Размещено на http://www.allbest.ru/

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Правительство Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»

Факультет экономических наук

«Влияние индекса волатильности на динамику цен активов на примере российского фондового рынка»

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

по направлению подготовки Финансы и кредит

образовательная программа «Финансовый инжиниринг»

Репин Андрей Дмитриевич

Рецензент

научный сотрудник, Институт макроэкономических исследований ВАФТ Минэкономразвития России

Сорокин Илья Анатольевич

Научный руководитель

к. ф.-м. н., доцент Курочкин Сергей Владимирович

Москва 2020



Оглавление

Введение

Глава 1. Анализ литературы

Глава 2. Методология исследования

Глава 3. Исследование

Заключение

Список литературы

Приложение



Введение

В течение последних сорока лет проблема динамики цен активов на финансовых рынках в зависимости от показателей волатильности была охарактеризована с различных сторон, что является последствием нестационарности большинства наблюдаемых временных рядов, специфичностью получаемых результатов и как итог сложностью получения внемодельных результатов. С точки зрения практики волатильность определяет финансовые возможности отдельных игроков рынка, например, задавая необходимый минимальный стартовый капитал на срочном рынке, который определяется в том числе вероятностью margincall. С другой стороны, большинство теоретических моделей предсказания цены активов от классических до самых экзотических не обходят стороной данное явление динамики цен и используют разнообразные прокси-переменные и виды показателей, пытаясь получить значимые результаты. Так, например, в моделях I-CAPM Intertemporal Capital Asset Pricing Model и APT Arbitrage Pricing Theory будущие инвестиционные возможности определяются текущей волатильностью и новостным фоном, ограничивая финансовые возможности отдельных игроков и формируя их задачи по хеджированию.

В научной литературе выделяют два основных подхода к рассмотрению волатильности: волатильность ex-post (пример - с использованием исторических данных о ходе торгов активами на финансовых рынках строится GARCH модель на основе заранее смоделированного процесса, и с помощью данной модели порождаются предсказания будущей динамики, или интерпретируются уже найденные результаты) и impliedvolatility (в общем случае, речь идёт о получении волатильности из цен краткосрочных опционов при использовании модели Блэка-Шоулза или её разновидности). В данной работе, как неявно следует из названия, будет использоваться вторая группа показателей, что позволит использовать прокси-переменные волатильности, которые формируются рынком, для нахождения внемодельных закономерностей с целью дальнейшего использования на практике, например, в алгоритмических торговых стратегиях.

Научная проработка данной проблемы на основе данных финансовых рынков Европы и США на порядок выше в сравнении с российским рынком. На текущем этапе исследователи из различных стран занимаются проблемами impliedvolatility различной срочности, выделяя долгосрочные показатели и краткосрочные в отдельные группы в отношении влияния на рынок. Также параллельно совершенствуется инструментарий, например, авторы начинают прибегать к помощи машинного обучения и применению различных алгоритмов для интерпретации данных. Инструментарий и охват исследований на российском рынке относительно меньше, часть методов ещё не использовалось.

Целью данной работы является нахождение внемодельных зависимостей между индексом волатильности российского фондового рынка в качестве прокси-переменной для краткосрочной ex-ante волатильности и динамикой цен активов данного рынка. Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач. Во-первых, на основе научной литературы и эмпирического опыта выявить подходящую процедуру для анализа данных и пул применяемых инструментов. Во-вторых, сформировать выборку данных и показателей необходимых для проведения анализа и эмпирического исследования. В-третьих, интерпретировать полученные результаты и апробировать их на исторических данных с помощью построения примитивного торгового алгоритма. В-четвёртых, сделать выводы о проделанной работе, охарактеризовать основной результат согласно цели работы и сформировать вектор и потенциал дальнейшей разработки данного вопроса.

Работа имеет следующую структуру. В первую очередь будет проведён обзор научной литературы по данной тематике, который позволит рассмотреть отдельные примеры исследований и выявить необходимые элементы анализа согласно первичной задачи, о которой сказано выше. Следующим этапом будет дано определение всем используемым эконометрическим, математическим и алгоритмическим инструментам. На заключительном этапе будет проведено эмпирическое исследование, которое включает в себя эконометрическую модель, интерпретацию полученных результатов в рамках регрессионного анализа и применение полученных результатов в рамках торгового алгоритма.

волатильность цена ценная бумага рынок



Глава 1. Анализ литературы

В текущей главе работы разобраны отдельные случаи исследования проблемы влияния волатильности на динамику цен активов. Были выбраны работы, которые характеризуют данный вопрос с различных сторон для более комплексного рассмотрения проблематики. Каждый отдельный разбор работы будет сделан согласно следующей структуре: основная цель работы, инструменты анализа, используемая выборка данных и полученные результаты. Основной задачей данного обзора является выделение отдельных аспектов и элементов исследований, которые являются критически важными и могут использоваться в дальнейшем анализе. По завершению данного разбора будет сформировано представление о месте данной работы в научной проработке, выверена процедура дальнейшего эмпирического анализа и требования к данным и инструментам.

«Relationships between implied volatility indices and stock index returns»Giot, P. (2005), Relationships between implied volatility indices and stock index returns, Journal of Portfolio Management, 31 (3): 92-100..

Данное исследование фокусируется на зависимости между impliedvolatility и будущей реализованной волатильностью, рассматривая две основные темы: относительные (высокие или низкие уровни волатильности) изменения волатильности и её влияние на динамику цен активов фондового рынка и возможные направления (по знаку) рассматриваемого влияния на будущие доходности активов. Другими словами, сначала ищется зависимость между волатильностью и динамикой цен финансовых инструментов, а затем автор работы пытается дать ответ на вопрос «Можно ли извлечь выгоду при наличии данной зависимости?».

