Король математиков. Жизнь и творчество К.Ф. Гаусса

46

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина

Реферат

КОРОЛЬ МАТЕМАТИКОВ: ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО К.Ф. ГАУССА

Брест, 2010

Дальнейшая разработка и развитие арифметики в ее систематизированном виде, как и почти всего, что дала математика нашего [девятнадцатого] столетия в области оригинальных научных идей, связано с Гауссом.

Леопольд Кронекер

Происхождение Гаусса (1777-1855)-- короля математиков было далеко не королевским. Сын бедных родителей, он появился на свет в жалком сельском домике в Брауншвейге, в Германии, 30 апреля 1777 г. Дед Гаусса по отцу был бедным крестьянином. Трудная жизнь родившегося в 1744 г. его сына Герхарда Дидриха, работавшего садовником, смотрителем каналов и каменщиком, не была примечательной ни в каком отношении, не считая уникальной чести стать отцом Гаусса. То, что известно об отце Гаусса, позволяет представить его прямым, скрупулезно честным, грубоватым человеком, чья резкость в общении с сыновьями иногда граничила с жестокостью. Только ряд счастливых случайностей спас Гаусса от удела садовника или каменщика. Ребенком он был послушным и почтительным и хотя в дальнейшей жизни не порицал отца, но давал понять, что никогда не питал к нему особой привязанности. Герхард умер в 1806 г. К этому времени его сын, которого он упорно пытался обескуражить, завершил свое бессмертное сочинение.

С материнской стороны Гауссу действительно повезло. Отец его матери Доротеи Бенц был каменотесом, он умер тридцати лет. Младший брат матери Фридрих, принужденный материальными недостатками стать ткачом, был в высшей степени разумным, добрым человеком, чей острый и беспокойный ум вторгался по собственному почину в области, далекие от его повседневных интересов. Обнаружив родственный ум у сына своей сестры, искусный дядя Фридрих оттачивал свой разум разумом юного гения и делал все, что мог для поощрения живой сообразительности мальчика.

Мать Гаусса приехала в Брауншвейг в 1769 г., она была решительная женщина с сильным характером, острым умом и изрядным чувством юмора. Тридцати четырех лет (в 1776 г.) она вышла замуж за будущего отца Гаусса и в следующем году родила сына. Его полное имя было Иоганн Фридрих Карл Гаусс (имя дяди сохранилось в имени благодарного племянника). Сын был гордостью матери с самого его рождения до ее смерти в возрасте 97 лет. Двухлетний вундеркинд, чей изумительный ум поражал всех, следивших за его развитием, даже превзошел надежды, которые он подавал в детстве. Доротея Гаусс стала на его сторону и одолела настояния упрямого мужа оставить сына таким же невежественным, как он сам.

Доротея надеялась и ждала от сына великих дел. Когда Гауссу было 19 лет, она спросила его друга Вольфганга Бойяи, достигнет ли когда-нибудь Гаусс чего-нибудь. Когда Бойяи воскликнул: «Это величайший математик Европы!» -- она залилась слезами.

Последние 22 года своей жизни она провела в доме сына. Самого Гаусса мало беспокоила его слава, его триумфами жила его мать. Между ними всегда было полнейшее взаимопонимание; Гаусс вознаградил смелое покровительство матери в детстве тем, что обеспечил ей безмятежную старость.

Во всей истории математики нет никого, кто приблизился бы к Гауссу по ранней одаренности. Неизвестно, в каком возрасте Архимед впервые проявил свой гений. Самые ранние проявления высочайшего математического таланта Ньютона вполне могли пройти незамеченными. Гаусс же, хотя это кажется невероятным, показал свою одаренность, когда ему не было еще трех лет. Как-то в субботу Герхард Гаусс составлял платежную ведомость для рабочих. Дойдя до конца своих длинных расчетов, Герхард с удивлением услышал: «Папа, вычисления неверны, должно быть...» Проверка показала, что число, названное младшим Гауссом, было правильным.

Еще раньше мальчик выспросил у родителей и их друзей, как произносятся буквы алфавита и самостоятельно научился читать. Никто не учил его арифметике, хотя, вероятно, вместе с алфавитом он получил сведения о значении цифр 1,2, ... . Впоследствии он любил шутить, что научился считать раньше, чем говорить. Необыкновенные способности вычислять в уме были присущи ему всю жизнь. Вскоре после достижения 7 лет Гаусс пошел в свою первую школу, представлявшую собой убогий пережиток средневековья. В ней примерно сотню мальчиков обучал некий Бютнер, который запугивал их до предела. В такой адской дыре Гаусс нашел свое счастье.

В первые два года учебы не случилось ничего необычайного. Затем, на десятом году жизни, Гаусс начал проходить арифметику. Поскольку ей обучались начинающие, никто из мальчиков не слышал об арифметической прогрессии. Поэтому для Бютнера было легко дать детям длинную задачу на сложение, ответ к которой он мог найти по формуле в несколько секунд. Задача требовала выполнить сложение 81 297 + 81 495 + 81 693 + ... + 100 899, где каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину (в данном случае на 198) и общее количество чисел дано (здесь 100).

Как только Бютнер дал задание, Гаусс подошел к его столу и положил на него свою грифельную доску с решением. Затем в течение часа, пока другие мальчики пыхтели над задачей, он сидел, сложа руки. В конце урока Бютнер проверил доски. На доске Гаусса было написано только одно число. Как только способ известен, это очень просто, но для 10-летнего мальчика найти этот способ мгновенно не так уж и просто.

Это открыло Гауссу дверь, через которую он пошел к бессмертию. Бютнер был так поражен тем, что сделал десятилетний мальчик без каких-либо указаний, что быстро искупил свои грехи и, по крайней мере, для одного из своих воспитанников стал гуманным учителем. На собственные деньги он купил самый лучший учебник арифметики, который смог достать, и подарил его Гауссу. Мальчик проглотил книгу. «Он превзошел меня, -- сказал Бютнер, -- я ничему больше не могу его научить». Сам Бютнер не мог, вероятно, дать много юному гению. Но по счастливому случаю у учителя был помощник Иоганн Мартин Бартельс (1769 -- 1836), молодой человек, влюбленный в математику. Между 17-летним помощником учителя и 10-летним школьником возникла сердечная дружба, которая продолжалась до конца жизни Бартельса. Они вместе занимались, помогая друг другу разобраться в трудных вопросах и расширяя доказательства в общем для них учебнике по алгебре и начаткам анализа.

