Движение жидкости в пористой среде

Размещено на http://www.allbest.ru/

Движение жидкости в пористой среде

1. Предварительные сведения

Движение жидкости в пористой среде, имеющее характер просачивания, называется фильтрацией. Описание этого явления необходимо при решении многих прикладных задач. Наиболее распространенный пример пористой среды -- грунты (гравий, песок, супесь, глина и т. д.) в условиях естественного залегания и в качестве части инженерных сооружений (грунтовые плотины, песчаные фильтры систем водоподготовки, литейные формы и др.)- Примерами искусственных пористых сред являются керамические изделия (кирпич, глиняная посуда), бетон, фильтры для очистки смазочных масел, сыпучий материал (состоящий из частиц с поверхностным активным слоем), которым заполняют химические реакторы. движение грунтовой вода фильтрация

Фильтрующей жидкостью наряду с водой могут быть нефть и газ (иногда их смесь) в нефтегазоносных слоях, смазочный масла, воздух протекающий через формовочный песок в литейных формах, и т. п.

Наиболее разработанная и практически важная область приложения теории фильтрации -- движение воды в порах грунта или, другими словами, движение грунтовых вод, которое представляет большой интерес в инженерно-строительном деле.

2. Физико-механические предпосылки к описанию движения грунтовых вод

Рассмотрим движение воды в подпочвенных грунтах, которые по сравнению с почвами имеют существенно более простые структуру, и особенности содержания и движения в них воды. Подпочвенные грунты разделяют на скальные и нескальные (рыхлые). В скальных грунтах вода фильтрует главным образом через систему трещин.Для нескальных грунтов свойствами, определяющими движение сквозь них воды, являются размеры и форма частиц грунта (гранулометрический состав) и его пористость. Фракции частиц, составляющих грунт, в зависимости от диаметра принято классифицировать следующим образом:

Наименование фракций	Диаметр, мм
глинистые	< 0,0Б<0,005
пылеватые	0,005…0,05
песчаные мелкие	0,05…0,5
песчаные крупные	0,5...2,0,5…2,0
гравелистые	2,0...2,2,0…4,0
галечные	4,0…200
валуны	>200

Частицы песка имеют, как правило, округлую форму (линейные размеры частиц по всем направлениям незначительно отличаются друг от друга); глинистые частицы имеют форму чешуек, что обусловливает относительно большие контактные поверхности и, следовательно, большую роль межмолекулярных сил взаимодействия как между глинистыми частицами, так и между ними и водой.

Объемная пористость грунта п₀ определяется как отношение объема пор V грунта к общему объему V фунта (т.е. к сумме объема пор и объема частиц грунта):

(14.1)

Если рассечь грунт плоскостью, то площадь сечения S можно представить в виде суммы площади сечения порового пространства S_пор и площади сечения частиц грунта S_част:

Поверхностную пористость n,

(14.2)

Для нескальных (зернистых) грунтов объемная пористость равна поверхностной и будет обозначаться той же буквой n.

Значения пористости сильно зависят от степени окатанности частиц грунта, от плотности их сложения. Для грунтов в естественных условиях значения пористости изменяются в небольших пределах:

Грунт Пористость n

Гравий, песок 0,30…0,45

Супеси и суглинки 0,35…0,50

Глины 0,40…0,55

Грунт называется однородным, если его фильтрационные свойства одинаковы во всех точках пространства, которое он занимает; если его свойства зависят от пространственных координат, то грунт называется неоднородным. Иногда неоднородность может проявляться в том, что грунт состоит из отдельных слоев (например, слой песка и слой супеси располагаются над слоем глины). В этом случае обычно рассматривают движение грунтовой воды в каждом слое отдельно, полагая его однородным.

Грунт называют изотропным, если его фильтрационные свойства не зависят от направления движения в нем грунтовой воды; в противном случае грунт называется анизотропным. Как правило, рыхлые грунты являются изотропными, а анизотропными по своим фильтрационным свойствам могут быть торфы, а также скальные грунты, в которых система трещин имеет выраженную пространственную ориентацию.

Вода в грунтах может находиться в следующих состояниях:

1) водяной пар в занятых воздухом порах грунта;

гигроскопическая вода, которая содержится в поверхностном слое частиц грунта и может перемещаться, только переходя в парообразное состояние;

пленочная вода, которая обволакивает частицы грунта под влиянием электростатических сил между молекулами грунта и воды, и может перемещаться под действием этих сил;

4) свободная вода, которая подразделяется на:

а) капиллярную, перемещающуюся под действием силы поверхностного натяжения;

б)гравитационную, перемещающуюся под действием силы тяжести.

Как известно, высота капиллярного поднятия жидкости зависит от рода жидкости (точнее, от ее коэффициента поверхностного натяжения) и от поперечных размеров капилляра (для грунтов это линейный размер пор). В крупных песках эта высота не превышает нескольких сантиметров, в пылеватых песках и супесях оно достигает 2,5...3,0 м. В глинистых грунтах вследствие чрезвычайно малых размеров пор и чешуйчатой формы частиц грунта явление капиллярности подавляется пленочными (основанными на межмолекулярном взаимодействии грунта и воды) эффектами, и капиллярное поднятие грунтовой воды может не наблюдаться.

Рассмотрим движение гравитационных грунтовых вод под действием силы тяжести.

3. Скорость фильтрации. Основной закон ламинарной фильтрации (закон Дарси)

Рассмотрим фильтрацию воды сквозь однородный грунт (например, сквозь песок), заполняющий цилиндрическую трубу' диаметром D (рис. 14.1). Два пьезометра, установленные на расстоянии l друг от друга, показывают падение потенциального напора

,

исследуемом участке, которое обозначим h_f.



