Ценообразование опционов с использованием реализованной волатильности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ценообразование опционов с использованием реализованной волатильности

Н.И. Труничкин,

К.Г. Акопян

Аннотация

В данной статье рассматриваются основные типы волатильностей на финансовом рынке. Выделена реализованная волатильность как отдельный тип и сформулированы основные способы ее расчета и применения. Рассматриваются принципы торговли короткой и длинной волатильностью, а также процесс дельта-хеджирования. Представлен пример расчета реализованной волатильности на реальном примере. Сформулированы выводы по практическому использованию этой волатильности.

Ключевые слова: волатильность, реализованная волатильность, подразумеваемая волатильность, опционы, опционные стратегии, дельта, дельта-хеджирование, торговля волатильностью.

На рынке вы часто можете услышать о волатильности, однако несколько разных участников рынка об одном и том же активе за один и тот же период времени могу дать различные суждения. Один участник скажет, что волатильность была слишком высока, другой отметит, что низка, а кто-то скажет, что по ней был куплен опцион. Необходимо четко понимать какую именно волатильность имеют ввиду участники рынка. Для этого рассмотрим типы волатильностей, их характеристики, расчет и использование.

В основном каждый автор предлагает свою классификацию волатильности. Рассмотрим некоторые из них. Шелдон Натенберг выделил следующие типы - будущая, историческая, прогнозируемая и рыночная волатильность [1, С. 97]. Саймон Вайн сформулировал три типа - историческая, ожидаемая и ожидаемая историческая волатильность [2, С. 151]. Кевин Коннолли и Лоренс Дж. МакМиллан выделяют два типа - историческую и подразумеваемую волатильность [3, С. 81], [4, С. 21].

Безусловно, все эти типы присутствуют на рынке, однако для нашей работы мы будем придерживаться классификации предложенной Владимиром Твардовским [6], которая содержит еще один тип волатильности (реализованная), именно его и используют трейдеры на практике:

· Историческая волатильность, HV;

· Подразумеваемая волатильность, IV;

· Реализованная волатильность, RV.

Начнем с первого типа, историческая волатильность - статистическая мера быстроты изменения в цене базового актива. Эта величина рассчитывается как среднеквадратичное отклонение доходностей актива за N торговых периодов [1, С. 97]:

, (1)

где pi - цена закрытия i-го интервала.

Формула (1) - это и есть историческая волатильность, поскольку расчет производится уже по историческим данным.

Помимо вышеуказанной формулы расчета волатильность может выражаться и через другие расчетные показатели. Например, индикатор истинного среднего торгового диапазона (Average True Range). Данный индикатор включает в себя не только цены закрытия, но и экстремумы.

Также отметим, что также для анализа волатильности можно использовать авторегрессионные гетероскедастичные модели ARCH, GARCH, и др., поскольку они позволяют учесть эффект кластеров на рынке.

Следующий тип, подразумеваемая волатильность, - волатильность, которую ожидают участники рынка в будущем. Данный тип волатильности соотносится не с базовым активом, а с опционами на него. Поэтому, когда участники опционного рынка говорят о волатильности они имеют ввиду не историческую, а ту, которая заложена в премии опционов. Трейдеры оценивают рынок и закладывают в цены опционов именно его будущую оценку. Таким образом подразумеваемая волатильность выражает ожидания участников рынка относительно будущих колебаний в базовом активе. Подразумеваемая волатильность связана с моделью ценообразования опциона. Так, она может вычисляться численными методами из модели Блэка-Шоулза IV, путем подбора, исходя из модели, описывающей ценообразования опциона. финансовый рынок волатильность

Стоимость опциона складывается из нескольких факторов, и волатильность непосредственно влияет на стоимость опциона, которую рассчитывают с помощью математических моделей. Наибольшее распространение получила модель ценообразования опциона Блэка-Шоулза. Другие модели являются либо ее измененным вариантом, либо описывают частные или общие случаи. Попытки использовать другие модели не всегда являются удачными. Стандартная формула Блэка-Шоулза, в основном, и используется на практике трейдерами.

Модель Блэка-Шоулза имеет следующий вид [5, С. 414]:

Цена (европейского) опциона call:

(2)

Цена (европейского) опциона put:

(3)

где:

(4)

(5)

C - цена европейского опциона call для бездивидендных акций;

P - цена европейского опциона put для бездивидендных акций;

S0 - первоначальная цена акции;

Функция N(x) - интегральная функция стандартизированного нормального распределения;

K - цена исполнения опциона;

r - непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка;

T - время до истечения срока опциона;

- волатильность доходности базового актива.