Из этих ранних занятий развился один из научных интересов Гаусса, доминировавших в его деятельности. Он быстро овладел биномиальной теоремой:

(a+ *)^ft=i+-^;*+ ^я<^я-¹>.г»₊"^(п-^1)(я-²⁾-*^з + ...,

1 1-2 1-2-3

где n -- не обязательно положительное целое число, n может быть любым числом. Если п не целое положительное, то ряд в правой части является бесконечным (продолжается без конца) и, для того чтобы выявить, когда этот ряд действительно равен (1 + х)^п, приходится исследовать, какие ограничения должны быть наложены на п и х, чтобы бесконечный ряд сходился к определенному конечному пределу. Так, если х = -2 и n = -1, то получаем абсурдный результат, что (1 -- 2)"¹, равное (-1)-¹, т.е. и, наконец, -1, равно 1 + 2 + 2² + 2³ + ..., и так до бесконечности, т. е. что -- 1 есть сумма бесконечного множества чисел 1 +2 +4 -[- 8 + ..., что является бессмыслицей.

Строгость, внесенная Гауссом в анализ, постепенно распространилась на всю математику в результате подхода к этому как самого Гаусса, так и его современников Абеля и Коши, а также его последователей Вейерштрасса и Дедекинда; математика после Гаусса стала совершенно отличной от математики Ньютона, Эйлера и Лагранжа.

В конструктивном смысле Гаусс был революционером. Еще до окончания школы тот же дух критицизма, который привел его к неудовлетворенности биномиальной теоремой, побудил его усомниться в доказательствах элементарной геометрии. В 12-летнем возрасте он уже косо смотрел на основания евклидовой геометрии; 16-ти лет его впервые озарил проблеск геометрии, отличной от евклидовой. Годом позже он начал критически исследовать доказательства в теории чисел, которые удовлетворяли его предшественников, и поставил себе исключительно трудное задание восполнить пробелы и завершить то, что было сделано лишь наполовину. Бартельс сделал для Гаусса больше, чем просто ввел его в тайны алгебры. Молодой учитель был знаком с некоторыми влиятельными людьми Брауншвейга. Теперь его делом стало заинтересовать их своей находкой. Они, в свою очередь, пораженные очевидной гениальностью Гаусса, обратили на него внимание Брауншвейг-ского герцога.

Герцог принял Гаусса в первый раз в 1791 г. Скромность и неуклюжая застенчивость 14-летнего мальчика покорили сердце герцога. Гаусс ушел от него с уверенностью, что его образование будет продолжено. В следующем году (в феврале 1792 г.) Гаусс был зачислен в Карлово училище (Collegium Carolinum) в Брауншвейге. Герцог платил за его обучение, пока оно не завершилось.

До поступления в училище в возрасте 15 лет Гаусс достиг больших успехов в изучении классических языков, занимаясь ими частным образом с помощью старших друзей. Блестящее владение им классическими языками изумило преподавателей и учащихся в училище.

Сам Гаусс был очень увлечен филологией, но, к счастью для науки, вскоре познал более побудительное влечение к математике. Гаусс обучался в училище 3 года, в течение которых он овладел наиболее важными трудами Эйлера, Лагранжа и более всего «Началами» Ньютона. Величайшая похвала великому человеку -- та, которая исходит от другого такого же. Гаусс никогда не снизил оценки Ньютона, которая сложилась у него в 17-летнем возрасте. Другие -- Эйлер, Лаплас, Лагранж, Лежандр -- появляются в беглой латыни Гаусса с лестным эпитетом «клариссимус» (clarissimus -- яснейший); Ньютон же у него «суммус» (summus -- величайший).

Еще в училище Гаусс начал те исследования по высшей арифметике, которые обессмертили его имя. Его необыкновенные вычислительные способности теперь сильно пригодились. Занявшись непосредственно самими числами, он экспериментировал с ними, открывал по индукции глубокомысленные общие теоремы, доказательства которых даже ему стоили усилий. Именно таким способом он переоткрыл «жемчужину арифметики» -- «золотую теорему» («theorema aureum»), к которой Эйлер также пришел индуктивно и которая известна как закон взаимности квадратичных вычетов. Гаусс был первым, кто доказал ее (попытка Лежандра доказать ее запятнана запутанностью).

Началом всего исследования явился простой вопрос, который задают себе многие новички в арифметике: сколько цифр содержится в периоде десятичной периодической дроби? Чтобы пролить на эту задачу некоторый свет, Гаусс вычислил десятичные представления для всех дробей вида -- при п от единицы до тысячи. Он нашел не то сокровище, которое искал, а нечто бесконечно большее -- закон взаимности квадратичных вычетов. Поскольку он формулируется довольно просто, мы опишем его здесь, одновременно введя одно из изобретенных Гауссом улучшений в терминологии и записях в арифметике, которое произвело в ней коренную ломку, -- именно понятие сравнения. Все числа в нижеследующем изложении являются целыми.

Если разность (а -- Ь или b -- а) двух чисел а и Ъ делится нацело на число т, мы говорим, что а и Ь сравнимы между собой по модулю т, и выражаем это символически, записывая а = Ь (mod m). Например, 100 = 2 (mod 7), 35 е= 2 (mod 11).

Преимущество такой записи состоит в том, что она напоминает нам способ написания алгебраических уравнений, дает понятию арифметической делимости компактное представление и наводит на мысль попытаться перенести на арифметику (которая гораздо труднее алгебры) некоторые из операций, приводящих к хорошим результатам в алгебре. Например, мы можем «складывать» уравнения и обнаруживаем, что сравнения тоже можно «складывать», если они берутся по одному и тому же модулю; при этом получаются другие сравнения.

Пусть x обозначает неизвестное число, а r и m -- данные числа, причем r не делится на m. Существует ли число x такое, что

x² ? r (mod m)?

Если такое число х существует, то r называется квадратичным вычетом т, если не существует -- квадратичным невычетом т.

