Король математиков. Жизнь и творчество К.Ф. Гаусса

Теория аналитических функций комплексной переменной была одной из важнейших областей торжества математики в XIX в. Гаусс в письме к Бесселю излагает то, что равнозначно основной теореме этой обширной теории, но он скрыл это, и теорема была переоткрыта Коши и позже Вейерштрассом. Поскольку она является вехой в истории математического анализа, мы кратко охарактеризуем ее, опуская все уточнения, которые потребовались бы при строгой формулировке.

Представим, что комплексная переменная z движется по замкнутой кривой конечной длины без самопересечений. Мы имеем интуитивное понятие о том, что подразумеваем под «длиной» части такой кривой. Пометим на кривой п точек Р_ъ Р₂, P_s, ..., Р_п так, чтобы длина каждой из дуг Р_г2, PoP_s, P₃Pi, , Р_п Р не превышала некоторой предписанной конечной длины. На каждой из дуг выберем точку (только не на ее концах), найдем значение функции (z) при значении г, соответствующем этой точке, и умножим это значение на длину дуги, на которой лежит точка. То же сделаем для всех дуг и сложим результаты. Наконец, найдем предел этой суммы, когда число дуг ^Гп~¹ неограниченно возрастает. Это дает криволинейный интеграл от (г) вдоль данной кривой.

Когда этот криволинейный интеграл будет равен нулю? Для того чтобы криволинейный интеграл был равен нулю, достаточно, чтобы функция (z) была аналитической (однозначной и моногенной) в каждой точке z рассматриваемой кривой и внутри ее. Это и есть великая теорема, которую Гаусс сообщил Бесселю в 1811 г. и которой вместе с другой теоремой подобного типа в руках независимо переоткрывшего ее Коши предстояло произвести в качестве следствий многие важные результаты анализа.

Астрономия не поглощала всей огромной энергии Гаусса в его 35 лет. 1812 год, который видел безнадежные арьергардные бои великой армии Наполеона, был также свидетелем опубликования другого выдающегося труда Гаусса -- его исследования о гипергеометрическом ряде

с с(с + 1) 1 2 " '

где многоточие означает, что ряд продолжается бесконечно по тому же закону; следующим членом является

а (а + 1) (а + 2) b (b + 1) (b + 2) с(с + 1)(с+2)¨ 1 ¨ 2- 3

Этот мемуар тоже явился вехой. Как уже было отмечено, Гаусс был первым из современных ригористов. В своем труде он определил ограничения, которые нужно наложить на числа а, Ь, с, х, чтобы этот ряд сходился (в объясненном раньше в этой главе смысле). Этот ряд сам по себе уже не был лишь упражнением для учебника, которое можно выполнить для достижения ловкости в аналитических преобразованиях и затем забыть. Он включает в качестве частных случаев, получаемых при определенных особых значениях одной или нескольких из величин а, Ь, с, х, многие из наиболее важных в анализе рядов, например те, с помощью которых вычисляются и табулируются логарифмы, тригонометрические функции и несколько функций, которые неоднократно внезапно появляются в ньютоновской астрономии и математической физике; общая биномиальная теорема также является здесь частным случаем. Располагая этим рядом в его общем виде, Гаусс одним ударом сокрушил многое. Этот труд послужил развитию в XIX в. многих приложений к дифференциальным уравнениям физики.

Выбор такого исследования для серьезных усилий характерен для Гаусса. Он никогда не печатал тривиальных вещей. Когда он издавал что-то, оно было не только законченным само по себе, но также настолько переполнено идеями, что его последователи получали возможность применять то, что изобрел Гаусс, к новым проблемам. Хотя ограничения по объему книги запрещают обсуждение многих примеров такого фундаментального характера вкладов Гаусса в чистую математику, один из них не может быть обойден молчанием даже в самом коротком очерке -- это труд о законе биквадратичной взаимности. Значение его в том, что он придал новое и совершенно непредвиденное направление высшей арифметике.