Стоит заметить, что формулы (2) и (3) используется для опционов европейского типа на бездивидендную акцию. Для опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды, на фьючерсы, на валюту используются видоизмененные формулы. Тип опциона, европейский или американский, также видоизменит представленные формулы. На данный момент в свободном доступе существует значительное количество программ, которые позволяют при вводе параметров вычислить теоретическую стоимость опциона.

Практически все параметры можно получить в торговом терминале или же на сайте биржи. В модели Блэка-Шоулза предполагается, что волатильность постоянна, но опционный рынок нам демонстрирует обратное. В связи с этим встает вопрос: как вычислить подразумеваемую волатильность? Напрямую посчитать данную величину невозможно. Она вычисляется посредством подстановки в модель Блэка--Шоулза всех известных показателей, включая рыночную цену опциона. Допустим цена фьючерсного контракта РТС (RIM8) - 124 960; call с ценой исполнения 127 500, который экспирируется через месяц, и трейдер полагает, что волатильность базового актива за этот месяц составит 20%. Чтобы узнать теоретическую стоимость этого опциона, необходимо ввести эти данные в формулу. В итоге получаем, что теоретическая стоимость равна 1 654 руб. Теперь можем сравнить теоретическую стоимость опциона с его рыночной ценой. Однако рынок показывает цену опциона равную 2 291 руб. Чем объяснить, что опцион, оцененный трейдером в 1 654 руб., стоит на рынке 2 291 руб.?

Поскольку формула Блэка-Шоулза стала стандартом на опционном рынке и все участники рынка пользуются ею, то расхождение между стоимостью трейдера и стоимостью, предложенной рынком объясняется разницей в ожиданиях относительно волатильности базового актива. Это говорит нам о том, что рынок использует для оценки этого опциона значение волатильности, отличное от 20%. С помощью опционного калькулятора можно выяснить, что теоретическая стоимость 127 500 call составляет 2 291 при волатильности 24,9%.

Рассмотренный пример выше демонстрирует, что для выяснения подразумеваемой волатильности необходимо "заставить" формулу работать в обратном порядке (решаем уравнение относительно IV). Подразумеваемая волатильность позволяет рассматривать опционы в отрыве от их цены и определять их стоимость в терминах волатильности. Однако ответить на вопрос смог бы трейдер заработать в данном случае исходя из наших алгоритмов дельта хеджирования - сложнее. Для этого нужно использовать реализованную волатильность, которая учтет, как рыночную волатильность, так и выбранный вами подход к дельта хеджированию.

Реализованная волатильность - уровень подразумеваемой волатильности, при котором трейдеру на момент создания позиции было бы безразлично покупать или продавать опцион. Получается, если бы трейдер в прошлом купил опцион по меньшей волатильности, чем реализованная, то он заработал бы на позиции к моменту исполнения. Если бы трейдер продал в прошлом опцион по волатильности выше реализованной, то тоже заработал бы на этой операции. Проблема в том, что трейдер не может перед открытием позиции определить какой будет реализованная волатильность, так как это определяется после закрытия позиции. Рассчитать этот тип волатильности можно после того как траектория движения цены базового актива уже реализовалась. Получается, что стоимость опциона равна стоимости его дельта-хеджирования. И это справедливо, когда подразумеваемая волатильность совпадает с реализованной. В общем же случае, для покупки волатильности:

(6)

где PnL - сумма финансового результата от покупки опциона и процесса его дельта-хеджирования.

Рассмотрим вычисления PnL дельта-хеджирования опциона Call [6]:

PnL = PnL(Call) + PnL(Hedge) (7)

где финансовый результат от покупки колла определяется по формуле:

(8)

где C(0) - стоимость опциона в момент его покупки;

eRT - дисконтирующий фактор;

P (T) - цена базового актива в момент исполнения (Т);

К - цена исполнения опциона.

Стоимость портфеля, через который осуществляется процесс дельта-хеджирования в любой момент времени t:

Hedge(t) = Cash(t) + n(t) * p(t), (9)

где Cash(t) - денежные средства, оставшиеся у трейдера;

n(t) - объём базового актива;

p(t) - цена базового актива.

Реализованная волатильность в большей степени важна для торговцев волатильностью. Именно с помощью этого показателя можно оценить насколько подразумеваемая волатильность по которой был куплен опцион расходится с волатильностью базового актива за период удержания позиции.