Если r есть квадратичный вычет т, то можно найти по крайней мере одно число х, квадрат которого при делении на т дает в остатке r. Если r -- квадратичный невычет т, то не существует ни одного числа x, квадрат которого при делении на т дает в остатке г. Это непосредственные следствия данных выше определений.

Проиллюстрируем сказанное примером. Является ли число 13 квадратичным вычетом числа 17? Если да, то можно решить сравнение х^й == 13 (mod 17). Испытывая числа 1, 2, 3, ..., мы обнаружим, что числа х = 8, 25, 42, 59, ... являются решениями (8² = 64 = = 3¨ 17+13; 25³ = 625 = 36-17 + 13; и т. д.). Таким образом, 13 является квадратичным вычетом 17. Однако сравнение х² = = 5 (mod 17) не имеет решения, так что 5 является квадратичным невычетом 17.

Теперь естественно задать вопрос: что представляют собой квадратичные вычеты и квадратичные невычеты данного числа т? Именно, пусть задано т в сравнении х^% = г (mod m). Какие числа могут и какие не могут появляться вместо г, когда х пробегает все значения 1, 2, 3, ...?

Без больших трудностей можно показать, что вопрос сводится к случаю, когда г и т. являются простыми числами. После этого можно переформулировать задачу: если р есть данное простое число, то какие простые числа q делают сравнение

x² ? q (mod p)

разрешимым? Вообще это значит спрашивать слишком много при современном состоянии арифметики. Тем не менее положение не является совершенно безнадежным.

Имеется изящная «взаимность» между парами сравнений

x² ? q (mod p); x² ? p (mod q),

в которых p и q -- простые числа. Оба сравнения разрешимы или оба неразрешимы во всех случаях, кроме одного -- когда как р, так и q при делении на 4 дают в остатке 3. В этом случае одно из сравнений разрешимо, а другое -- нет. Это и есть закон взаимности квадратичных вычетов.

Его нелегко доказать. В самом деле, это не удалось сделать Эйлеру и Лежандру. Гаусс дал свое первое доказательство в возрасте 19 лет. Поскольку закон взаимности имеет фундаментальное значение в высшей арифметике и во многих отделах алгебры, Гаусс обращался к нему вновь и вновь в течение многих лет, стремясь найти его главные корни, пока не дал шесть различных доказательств теоремы, одно из которых опирается на построение с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников.

Когда Гаусс в октябре 1795 г. в возрасте 18 лет оставил училище, чтобы поступить в Гёттингенский университет, он все еще не решил, чему посвятить жизнь -- математике или филологии. К этому времени он уже изобрел метод «наименьших квадратов», который теперь так необходим при геодезических съемках, при обработке наблюдений и действительно повсюду, где «наиболее вероятное» значение какой-нибудь измеряемой величины должно быть получено из большого числа измерений (наиболее вероятное значение получается путем сведения к минимуму суммы квадратов отклонений в пределах предполагаемой точности). Честь этого открытия Гаусс делит с Лежандром, который независимо от Гаусса опубликовал метод в 1806 г. Работа в этом направлении вызвала у Гаусса интерес к теории ошибок наблюдения. Закон Гаусса нормального распределения ошибок и соответствующая колоколообразная кривая теперь известны всем тем, кто имеет дело со статистикой.

День 30 марта 1796 г. стал поворотным пунктом в жизни Гаусса. В этот день, как раз за месяц до своего 19-летия, Гаусс окончательно сделал выбор в пользу математики. Изучение языков осталось на всю жизнь его любимым занятием на досуге.

Как уже было сказано в главе о Ферма, правильный семнадцатиугольник был тем жребием, который заставил Гаусса перейти свой Рубикон. В тот же день Гаусс начал вести свой научный дневник. Это один из ценнейших документов в истории математики. Первая запись в нем увековечивает его великое открытие.

Дневник вошел в научное обращение только в 1898 г., 43 года спустя после смерти Гаусса. Он состоит из девятнадцати небольших страниц и содержит 146 исключительно кратких записей об открытиях или результатах вычислений, последняя из которых датирована 9 июля 1814 г. Факсимильное воспроизведение рукописи было опубликовано в 1917 г. в десятом томе (часть 1) Собрания сочинений Гаусса вместе с исчерпывающим анализом ее содержания, проведенного несколькими сведущими редакторами. Не все открытия Гаусса этого плодотворного периода с 1796 по 1814 г. отмечены в дневнике. Но многие из тех, которые бегло очерчены в нем, достаточны для того, чтобы установить приоритет Гаусса в различных областях математики, например в изучении эллиптических функций -- здесь некоторые его современники отказывались верить, что он предвосхитил их.

То, что оказалось похороненным на годы или десятилетия в дневнике, могло бы создать доброе имя полудюжине ученых, если бы было быстро опубликовано. Кое-что вообще не стало достоянием гласности при жизни Гаусса, и он никогда не претендовал в своих публикациях на то, что опередил других, которые сталкивались с ним. Однако записи свидетельствуют, что он опередил некоторых из тех, кто ставил под сомнение сообщения его друзей. Эти предвосхищения не были просто заурядными. Некоторые из них привели к более важным областям математики XIX в.

Некоторые заметки указывают на то, что дневник был сугубо личным делом их автора. Так, под 10 июля 1796 г. имеется запись:

ЕВРИКА! пит = ? + ? + ?.

Она воскрешает в памяти восклицание Архимеда «Эврика!» и содержит утверждение, что всякое положительное целое число является суммой трех треугольных чисел, т. е. чисел последовательности 0, 1, 3, 6, 10, 15, ..., в которой каждый член (после нуля) представим в виде -- п (п -- 1). Другим способом толкования того же является утверждение, что всякое число вида 8/г + 3 есть сумма трех нечетных квадратов: 3 = I² + I² + I², 11 = I² + I² + З², 19 = I² + З² + З² и так далее. Доказать это сразу нелегко.

Смысл двух записей навсегда потерян для нас, остальные 144 большей частью достаточно ясны. Одна из них особенно важна -- это запись от 19 марта 1797 г., показывающая, что уже Гаусс открыл двоякую периодичность некоторых эллиптических функций. Ему тогда не было еще 20 лет. Кроме того, более поздняя запись показывает, что Гаусс постиг двоякую периодичность и в общем случае. Одно это открытие, если бы он опубликовал его, могло бы сделать его знаменитым.