После установления квадратичной (второй степени) взаимности для Гаусса было естественным рассмотреть общий вопрос о двучленных сравнениях любой степени. Если т -- данное целое число, не делящееся на простое число р, п -- данное положительное целое и если далее можно найти такое целое число х, что х" = т (mod p), то т называется п-ичным вычетом р, когда п -- 4, т называется биквадратичным вычетом р.

Статья 1825 г. распахивает целину со всей смелостью великих пионеров. После многих неудачных попыток, ведших к необозримой сложности, Гаусс нашел «естественный» путь к сердцу проблемы. Рациональные целые числа 1, 2, 3, ... не являются подходящими для формулировки закона биквадратичной взаимности, какими они являются для закона квадратичной взаимности; должен быть изобретен совершенно новый вид целых чисел. Они называются гауссовыми комплексными целыми числами. Это все комплексные числа вида а + bi, где а и Ъ -- рациональные целые числа.

Чтобы установить закон биквадратичной взаимности, необходимо исчерпывающее предварительное рассмотрение законов арифметической делимости для таких комплексных целых чисел. Гаусс дал его и тем самым положил начало теории алгебраических чисел -- той теории, которую он, вероятно, имел в виду, когда давал свою оценку Последней теореме Ферма. Для кубичной взаимности (п = 3) он также нашел правильный путь подобным образом. Его работа об этом была обнаружена в его посмертных бумагах.

Кубичной взаимностью располагал любимый ученик Гаусса -- Эйзенштейн. Он же обнаружил удивительную связь между законом биквадратичной взаимности и некоторыми частями теории эллиптических функций, в которой Гаусс продвинулся далеко, но воздержался раскрыть то, что нашел.

Гауссовы комплексные целые числа являются, конечно, подклассом всех комплексных чисел, и можно было бы подумать, что алгебраическая теория всех чисел даст арифметическую теорию включенных в них целых чисел, как тривиальный частный случай. На самом деле это не так. По сравнению с арифметической теорией алгебраическая теория -- детская игрушка. Возможная причина этого подсказывается рассмотрением рациональных чисел (чисел вида, где а и b -- рациональные целые числа). Мы можем всегда разделить одно рациональное число на другое и получить еще одно рациональное число: -- , деленное на -- , дает рациональное число --. Но рациональное целое число, деленное на другое такое число, не всегда является рациональным целым числом: 7, деленное на 8, дает -- . Следовательно, если мы должны ограничиться целыми числами, что представляет интерес для теории чисел, мы связываем себя по рукам и ногам еще до того, как начинаем действовать. В этом одна из причин, почему высшая арифметика труднее алгебры, высшей или элементарной.

В равной степени важные продвижения были сделаны Гауссом также в геометрии и приложениях математики к геодезии, ньютоновой теории тяготения и электромагнетизму. Как мог один человек выполнить эту колоссальную массу работы высшего порядка? С характерной для него скромностью Гаусс заявлял: «Если бы другие размышляли о математических истинах так глубоко и постоянно, как это делаю я, они пришли бы к моим открытиям». Возможно, объяснение Гаусса напоминает ньютоново. Когда его спросили, как он сделал открытия в астрономии, превосходящие открытия всех своих предшественников, Ньютон ответил: «Всегда думая о них».

В способности забывать о себе в мире своих мыслей Гаусс имеет сходство и с Архимедом и с Ньютоном. Еще в двух отношениях он также достигал их уровня -- в своих дарованиях к точным наблюдениям и в своей искусной изобретательности, что позволило ему самому создавать инструменты, необходимые для научных исследований в геодезии, астрономии, теории электромагнетизма. В качестве примера его технической изобретательности можно упомянуть, что в 1833 г. он пришел к открытию электрического телеграфа и что он и его сотрудник Вильгельм Вебер (1804 -- 1891) применяли этот телеграф как само собой разумеющееся средство для передачи сообщений. Такое сочетание математического гения с первоклассными экспериментальными способностями является одним из редчайших во всех естественных науках.