В исследовании используются следующие прокси-переменные: для ценовой динамики цен активов всего фондового рынка - индексы S&P100 и NASDAQ100, которые являются двумя репрезентативными наборами акций и содержат необходимую полезную информацию; для изменения динамики волатильности всего фондового рынка - индексы волатильности VIX и VXN, которые соответственно формируются на основе опционов по данным индексам. VIX связан с S&P500, а не с его подвыборкой, но данный факт опускается, так как, по мнению автора, S&P100 более репрезентативный, что полезнее для задач анализа проблемы.

Первичная модель представляет из себя зависимость логарифмического изменения индекса волатильности от логарифмической доходности соответствующего индекса, которая разнесена на два фактора согласно знаку. Константа в спецификации модели отсутствует, её заменяют дамми-переменные, которые отвечают за знак изменения цены финансового инструмента. Вторым шагом в спецификацию модели были добавлены квадраты доходностей активов, которые отвечают за эффект размера изменений.

Для ответа на вопрос про возможность извлечения выгоды из полученных зависимостей был применён другой подход. Были посчитаны вперёд смотрящие изменения доходности: 1, 5, 20, 60 дней. Новая модель представляла собой зависимость указанных выше доходностей от дамми-переменных. Дамми-переменные принимали значение 1, если текущее значение индекса волатильности принадлежало определённому уровню согласно эмпирическому распределению, построенному на основе скользящего окна в 2 года. Если, например, значение рассматриваемого периода было меньше значения соответствующего границе 5% перцентиля, то дамми-переменная, отвечающая за данный промежуток, равнялась 1, остальные - 0.

Выборка включает в себя 9 лет исторических данных, которые предварительно можно охарактеризовать как растущий, падающий или спокойный рынки. Для построения моделей используются данные с дневным таймфреймом из общедоступных источников (сайты бирж и информационных платформ). Последнее выделяется автором в качестве плюса, так как все участники рынка имеют доступ к данной информации, а индексы волатильности, более того, часто попадают в новостные сводки.

Как итог, автор пришёл к следующим результатам. Есть отрицательная и статистически значимая зависимость между доходностью активов и индексами impliedvolatility. Положительные доходности приводят к понижению уровней индексов волатильности, отрицательные доходности - наоборот. Для одного из индексов (S&P100) также наблюдается асимметричность в результатах - отрицательные доходности обладают более сильным эффектом. Более того, периоды низкой волатильности (затишья на рынке) на отрицательные изменения доходностей реагируют сильнее - есть различия в зависимости от текущего состояния рынка. В разрезе извлечения выгоды из найденных зависимостей автор приводит доказательства, что высокие уровни волатильности приводят к хорошим результатам при открытии long-позиций (экстремально высокие значения волатильности говорят о перепроданности рынка, что создаёт хорошую точку для входа с помощью приказа на покупку).

«The model-free implied volatility and its information content» Jiang, G. J., Tian, Y. S. (2005), The model-free implied volatility and its information content, The Review of Financial Studies, 18 (4): 1305-1342..

Основной целью рассматриваемой работы было исследование внемодельных представлений impliedvolatility в качестве информационного источника. При использовании моделей для получения из цен опционов значений волатильности, например, Блэка-Шоулза, неявным образом необходимо, кроме других предположений, которые могут накладываться в рамках исследований, доказывать или принимать предпосылки данных моделей. Таким образом, при изучении эффективности рынка неявным образом могут возникнуть проблемы со спецификацией моделей, так как есть сторонние ограничения - модель ценообразования опционов, которая была выбрана в качестве ключевой.

В исследовании применяется внемодельное представление значений волатильности, получаемых на основе характеристик опционов согласно определённой методике. Основной используемой моделью для проверки информационной значимости стало функциональное представление, в котором реализованная волатильность зависит от внемодельного представления, представления согласно модели Блэка-Шоулза и лаговой переменной реализованной волатильности, которая отвечала за историческое представление. Также использовалось три разных представления не только волатильности, но и их значений: стандартное отклонение - непосредственно волатильность, квадрат стандартного отклонения - дисперсия, и логарифм стандартного отклонения. Регрессии оценивались с помощью метода наименьших квадратов, соблюдая все предпосылки теоремы Гаусса-Маркова.

В конечную выборку попали 7 лет исторических данных цен опционов на индекс S&P500 различной срочности. Для построения моделей используются внутридневные данные с целью получения более точных оценок. Из-за проблем с пробелами в данных и получения релевантных значений impliedvolatility на основе модели Блэка-Шоулза была проведена процедура curve-fitting с использованием в дальнейшем сплайнов.

Авторы пришли к следующему заключению. Внемодельное представление impliedvolatility подходит для использования в качестве значимой характеристики при рассмотрении процессов ценообразования активов. Данный вид представления имеет сильную предсказательную силу для реализованной волатильности относительно представления согласно модели Блэка-Шоулза и исторического представления. Более того, данный результат сохраняется при использовании различных способов оценки, на различных временных горизонтах и функциональных представлениях, спецификациях моделей. Как итог, данная работа является теоретическим и практическим подтверждением обоснованности выбора современных методик расчёта индексов волатильности, как на американском, так и российском фондовых рынках. Речь идёт об изменении в двухтысячных годах методики расчёта данных индексов на более близкую к внемодельной и отказ от представления согласно модели Блэка-Шоулза.

«The cross-section of volatility and expected returns»Ang, A., Hodrick, R.J., Xing, Y., Zhang, X. (2006), The cross-section of volatility and expected returns, The Journal of Finance, 61 (1): 259-299..

Первой целью данной работы было изучение влияния того, как волатильность рынка оценивается в рамках ожидаемых доходностей акций, представленных в качестве cross-section (перекрёстные данные). Другими словами, является ли волатильность рынка фактором ценообразования и каков размер и направленность влияния данного фактора. Второй целью работы было изучение idiosyncratic volatility в факторных моделях. В данном случае рассматривались проблемы со спецификацией моделей факторного разложения доходностей активов: если агрегированная волатильность является новым «системным» фактором для ценообразования, то её упущение в модели породит проблемы спецификации, которые можно будет найти по остаткам.