Почему Гаусс придерживал свои великие открытия? Это объяснить легче, чем его гений, -- если воспринять его собственные простые заявления, о которых сейчас будет рассказано.

Говоря о себе, Гаусс заметил, что предпринимал свои научные исследования лишь по глубочайшему внутреннему побуждению, и для него было второстепенным вопросом, будут ли когда-нибудь они опубликованы для сведения других. Другое заявление, которое Гаусс сделал однажды своему другу, объясняет как дневник, так и медленность в публикациях. Он сказал, что, прежде чем ему исполнилось 20 лет, его ум обуревала такая несметная масса новых идей, что он едва мог охватить их и его времени хватало только для того, чтобы записать небольшую их часть. Дневник содержит лишь короткие формулировки конечных результатов, явившихся плодом проведенных исследований: некоторыми из них он занимался неделями. Размышляя, будучи юношей, над завершенными нерушимыми цепями синтетических доказательств, в которые Архимед и Ньютон заключили свое вдохновение, Гаусс решил следовать их великому примеру и оставить после себя лишь законченные произведения, настолько совершенные, что к ним ничего нельзя добавить и от них ничего нельзя убавить, не обезображивая целого. Работа сама по себе должна быть полной, простой и убедительной, без всякого следа затраченного на ее выполнение труда. Имея перед собой такой идеал, Гаусс предпочитал несколько раз шлифовать один шедевр, чем публиковать свободные наброски многих, что он легко мог бы сделать.

Плоды этого стремления к совершенству были действительно зрелыми, но не всегда удобоваримыми. Поскольку все следы того, каким путем достигалась цель, устранялись, последователям Гаусса было нелегко переоткрыть пройденный им путь. Соответственно, некоторые из его работ должны были ждать одаренных толкователей, прежде чем математики смогли в общем понять их, увидеть их значение для нерешенных проблем и пойти дальше вперед. Современники Гаусса просили его ослабить строгость холодного совершенства, чтобы математика могла быстрее продвигаться вперед, но Гаусс никогда не делал послаблений. Лишь спустя длительное время после его смерти стало известно, как много из математики XIX столетия предвидел и предвосхитил Гаусс ранее 1800 г. Если бы он разгласил все, что знал, вполне возможно, что математика теперь на 50 лет или более опережала бы нынешнее свое состояние. Абель и Якоби смогли бы начать с того, что забросил Гаусс, вместо того чтобы тратить многие свои самые утонченные усилия на переоткрытие того, что знал Гаусс еще до их рождения, а создатели неевклидовой геометрии могли бы обратить свой гений на другие вещи.

О себе Гаусс говорил, что он «во всем математик». Это верно, если учесть, что «математик» его дней включал также того, кого теперь можно назвать занимающимся математической физикой. Действительно, его девиз: Ты, природа, моя богиня, И я служу твоим законам...

Три года в Гёттингенском университете (октябрь 1795 -- сентябрь 1798) были наиболее плодотворными в жизни Гаусса. Он погрузился в работу. Друзей у него было немного. Один из них -- Вольфганг (Фаркаш) Бойяи -- стал другом на всю жизнь. Течение этой дружбы и ее значение в истории неевклидовой геометрии потребовали бы слишком много места для рассказа о них здесь. Сыну Вольфганга, Иоганну (Яношу), пришлось пройти практически тот же путь, которому следовал Гаусс, чтобы создать неевклидову геометрию в полном неведении того, что старый друг отца предвосхитил его. С 1795 г. он замыслил большое сочинение по теории чисел. Теперь оно принимает определенную форму, и к 1798 г. «Арифметические исследования» (Disquisitiones Arithmeticae) были практически закончены.

Чтобы ознакомиться с тем, что уже было сделано в высшей арифметике, и увериться, что он предоставляет должный кредит своим предшественникам, Гаусс в сентябре 1798 г. отправился в Хельмштедт, где была хорошая математическая библиотека. Там он обнаружил, что его слава опередила его. Он был сердечно принят ведавшим библиотекой профессором математики Иоганном Фридрихом Пфаффом (1765 -- 1825), в доме которого и поселился. Гаусс и Пфафф стали пылкими друзьями. Пфафф, очевидно, считал своим долгом узнать, чем занимается его трудолюбивый молодой друг, так как по вечерам они прогуливались, беседуя о математике. Поскольку Гаусс был не только скромным, но и сдержанным в рассказах о своих работах, Пфафф, вероятно, не узнал от него столько, сколько мог бы узнать. Гаусс чрезвычайно восхищался профессором (он был тогда самым известным математиком Германии) не только ввиду его превосходных работ, но и ввиду его открытого простого характера.

Когда молодой гений, закончив Гёттингенский университет, стал беспокоиться о своем будущем, ему пришел на помощь герцог, который оплатил печатание его докторской диссертации (1799) и пожаловал стипендию, которая позволила ему продолжать научную деятельность.

Прежде чем осветить «Арифметические исследования», мы коснемся диссертации, за которую Гаусс был удостоен заочно степени доктора Хельмштедтским университетом: «Новое доказательство теоремы о том, что всякая целая рациональная алгебраическая функция одной переменной может быть разложена на действительные множители первой или второй степени».

В диссертации, явившейся вехой в алгебре, лишь одно неверно. Первые два слова в названии могут создать впечатление, что Гаусс просто добавил новое доказательство к уже известным другим. Ему следовало опустить слово «новое». Его доказательство было первым (смысл этого будет разъяснен ниже). Некоторые математики до Гаусса публиковали то, что они считали доказательствами этой теоремы, обычно называемой основной теоремой алгебры, но никто из них не достиг цели³. С его бескомпромиссными требованиями к логической и математической строгости Гаусс настаивал именно на доказательстве и дал его впервые. Другая, эквивалентная формулировка теоремы состоит в том, что всякое алгебраическое уравнение с одним неизвестным имеет корень. Начинающие часто принимают это утверждение на веру, не имея даже отдаленного понятия, в чем его смысл.