Сам Гаусс мало заботился о возможных применениях его изобретений. Как и Архимед, он предпочитал математику всем земным царствам, предоставляя другим собирать осязаемые плоды его трудов. Но Вебер, его сотрудник по фундаментальным исследованиям электромагнетизма, отчетливо понимал, каково значение слабого маленького телеграфа в Гёттингене для цивилизации. «Когда земной шар покроется сетью железных дорог и телеграфных проводов, -- пророчествовал Вебер в 1835 г., -- эти сети сослужат службу, сравнимую с деятельностью нервной системы человеческого тела, частично как транспортные средства, частично как средства распространения идей и новостей со скоростью света».

Восхищение Гаусса Ньютоном уже отмечалось. Зная, каких колоссальных усилий стоили ему некоторые его собственные шедевры, Гаусс отдавал должное длительной подготовке и постоянному размышлению, которые привели к величайшему труду Ньютона. Легенда о Ньютоне и падающем яблоке вызывала у Гаусса негодование. К теории гравитационного поля Эйнштейна так же привел напряженный труд, затраченный им в течение нескольких лет на овладение тензорным исчислением двух итальянских математиков -- Риччи и Леви-Чивита, самих по себе учеников Римана и Кристоф-феля, которые оба, в свою очередь, вдохновлялись геометрическими трудами Гаусса.

Толкуя об Архимеде, к которому он также питал безграничное восхищение, Гаусс заметил, что он не мог понять, как Архимед упустил изобретение десятичной системы счисления или эквивалентной ей с основанием, отличным от 10. Совершенно не греческий по своему духу труд Архимеда, содержавший изобретенную им систему записи и обращения с числами, далеко выходящими за пределы возможностей греческого способа обозначений чисел, предоставил (согласно Гауссу) в руки Архимеда десятичную систему записи с ее всеважнейшим принципом поместного значения (325 = 3 10² + 2 10 + 5). Этот недосмотр Архимеда Гаусс считал величайшим несчастьем в истории науки. «До каких высот поднялась бы теперь наука, если бы Архимед сделал это открытие!» -- восклицал он, думая о массе своих собственных арифметических и астрономических вычислений, которые были бы невозможными, даже для него, без десятичной системы записи. Полностью понимая значение для всех наук улучшенных методов вычислений, Гаусс, как раб, трудился над своими собственными вычислениями, пока страницы цифр не сводились до нескольких строк, которые могли быть восприняты почти сразу. Сам он многое в своих вычислениях делал в уме; усовершенствования предназначены для тех, кто менее одарен, чем он.

В отличие от Ньютона в его поздних летах, Гаусса никогда не привлекали вознаграждения по официальной службе, хотя его острый интерес и проницательность во всех вопросах, имеющих отношение к статистике, страхованию и «политической арифметике», сделали бы его хорошим министром финансов. До своей последней болезни он находил полное удовлетворение в науке и в простых развлечениях. Чтение в широком объеме европейской литературы и классиков античности, критический интерес к мировой политике и овладение в совершенстве иностранными языками и новыми науками (включая ботанику и минералогию), являлись занятиями Гаусса на досуге. Его особенно привлекала английская литература, хотя ее более мрачные аспекты, как в шекспировских трагедиях, были слишком обильными для обостренной чувствительности великого математика ко всем видам страданий, и он предпочитал более светлые и радостные шедевры. Он читал романы Вальтера Скотта (который был современником Гаусса), как только они выходили в свет. Исторические труды на английском языке доставляли ему особое удовольствие. К своему блистательному молодому современнику, лорду Байрону, Гаусс питал почти неприязнь. В отношении литературы своей собственной страны вкусы Гаусса были несколько необычными для интеллигентного немца. Жан Поль был его любимым немецким поэтом; Гёте и Шиллер, чьи жизни частично пересекались с его жизнью, оценивались им не очень высоко.