В качестве прокси-переменной для рыночной волатильности был использован индекс VIX. Разность первого порядка данного временного ряда была добавлена в качестве фактора агрегированной волатильности в модели доходности каждого из активов. Применение перекрёстных данных позволило добавить контрольные переменные, например, размеры компаний, что отличает данную работу от других, где для ценовой динамики активов фондового рынка использовались агрегированные показатели. Помимо добавления стабилизирующих переменных сам индекс волатильности для последующих модельных спецификаций претерпел изменения: для рассмотрения изменений только по данному фактору он был регрессирован на доходности каждых из портфелей, созданных относительно их чувствительности на данный фактор. Данные модели использовались для достижения первой цели исследования. Для второй цели работы был выбрана трехфакторная модель Фамы и Френч. Она использовалась для оценки результатов торговых портфелей при введении фактора агрегированной волатильности и без.

В итоговую выборку попал отрезок длиной более, чем 10 лет. Для индекса волатильности использовался дневной таймфрейм, который мог увеличиваться путём сложения необходимых показателей согласно требованиям моделей. Как и в уже проанализированных работах, поставщиками данных стали биржи и открытые информационные платформы.

Как итог, факторные модели ценообразования (CAPM, FF-3) дают аналогичные результаты, выделяя индекс волатильности фондового рынка в качестве значимого системного фактора, имеющего отрицательное влияние на доходность активов в рамках перекрёстных данных. Не агрегированное рассмотрение динамики цен активов позволяет получать относительно более устойчивые результаты, добавляя контрольные переменные (размер компании, объём, бид-аск спред и другие). Другими словами, результаты текущего эмпирического анализа могут быть применены также и в рамках классических модельных рассмотрений доходностей активов.

«The calm after the storm: implied volatility and future stock index returns»Lubnau, T.M., Todorova, N. (2015), The calm after the storm: implied volatility and future stock index returns, The European Journal of Finance, 21 (15): 1282-1296..

Данная научная работа ставит перед собой цель изучить проблему предсказательной силы индексов волатильности в качестве предикторов для будущей динамики соответствующих индексов. Более того, была проведена попытка формирования правил для технической торговли на основе полученных результатов после исследования информационной значимости данных индексов.

В исследовании рассматривались следующие индексы волатильности - VIX и VXN (два главных американских индекса, их соответствующие ценовые индексы акций - S&P 500 и Nasdaq 100), VDAXNEW и VCAC (два европейских индекса, ценовые индексы - CAC 40 (Франция) и DAX 30 (Германия)), и азиатский VXJ (рассчитывается на основе опционов японского индекса Nikkei 225).

По аналогии с работой Giot (2005), которая разобрана выше, авторы используют модель с 20 дамми-переменными, которые служат индикаторами принадлежности конкретного значения индекса волатильности к перцентилю эмпирического распределения. Изменения в подходе наблюдаются только в параметрах расчёта зависимых переменных: были посчитаны другие вперёд смотрящие изменения доходности (1, 10, 20, 40, 60 дней). Скользящее окно в 2 года для получения распределения осталось без изменений.

Торговая стратегия, которая использовалась для апробации полученных результатов, выглядела следующим образом. Есть параметр lb (100, 200, 300 дней), который отвечал за длину периода до текущего момента, в рамках которого определялась индикативная граница для торговых правил. Например, lb равен 100 дням. За последние 100 дней берутся все значения индекса волатильности и ранжируются по возрастанию. Значение индексирующее границу в 5% процентов наименьших результатов служило триггером для входа (текущее значение меньше данного значения - необходимо покупать). Как только данное событие на покупку наступило и открывается позиция, она удерживается определённый период (данные периоды удержания совпадают с периодом расчёта будущих доходностей из предыдущего абзаца, кроме 1 дня). Пока один сигнал не будет отработан другие сигналы в рассмотрение не берутся, периоды, в рамках которых, нет сигналов или открытых позиций, являются периодами moneymarket (деньги кладутся на счёт и на них начисляется определённый процент). Метрикой успешности торговой стратегии является сложение следующих компонентов: денежный поток от длинных позиций, денежный поток от moneymarket, денежный поток по транзакционным издержкам, альтернативные издержки (бенчмарк - стратегия «купить и держать»). Для получения статистически значимых результатов было получено 1000 выборок из исходной с помощью применения бутстрап.

В отличие от работы Giot (2005) авторы пришли к другим результатам: периоды экстремально низкой волатильности служат индикатором для входа на рынок. Авторы объясняют это тем, что периоды экстремально высокой волатильности, скорее всего, говорят о наступающем падении рынка, а не его росте. В большинстве случаев выше указанные торговые правила в большинстве спецификаций приводят к статистически значимым положительным результатам.

«Implied volatility and the cross section of stock returns in the UK»Sunil, S. P., Pankaj, C., Vineet, A. (2019), Implied volatility and the cross section of stock returns in the UK, Research in International Business and Finance, 48: 271-286..

По аналогии сAngetal. (2006) главной целью работы является исследование проблемы влияния агрегированной волатильности на ценообразование активов с использованием пересечённых данных и CAPM, FF моделей. Нововведением является применение новой размерности для волатильности. До текущего момента во всех работах использовались индексы волатильности, которые строились на основе характеристик краткосрочных опционов. Авторы данной работы отдельно, дополнительно выделяют долгосрочную impliedvolatility.

В исследовании используются следующие прокси-переменные: для ценовой динамики цен активов всего фондового рынка - индексы FTSE 100 и FTSE 250, отдельно стоит отметить, что они строятся на основе первых 100 крупнейших компаний и 101-350 крупнейших компаний, соответственно; для изменения динамики волатильности всего фондового рынка - индексы волатильности VFTSE и FTSE, которые соответственно формируются на основе опционов по данным индексам. FTSE - интерполированный на 360 дней индекс долгосрочной impliedvolatility (IVI360). Примечательно, что данный индекс имеет различные оценки по срочности: 30, 60, 90, 180 и 360 дней, что увеличивает потенциал исследований для рынка Соединённого королевства.