Рис. 14.2. Распределение скорости жидкости в поровом пространстве

При наличии в трубе грунта условия прилипания выполняются на поверхности каждой частицы (рис. 14.2), и поэтому режим движения и потеря напора определяются линейным размером пор грунта, который обычно мало отличается от линейного размера d частиц грунта (для однозернистых грунтов). Как показывают эксперименты, движение воды в грунте будет ламинарное, если число Рейнольдса

где v_пop -- средняя по сечению пор скорость воды;

d -- эффективный диаметр частиц грунта; v -- кинематический коэффициент вязкости; Re_кp = 10 (отметим, что здесь Re_кp много меньше, чем в случае параллельно-струйного движения в цилиндрической трубе, где Re_кp= 2300, так как движение в порах резкоизменяющееся).

При ламинарном движении воды в грунте, заполняющем трубу (см. рис. 14.1), потери напора на единицу длины (равные падению потенциального напора) пропорциональны расходу воды, т.е. ~ Q.

Этот факт экспериментально был установлен в середине XIX века французским инженером Дарси. Для более общей формулировки этого закона, введем понятие скорости фильтрации которой будем понимать фиктивную скорость, вычисленную в предположении, что заданный расход воды Q протекает через поперечное сечение грунта , просачиваясь не только сквозь поры, но и через частицы грунта, т.е.

; (4.3)

Средняя скорость движения воды в порах

(4.4)

и следовательно, V_nop > V, так как S_пор < S. Введение скорости фильтрации удобно потому, что она определяется по геометрической площади живого сечения и не зависит явно от пористости.

Закон ламинарной фильтрации (закон Дарси) представим в виде

v = kJ, (4.5)

где J = h_t/l -- гидравлический или равный ему пьезометрический уклон; к -- коэффициент фильтрации, значение которого зависит от вида грунта (точнее, от его порового пространства) и от физических свойств жидкости (вязкости и плотности), он имеет размерность скорости.

В зависимости от грунта коэффициент фильтрации к воды имеет следующие значения:

Грунт Коэффициент фильт. К см\с

Глина <0,00001<10^-5

Суглинок 0,0001…0,00001 10^-4-10^-5

Супесь 0,001…0,0001 10^-5-10^-4

Песок мелкозернистый 0,01…0,001 10^-2-10^-3

Песок крупнозернистый 0,1…0,01 10^-1-10^-2

Закон Дарси, записанный в форме (14.5) для одномерной задачи (течение в цилиндрической трубе), обобщается на трехмерный случай в виде

u = -kgrad H,- (14.6)

где u -- вектор скорости фильтрации; Н -- потенциальный напор.

При изучении фильтрации отличных от воды жидкостей и газов (например, нефти или воздуха) в пористых средах, когда вкладом силы тяжести в потенциальный напор можно пренебречь, используют другую форму записи закона Дарси:

p (14.7)

где р -- гидродинамическое давление; -- динамический коэффициент вязкости; k₀ -- коэффициент проницаемости пористой среды, который зависит только от свойств этой среды, но не зависит от физических свойств фильтрующейся жидкости.

Сопоставляя (14.7) и (14.6), легко установить, что

(14.8)

(k₀ имеет размерность м²).

Закон Дарси справедлив для ламинарной фильтрации, т.е. главным образом в мелкозернистых грунтах (песках, супесях, глинах). В крупнозернистых грунтах (галечниках, трещиноватых скальных породах, каменнонабросных массивах и т.п.) скорость фильтрации пропорциональна градиенту напора в степени, меньшей единицы, а при достаточно больших скоростях может иметь место и область квадратичных потерь напора, так что

4. Способы определения коэффициента фильтрации

Для определения численного значения коэффициента фильтрации обычно используют прибор Дарси (рис. 14.3). Он состоит из вертикального цилиндра диаметром D, в который на сетку укладывают испытываемый грунт. Цилиндр оснащен средствами для измерения напора (как правило, это несколько пьезометров) и расхода воды (обычно -- мерный сосуд и секундомер). Задавая несколько различных расходов воды Q и измеряя соответствующие перепады напора (Hj - Н₂) на расчетной длине I, вычисляют коэффициент фильтрации для каждого расхода по формуле

(14.9)

а затем находят среднее по всем опытам значение k.



Рис. 14.3. Схема прибора Дарси для определения коэффициента фильтрации

Недостатком этого способа определения коэффициента фильтрации является то, что грунт в процессе переноса из естественных условий в цилиндр прибора Дарси может существенно изменить структуру, пористость, а следовательно, и фильтрационные свойства.

Способ измерения коэффициента фильтрации без разрушения структуры фунта, т.е. в месте его естественного залегания (полевой способ), весьма дорогостоящий и трудоемкий. Он заключается в установлении связи между расходом воды, откачиваемой из скважины, и понижением уровня грунтовых вод вблизи скважины. При этом в зависимости от геологической ситуации вблизи скважины, например, при наличии нескольких водоносных слоев, сложенных различными грунтами, значения коэффициента фильтрации не всегда можно отнести к какому-то определенному грунту.

Расчетные формулы для определения коэффициента фильтрации, рекомендуемые в справочниках, как правило, основаны на лабораторных данных, полученных с помощью прибора Дарси.

Таким образом, следует признать, что основным способом определения численных значений коэффициента фильтрации грунтов является их исследование на приборе Дарси.

5. Плавноизменяющееся безнапорное движение грунтовых вод. Дифференциальное уравнение Дюпюи

Безнапорное движение грунтовых вод под действием силы тяжести обычно имеет место, когда под водопроницаемым грунтом, в котором движется вода, расположен практически водонепроницаемый горизонтальный или близкий к горизонтальному слой грунта, называемый водоупором. При гравитационном безнапорном движении грунтовых вод большинство практических задач эффективно решается при допущени плавноизменяющегося движения. Рассмотрим фильтрацию воды сквозь грунт, расположенный на водоупоре на примере плоской задачи (рис.14.4). Направим координатную ось l вдоль течения в плоскости водоупора, а ось z -- вертикально вверх. Кривая свободной поверхности, на которую действует атмосферное давление р_а, в случае фильтрационных потоков называется кривой депрессии, или депрессионной кривой.