Способность, с которой Гаусс овладевал в юности языками, сохранилась у него на всю жизнь. Языки были для него чем-то большим, чем занятиями на досуге. Чтобы испытать гибкость своего ума, по мере того как он становился старше, Гаусс умышленно овладевал новым языком. Такое упражнение, полагал он, помогает ему сохранить свой ум молодым. В возрасте 62 лет он начал интенсивно изучать русский язык без чьей-либо помощи. Через два года он бегло читал русскую прозу и поэтические сочинения и вел переписку со своими петербургскими друзьями среди ученых полностью на русском языке. По мнению русских, навещавших его в Гёттингене, он также прекрасно говорил по-русски. Русскую литературу он ставил наравне с английской по удовольствию, которое она ему доставляла.

Его третье хобби, мировая политика, поглощало каждый день примерно час. Регулярно посещая литературный музей, он был в курсе событий -- читал все газеты, которые приходили в музей.

Интеллектуальный аристократ в политике, Гаусс был вполне консервативен, но никак не реакционер. Его время было бурным и в родной стране и за границей. Власть толпы и акты политического насилия вызывали в нем, как сообщает его друг фон Вальтерсхаузен, «неописуемый ужас». Парижская революция 1848 г. наполнила его страхом. Если бы в Германии вспыхнула гражданская война, говорил Гаусс, он сразу же умер бы. Чужеземное завоевание, на манер великого наполеоновского, он рассматривал, как непостижимое безумие.

Другим источником силы Гаусса была его научная скромность и отсутствие личного честолюбия. Все его честолюбие было направлено на продвижение математики. Когда соперники ставили под сомнение его утверждение, что он опередил их, Гаусс не выставлял свой дневник, чтобы доказать свой приоритет, а предоставлял своему утверждению требовать уважения к его собственным достоинствам.

Лежандр был самым многоречивым из таких сомневающихся. Один случай сделал его врагом Гаусса на всю жизнь. В «Теории движения» Гаусс сослался на открытый им ранее метод наименьших квадратов. Лежандр опубликовал этот метод в 1806 г., раньше Гаусса. С большим возмущением он написал Гауссу письмо, фактически обвиняя его в нечестности и выражая недовольство тем, что Гаусс, столь богатый в открытиях, мог бы быть настолько порядочным, чтобы не присваивать себе метод наименьших квадратов, который Лежандр считал своим собственным детищем. В спор вступил Лаплас. Гаусс, по-видимому, считал ниже своего достоинства обсуждать вопрос дальше. Но в письме другу он указывает свидетельство, которое могло бы завершить спор тотчас же, если бы Гаусс не был «слишком гордым, чтобы бороться». «Я все сообщил Ольберсу в 1802 г.», -- заявил он, и, если Лежандр был склонен сомневаться в этом, он мог бы спросить Ольберса, который имел рукопись.

Спор был крайне неуместным для последующего развития математики, так как Лежандр сообщил о своих неоправданных подозрениях Якоби и тем самым помешал этому блестящему молодому творцу теории эллиптических функций войти в сердечные отношения с Гауссом. Размолвка была тем более прискорбной, что Лежандр был человеком самого возвышенного характера и скрупулезно честным. Ему было суждено быть превзойденным обладавшими более богатым воображением, чем он, математиками в областях, в которых он тяжело трудился большую часть своей долгой трудолюбивой жизни, что, как показали более молодые ученые -- Гаусс, Абель и Якоби, -- было излишним. На каждом шагу Гаусс далеко опережал Лежандра. Тем не менее, когда Лежандр обвинил Гаусса в нечестном поступке, тот почувствовал, что сам покинут в беде. После опубликования с подробностями посмертных бумаг Гаусса и многого из его переписки последних лет, все эти старые споры раз и навсегда были разрешены в пользу Гаусса. Но остается еще одно основание для его осуждения -- отсутствие у него сердечности в оценке великих трудов других, особенно более молодых ученых. Когда Коши качал публиковать свои блестящие открытия в теории функций комплексной переменной, Гаусс игнорировал их. Ни слова похвалы или ободрения не дошло до молодого француза от короля математиков. Хорошо, но почему оно должно было дойти? Гаусс сам (как мы видели) достиг сердцевины проблемы годами раньше, чем Коши приступил к ней. Статья по этой теории должна была стать одним из шедевров Гаусса. Далее, когда труд Гамильтона по кватернионам в 1852 г., за 3 года до смерти Гаусса, привлек его внимание, он опять не сказал ни слова. Почему он должен был сказать что-нибудь? Суть предмета была захоронена в его заметках более 30 лет до этого. Он хранил свой покой и не претендовал на приоритет. Как и в своих предвосхищениях теории функций комплексной переменной, теории эллиптических функций и неевклидовой геометрии, Гаусс был удовлетворен проделанной работой.