Отличием данного исследования от предыдущего смежного заключается в том, что даже при наличии перекрёстных данных первичная регрессионная модель строилась на доходности индекса, а не отдельных портфелей, которые бы имели различную чувствительность к рассматриваемы факторам. Более того, в качестве контрольных переменных были выбраны не только характеристики фондового рынка (например, объём торгов индексом), но и показатели макроэкономического состояния экономики страны (например, характеристики денежного рынка иди уровень безработицы). Данные нетипичные изменения в модели были сделаны для более релевантного отображения влияния изменений в долгосрочной волатильности на конъюнктуру финансовых рынков.

Отдельно подчеркивается, что для рассмотрения доходности активов использовался индекс полной доходности, что также является отличительной чертой данного исследования. Конечная выборка также оказалась относительно больше - 15 лет исторических данных, так как в модели использовалась макроэкономические данные, которые, в большинстве случаев, имеет месячную частоту наблюдений.

Авторы получили следующие результаты. Impliedvolatility имеет отрицательный эффект на избыточную доходность активов фондового рынка, что также подтверждается наличием фундаментальных и макроэкономических контрольных переменных. Долгосрочная волатильность имеет по своему потенциалу больший эффект на динамику рынка. Компании, которые входят в индекс FTSE 250 (101 - 350 крупнейших компаний) более подвержены влиянию изменения impliedvolatility, чем 100 крупнейших компаний Соединённого королевства. Аналогично смежному, предшествующему по времени исследованию у фактора impliedvolatility (краткосрочная и долгосрочная) наблюдается отрицательная премия за риск.

Вывод.

После проделанного анализа научной литературы по проблематике текущего исследования были выделены следующие элементы. Первичная модель по выявлению эффекта влияния экстремально высоких/низких значений волатильности на динамику цен активов будет построена на основе работ Giot (2005), Lubnau и Todorova (2015). Речь идёт о применении эмпирического распределения, построенного с помощью скользящего окна, для ранжирования и определения значения волатильности за текущий период в терминах «очень высокое - очень низкое». Также из последней упомянутой работы будет взята процедура определения статистической значимости результатов применения торгового алгоритма. Данная процедура будет использована на этапе апробации результатов модели на основе торговой стратегии, о которой будет сказано в дальнейшем.

В качестве прокси-переменной для динамики цен активов, как правило, используется основной индекс (база для расчёта которого включает всех крупных игроков конкретного локального рынка) крупнейшей биржи (наиболее актуально отражающей деловую активность участников конкретного локального рынка). Прокси-переменной для волатильности, как правило, используют индекс волатильности, который построен на основе характеристик опционов, базовым активом которых выступает соответствующий ценовой индекс. Отдельно стоит заметить, что данная оценка волатильности рынка, как показано в Jiang и Tian (2005), является внемодельной и не подвержена каким-либо предпосылкам моделей ценообразования и потенциально содержит в себе больше информации. Более того, предсказательная сила данного фактора довольна высока, что подтверждается всеми упомянутыми работами, в том числе в рамках классических факторных моделях ценообразования при использовании большого количества разнообразных контрольных переменных и перекрёстных данных.

Разобранные работы в большинстве случает используют дневной таймфрейм длявыявления зависимости между волатильностью и динамикой цен финансовых инструментов. Месячные данные используются только в тех случаях, когда применяются макроэкономические факторы (требования со стороны данных) или используются CAPM, FF-3 модели (требования со стороны модели).

Основной дилеммой является знак влияния периодов очень низкой или очень высокой волатильности на будущие доходности активов. Как показали работы Giot (2005), Lubnau и Todorova (2015) успешная торговая стратегия может быть построена на основе разных логик сигналов для входа:

· периоды очень высокой волатильности - рынок сильно перепродан - можно покупать - цена активов в период до 60 дней должна вырасти;

· периоды очень низкой волатильности - рынок стабилен, после периодов очень высокой волатильности, как правило, на рынке происходит спад - можно покупать - цена активов в период до 60 дней должна вырасти.

В рамках факторных моделей все разобранные исследования сходятся в том, что «системная» волатильность имеет отрицательную премию в качестве фактора риска.

Глава 2. Методология исследования

В данной главе работы будут разобраны основные элементы эмпирического исследования: спецификация данных, моделей и инструментов, которые будут использованы в рамках анализа и расчётов. Сначала идёт блок про данные и их характеристики, потом первичная модель и торговая стратегия для тестирования результатов модели. Специфичные инструменты и особенности анализа будут разобраны по ходу рассмотрения данных ключевых аспектов.

В качестве рассматриваемой зависимой переменной был выбран индекс РТС. Данный индекс является одним из двух основных индикаторов ценовой динамики активов на российском фондовом рынке и отвечает всем необходимым требованиям, разобранным в рамках научного литературы. Единственной особенностью по сравнению с большинством индексов, используемых в работах других авторов, является то, что он не котируется в валюте, являющейся национальной по отношению к российскому рынку. Данная особенность учитывается при проведении анализа. Результаты оценки моделей не будут стабилизироваться с помощью, например, добавления долларовой волатильности или других смежных контрольных переменных, стоимость индекса не будет пересчитываться, но все вычисления и теоретические выкладки будут учитывать выше указанную особенность методики расчёта индекса. Например, для подсчёта денежного потока по moneymarket в рамках симуляции торгов будет учитываться соответствующая ставка процента характерная для локального рынка и выраженная в иностранной валюте, что позволит сравнивать все необходимые величины.