Сомневаться в том, будто утверждение, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень, что-либо значит, можно до тех пор, пока не сказано, какой именно корень имеет уравнение. Смутно мы чувствуем, что какое-то число будет удовлетворять уравнению, а не полфунта масла.

Гаусс превратил интуитивное представление в точное знание, доказав, что все корни любого алгебраического уравнения суть «числа» вида а + Ы, где а и b -- действительные числа (числа, которые соответствуют расстояниям -- положительным, отрицательным и нулевому, -- измеряемым от фиксированной точки О на данной прямой -- оси х декартовой геометрии), a i есть квадратный корень из -- 1. Эти новые «числа» называются комплексными.

При этом Гаусс одним из первых дал связное последовательное объяснение комплексных чисел и интерпретировал их как точки плоскости, что принято теперь в элементарных учебниках алгебры.

Гаусс считал теорему о том, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень (в том смысле, который был сейчас разъяснен) столь важной, что дал четыре различных ее доказательства, причем последнее в 70-летнем возрасте. Сейчас иногда перемещают эту теорему из алгебры в анализ, ограничивая алгебру теми процессами, которые могут быть выполнены за конечное число шагов. Даже Гаусс предполагал, что график многочлена является непрерывной кривой и что если многочлен имеет нечетную степень, то график должен пересечь ось х по крайней мере один раз. Для любого новичка в алгебре это очевидно. Но теперь это не является очевидным и требует доказательства, а попытки провести доказательство снова приводят к трудностям, связанным с непрерывностью и бесконечностью. Даже корни такого простого уравнения, как х* -- 2 = 0, не могут быть вычислены точно за любое конечное число шагов. Сейчас мы переходим к «Арифметическим исследованиям».

Это был первый из шедевров Гаусса, и некоторые считают его величайшим. Он явился прощанием с чистой математикой как с предметом исключительного интереса. После его опубликования в 1801 г. (Гауссу тогда было 24 года) он расширил свою активность, включив в нее астрономию, геодезию и учение об электромагнетизме, как в математическом, так и в практическом аспекте. Но арифметика была его первой любовью, и он в дальнейшем всю жизнь сожалел, что не нашел времени написать второй том, который он замышлял молодым человеком. В книге 7 частей. Должна была быть и 8-я, но она опущена, чтобы снизить стоимость печатания.

Вводная фраза предисловия описывает общую направленность книги. «Исследования, содержащиеся в этом труде, относятся к той части математики, которая имеет дело с целыми числами, а также с дробями; иррациональные числа постоянно исключаются».

В первых трех частях излагается теория сравнений и, в частности, дается исчерпывающее рассмотрение двучленного сравнения Х^п = A (mod р), где п и А -- произвольные целые числа, ар -- простое число; неизвестным целым числом является х. Изящная арифметическая теория имеет много сходства с соответствующей алгебраической теорией двучленного уравнения х^п = А, но в своих собственно арифметических частях несравненно богаче и труднее алгебраической; при этом алгебра не выявляет аналогий с арифметикой.

В четвертой части Гаусс развивает теорию квадратичных вычетов. Здесь находится первое опубликованное доказательство закона взаимности квадратичных вычетов. Доказательство является удивительным применением математической индукции и служит образцом изобретательной логики, повсеместной в книге.

В пятой части начинается теория двойничных квадратичных форм, рассматриваемая с арифметической точки зрения и вскоре сопровождаемая обсуждением тройничных квадратичных форм, которые оказываются необходимыми для завершения бинарной теории. Закон взаимности квадратичных вычетов играет фундаментальную роль в этих трудных свершениях. Для форм первого вида задача, названная общей, состоит в рассмотрении решения в целых числах х, у неопределенного уравнения

ax² + 2bxy + cy² = m,

где a, b, c, m -- данные целые числа. Для форм второго вида предметом исследования являются целочисленные решения х, у и z уравнения

ax² + 2bxy + cy² + 2dxz + 2eyz + fz² = m,

где a, b, c, d, e, f, m -- данные целые числа. Выглядящим простым, однако на самом деле трудным вопросом в этой области является наложение необходимых и достаточных ограничений на а, с, т, которые обеспечивают существование целочисленного решения неопределенного уравнения

ax² + cy² + fz² = m.

Шестая часть заключает применения предыдущей теории к различным специальным случаям, например к целочисленным решениям уравнения

mx² + ny² = A,

где m, n, A -- данные целые числа.

В седьмой, последней части, которую многие считают венцом сочинения, Гаусс использует предшествующие результаты, особенно теорию двучленных сравнений, к замечательному рассмотрению алгебраического уравнения х^п = 1, где п -- любое заданное целое число, в котором арифметика, алгебра и геометрия сплетаются вместе в образец особого совершенства. Уравнение х^п = 1 дает алгебраическую формулировку геометрической задачи построения правильного n-угольника или деления окружности на п равных частей (смотри любой повышенный учебник алгебры'или тригонометрии). Арифметическое сравнение х'^г = 1 (mod р), где тир -- данные целые числа, причем р -- простое, является нитью, пронизывающей алгебру и геометрию и придающей упомянутому образцу простое значение. Это безупречное произведение искусства доступно пониманию любого студента, владеющего школьной алгеброй. Тем не менее «Арифметические исследования» не рекомендуются для новичков (сжатое изложение Гаусса было переработано позднейшими авторами и приобрело более удобочитаемую форму).

Многие части всего содержащегося в книге были сделаны иначе прежде -- Ферма, Эйлером, Лагранжем, Лежандром и другими, но Гаусс дал трактовку всего со своей точки зрения, добавил много своего и вывел изолированные результаты своих предшественников из своих общих формулировок и решений относящихся сюда задач.

«Арифметические исследования», -- сказал Гаусс на склоне лет, -- вошли в историю. И он был прав. Опубликованием этой книги высшей арифметике было придано новое направление, и теория чисел, которая в XVII и XVIII столетиях являлась разнообразным объединением не связанных между собой отдельных результатов, приобрела связность и поднялась до уровня математической науки наряду с алгеброй, анализом и геометрией. Само сочинение было названо «книгой за семью печатями». Его трудно читать даже знатокам, но содержащиеся в нем сокровища, а также (частично скрытые) сжатые синтетические доказательства теперь доступны всем, кто пожелает овладеть ими, главным образом в результате трудов ученика и друга Гаусса Петера Густава Лежен Дирихле (1805 -- 1859), который первым вскрыл «семь печатей».