Суть кватернионов -- это алгебра, которая играет роль вращений в трехмерном пространстве, как алгебра комплексных чисел играет роль вращений на плоскости. Но для кватернионов (Гаусс называл их мутациями) нарушается одно из основных правил алгебры: для них уже не верно, что а b = b а, и невозможно создать алгебру трехмерных вращений, в которой это правило сохраняется. Гамильтон, один из великих математических гениев XIX в., пишет с ирландской цветистостью речи, как он в течение 15 лет старался изобрести алгебру, совместимую с тем, что требовалось, пока счастливое вдохновение не дало ему ключ к разгадке, что а b не равно b а в той алгебре, которую он искал. Гаусс не сообщает, сколько времени поглотило у него достижение цели; он просто записал о своем успехе на нескольких страничках об алгебре, не оставляющей математике воображения.

Если Гаусс был несколько холоден в печатных выражениях признания ценности трудов, то в переписке и в научных сношениях с теми, кто обращался к нему в духе бескорыстных расспросов, он был достаточно сердечным. Одна из его дружеских научных связей имеет более чем только математический интерес, так как показывает либеральность взглядов Гаусса касательно женщин, занимающихся научной работой. Широта его взглядов в этом отношении была выдающейся для любого человека его поколения; для немца она была почти беспрецедентной.

Женщина, о которой идет речь, -- мадемуазель Софи Жермен (1776-1831) -- была старше Гаусса только на один год. Они никогда не встречались, и она умерла (в Париже) прежде, чем Гёттингенский университет смог присвоить ей почетную докторскую степень, что рекомендовал факультету Гаусс. По курьезному совпадению самая знаменитая женщина-математик XIX в., тоже Софья, получила свою докторскую степень много лет спустя в этом же самом либеральном университете после того, как Берлинский университет отказал ей в этом, учитывая ее пол. Видимо, Софья -- удачное в математике имя для женщин, если только они опекаются широко мыслящими учителями. Ведущая женщина-математик нашего времени -- Эмми Нетер (1882-1935) -- также вышла из Гёттингена.

Научные интересы Софи Жермен охватывали акустику, математическую теорию упругости и высшую арифметику; в каждой из них она сделала заметные работы. В частности, ее вклад в исследование Последней теоремы Ферма привел в 1908 г. к значительному продвижению в этом направлении американского математика Леонарда Юджина Диксона (1874 -- 1954).

Описание всех выдающихся вкладов Гаусса в чистую и прикладную математику потребовало бы большой книги (возможно, больше, чем потребовалось бы для Ньютона). Здесь мы можем упомянуть только о некоторых более важных трудах, еще не упомянутых, и будем выбирать те из них, которые пополнили математику новыми приемами или завершили выдающиеся проблемы. В виде приблизительной, но удобной хронологии (принятой издателями сочинений Гаусса) мы подытожим основные области интересов Гаусса после 1800 г. следующим образом: 1800 -- 1820 -- астрономия; 1820 -- 1830 -- геодезия, теория поверхностей и теория конформного отображения; 1830 -- 1840 -- математическая физика, в особенности электромагнетизм, земной магнетизм и теория ньютоновского тяготения; 1841 -- 1855 -- топология и геометрия в связи с функциями комплексной переменной. 211