Объясняющей переменной, прокси-переменной для волатильности выбран индекс RVI. Данный показатель является представителем краткосрочных (30 дней) внемодельных (индекс рассчитывается на основе ценовых показателей опционов на индекс РТС и не предусматривает конкретную модель ценообразования опционов) показателей impliedvolatility.Более того, по своей методике расчёта довольно близок к индексу VIX, который строится на основе опционов на индекс S&P 500. Единственным минусом в такой спецификации является то, что опционы, используемые для расчёта данного индекса, котируются в рублях. Данную особенность довольно затруднительно исправить (альтернативных оценок, например, в сравнении с рынком США, где одновременно есть несколько агрегированных показателей по волатильности, нет) и возникают замечания к принятой на Московской бирже методике расчёта данного индекса.

Таймфрейм для данных выбран в качестве 1 дня, что отвечает требования модели (на 1-дневном интервале можно исследовать фундаментальные зависимости рынка, что проблематично на внутри дневных данных из-за наличия всё большего информационного шума при уменьшении размерности) и принятой практики при применении аналогичных моделей (в рамках разобранных исследований 1-дневвный интервал или напрямую был использован в моделях, или служил базисом для расчёта интервалов большей длительности).

Среднее значение периода исторических данных, используемых для регрессионной оценки моделей, находится на уровне 7 лет. Данный интервал может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от частоты наблюдений или доступности данных (индексы волатильности, например, не всегда имеют большую историю расчёта, особенно, если принять во внимание ту ли иную методологию расчёта). Индекс RVI, согласно сайту Московской биржи, берёт своё начало 18 ноября 2013 года. Период, начиная с января 2014 и заканчивая декабрём 2018, должен покрыть все необходимые требования с учётом также наличия в модели скользящего окна в 2 года, что составит 1250 дневных наблюдений (из расчёта 250 торговых дней в году). Так как выбранные переменные являются одними из самых известных и распространённых индикаторов фондового рынка, проблемы с синхронизацией временных рядов и пропусками в данных не должны возникнуть. Если, что маловероятно, данные явления в исходных временных рядах будут обнаружены - пропуски будут заполняться последними доступными значениями. Более того, как показали первичные оценки модели, 2019 год при включении в выборку сильно портит данные из-за ещё большего преобладающего положительного тренда, о чём будет сказано отдельно в рамках эмпирического исследования и дальнейшей разработки проблемы.

По аналогии с работами других авторов и практическим опытом анализа торговых стратегий в качестве ценовой характеристики отдельного наблюдения будет выбрана цена закрытия. Более того, стоит отметить, что именно по данной цене есть аукцион закрытия, что позволяет снизить разброс значений данного показателя и влияние участников рынка на её уровень. Функциональная форма для зависимой переменной выбрана в виде логарифмических доходностей. С одной стороны, относительно ситуации первичного временного ряда это решит потенциальную проблему отсутствия стационарности, с другой стороны, относительно ситуации рассмотрения абсолютных значений доходностей данная мера уменьшит разброс значений и сгладит пики производной (если смотреть на график - они станут менее острыми). Если бы данная мера применялась к объясняющим переменным, это могло снизить значимость их коэффициентов, но в текущей спецификации такого нет. Отдельные проверки - стационарность временных рядов, выполнение предпосылок теоремы Гаусса-Маркова также будут учтены. Стационарность необходима для оценки регрессий и не получения заведомо ложных результатов. Выполнение предпосылок необходимо для оценки модели с помощью метода наименьших квадратов и получения BLUE Best Linear Unbiased Estimator - оценок.

Первичная модель, которая упоминается в выводе главы 1 данной работы, предусматривает несколько спецификаций зависимых переменных. В данном случае объясняющая переменная - вперёд смотрящая логарифмическая доходность индекса акций московской биржи. Были отобраны следующие интервалы для рассмотрения (по аналогии с другими работами и на основе академического интереса): 1, 5, 10, 20, 40 и 60 дней. В конечном варианте каждая зависимая переменная будет иметь следующий вид:

где (t+i) - будущий момент времени, t - рассматриваемый период времени, r и C - искомая доходность и цена закрытия, соответственно, i - горизонт изменения цены вперёд. Итого - 6 объясняемых переменных.

Теперь перейдём к представлению независимых переменных. На основе скользящего окна в 2 года (500 торговых дней, исходя из 250 торговых дней в году) будет построено эмпирическое распределение для каждого момента времени. Данное распределение будет разбито на 21 перцентиль, начиная с 0% и с шагом в 5%. Каждому интервалу распределения будет соответствовать одна из 20 дамми-переменных. Принадлежность наблюдения к рассматриваемому интервалу - значение 1, наоборот - значение 0. Конечная спецификация модели выглядит следующим образом:

При проверке гипотез будет использоваться общепринятое значение уровня значимости в 5%. Так как в модели нет константы проблемы мультиколлинеарности от использования дамми-переменных возникнуть не должно. Результаты модели будут представлены в виде матрицы, где будут указаны какие интервалы и на каком горизонте доходностей имели статистически значимое влияние.

Используемый торговый алгоритм будет работать согласно следующим правилам:

· проверяется только односторонняя зависимость, найденная после оценки первичной модели (например, периоды низкой волатильности сопровождаются периодам роста цены активов фондового рынка);

· одновременно отрабатывается только один торговый сигнал;

· торговый сигнал для открытия короткой/длинной позиции - нахождение значения индекса волатильности рассматриваемого периода выше/ниже определённого уровня (в рассматриваемом примере - открыть длинную позицию, если значение индекса волатильности находится ниже);

· данный уровень определяется как значение границы перцентиля (в примере - 5%) на основе эмпирического распределения индекса RVI, которое строится на основе предыдущих периодов разной длины (100, 200 и 300 дней);

· периоды удержания одной позиции равны периодам вперёд смотрящих доходностей, которые используются в первичной модели в качестве зависимых переменных (1, 5, 10, 40 и 60 дней);

· конечный результат торговой стратегии учитывает комиссионные сборы за осуществление сделок и альтернативные издержки - доход от стратегии «купи и держи».