Полагаем, что кривая депрессии (а следовательно, и все линии тока) имеет незначительную кривизну, и ее уклон мало отличается от продольного уклона водоупора i. Это позволяет принять гипотезу плоских живых сечений, в которых (как и при плавноизменяющемся движении воды в открытых руслах) гидродинамическое давление распределено по гидростатическому закону. Учитывая сравнительно малые уклоны как поверхности водоупора, так и кривой депрессии, встречающиеся на практике, дополнительно примем, что плоские живые сечения вертикальны.

В соответствие с принятым допущением отрезки всех линий тока между двумя живыми сечениями, указанные на рис. 14.5, имеют одинаковую длину dl. Поскольку потенциальный напор в каждом сечении постоянен (при гидростатическом распределении давления равен превышению кривой депрессии над плоскостью сравнения, то вдоль всех линий тока градиент напора J = -dH/dl одинаков, а в соответствии с законом Дарси скорость фильтрации одинакова в каждой точке живого сечения.

Рис. 14.4. Безнапорное плавно-изменяющееся движение грунтовой воды

Рис. 14.5. Расчетная модель безнапорного плавноизменяющегося движения грунтовой воды (модель Дюпюи)

Очевидно, что средняя скорость V_D в живом сечении в этом случае равна V_D. В результате имеем уравнение

(14.11)

которое называется уравнением безнапорной плавноизменяющейся фильтрации, или дифференциальным уравнением Дюпюи.

Несмотря на внешнее сходство с уравнением Дарси (4.5), уравнение Дюпюи содержит принципиально отличающиеся переменные: среднюю скорость в живом сечении V_D и отметку кривой депрессии, равную Н, а не скорость фильтрации в точке потока грунтовых вод и и гидродинамический уклон J, которые входят в уравнение Дарси.

Дифференциальное уравнение Дюпюи представим в виде, выразив напор Н через глубину фильтрационного потока h и отметку водоупора z_в :

Н = z_в + h, (4.12)

а среднюю скорость v -- через удельный расход q:

(4.13) при этом получим

где продольный уклон водоупора, или

(4.14)

Последнее уравнение позволяет определить глубину фильтрационного потока h₀ при равномерном движении, которое имеет место, если глубина h не зависит от l.

q = kh_oi. (4.15)

Эту глубину h₀, как и для потоков в открытых руслах, называют нормальной глубиной.

8. Движение грунтовых вод в прямоугольном массиве с поверхности земли

Инфильтрация (просачивание) воды с поверхности земли в грунт может происходить вследствие выпадения осадков (дождя), таяния снега, поливов сельскохозяйственных угодий и т.п. Численно инфильтрация характеризуется расходом воды (м³/с), поступающим в грунт на единицу площади поверхности земли (м²). Назовем эту величину, имеющую размерность скорости, плотностью инфильтрационного потока и обозначим ее через е. Рассматривая плоскую задачу (рис. 14.10) и используя модель плав-ноизменяющейся фильтрации, составим уравнение баланса для удельного расхода q: изменение расхода dq вдоль оси х равно расходу, поступающему в поток грунтовой воды за счет инфильтрации е dx (на единицу ширины потока), т.е.

(4.17)

Рис. 14.10. Фильтрационный поток через прямоугольный массив грунта при небольших значениях е; штриховая линия тока ограничивает сверху поток воды из верхнего бьефа в нижний

Уравнение движения при i = 0 имеет вид

(4.18)

и проинтегрируем полученое выражение по х:

(4.19)

Постоянные интегрирования C₁ и С₂ определим, используя условия

,

,

Подставим значения C₁ и С₂ в (14.17) и получим уравнение кривой депрессии:

(4.20)

Подставляя h(x) из (4.20) в (4.18), получим уравнение для расхода в живом сечении потока с координатой х:

(4.21)

Очевидно, что при = 0 уравнение (4.21) превращается в уравнение Дюпюи . При х = 0 расход во входном сечении в масив

(4.22)

При х = l расход в выходном сечении

(4.23)

Из выражения (4.22) следует, что при

вода из верхнего бьефа поступать в нижний бьеф не будет. Если

то кривая депрессии будет иметь максимум, и вода, инфильтрующаяся с поверхности земли, будет течь и в верхний и в нижний бьефы(рис. 14.11).

(4.24)

Максимум кривой депрессии будет расположен внутри массива

Полученные результаты дают возможность решить задачу о расчете горизонтального дренажа, предназначенного для осушения поверхности земли. Цель такого расчета -- определение расстояния между дренами t (ри. 14.12), если заданы норма выпадения осадков (или полива) еи глубина заложения дренажных труб Н.



Рис. 14.11. Фильтрационный поток через прямоугольный массив грунта; штриховая линия отделяет поток воды в верхний бьеф от потока воды в нижний бьеф.

Условия эксплуатации дренажной системы требуют, чтобы кривая депрессии потока грунтовой воды, образующегося при просачивании с поверхности земли, была расположена ниже по- верхности земли на расстоянии а. Ниже кривой депрессии грунт насыщен водой, а выше ее он недо-насыщен.

Рис. 14.12. Фильтрация к горизонтальным дренажным трубам

Предположим, что дренажные трубы расположены на горизонтальном водоупоре (если водоупор ниже дренажных труб, то условия для понижения отметок уровня кривой депрессии более благоприятны, поэтому, принимая это предположение, создают некоторый запас, т.е. обеспечивают значение о, превышающее расчетное). Глубину безнапорного потока в дренажной трубе будем считать пренебрежимо малой. Тогда, полагая в уравнении (4.20) h₁ = h₂ =0, получим уравнение кривой депрессии для данного случая:

(4.25)

Удельный расход, поступающий в дренажную трубу на каждую единицу ее длины (в дрену вода, поступает с двух сторон), состоит

Отметим, что в рассмотренном .случае грунтовые воды образовывались только за счет инфильтрации с поверхности земли, при отсутствии инфильтрации грунт над водоупором сухой (точнее, он не содержит гравитационной грунтовой воды).