В 1821-1848 гг. Гаусс был научным советником ганноверского (Гёттинген находился тогда под управлением Ганновера) и датского правительств по обширным геодезическим съемкам. Его метод наименьших квадратов и его мастерство в составлении схем обработки массы числовых данных получили большой размах, но еще важнее, что задачи, возникающие при точном топографировании части земной поверхности, несомненно, навели его на более глубокие и более общие задачи, связанные со всевозможными кривыми поверхностями. Этим исследованиям предстояло породить математику теории относительности. Предмет не был новым: некоторые предшественники Гаусса, особенно Эйлер, Лагранж и Монж, исследовали геометрию определенных типов кривых поверхностей, однако Гауссу осталось атаковать проблему во всей ее общности, и от его исследований развился первый великий период дифференциальной геометрии.

Дифференциальную геометрию грубо можно описать как изучение свойств кривых, поверхностей и т. д. в непосредственной близости от некоторой точки, так что можно пренебречь степенями расстояний выше второй.

Вдохновленный трудами Гаусса, Риман в 1854 г. написал свою классическую диссертацию о гипотезах, лежащих в основаниях геометрии, которая, в свою очередь, стала началом второго великого периода в дифференциальной геометрии, той, которая применяется теперь в математической физике, особенно в общей теории относительности.

Три из проблем, которые рассматривал Гаусс в своем труде по теории поверхностей, навеяли важные в математическом и естественнонаучном отношении общие теории: измерение кривизны, теория конформных отображений и изгибаемость поверхностей.

Излишне мистифицируемое движение «искривленного» пространства-времени, которое является чисто математическим расширением известной, мыслимо представляемой кривизны на «пространство», описываемое четырьмя координатами вместо двух, было естественным развитием гауссова труда о кривых поверхностях. Разумность всего этого хорошо проиллюстрирует одно из его определений. Задача состоит в изобретении некоторых точных средств для описания того, как «кривизна» поверхности меняется от точки к точке поверхности; описание должно соответствовать нашему интуитивному представлению о том, что означает «более искривленная» и «менее искривленная».

Полная кривизна любой части поверхности, ограниченной замкнутой несамопересекающейся кривой С, определяется следующим образом. Нормалью к поверхности в данной точке является та прямая, проходящая через данную точку, которая перпендикулярна плоскости, касающейся поверхности в данной точке. В каждой точке кривой С имеется нормаль к поверхности. Вообразим все эти нормали проведенными. Теперь представим, что из центра сферы с единичным радиусом (она может быть расположена где угодно относительно рассматриваемой поверхности) проведены все радиусы, параллельные нормалям, проходящим через точки кривой С. Эти радиусы вырежут на сфере единичного радиуса кривую, скажем С. Площадь этой части сферической поверхности, ограниченной кривой С, и есть по определению полная кривизна данной части криволинейной поверхности, ограниченной кривой С. Небольшое воображение показывает, что это определение соответствует обычным понятиям, как и требовалось.

Другой основной идеей, разработанной Гауссом в его исследовании поверхностей, была идея параметрического представления.

Чтобы отметить определенную точку на плоскости, требуются две координаты. То же и на поверхности сферы или сфероида, подобного Земле: в этих случаях координаты можно мыслить как широту и долготу. Это поясняет, что значит двухмерное многообразие. В общем случае: если точно п чисел как необходимы, так и достаточны, чтобы отметить (индивидуализировать) каждый отдельный элемент из какого-то класса вещей (точек, звуков, цветов, линий и т. д.), то говорят, что этот класс является п-мерным многообразием. При таком подходе принимается, что лишь некоторые характеристики элементов класса будут определены числами. Так, если мы рассматриваем только высоту звуков, то имеем одномерное многообразие, ибо одного числа -- частоты колебания, соответствующей звуку -- достаточно, чтобы определить его высоту. Если мы присовокупим громкость, измеренную по некоторой подходящей шкале, звуки являются уже двухмерным многообразием, и так далее. Если теперь рассмотрим поверхность как состоящую из точек, то видим, что она является двухмерным многообразием (точек). Употребляя язык геометрии, мы находим удобным говорить о любом двухмерном многообразии как о «поверхности» и применять к многообразию рассуждения геометрии в надежде обнаружить что-нибудь интересное.