Для проверки статистической значимости получаемых результатов используется 1000 бустрапвыборок (увеличение данного количества не требуется, 1000 - мода для данного параметра исследования), что позволит провести необходимые тесты без введения дополнительных предпосылок о распределениях исходных временных рядов. Для симулирования траекторий временных рядов ценового индекса и индекса волатильности используется процедура, предложенная в работе Barone-Adesi, Giannopoulos и Vosper (1999)Barone-Adesi,G., Giannopoulos, K., Vosper, L. (1999),VaRWithoutCorrelationsforPortfoliosof DerivativeSecurities, Journal of Futures Markets, 19 (5): 583-602.. Для избавления от автокорреляции в исходных данных и очищения от кластеров в волатильности отдельный временной ряд моделируется с помощью ARMA(1,1) -GARCH (1,1) моделей. Пример общего вида модели:

Для каждого процесса подбирается наиболее подходящий вариант спецификации. После оценки данных моделей можно будет получить оценки остатков, которые после разделения на соответствующее значения корня оценки дисперсии, станут независимыми и одинаково распределёнными, что позволит их использовать в рамках исторических симуляций.

Начиная с первого реального значения из целевого периода и выбирая случайным образом стандартизированный остаток, генерируются траектории цен на основе коэффициентов ARMA-GARCH моделей. Таким образом рассчитываются 1000 возможных вариантов развития событий, к которым применяются выше разобранные торговые правила. P-value (theapproximatedachievedsignificancelevel) высчитывается как доля выборок, в которых искомая статистика превышает или является меньше (в зависимости от логики построения метрики) значениястатистики, получившегося по результатам оригинальных данных. Отдельно стоит заметить, что проблема сохранения зависимостей исходных временных рядов при использовании данной процедуры решается параллельным выстраиванием каждой траектории. Другими словами, для симулирования выбирается конкретный момент времени (с характерным для него набором наблюдений), а не отдельное наблюдение из каждого оригинального временного ряда. Форма используемой спецификации GARCH для общего вида модели подбирается на основе характера реальных данных (в общем случае - используется асимметричный вариант реализации модели, например, Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH)).

Глава 3. Исследование

В данной главе будет проведено эмпирическое исследование, которое включает в себя следующие основные этапы: графический анализ первичных данных; формирование необходимых переменных для первичной модели, выполнение проверок на стационарность, количественное описание временных рядов; оценка первичной модели, выполнение проверок на адекватность; интерпретация полученных результатов; установка необходимых параметров для торговой стратегии; создание необходимых выборок с использованием выше описанной процедуры; подсчёт метрик качества и проверка их статистической значимости; интерпретация результатов симулирования торгов. Все необходимые данные были взяты с сайта Московской биржи, где есть возможность выгрузить дневные исторические данные по индексу РТС и RVI из архива значений.

Диаграмма 1. Динамика индексов за рассматриваемый период (01.01.2014 - 31.12.2018).

Источник: расчёты автора

На диаграмме 1 представлена динамика рассматриваемых индексов за целевой период. RVI отображён по вспомогательной оси, которая находится справа. 16 декабря 2014 года заметен всплеск волатильности, который синхронизируется с падением ценового индекса, что совпадает с интерпретацией периодов высокой волатильности в качестве сигналов о падении рынка. Также рост рынка, начинающийся с конца 2016 года, совпадает с падением уровня значений индекса волатильности. Таким образом, потенциально периоды высокой волатильности, согласно графическому анализу, сопровождаются падением ценового индекса, периоды низкой волатильности позволяют расти индексу акций. Стоит отметить, что данный анализ первичен и не говорит о статистической значимости отображаемых зависимостей.

Таблица 1. Количественные характеристики рассчитанных зависимых переменных для первичной модели.

	RTSId1	RTSId5	RTSId10	RTSId20	RTSId40	RTSId60
Mean	-0.0002	-0.0009	-0.0016	-0.0026	-0.0040	-0.0034
Standarddeviation	0.0187	0.0416	0.0576	0.0798	0.1147	0.1371
Min	-0.1325	-0.3097	-0.3859	-0.4839	-0.5185	-0.6042
Max	0.1325	0.2340	0.2286	0.2308	0.3551	0.3750
Dickey - Fuller p-value	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0001	0.0006

Источник: расчёты автора

В таблице 1 представлены описательные статистики используемых объясняемых переменных в рамках первичной модели, а также p-value теста Дики - Фуллера, который проверяет гипотезу о стационарности временного ряда (ряд не должен иметь единичного корня, или тогда его будет можно охарактеризовать как интегрированный временной ряд первого порядка). В каждом из случаев нулевая гипотеза не отвергается, что следует из соответствующего значения p-value (спецификация модели, используемой для проверки гипотезы - без лагов, без разностей и константы (без тренда)). Отдельно стоит заметить, что значение t-статистики увеличивалось с ростом горизонта вперёд смотрящих доходностей. Нельзя утверждать, что одни временные ряды являются более стационарными относительно других, но наблюдается определённая тенденция. Разброс значений согласно стандартному отклонению растёт с увеличением горизонтом доходностей. Аналогичная ситуация с наименьшим значением за целевой период, если взять данные значения по модулю. Других линейных закономерностей не наблюдается.



Диаграмма 2. Распределение значений индекса волатильности по дамми-переменным в рамках периода 01.01.2016-31.12.2018.

Источник: расчёты автора

На диаграмме 2 показано сколько значений индекса волатильности принадлежит отдельному интервалу, построенному на основе значений соседних перцентилей (21 перцентиль, от 0% до 100% с шагом в 5%; D1 - наименьшие значения, D20 - наибольшие), в рамках периода, на котором оценивается первичная модель (01.01.2016-31.12.2018). Распределение значений по дамми-переменным схоже с равномерным: ни один из интервалов сильно не выделяется по количеству наблюдений относительно других.