10. Приток воды к круглому колодцу

Рассмотрим одиночный колодец, доходящий до водоупора, который называется совершенным колодцем (рис. 14.14). Из колодца забирается Q постоянный во времени расход Q (который часто называют дебитом колодца). Предположим, что слой грунтовой воды постоянной толщины h₁ имеет неограниченные горизонтальные размеры. Решим задачу об установившейся, безнапорной, плавноизменяющейся фильтрации к колодцу. Предположим, что глубина воды в колодце постоянна и равна h₀ и имеется промежуток высачивания . Полагая грунт однородным, из осевой симметрии задачи делаем вывод о том, что живые сечения имеют вид коаксиальных цилиндров, площадь которых

где r -- расстояние до оси колодца; h = h(r) -- текущая глубина фильтрационного потока.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 14.14. Безнапорный поток грунтовой воды к колодцу.

Средняя скорость v в живом сечении по дифференциальному уравнению Дюпюи (14.11) составляет

(4.27)

Расход Q, притекающий в колодец, рассчитывается по формуле

(4.28)

Проинтегрировав это уравнение, найдем

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что на расстоянии R_K поток грунтовой воды имеет глубину h₁ (это может иметь место, если, например, колодец устроен в центре круглого в плане острова с радиусом R_K, а отметка воды в водоеме равна h₁). Получим

(4.29)

Это уравнение, если известен расход Q, позволяет вычислить координаты депрессионной воронки. Если же задана глубина воды в колодце h_Q, то из (4.29) можно получить выражение для расхода (дебита) колодца Q:

(4.30)

Как следует из зависимости (14.30), при фиксированных значениях r₀, h₀ и h, с увеличением R_K расход уменьшается вплоть до 0 при R_K. Это свидетельствует о том, что в безграничном пласте грунта, т.е. в условиях, отличных от острова, ненулевого решения стационарной задачи не существует. Если задать постоянный во времени дебит колодца, то глубина в колодце h₀ будет уменьшаться до нуля (вода в колодец будет поступать через промежуток высачивания), после чего расход из колодца в расчетах уже задавать нельзя. Если откачивать и далее всю притекающую в колодец воду, то забираемый расход воды будет уменьшаться до нуля по мере распространения депрессионной воронки.

Колодец называется несовершенным, если его дно расположено выше водоупора. Как правило, глубина h₀ заметно больше диаметра колодца, при этом расходом воды, поступающим через дно колодца, можно пренебречь, а расход, поступающий через боковую поверхность, рассчитывают в предположении, что водоупор расположен на уровне дна колодца. Если диаметр колодца велик, то для расчета расхода, поступающего через его дно, используют тот же прием, что и при расчете "висячей" галереи.

11. Фильтрация воды через однородную грунтовую плотину на водонепроницаемом основании

Целью расчета фильтрации через грунтовую плотину является определение:

фильтрационного расхода для, оценки потерь воды из верхнего бьефа;

положения кривой депрессии и высоты промежутка высачивания для оценки устойчивости и условий промерзания низового откоса плотины.

При этом считается, что глубины h₁ и h₂, коэффициенты откосов m_в и m_н, а также ширина плотины на уровне верхнего бьефа b заданы (рис. 14.17).

Следует отметить, что, например, плотина, построенная в русле реки, имеет в различных поперечных сечениях различную высоту; как правило, для упрощения расчетов рассматривают плоскую задачу (на 1 м длины плотины по гребню) для нескольких поперечных сечений плотины, и полученные результаты расчета соответствующим образом суммируют.

Рис. 14.17. Расчетная схема фильтрационного потока в однородной грунтовой плотине на водонепроницаемом основании

Фильтрационный поток через плотину на водонепроницаемом основании в указанных выше условиях плоской задачи представлен на рис. 14.17. На его границах выполняются следующие условия:

АВ -- линия равного напора, на ней Н= h₁= const, т.е. это живое сечение фильтрационного потока, оно плоское, но не вертикальное, следовательно, вблизи АВ движение грунтовой воды будет резкоизменяющимся;

ВС -- кривая депрессии, при отсутствии инфильтрации и при установившемся движении -- это линия тока;

CD -- промежуток высачивания, здесь давление постоянно и равно атмосферному давлению, а гидродинамический напор Н равен отметке поверхности низового откоса z; на этом участке вода струйками стекает по поверхности откоса;

DE -- линия равного напора, на ней Н = h₂ ⁼ const; это, как и АВ -- плоское, но не вертикальное, живое сечение;

АЕ -- водонепроницаемая граница и, следовательно, линия тока.

В соответствии с изложенным, а также принимая для расчета фильтрации модель плавноизменяющегося движения и уравнение Дюпюи, выделим в фильтрационном потоке три области.

1.Область А'В'CE' плавноизменяющегося движения; она ограничена сверху участком кривой депрессии, продольный уклон в пределах

которого достаточно мал, чтобы можно было считать живые сечения потока плоскими и вертикальными; снизу эта область ограничена водоупором, со стороны верхнего и нижнего бьефов -- живыми сечениями

А'В' и СЕ', которые считаем плоскими и вертикальными.

Область АВВ'А' резкоизменяющегося движения.

Область CDEE' резкоизменяющегося движения.

Если для расчета потока в области А'В'CE' имеется эффективная модель плавноизменяющегося движения, то для расчета областей АВВ'А' и CDEE' необходимо предложить приемы расчета, пригодные для резко изменяющегося движения. Рассмотрим приемы, получившие наиболее широкое практическое применение.

Область АВВ'А'. Эту область с наклонной верховой гранью АВ заменяем на область с вертикальной верховой гранью А"В" так, чтобы расход воды через расчетный массив А"В" В'А' был равен расходу через Рис. 14.18. Расчетная схема плавноизме-няющегося реальный массив АВВ'А' (рис. 14.18).

Рис. 14.18. Расчетная схема плавноизменяющегося фильтрационного потока в грунтовой плотине

Движение грунтовой воды в массиве А"В" В'А' плавноизменяющееся (живые сечения вертикальны)

Как показали расчеты, основанные на двухмерной модели фильтрации, расходы через реальный и расчетный массивы будут одинаковы, если вертикальная грань А"В" будет расположена на расстоянии , от точки В, где

Результате такой замены образуется расчетный профиль, состоящий из прямоугольника A"B"BF и части плотины между вертикалями BF и СЕ, в пределах которого движение плавноизменяюшееся; для него можно записать уравнение Дюпюи для фильтрационного расхода:

(4.31)

где .