Предыдущие рассмотрения приводят к параметрическому представлению поверхностей. В декартовой геометрии одно уравнение, связывающее три координаты, представляет поверхность. Пусть координаты (декартовы) суть х, у, г. Вместо использования одного уравнения, связывающего х, у и г, для представления поверхности мы теперь ищем три уравнения:

x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v),

где (и, v), g (и, v) и h (и, v) -- такие функции (выражения) новых переменных и и и, что если эти переменные исключены из приведенных уравнений, то в результате имеем уравнение поверхности, связывающее х, у и z. Исключение возможно, так как два из уравнений можно использовать для разрешения относительно двух неизвестных и и v; результат затем подставляют в третье уравнение. Например, если

х = и - v, у = и -- v, z = uv,

то из первых двух уравнений получаем

и = ^x~^{r y}, v = - -- -

и, следовательно, из третьего имеем

z = х² -- у².

Теперь, когда переменные и и v независимо пробегают некоторое предписанное множество чисел, функции, g, h будут принимать числовые значения и точка с координатами х, у, z будет двигаться по поверхности, уравнениями которой являются три выше записанные уравнения. Переменные и и v называются параметрами поверхности, а три уравнения х = f (и, и), у = g (и, v), z -- h (и, v) -- ее параметрическими уравнениями. Этот метод представления поверхностей имеет большие преимущества перед декартовым методом, когда применяется к изучению кривизны и других свойств поверхностей, которые быстро меняются от точки к точке.

Заметим, что параметрическое представление является внутренним, оно соотносит саму поверхность к ее координатам, а не к внешней посторонней системе осей, не связанной с поверхностью, как в случае метода Декарта. Заметим также, что два параметра и и v непосредственно выявляют двухмерность поверхности. Широта и долгота на земной поверхности являются примерами этих внутренних, «естественных» координат; было бы в высшей степени затруднительным осуществлять навигацию, ссылаясь на три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр Земли, как требовалось бы для кораблевождения по Декарту.

Другим преимуществом метода является легкость обобщения на пространство любого числа измерений. Достаточно увеличить число параметров и действовать, как выше. У Римана эти простые идеи естественно приводят к обобщению метрической геометрии Пифагора и Евклида. Основы этого обобщения были заложены Гауссом, но их важность для математики и физики не была полностью оценена до нашего столетия.

Геодезические исследования подсказали Гауссу также развитие другого мощного метода геометрии, метода конформного отображения. Конформное отображение в целом постоянно используется в математической физике и ее применениях, например в электростатике, гидродинамике и ее отпрыске -- аэродинамике; в последней оно выступает как часть теории крыла.

Еще одной областью геометрии, которую Гаусс обработал с обычными для него основательностью и удачей, была область изгибания поверхностей, в которой требуется определить, какие поверхности могут быть изогнуты в данную поверхность без растягивания и разрывания. И здесь изобретенные Гауссом методы были общими и широко полезными.

Гаусс обогатил фундаментальными исследованиями другие разделы естествознания, например математические теории электромагнетизма, включая земной магнетизм, капиллярности, притяжения эллипсоидов (планеты являются эллипсоидами специального вида) при действии ньютонова закона тяготения, а также диоптрики, особенно относительно систем линз. Последняя предоставила ему удобный случай применить некоторые из чисто абстрактных приемов (непрерывные дроби), которые он развивал молодым человеком, чтобы удовлетворить свою любознательность в теории чисел.