Из-за классического совершенства стиля «Исследования» усваивались несколько медленно, и, когда, наконец, одаренные молодые люди начали, глубоко, изучать сочинение, его уже невозможно было достать, так как книготорговец обанкротился. Даже Эйзенштейн, любимый ученик Гаусса, так никогда и не имел своего экземпляра книги. Дирихле повезло больше. Его экземпляр сопровождал его во всех путешествиях, и он спал, положив его под подушку. Перед тем как ложиться, он осиливал какой-нибудь трудный параграф в надежде, часто исполнявшейся, что он пробудится ночью, чтобы обнаружить, что при повторном чтении все стало ясным. Именно Дирихле принадлежит изумительная теорема, упомянутая в связи с Ферма, о том, что всякая арифметическая прогрессия

a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, ... ,

в которой a и b -- целые числа, не имеющие общего делителя, большего единицы, содержит бесконечно много простых чисел. Она была доказана с помощью анализа, что само по себе является чудом, так как в теореме идет речь о целых числах, тогда как анализ имеет дело с непрерывным нецелым.

Вероятно, все математики теперь сожалеют, что Гаусс был отклонен от шествия сквозь мрак «парой глыб грязи, которые мы называем планетами» (его собственные слова), засверкавших неожиданно в ночном небе и сбивших его с пути. Менее значительные, чем Гаусс, математики, например Лаплас, могли бы сделать все, что сделал Гаусс в вычислении орбит Цереры и Паллады, даже если задача была того типа, о которых Ньютон говорил, что они относятся к труднейшим в математической астрономии. Однако блестящий успех Гаусса в этих вопросах принес ему немедленное признание первым математиком Европы и благодаря этому обеспечил ему уютное положение, в котором он мог сравнительно спокойно работать, в конце концов; глыбы грязи, возможно, стали в итоге счастливыми звездами.

Второй большой период деятельности Гаусса начался в первый день XIX столетия -- красный день истории философии и истории астрономии. С 1781 г., когда сэр Вильям Гершель (1738 -- 1822) открыл планету Уран, доведя, таким образом, число известных тогда планет до удовлетворявшего философов числа 7, астрономы прилежно исследовали небеса в поисках следующих членов солнечной семьи, которые, согласно закону Боде, ожидались между орбитами Марса и Юпитера. Поиски были бесплодными, пока Джузеппе Пияцци (1746 -- 1826) из Палермо в первый день XIX в. не заметил объект, который вскоре был признан новой планетой, позже названной Церерой, первой в семействе малых планет, известных теперь.

В письме своему другу Шумахеру от 1 ноября 1844 г. Гаусс говорит: «Вы видите одну и ту же вещь [математическую некомпетентность] у современных философов -- Шеллинга, Гегеля, Неес фон Ессенбека и их последователей; разве ваши волосы не встают дыбом от их определений? Но даже с самим Кантом часто дело обстоит ненамного лучше; по моему мнению, его различение аналитических и синтетических утверждений является одной из тех вещей, которые либо сводятся к тривиальности, либо являются ложными». Когда это писалось, Гаусс уже давно владел неевклидовой геометрией, которая сама по себе является достаточным опровержением некоторых утверждений Канта о «пространстве» и геометрии, и он мог невольно высказываться презрительно.

Из одного этого примера, касающегося чисто математических тонкостей, не следует делать заключение, что Гаусс не ценил философию. Наоборот. Все философские достижения производили на него большое впечатление, хотя он часто не одобрял средства, которыми они были достигнуты. «Существуют проблемы, -- сказал он однажды, -- решению которых я придал бы неизмеримо большее значение, чем решению проблем математики, например касающиеся этики или нашего отношения к богу, нашей судьбы и нашего будущего; но их решение нам не по силам, и оно полностью лежит за пределами естествознания».

Церера была для математики бедствием. Чтобы понять, почему она была принята Гауссом с такой опустошающей серьезностью, надо вспомнить, что колоссальная фигура Ньютона, который умер более 70 лет до этого, все еще маячила над математикой в 1801 г. «Великими» математиками того времени были те, кто, подобно Лапласу, трудились над завершением ньютоновского здания небесной механики. Математика все еще смешивалась с математической физикой -- такой, какой она была тогда, -- и математической астрономией. Взгляд на математику как на самостоятельную науку, присущий Архимеду в III столетии до н. э., был утерян в блеске ньютоновского великолепия. Так было до тех пор, пока юный Гаусс не уяснил, что математика была признана как наука, первым долгом которой является заниматься собственными проблемами. Однако Церера соблазнила беспримерный ум Гаусса, когда ему было 24 года, как раз в тот момент, когда он был готов сделать большой шаг в нехоженые дебри, которым предстояло стать просторами современной математики.

Новая планета была открыта в таком положении, которое было чрезвычайно трудным для наблюдений за ней. Вычислить орбиту по скудным имевшимся данным было задачей, которую мог бы одолеть сам Лаплас. Ньютон заявлял, что такие задачи относятся к наиболее трудным в математической астрономии. Одни только вычисления, необходимые для установления орбиты с точностью, достаточной, чтобы увериться, что Церера при вращении вокруг Солнца не будет утеряна для телескопов, могли бы извести электромеханическую счетную машину даже теперь. Но для молодого человека с непостижимой памятью, позволявшей ему обходиться без таблицы логарифмов, когда ему было трудно или лень достать ее, вся эта бесконечная арифметика -- логистика, не арифметика -- была детским развлечением.

Почти 20 лет возвышенные мечты, беглые наброски которых Гаусс юношей занес в свой дневник с необузданной радостью, лежали заброшенными, но все же не забытыми. Церера была переоткрыта точно в том месте, которое предсказали изумительно искусные подробные вычисления молодого Гаусса. Вскоре неугомонными телескопами были пойманы, вопреки Гегелю, Паллада, Веста и Юнона -- младшие сестры маленькой Цереры, и их орбиты также оказались в согласии с вдохновенными вычислениями Гаусса. Вычисления, для выполнения которых Эйлеру потребовалось бы три дня и одно из которых якобы привело его к слепоте, теперь стали простыми упражнениями на несколько часов. Гаусс указал метод, и дело стало рутинным. В течение почти 20 лет большую часть своего времени он посвящал астрономическим вычислениям.

