриваются работы, в результате которых все необходимые события должны произойти (табл. 7.12).

Таблица 7.11

Обозначение события	Наименование события	Ответственное лицо
0	Получено задание предприятием	Директор
1	Разработаны задания подразделениям № 1 и № 2	Заместитель директора по производству
2	Выполнена работа I этапа в подразделении № 1	Начальник подразделения № 1
3	Выполнена работа I этапа в подразделении № 2. Подразделением № 2 получены комплектующие из подразделения № 1	Начальник подразделения № 2
4	Выполнена работа II этапа в подразделении № 2	Начальник подразделения № 2
5	Выполнена работа II этапа в подразделении № 1. Подразделением № 1 получены комплектующие из подразделения № 2	Начальник подразделения № 1
6	Выполнены работы III этапа в подразделениях № 1 и № 2. Заказ готов.	Начальники подразделений № 1и № 2
7	Изделие доставлено потребителю	Начальник транспортной службы

Таблица 7.12

Обозначение работы	Наименование работы	Продолжительность выполнения работы, ч
А01	Разработка заданий подразделениям № 1 и № 2	4
А12	Выполнение работ I этапа в подразделении № 1	8
А13	Выполнение работ I этапа в подразделении № 2	4
А23	Передача комплектующих из подразделения № 1 в подразделение № 2	12
А25	Выполнение работ II этапа в подразделении № 1	4
А34	Выполнение работ II этапа в подразделении № 2	8
А45	Передача комплектующих из подразделения № 2 в подразделение № 1	4
А46	Выполнение работ III этапа в подразделении № 1	4
А56	Выполнение работ III этана в подразделении № 2	8
А67	Доставка заказа потребителю	4

Исходя из перечня событий и работ составляется сетевой график (см. рис. 7.6). Вначале это можно сделать схематично, без учета масштаба времени. Сетевой график строится от исходного события к завершающему, слева направо. Исходному событию присваивается нулевой номер, завершающему событию - последний номер. Остальные события нумеруются так, чтобы номер предыдущего события был меньше номера последующего события.

Работа кодируется индексом, содержащим номера событий, между которыми она заключена. Совершение события зависит от окончания самой длительной из всех входящих в него работ. Последовательные работы и события формируют пути (цепочки), которые ведут от исходного к завершающему событию.

Далее сетевой график строится в масштабе времени (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Сетевой график в масштабе времени

Сетевой график дает возможность оценить количество и качество мероприятий планируемой производственной задачи. Он позволяет установить, от каких из них и в какой степени зависит достижение конечной цели действий. Так, ранг события показывает, какое количество работ необходимо выполнить, чтобы данное событие состоялось. Сетевой график также показывает, какое мероприятие следует выполнять в первую очередь, какие можно выполнять параллельно. Так, в нашем примере видно, что ни одна последующая работа не может выполняться раньше, чем закончатся все предшествующие. Видно также, что работы А25 и A23 могут выполняться параллельно.

После построения сетевого графика производится его анализ. Для этого строится так называемый критический путь. Это полный путь, на котором суммарная продолжительность работ является максимальной. Иными словами, это самый длинный по времени путь в сетевом графике от исходного до завершающего события. Критический путь лимитирует выполнение задачи в целом, поэтому любая задержка на работах критического пути увеличивает время всего процесса. На рис. 7.6 и 7.7 критический путь обозначен двойной линией.