Во всех этих вещах Гаусс не только возвышенно математизировал, он использовал свои руки и свои глаза, был исключительно тщательным наблюдателем. Многие из открытых им специфических теорем, особенно в его исследованиях по электромагнетизму и теории притяжения, стали частью необходимого запаса знаний в занятиях тех, кто серьезно работает в физической науке. В течение многих лет Гаусс с помощью своего друга Вебера искал удовлетворительную теорию для всех электромагнитных явлений. Потерпев неудачу в поисках того, что он считал удовлетворительным, Гаусс отказался от своей попытки. Если бы он нашел уравнения электромагнитного поля, установленные Джеймсом Клерком Максвеллом (1831-1879), он мог бы быть удовлетворенным.

В заключение этого длинного, но все же далеко не полного перечня великих свершений, благодаря которым Гаусс заслужил неоспоримый титул Короля математиков, мы должны упомянуть о предмете, по которому он ничего не опубликовал, кроме беглого намека в диссертации 1799 г., но относительно которого предсказывал, что он станет одним из главных в математике, -- о топологии (analysis situs). Рабочее определение того, что это значит, здесь невозможно (оно требует понятия непрерывной группы), но некоторый намек на тип задач, с которыми он имеет дело, можно получить из простого примера. Какой-то вид узла завязан на веревке и затем концы веревки сращены. «Простой» узел легко отличим на глаз от «сложного», но как следует дать точное, математическое указание о различии между ними? И как мы должны математически классифицировать узлы? Хотя Гаусс ничего не публиковал об этом, он положил этому начало, как было обнаружено в его посмертных бумагах. Другой тип задачи этого предмета -- определить наименьшее число разрезов данной поверхности, которое позволит нам распластать поверхность на плоскости. Для конической поверхности достаточно одного разреза; для якорного кольца -- два; для сферы недостаточно конечного числа разрезов, если не разрешено растяжение.

Эти примеры могут навести на мысль, что весь предмет тривиален. Если бы это было так, Гаусс не придавал бы чрезвычайного значения тому, что он сделал. Его предсказание о фундаментальном характере этого предмета осуществилось при жизни нашего поколения начала нашего века. Сильная школа (включающая многих американцев -- Дж. У. Александера, С. Лефшеца, О. Веблена и др.) пришла к заключению, что топология, или «геометрия положения», как иногда принято ее называть, имеет далеко идущие разветвления как в геометрии, так и в анализе. Как жаль, кажется нам теперь, что Гаусс не смел, урвать год или два от Цереры, чтобы привести в систему свои мысли об этой обширной теории, которая должна была стать мечтой его старого поколения и реальностью молодого поколения нашего века.

В последние годы жизни Гаусса ему воздавались всевозможные почести, но он не был настолько счастлив, насколько заслужил на это право. Оставаясь, как всегда, могучим разумом и плодотворно изобретательным, Гаусс не стремился к отдыху, когда за несколько месяцев до смерти появились первые признаки его последней болезни.

В первый раз, более чем за 20 лет, он покинул Гёттинген 16 июня 1854 г., чтобы увидеть строительство железной дороги между его городом и Касселем -- Гаусс всегда проявлял большой интерес к сооружению и действию железных дорог. Лошади понесли, он был выброшен из кареты, остался невредимым, но сильно потрясённым. Он выздоровел и даже доставил себе удовольствие быть очевидцем церемонии открытия железной дороги, достигшей Гёттингена, 31 июля 1854 г. Это был его утешительный день.

В самом начале нового года он стал страдать большей частью от расширения сердца и недостаточности дыхания. Тем не менее, он работал, когда мог, хотя его руку сводило и, наконец, нарушился его красивый ясный почерк. Последнее, написанное им письмо было к Давиду Брюстеру об открытии электрического телеграфа.

В полном сознании почти до самого конца, он спокойно умер после отчаянной борьбы за жизнь рано утром 23 февраля 1855 г. на 78-м году жизни. Он живет всюду в математике.