Но даже такая убийственная работа не могла стерилизировать творческий гений Гаусса. В 1809 г. он опубликовал свой второй 196 шедевр -- «Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям», в котором исчерпывающее рассмотрение определения планетных и кометных орбит по данным наблюдений, включая трудный анализ возмущений, стало основой канона, который многие годы господствовал в вычислительной и практической астрономии. Это был великий труд, но не такой великий, какой Гаусс легко мог создать, развив наметки, содержавшиеся в его дневнике. Никакого существенно нового математического открытия «Теория движения» не включала.

Признание пришло с показательной быстротой после переоткрытия Цереры. Лаплас сразу приветствовал молодого математика как равного себе, а вскоре -- как превзошедшего его. Немного позже, когда Александр фон Гумбольдт (1769 -- 1859) -- знаменитый путешественник и любитель наук -- спросил Лапласа, кто является величайшим математиком Германии, Лаплас ответил: «Пфафф». -- «А как же с Гауссом?» -- удивился Гумбольдт. -- «О, -- сказал Лаплас, -- Гаусс -- это величайший математик мира».

Десятилетие, последовавшее за эпизодом с Церерой, принесло Гауссу много счастья и много печали. Даже в этот ранний период его деятельности нашлись люди, умалявшие его успехи. Лица с положением, привлекавшие внимание образованной публики, осмеивали 24-летнего молодого человека за напрасную трату времени на такое бесполезное занятие, как вычисление орбиты малой планеты. Они так же осмеивали Гаусса 30 лет спустя, когда он заложил основы математической теории электромагнетизма и изобрел электрический телеграф. Гаусс позволял им получать удовольствие от своих острот. Он никогда не отвечал им публично, но в частном порядке выражал сожаление, что почтенные люди и жрецы науки могут так мелочно унижаться. Тем временем Гаусс продолжал свою работу, благодарный научным обществам Европы за воздаваемые ему почести, но, не отклоняясь от выбранного пути.

Герцог Брауншвейгский увеличил содержание молодого ученого и тем самым сделал возможным его брак. Он женился 9 октября 1805 г. в возрасте 28 лет на Иоганне Остхоф из Брауншвейга.

От этого брака родилось трое детей. Иоганна умерла 11 октября 1809 г., оставив Гаусса безутешным. Его вечная весна обратилась в зиму. Хотя Гаусс в следующем году (4 августа 1810 г.) снова женился ради своих маленьких детей, долгое время он не мог без глубокого чувства говорить о своей первой супруге. От второй жены, Минны Вальдек, которая была близкой подругой первой, он имел двух сыновей и дочь.В 1808 г. умер отец Гаусса. Двумя годами раньше Гаусс испытал еще более тяжкую потерю: при трагических обстоятельствах умер его благодетель -- герцог. Как и Декарт, в раннем детстве Гаусс испытал страх смерти, и всю жизнь потеря близких друзей наполняла его душу гнетущим чувством.

Теперь, когда умер его великодушный патрон, Гаусс должен был найти какой-то надежный способ для обеспечения содержания семьи. Он не встретил в этом трудностей, так как слава его распространилась уже по всей Европе. Петербург закинул удочку: не хочет ли Гаусс стать преемником Эйлера, которому еще не было достойной замены после его смерти в 1783 г. В 1807 г. Гауссу было сделано более определенное лестное предложение. Александр фон Гумбольдт и другие влиятельные друзья, не желая, чтобы Германия теряла величайшего математика мира, взялись за дело, и Гаусс был назначен директором Гёттингенской обсерватории с привилегией (или обязанностью, если угодно) читать лекции по математике студентам университета.

Несомненно, Гаусс мог получить профессуру по математике, но он предпочел обсерваторию, так как это создавало лучшие перспективы для непрерывных научных исследований; хотя, может быть, было бы слишком сильно сказать, что Гаусс ненавидел преподавание, но натаскивание заурядных студентов не приносило ему удовольствия, и, лишь когда его находил истинный математик, Гаусс, сидя у стола вместе со своими студентами, разрешал ему войти и раскрывал секреты своих методов в прекрасно подготовленных лекциях. Но это, к сожалению, случалось очень редко, и большинству студентов, на которых Гаусс тратил свое бесценное время, следовало бы заниматься не математикой, а чем-нибудь другим. В письме 1810 г. своему близкому другу, астроному и математику Фридриху Вильгельму Бесселю (1784 -- 1846), Гаусс сообщает: «Этой зимой я читал два курса лекций трем студентам, из которых один обладает средними знаниями, другой -- менее, чем средними, а третий лишен и знаний и способностей. Таковы тяготы профессии математика».

Жалованье, которое Гёттинген мог выплачивать Гауссу, было скромным, но достаточным для удовлетворения нехитрых потребностей Гаусса и его семьи.

Но если Гаусс был простым и бережливым, то вторгшиеся в 1807 г. в Германию французы были еще проще и бережливее. Они наложили на побежденных громадную контрибуцию. Завоеватели сочли, что профессор астрономии Геттингена вполне может внести 2000 франков в военную кассу Наполеона. Эта несоразмерная сумма далеко превосходила возможности Гаусса.

Вскоре Гаусс получил письмо от своего друга, астронома Оль-берса, в которое была вложена указанная сумма побора -- налога. Гаусс отказался принять деньги и сразу же отослал их обратно.

Смерть герцога, скверное положение дел в Германии, разграбливаемой французами, финансовые затруднения, потеря первой жены -- все это сказалось на здоровье Гаусса и сделало его жизнь несчастной в 30 лет с небольшим. Наследственное предрасположение к ипохондрии, усугубленное непрестанным переутомлением, не улучшало дела. Он никогда не делился своими горестями с друзьями, для которых он всегда безмятежный корреспондент, но он доверился -- только однажды -- одной своей личной математической рукописи. После своего назначения директором обсерватории в Гёттингене в 1807 г. Гаусс в течение трех лет иногда возвращался к одной из самых великих вещей, отмеченных в его дневнике. В рукописи по эллиптическим функциям чисто научные рассуждения внезапно прерываются тщательно выписанными карандашом словами: «Смерть милее мне, чем такая жизнь». Его лекарством стала работа.