Таблица 2. Коэффициенты, полученные после оценки всех спецификаций первичной модели (цветом выделены значимые эффекты).

Коэффициенты	RTSId1	RTSId5	RTSId10	RTSId20	RTSId40	RTSId60
D1	0.0015	0.0067	0.0111	0.0222	0.0255	0.0308
D2	-0.0007	0.0064	0.0041	0.0022	0.0155	0.0262
D3	-0.0017	0.0016	0.0072	0.0139	0.0170	0.0295
D4	0.0025	0.0083	0.0111	0.0128	0.0317	0.0383
D5	0.0032	0.0059	0.0090	0.0112	0.0156	0.0353
D6	0.0012	-0.0018	-0.0013	0.0061	0.0179	0.0280
D7	0.0008	-0.0078	-0.0022	0.0030	0.0001	0.0179
D8	0.0060	0.0070	0.0088	0.0054	0.0253	0.0478
D9	0.0019	0.0058	0.0049	0.0176	0.0357	0.0511
D10	0.0003	0.0032	0.0075	0.0310	0.0354	0.0406
D11	-0.0006	0.0053	0.0069	0.0007	0.0348	0.0312
D12	0.0039	0.0026	0.0129	0.0099	0.0297	0.0238
D13	-0.0007	-0.0040	-0.0037	0.0024	0.0149	0.0279
D14	-0.0005	-0.0061	-0.0008	0.0172	0.0221	0.0474
D15	-0.0033	0.0031	0.0048	0.0116	0.0236	0.0470
D16	-0.0019	0.0066	0.0066	0.0004	0.0008	0.0119
D17	-0.0021	0.0040	0.0007	0.0089	0.0246	0.0424
D18	0.0020	-0.0062	0.0024	0.0048	0.0147	0.0073
D19	0.0000	0.0104	0.0128	0.0129	0.0237	0.0377
D20	0.0020	0.0075	0.0153	0.0184	0.0287	0.0275

Источник: расчёты автора

В таблице 2 выведены результаты оценки первичной модели для каждой из объясняемых переменных на указанном периоде. Цветом выделяются значимые коэффициенты. Проблем мультиколлинеарности или гомоскедастичности не наблюдалось. Все гипотезы проверяются на уровне значимости 5%. Как и предполагалось, для 3 из 6 наблюдаемых горизонтов периоды очень низкой волатильности (D1) имеют значимый положительный эффект на будущие доходности. Данная зависимость интерпретируется следующим образом: периоды высокой волатильности преимущественно предшествуют периодам спада на рынке, низкая волатильность - залог стабильности и роста. Так как, хотя периоды высокой волатильности (D19, например) также имеют значимое влияние на доходность, в терминах робастности или простого большинства данная зависимость выглядит относительно слабее (предпочтение отдаётся экстремально высоким/низким значениям индекса волатильности, затруднительно интерпретировать значения, лежащие между границами 90% и 95% перцентилей). Уменьшение скользящего окна для эмпирического распределения до 1 года не дало каких-либо существенных результатов относительно экстремальных значений, что может говорить об эффекте «долгосрочной памяти» игроков рынка: каждое значение является большим или маленьким относительно экстремумов более длительного периода.

В рамках торговых симуляций будет рассматриваться только периоды удержания длинной позиции в 20, 40 и 60 дней. Для сравнительного анализа будет рассмотрено несколько правил для входа (помимо горизонта сравнения по прошлым 100, 200 и 300 дням текущих значений индекса волатильности):

· открытие длинных позиций, если текущее значение индекса волатильности оказалось ниже 5% перцентиля распределения, построенного на соответствующем горизонте исторических данных (соответствие найденной зависимости по дамми-переменной, отвечающей за 5% перцентиль);

· открытие длинных позиций, если текущее значение индекса волатильности оказалось выше 90% перцентиля распределения, построенного на соответствующем горизонте исторических данных (соответствие найденной зависимости по дамми-переменной, отвечающей за интервал 90-95% перцентиль).

В качестве комиссионного сбора будет учитываться 0,01% от объёма сделки согласно текущим тарифам Московский биржи в рамках торговли акциям на фондовом рынке.

После выбора оптимальной ARMA-GARCH моделей для каждого из процессов были сгенерированы 1000 выборок. Для каждой из выборок и оригинальных временных рядов (в целях робастности получаемых результатов) была применена каждая указанная спецификация торгового алгоритма. В таблице 3 представлены результаты применения процедуры.

Таблица 3. Результаты торговых симуляций согласно указанной процедуре и торговой стратегии.

Торговая логика	Скользящее окно для перцентиля	Период удержания позиции	Количество сделок	Бенчмарк	Результат	P-value
< 5%	100	20	19	-253.8	13.92	52%
< 5%	100	40	13	-253.8	25.54	44%
< 5%	100	60	10	-253.8	175.32	3%
< 5%	200	20	20	21.25	124.12	11%
< 5%	200	40	13	21.25	-275.59	100%
< 5%	200	60	10	21.25	75.11	22%
< 5%	300	20	18	206.58	31.80	43%
< 5%	300	40	12	206.58	7.33	53%
< 5%	300	60	9	206.58	120.31	9%
> 90%	100	20	15	-253.8	260.35	0%
> 90%	100	40	11	-253.8	445.22	0%
> 90%	100	60	8	-253.8	48.18	33%
> 90%	200	20	12	21.25	60.43	29%
> 90%	200	40	7	21.25	124.61	8%
> 90%	200	60	7	21.25	136.34	5%
> 90%	300	20	7	206.58	-182.98	99%
> 90%	300	40	4	206.58	-218.61	99%
> 90%	300	60	3	206.58	-265.43	100%