В уравнение (14.31) входят неизвестные -- расход q и высота промежутка высачивания . Следовательно, это уравнение необходимо дополнить еще одним уравнением с теми же неизвестными, которое должно быть получено из рассмотрения фильтрации воды через третий фрагмент.

Область CDEE'. Движение грунтовой воды в этой области резкоизменяющееся, причем линии тока к промежутку высачивания CD подходят по касательной или под небольшим углом, а к линии равного напора DE -- по нормали (так как в соответствии с законом Дарси

u = -kgradH,

т.е. вектор скорости нормален к линиям равного напора).

Рис. 14.19. Расчетная схема

На рис. 14.19 действительные линии тока показаны пунктиром. Для расчета этого фрагмента действительное поле фильтрационной скорости заменяем расчетным, полагая, что расчетные линии тока являются прямыми, параллельными водоупору.. Для каждой такой линии тока считаем справедливым закон Дарси, другими словами, считаем, что скорость фильтрации вдоль каждой расчетной линии тока пропорциональна пьезометрическому уклону этой линии. При этом область 3 в соответствии с граничными условиями на низовой грани плотины разбивается на две части (а) и (b).

Для части (а напор в начале горизонтальной линии тока (на отрезке CD) напор равен отметке низового откоса в точке выхода на него расчётной линии тока z, т.е. H=z. Длина линии тока определяется геометрически:

Пьезометрический уклон для произвольной линии тока в части (а) составит

скорость фильтрации

и удельный расход через часть (а)

Для части (b) напор в начале каждой линии тока, как и для части (а), равен(h₂+), а напор в конце(лежащем на линии равного напора DE) равен h₂; длина l_b определяется по зависимости. В результате скорость фильтрации на каждой линии тока в части (b) составит



Расход через часть (b)

Расход через область 3 равен сумме расходов через области (а) и (b)

(4.32)

Решаем совместно систему уравнений, найдем искомые величины q и . Эту систему рационально решать графически, задавая и определив точку пересечения двух зависимостей .

Чтобы построить кривую депрессии, после вычисления q и воспользуемся уравнением Дюпюи в виде, считая h₁ текущей отметкой кривой депрессии h , зависящей от s

(4.33)

где x- координата, отсчитываемая от точки Е вверх по течению.

Построив по этой зависимости кривую депрессии до точки В, корректируем её для реального профиля, соединив точку В плавной кривой, подходящей по касательной к кривой депрессии в точке В. Ниже по течению от сечения АВ движение плавноизменяющееся.

12. Гидравлика природоохранных объектов

Примесью будем называть "постороннее вещество", содержащееся в сравнительно небольшом количестве в текучем теле (жидкости или газе). Примесь может представлять собой твердые, жидкие или газообразные включения, которые называют частицами примеси. Если примесь растворена в жидкости, то частицей примеси является молекула растворимого вещества. Жидкость с твердыми включениями называется суспензией, а с жидкими включениями -- эмульсией. Если частицы примеси в среде состоят из инородного вещества (песчинки в воде, частицы углерода в воздухе), то среда с примесью называется двухкомпонентной (многокомпонентной), а если частицы примеси состоят из вещества жидкой среды в другом агрегатном состоянии (пузырьки пара или льдинки в воде), то среда с примесью называется двухфазной (трехфазной).

Пусть в некотором объеме текучей среды в момент времени t содержатся частицы примеси, каждая из которых имеет массу m_i (рис. 23.1). Актуальной, или мгновенной местной концентрацией примеси в точке пространства с координатой г в момент времени t называют величину

(5.1)

где -- объем среды, внутри которого находится точка с координатой r.

В процессе предельного перехода объем стягивается к объему _o оставаясь представительным, так что основные характеристики примеси (например, для взвешенных

наносов в реке это гранулометрический состав взвешенных частиц) в этом объеме остаются неизменными. Т.е. _o -- минимальный представительный объем среды с координатой r.

При V₀>0:

(5.2)

Рис.23.1. Контрольный объём для определения концентрации примеси

Концентрация примеси измеряется в кг/м³. Концентрацию взвешенных частиц грунта (наносов) в русловом потоке называют мутностью.

Примесь называется пассивной, если наличие ее в потоке не оказывает влияния на его гидродинамические характеристики. При этом можно независимо от наличия примеси определить структуру потока (поле ос-редненной скорости среды, пульсационные характеристики и т.п.), а затем рассматривать кинематическую задачу о переносе (транспорте) примеси. Примером активной примеси являются некоторые сложные вещества (полимеры), которые, растворяясь в воде, воздействуют на структуру турбулентного потока. Взвешенные твердые частицы и пузырьки газа при больших концентрациях также могут оказывать влияние на поле скорости переносящего их потока жидкости.

Примесь называется консервативной, если характеристики ее частиц не изменяются в процессе переноса, т.е. не изменяются химический состав и геометрические размеры частиц; в противном случае примесь называют неконсервативной. Примером неконсервативной примеси являются частицы льда, которые могут таять при их переносе потоком, частицы соли, которые растворяются в воде, вещества, растворенные в воде и окисляемые растворенным кислородом.

В турбулентном потоке концентрация примеси, как и все другие характеристики, считается хаотически изменяющейся статистической характеристикой, для которой можно определить осредненную и пульсационную - составляющие:

, , (5.3)

что позволяет использовать осредненную модель турбулентного потока (модель Рейнольдса--Буссинеска) для описания переноса примеси турбулентным потоком (турбулентного массопереноса).