Годы 1811 -- 1812 (Гауссу в 1811 г. было 34 года) были более светлыми. С новой женой, заботившейся о его маленьких детях, он стал обретать некоторый покой. Затем Гаусс впервые наблюдал в глубоких сумерках вечером 22 августа большую комету 1811 г., вспыхнувшую неожиданно. Она оказалась достойным противником в проверке оружия, изобретенного Гауссом для покорения малых планет.

Оружие оказалось соответствующим требованиям. Пока суеверные народы Европы с благоговейным трепетом следили за ярким зрелищем, Гаусс с удовлетворением смотрел на комету, точно следовавшую по пути, быстро рассчитанному им для нее. Доставляет удовлетворение отметить то, что Гаусс был слишком горд, чтобы унизить математику перед Наполеоном Великим, взывая к тщеславию императора и упрашивая его во имя его пресловутого уважения ко всему математическому уменьшить налог в 2000 франков, что Гаусса побуждали сделать некоторые заблуждавшиеся друзья. Гаусс чувствовал, что и ему самому и математике, которую он почитал, будет лучше обойтись без снисхождения Наполеона.

Не считая довольно поверхностного понимания ценности математики для военного дела, Наполеон не имел никакого представления о той математике, которой занимались ученые такого ранга, как его современники Лагранж, Лаплас и прежде всего Гаусс. Быстро изучив в школе обычную элементарную математику, Наполеон слишком рано обратился к другим вещам, чтобы подтвердить свои надежды, и так и не созрел как математик. Хотя кажется невероятным, чтобы человек со способностями, проявленными Наполеоном, мог столь явно недооценивать трудность предметов, лежащих за пределами его понимания, чтобы свысока относиться к Лапласу, остается фактом, что со смехотворной смелостью он заверял автора «Небесной механики», что прочел бы его книгу в течение первого свободного месяца, который представился бы ему. Ньютону и Гауссу задание было бы впору; Наполеон же, несомненно, мог перелистать за месяц страницы книги Лапласа, не очень утомляя себя.

1811 год, возможно, был вехой в математике, сравнимой с вехой 1801 г. -- появлением «Арифметических исследований»: Гаусс сообщил публично о своем открытии, в которое ранее посвятил Бесселя. Основательно поняв комплексные числа и их геометрическое представление как точек плоскости в аналитической геометрии, Гаусс предложил себе проблему исследования того, что теперь называется аналитическими функциями комплексной переменной. Комплексное число х + iy, где i обозначает] -- 1, представляет собой точку с декартовыми координатами (х, у). Обозначим х + iy для краткости одной буквой г. Когда х и у независимо принимают действительные значения каким-нибудь предписанным непрерывным способом, точка г перемещается по плоскости, очевидно, не наугад, а способом, определяемым тем, как х и у предписываются их значения. Всякое выражение, содержащее z, скажем z², -- и так далее, принимающее единственное определенное значение для каждого предписанного значения г, называется однозначной функцией z. Будем обозначать такую функцию символом / (г). Так, если f(z) есть, в частности, функция z², так что

f (z) = (x + iy)² = x² + 2ixy + i²y² = x² - y² + 2ixy

(так как i² = -1), то ясно, что если г, т. е. х + iy, приписывается какое-нибудь значение, например х = 2, у = 3, так что z = 2+Зг, то тем самым определяется точно одно значение функции (г); в данном случае при z = 2 + 3? i получаем г² = -- 5 -f 12.

Пусть z движется к другому положению, скажем к г'. Функция (г) при этом принимает X' ° X другое значение (г'), получаемое подстановкой вместо z значения г''. Разность f (/) -- (г), нового и старого значений функции теперь поделим на разность нового и старого значений переменной z и получим выражение, затем точно так же, как это делалось при вычислении наклона графика, чтобы найти производную функции, представляемой графиком, пусть здесь г' неограниченно приближается к г. Однако при этом появляется замечательное новое явление.

Здесь имеется не один путь, по которому z' может двигаться до совпадения с z; г' может странствовать по всей плоскости комплексных чисел по любому из бесконечного множества различных путей, прежде чем совпадет с г. Нельзя ожидать, что предельное значение отношения, когда z' совпадает с z, будет одним и тем же для всех этих путей; в общем случае этого нет. Но если f (z) такова, что только что описанное предельное значение является одним и тем же для всех путей, по которым движется z' до совпадения с г, тогда говорят, что (г) моногенна в z (или в точке, представляющей г). Однозначность, описанная выше, и моногенность являются отличительными свойствами аналитических функций комплексной переменной.

Некоторое представление о важности аналитических функций можно получить из того факта, что обширные трактаты по теории движения жидкостей (а также по математическим основам учения об электричестве и о построении карт, в которых не искажаются углы) естественно базируются на теории аналитических функций комплексной переменной. Предположим теперь, что в такой функции (z) выделена ее «действительная» часть (та, которая не содержит мнимой единицы i) и ее «мнимая» часть; скажем,

(г) = = U + iV.

В частности, для аналитической функции г² имеем

U = х² -- у², V = 2ху.

Вообразим слой жидкости, текущей по плоскости. Если движение жидкости происходит без завихрений, его линии тока находятся с помощью некоторой аналитической функции f (г) путем вычерчивания кривых U = а, где а -- любое Действительное число, а эквипотенциальные линии подобным же образом -- как кривые V = b (b -- любое действительное число). Для заданного состояния, скажем для жидкости, обтекающей препятствие, трудность задачи состоит в том, чтобы найти, какую следует выбрать аналитическую функцию для этого. Весь вопрос большей частью решали обратным путем: изучали простые аналитические функции и выискивали физические задачи, которым они соответствуют. Довольно любопытно, что многие из этих искусственно заготовленных задач сослужили величайшую службу в аэродинамике и в других практических применениях теории движения жидкости.