Источник: расчёты автора

Цветом выделены значимые результаты на уровне значимости 10%. Как видно, наиболее значимые результаты показывает второе торговое правило, построенное на основе дамми-переменных D19 и D20. Наиболее значимым горизонтом удержания длинной открытой позиции является 40 дней. Таким образом, основываясь на полученных оценках, наиболее выгодным правилом с точки зрения финансовой выгоды можно считать следующее утверждение: если текущее значение индекса волатильности превысило 90% перцентиль эмпирического распределения, построенного на горизонте 100 или 200 дней, то потенциально это хороший сигнал для входа, так как рынок перепродан. Для такого сигнала оптимальный период сделки - 40 дней. Отдельно стоит заметить, что данные результаты подвержены определённым особенностям. Во-первых, за рассматриваемый период рынок характеризуется сильным бычьим трендом (большая часть периода), что потенциально говорит о периодах высокой волатильности, как о периодах пертурбаций на рынке, установке новой цены. Во-вторых, результат торговых симуляций не учитывает денежный поток с moneymarket, который может увеличить значимость большинства метрик. В-третьих, основной задачей данной процедуры является выделение финансово выгодного вне модельного торгового правила, которое может быть в дальнейшем применено в рамках других торговых стратегий, например, усилить или отсеять торговые сигналы по торговому алгоритму. Таким образом, задачи рискованности и в целом риск-менеджмент является в такой постановке задачей отдельной стратегии, а не торгового правила: есть зависимость на основе первичной модели, торговые симуляции выделяют из них наиболее выгодные с учётом транзакционных и альтернативных издержек - потенциал для применения на практике.



Заключение

С помощью применения устоявшейся методики с использованием эмпирических распределений для оценки текущего уровня значений волатильности была оценена первичная модель с 20 дамми-переменными. Оценка данной модели на целевом периоде с 01.01.2014 по 31.12.2018 для исследования влияния краткосрочной внемодельнойimpliedvolatility (индекс волатильности RVI) на динамику цен активов на российском фондовом рынке (будущие доходности ценового индекса РТС на горизонтах 1, 5, 10, 20, 40 и 60 дней) дала следующие результаты:

· На горизонтах 20, 40 и 60 дней наблюдается статистически значимый положительный эффект периодов низкой волатильности (меньше 5% перцентиля) на доходности активов;

· Менее выраженным, но статистически значимым, является положительный эффект периодов высокой волатильности (больше 90% перцентиля) на доходности активов на горизонтах 40 и 60 дней.

Таким образом, первичная модель дала неоднородные результаты относительно первичных временных рядов. С целью апробации данных оценок были проведены торговые симуляции с оценкой значимости торговых результатов с помощью бутстрап. Для робастности получаемых результатов были включены различные периоды удержания открытых позиций, разнообразные периоды построения эмпирических распределений. Доходность торгового алгоритма рассчитывалась с учётом комиссионных сборов и доходности бенчмарка (стратегия «купи и держи»). Конечный вывод по итогам проведения данной процедуры следующий: периоды высокой волатильности (больше 90% перцентиля, полученного на горизонте 100 или 200 дней) являются статистически значимым сигналом для потенциальных длинных позиций с периодом удержания в 40 дней.

Есть ряд моментов, которые являются векторами дальнейшей разработки данной проблематики влияния агрегированной волатильности на динамику цен финансовых инструментов. Во-первых, выбранный временной ряд (большая часть)является периодом растущего рынка. По аналогии с работами других авторов есть возможность с течением времени выбрать различные рынки, которые можно однозначно охарактеризовать в терминах «растущий - падающий - период затишья». Во-вторых, применённый торговый алгоритм является довольно примитивным с целью отображения наиболее верхнеуровневых явлений. В другой спецификации возможно применить стоп-лосы или тейк-профиты для увеличения практической правдоподобности, учесть доход от moneymarket, попытаться сформировать правила для коротких позиций. В-третьих, продолжить применение инструментов из истории анализа зарубежных рынков (с адаптацией под российский рынок). На данном этапе есть две основные группы таких работ. Первая - использование не только краткосрочной волатильности, но интерполяций краткосрочных оценок или применение методик расчёта для получения долгосрочных показателей, которые потенциально могут иметь более сильный эффект, что было показано в научном экскурсе в проблему. Вторая - работы с использованием факторных моделей (CAPM, FF-3) и перекрёстных данных, что позволит оценить конкретный вклад агрегированной волатильности в качестве риск-фактора в доходность и улучшит робастность получаемых результатов из-за возможности добавления фундаментальных и макроэкономических контрольных переменных.



Список литературы

· Ang, A., Hodrick, R.J., Xing, Y., Zhang, X. (2006), The cross-section of volatility and expected returns, The Journal of Finance, 61 (1): 259-299.

· Barone-Adesi, G., Giannopoulos, K., Vosper, L. (1999), VaRWithout Correlations for Portfolios of Derivative Securities, Journal of Futures Markets, 19 (5): 583-602.

· Dowd, K. Measuring Market Risk / K. Dowd. - John Wiley & Sons, 2005 - 390 p.

· Giot, P. (2005), Relationships between implied volatility indices and stock index returns, Journal of Portfolio Management, 31 (3): 92-100.

· Gujarati, D.N. Basic Econometrics / Gujarati D.N. - The McGraw?Hill Companies, 2004 - 1003 p.

· Jiang, G. J., Tian, Y. S. (2005), The model-free implied volatility and its information content, The Review of Financial Studies, 18 (4): 1305-1342.

· Lubnau, T.M., Todorova, N. (2015), The calm after the storm: implied volatility and future stock index returns, The European Journal of Finance, 21 (15): 1282-1296.

· Sunil, S. P., Pankaj, C., Vineet, A. (2019), Implied volatility and the cross section of stock returns in the UK, Research in International Business and Finance, 48: 271-286.



Приложение №1 - пример реализации процедуры бутстрап на языке Python.