13. Движение частиц примеси в турбулентном потоке

Абсолютное движение частиц примеси в пространстве, занятом турбулентным потоком (которое для краткости будем называть просто движением), можно представить в виде суммы:

переносного движения частицы примеси (или, для краткости, переноса), имеющего место в результате переноса этой частицы элементарным жидким объемом, внутри которого она находится (содержится), и относительного движения частицы примеси, т. е. движения частицы примеси относительно содержащего и переносящего ее элементарного жидкого объема или относительно системы отсчета, связанной с этим объемом. Скорость переносного движения частицы считаем равной скорости движения указанного элементарного объема. Относительное движение частицы примеси может быть вызвано, в частности, отличием физических свойств примеси и жидкости влиянием внешних сил:магнитных, электрических и т.д.; например, отличием плотности частицы примеси от плотности жидкости, и влияние внешних сил, магнитных и электрических и т.д в результате чего частица примеси не успевает мгновенно приобрести беспорядочно изменяющуюся во времени скорость переносящего ее жидкого объема.

Относительное движение может быть также обусловлено внешними объемными силами, такими как, например, сила тяжести, электрические силы, магнитные силы. Если плотность частицы примеси отлична от плотности жидкости, то в поле силы тяжести происходит так называемое гравитационное оседание (всплывание этих частиц). Если частицы примеси имеют электрический заряд, то при наличии электрического поля они будут приходить в движение относительно окружающей их нейтральной жидкости. Подобные эффекты могут иметь место и в магнитном поле.

Если считать, что относительное движение частиц примеси (относительно содержащей их жидкой частицы) отсутствует, то достаточно рассмотреть движение только элементарных жидких объемов, "отметив" каждый такой объем с помощью концентрации содержащегося в нем "постороннего вещества" (примеси), т.е. фактически вместо движения частиц примеси рассматривать движение меченых жидких объемов.

Рассмотрим перенос примеси в установившемся равномерном плоском турбулентном потоке жидкости. Пусть в момент времени t₀ в весьма малую область попадает некоторое количество примеси; в момент t₁ примесь будет занимать большую по объему область (рис. 23.2). В соответствии с моделью Рейнольдса--Буссинеска разделим перенос с реальной скоростью на две части:

а)перенос с осредненной скоростью

v(z) = (v_x(z), 0, 0);

б)перенос с пульсационной скоростью и

v(х, у, z, t) = v{x, у, z, t) - v(z). V(z)=v_x(z.0.0)

Рис. 23.2. Схема распространения примеси в турбулентном потоке

Вследствие переноса с осредненной скоростью малый объем жидкости, содержащей примесь, без заметного изменения формы переместится вниз по течению на расстояние

Vx(t - t₀)- Перенос с осредненной скоростью называют конвекцией или адвекцией.

В результате переноса с поперечной и продольной пульсационными скоростями форма и размеры области, занятой примесью, будут изменяться. Ввиду того, что пульсации скорости имеют беспорядочный характер, перенос примеси с этими скоростями за достаточно длительный (в сравнении с интегральным временным масштабом турбулентности промежуток времени происходит из области с большой концентрацией примеси в область с меньшей концентрацией. Это приводит, очевидно, к увеличению размеров области, занятой примесью (см. рис. 23.2, t = t₀, t₁, t₂, t₃), к распространению примеси в турбулентном потоке и к уменьшению максимальной концентрации, т.е. к явлениям, которые считаются характерными для процесса диффузии. Поэтому результат переноса с пульсационными скоростями (за достаточно длительный промежуток времени) называют турбулентной диффузией.

В момент времени t₃ вследствие турбулентной диффузии размеры области, в которой находится примесь, увеличатся настолько, что область займет поперечное сечение потока; в дальнейшем увеличение объема области, занятого примесью, может происходить только за счет изменения продольного размера области. Если предположить, что пульсации скорости отсутствуют, т.е. имеет место только конвекция, то за счет неравномерности распределения осредненной продольной скорости в поперечном сечении форма области деформируется так, как показано на рис. 23.3; при этом ее объем остается неизменным, а продольный размер L₁ возрастает очень быстро, прямо пропорционально времени (t - t₃):

(5.4)

Распределение концентрации примеси в поперечных сечениях в этом случае будет весьма неравномерным.

Рис. 23.3. Схема продольного рассеяния примеси: а-- в результате переноса только с осредненной скоростью (конвекции); б -- в результате наложения переноса с пульсационной скоростью (турбулентной диффузии) на перенос с осредненной скоростью

Как показывают эксперименты, в результате наложения на конвекцию турбулентной диффузии распространение примеси в продольном направлении имеет следующие характерные особенности.

(5.5)

Следовательно, длина области L₂, занятой примесью,

Длина области L₂ при неравномерном распределении осредненной продольной скорости в поперечном сечении потока оказывается значительно больше, чем при равномерном распределении, когда увеличение длины области, занятой примесью, может происходить лишь за счет переноса с продольными пульсационными скоростями (т.е. за счет продольной турбулентной диффузии). Следовательно, при t >> t₃ главный вклад в увеличение размеров области, занятой примесью, вносит неравномерность распределения осредненной продольной скорости в поперечном сечении турбулентного потока.

14. Механизм переноса взвешенных частиц турбулентным потоком

Рассмотрим механизм переноса потоком жидкости твердой частицы примеси, имеющей гидравлическую крупность w. Примером таких частиц могут быть частицы грунта (кварцевый песок с плотностью р_т = 2600 кг/м³) в речном потоке, частицы углерода, содержащиеся в выхлопных газах автомобилей, в приземном слое атмосферы.

В дальнейшем для упрощения будем считать, что все взвешенные частицы имеют одинаковую гидравлическую крупность. Для расчета переноса разнозернистых взвешенных частиц их следует разделить на некоторое число фракций, каждой из них надо приписать среднюю для фракции гидравлическую крупность, провести независимый расчет движения или осаждения для каждой фракции, а затем полученные результаты просуммировать.

Если поток ламинарный (рис. 23.4), то за время dt частица переносится по течению со скоростью v_x = v_x(z) на расстояние dl = v_xdt и оседает под действием силы тяжести со скоростью w на высоту dz = -wdt.

Вычислим расстояние L, на котором выпадет на дно частица, находившаяся при х = 0 на свободной поверхности:

(5.6)

где v -- средняя по вертикали скорость потока.

w-гидравлическая скорость равна частицам под действием силы тяжести (м/c)

Рис. 23.4. Осаждение взвешенной частицы в ламинарном потоке

В соответствии с моделью Рейнольдса--Буссинеска представим реальную скорость жидкости v в виде суммы осредненной v и пульсационной v составляющих. В рамках рассматриваемого вопроса для упрощения исключим вклад в процессе переноса продольной пульсационной скорости и в условиях установившегося плоского продольно-однородного потока (рис. 23.5) будем считать, что актуальная скорость

v(r, t) представлена в виде продольной осредненной скорости v_x(z) и вертикальной пульсационной скорости v_z. В целях дальнейшего упрощения будем полагать, что пульсационная скорость v_z принимает попеременно через случайные промежутки времени два характерных значения (+v_z) и (-v_z'), а значение v”_z равно стандарту пульсационной скорости:

.

Рис. 23.5. Модель движения взвешенной частицы в турбулентном потоке

В соответствии с принятой моделью поля скорости турбулентного потока все взвешенные частицы примеси переносятся вдоль потока с осредненной скоростью v_x(z) часть из них перемещается при этом поперек потока вверх со скоростью (v”_z -w), а остальные опускаются со скоростью (u”_z+w). Таким образом, можно считать, что частицы примеси перемещаются с одной из двух скоростей:

v⁽¹⁾ или v²⁾ (см. рис. 23.5).

Крупные частицы, у которых , и следовательно ,обе скорости v⁽¹⁾ и v⁽²⁾ направлены в сторону дна, не могут транспортироваться потоком, они выпадают на дно русла. Мелкие частицы (w<v_z') могут переноситься за счет вертикальной пульсационной скорости и вверх и вниз и за счет этого транспортироваться на сколь угодно большие расстояния.

Оценим размер частиц грунта, которые могут переноситься во взвешенном состоянии в естественных руслах. Примем, что средняя скорость воды в реке v = 1 м/с; при этом стандарт пульсационной скорости

= 0,05v = 0,05 м/с;

согласно данным табл. 18.1, гидравлическая крупность частиц грунта w < 0,05 м/с, если их диаметр d < 0,5 мм.

Для взвешивания (вовлечения в поток и транспорта) частиц грунта поток затрачивает часть энергии вертикальных пульсаций скорости. С увеличением концентрации взвешенных частиц (мутности) эти энергозатраты заметно уменьшают значения вертикальной пульсационной скорости, так что при некоторой мутности, называемой критической (см. гл. 10), поток не имеет энергетических ресурсов для вовлечения и переноса частиц грунта сверх уже транспортируемых.

Зависимость для удельной (на единицу ширины потока) транспортирующей способности (см. разд. 10.7), для однозернистых насосов с гидравлической крупностью w , получи, зная экспериментальную зависимость для критической мутности

где k_s = (0,015...0,030)

Как следует из этой зависимости, чем меньше крупность частиц грунта, тем большую массу взвешенных частиц может транспортировать турбулентный поток. Если песчаное дно реки может "предложить" для вовлечения в русловой поток частицы грунта с любой гидравлической крупностью, то при грунтообмене между потоком и дном (взвешенные частицы, выпадающие на дно, замещаются частицами грунта, слагающими дно русла) в поток будут вовлекаться частицы грунта, имеющие крупность не более крупности выпавших. В результате средняя крупность взвешенных частиц вниз по течению уменьшается, а транспортирующая способность, согласно (23.8), возрастает.

Стандарт вертикальной пульсационной скорости уменьшается по мере удаления от дна (см. рис. 20.3), поэтому для некоторых частиц у дна может быть w <v_z , и эти частицы, приобретая направленную вверх соcтавляющую скорости, вовлекаются в поток и достигают отметок, где w > v'_z', и в результате начинают выпадать. Такие частицы перемещаются вниз по течению по траекториям, которые начинаются и кончаются на поверхности дна русла. Более крупные частицы грунта перекатываются по дну, не вовлекаясь в толщу потока. Эти частицы называют донными наносами, они формируют на дне русла регулярный рельеф в виде рифелей (рис. 23.6). В приземном слое атмосферы аналогичные процессы при песчаном подстилающем слое (например, в песчаных пустынях) приводят к образованию барханов и дюн.

Рис.23.6. Русловые микроформы (рифели).

15. Уравнение переноса частиц примеси в турбулентном потоке

Выделим в потоке жидкости с концентрацией частиц примеси (x,t) контрольный объем . Масса взвешенных частиц в этом объеме

(5,8)

Полагаем, что примесь консервативна, гидравлическая крупность частиц w = 0, и следовательно, обменом частиц между выделенным движущимся жидким объемом и окружающими объемами жидкости пренебрегаем. При этих условиях масса M_s при движении жидкого объема не изменяется, и следовательно, закон сохранения массы примеси имеет вид

или (5,9)

Это уравнение называют дифференциальным уравнением переноса, или транспортным уравнением. В нем и -- (мгновенные местные) скорость жидкости и концентрация примеси.

Чтобы описать с помощью этого уравнения процессы переноса примеси в турбулентном потоке, воспользуемся моделью Рейнольдса--Буссинеска и представим актуальные характеристики в виде суммы осредненной и пульсационной составляющих:

v_x=v”_x+v'_x, v_y=v”_y+v'_y, v_z=v”_z+v'_z, (5.10).

(5.11)

Слагаемые, содержащие проекции осредненной скорости в левой части (5.11), определяют перенос примеси осредненным потоком, который, как указано в разделе 23.2, называют конвекцией {или адвекцией); поле осредненной скорости v=v(x.t) при расчете процесса переноса считается известным (заданным). Слагаемые в правой части выражают перенос примеси, обусловленный турбулентными пульсациями скорости, они определяют турбулентную диффузию.

Отметим, что так же, как уравнения Рейнольдса (см. разд. 19.2), уравнение переноса в турбулентном потоке (5.11) является незамкнутым, так как содержит четыре неизвестные величины. Следовательно, для получения уравнения, позволяющего рассчитывать поля концентрации примеси, необходимо ввести дополнительные зависимости, исключающие эти неизвестные или связывающие их между собой.

Для этого, следуя предложению Буссинеска, воспользуемся аналогией между хаотическим тепловым движением молекул газа, в результате которого имеет место молекулярная диффузия, и хаотическим движением элементарных жидких объемов при турбулентном движении, которое обусловливает турбулентную диффузию. В молекулярно-кинетической теории газа вводят закон Фика, согласно которому плотность потока диффундирующего вещества в газе пропорциональна градиенту концентрации этого вещества.

Для описания турбулентной диффузии введем аналогичную зависимость и положим, что плотность турбулентного потока примеси в направлении оси z пропорциональна производной от осредненнои концентрации примеси в этом же направлении, т.е.

(5.12)

где К_zz -- коэффициент турбулентной диффузии

, , (5.12)

Выражения (5.12) называют зависимостями Фика--Бусси-неска; они не следуют непосредственно из законов механики, а основаны на результатах наблюдений и опытов, посвященных исследованиям рассеяния примесей в турбулентных потоках; поэтому эти зависимости и уравнения, в которых они используются, называются полуэмпирическими.

Подставим выражения (5.12) и (5.11) получим полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии в виде предлагая, где v₂=-w

(5.13)

В этом уравнении одна искомая величина -- осредненная концентрация примеси , т.е. уравнение замкнутое. Вместе с тем, зависимости Фика--Буссинеска ввели в расчеты коэффициенты турбулентной диффузии К_хх, К_уу, K_zz, значения которых необходимо каким-то образом определить. В общем случае для того, чтобы найти численные значения этих коэффициентов для конкретного турбулентного потока, следует в этом потоке измерить поле концентрации для каких-либо условий поступления в него примеси. Наложив на измеренное поле концентраций решение уравнения (5.13) для этих же условий, следует подобрать такие значения коэффициентов турбулентной диффузии.

Однако предположим что турбулентная составляющая одинаково независимо влияет на размещение примеси по всем направлениям ,т.е.

К_х=К_z=К_y=К_T (5.14)

Значения ^т и ^т для плоского равномерного движения жидкости в пристеночном слое были определены в разделе 20.2. Значения К_хх и К_уу, как правило, принимаются равными К_zz, исходя из допущения об однородности и изотропности поля пульсационнои скорости на достаточном удалении от твердых границ потока. При этом можно ввести в, расчет один коэффициент турбулентной диффузии:

K^т=K_хх=K_yy=K_zz=v^т. (5.15)

В качестве примера использования полученных результатов задача распределения по вертикали взвешенных частиц в открытом турбулентном потоке с глубиной h.

Для расчета одномерного и однородного распределения примесей по вертикали;

(5.16)

Интегрируя (5.16), получим

(5.17)

где -- известная (задаваемая) концентрация примеси в точке с известной координатой z_ф.

Сопоставим полученное решение с экспериментальными данными о распределении концентрации взвешенных частиц по вертикали. Исключая из рассмотрения вязкий подслой и промежуточный слой, так как их толщина соизмерима с размерами взвешенных частиц (см. разд. 20.2), примем, согласно, что в логарифмическом слое при 0 < z < z_гр = 0,4h

K^t=ku*z,

где к = 0,4 -- постоянная Кармана; u* -- динамическая скорость.

Решением уравнения 5.17 будет

(5.18)

Во внешнем слое при z_гр < z < h значение К^т принимаем постоянным и равным

К^т= ku *z_rp = ku*0,4h .

Из имеем:



где -значение концентрации при z = z_rp> которое получим ,

На рис. 23.9 представлено сопоставление расчетных и экспериментальных данных, из которого следует, что изложенный выше полуэмпирический подход к описанию движения взвешенных частиц позволяет с приемлемой точностью аппроксимировать экспериментальное распределение взвешенных частиц по вертикали. Вместе с тем, существенным недостатком полученных зависимостей (5.18) и (5.19) является то, что они остаются справедливыми для любой гидравлической крупности w, хотя, как было отмечено в разделе 23.1, частицы с гидравлической крупностью w > u^ не могут транспортироваться турбулентным потоком с продольно-однородным распределением концентрации. Это обстоятельство создает определенные трудности с расчетом осаждения частиц из потока, например, при определении длины отстойников.



Рис. 23.9. Сопоставление теоретического и экспериментального распределений концентрации взвешенных частиц: штриховая линия -- зависимости (5.18) и (5.19); сплошная линия-- зависимости , _ф = 0,05

Пример расчета. Пусть вдоль улицы дует ветер со средней скоростью

V_в = 10 м/с; по улице движутся автомашины, выхлопные газы которых создают на высоте z_ф = 0,25 м концентрацию частиц углерода d = 0,2 мм,

равную _ф = 0,1 г/м³. Вычислим концентрацию углеродных частиц на высоте последнего девятого этажа домов на этой улице: z = h = 25 м.

Из табл. 18.2 найдем, что для водяных капель установившаяся скорость падения в воздухе w₀ = 0,72 см/с; примем, что плотность углеродных частиц в 2,5 раза больше плотности воды, при этом, согласно формуле (18.31), скорость падения частиц углерода w_c приблизительно в 2,5 С- раза больше, чем w₀, т.е. w_c = 2,5 w₀ = 2,50,72 = 1,80 см/с.

Для того, чтобы вычислить динамическую скорость и», используем зависимость (20.49). Примем коэффициент шероховатости для асфальтового покрытия улицы n = 0,014, а гидравлический радиус потока воздуха равным высоте домов

R = h = 25 м; при этом коэффициент Шези

При этом значении С

м/с

Для простоты положим, что по всей высоте h распределение концентрации описывается формулой (5.18):

кг\м³

Таким образом, на высоте h = 25 м концентрация частиц углерода составляет 45,1 % от наземной концентрации _ф.

Аналогичный расчет, проведенный для частиц с d = 0,01 мм, для которых w_c = 0,075 см/с, показывает, что концентрация на высоте девятого этажа меньше наземной всего на 3,3 %.