При этом довольно важно, что при торговле волатильностью необходимо устранить чувствительность позиции к изменению цены базового актива, то есть дельта стратегии должна равняться нулю. Чтобы достичь подобной ситуации трейдер постоянно корректирует свою позицию с помощью базового актива или опционов, тем самым нивелируя дельту опционов.

Дельта-нейтральное хеджировании предполагает, что трейдер покупает и продает базовый актив таким образом, чтобы дельта его опционной позиции всегда равнялась нулю, или была приближена к нему. Отметим, что нет строго определенных и формализованных способов дельта-хеджирования. Каждый трейдер вырабатывает свои принципы и порядок действий при этом виде хеджирования. Для этого различные способы тестируются на исторических данных конкретного инструмента для выявления оптимального способа. В общем же случае можем выделить три основных способа каждый из которых может видоизменяться под конкретные стратегии и позиции на рынке:

1. дельта-хеджирование по дельте позиции;

2. дельта-хеджирование по базовому активу (при абсолютном или процентном изменении);

3. дельта-хеджирование по тете позиции.

При первом способе трейдер нивелирует дельту позиции, как только она превышает определенный уровень, установленный самим трейдером. Именно он определяет, при каком значении дельты он может удерживать позиции без хеджирования, а при каком ее необходимо "устранить". В общем случае при переходе значения дельты более 0,5 или менее --0,5 трейдер проводит операции с базовым активом для установления дельта-нейтральной позиции.

Второй способ подразумевает устранение дельты до нулевых значений при определенном движении цены базового актива, допустим, 500 пунктов для фьючерса РТС. Другим вариантом такого рода хеджирования является обращение дельты в ноль при изменении базового актива в установленном процентом соотношении, например, 1-2%, как в сторону увеличения, так и снижения цены.

При последнем способе трейдер каждый день пытается "отбить" свои потери по тете (то есть временному распаду опциона). Трейдер хеджируется по дельте, как только движение базового актива "отыгрывает" потери по тете, то есть прибыль от движения базового актива покрывает убытки по тетта распаду. Трейдер сам устанавливает сколько ему необходимо заработать - половину тетты за день или ее всю. При этом хеджирование происходит так, чтобы дельта вновь стала равняться нулю. Получается, что это один из подходов суть, которого заключается в том, что трейдер выбирает тетту как показатель, на основе которого вы строит свои стратегии поведения с дельта хеджированием. Отметим, что данный способ относится к случаю длинной торговли, поскольку при короткой торговле трейдер выигрывает от распада временной стоимости опциона.

Торговля волатильностью привлекательна для участников рынка в ситуациях, когда на рынке между подразумеваемой и исторической волатильностями существует разница. Предположим, что в обозримом будущем фьючерс на индекс РТС будет сильно колебаться. В этой ситуации трейдеру необходимо создать портфель из длинной позиции на одинаковое количество опционов call и put.

При такой позиции трейдер будет рассчитывать на большие рыночные движения. В каком бы направлении ни происходило движение базового актива, он всегда получает прибыль. Простейший способ зафиксировать прибыль от движения цены это полностью ее ликвидировать, однако она не имеет особого смысла, поскольку возможно получить большую прибыль, не выходя из позиции. Положительной стороной длинной торговли волатильностью является то, что при рехеджировании трейдеру необходимо продавать на растущем рынке и покупать на снижающемся. И при такой торговле прибыль возникает от рехеджирования. Процесс постепенного рехеджирования называется днимаческим хеджированием.

При этом стоит отметить, что в этом случае, при прочих равных условиях, опцион каждый день теряет свою временную стоимость, то есть имеет место временной распад стоимости опциона, который сократит прибыль трейдера, а в некоторых случаях приведет к убытку.

Игрок короткой волатильности в свою очередь продает переоцененные опционы в надежде на то, что получаемая им прибыль от распада стоимости превышает потери от будущих ценовых движений. Удерживая подобную позицию участник рынка будет ожидать на незначительные движения цены акции до истечения срока или на их отсутствие.

При этом если цена акций начинает сильно колебаться вверх и вниз, то позиция должна будет часто рехеджироваться. И в случае короткой торговли волатильности процесс рехеджирования, будет фиксировать убытки, поскольку трейдер будет вынужден продавать базовый актив на низком уровне и покупка на высоком.

Определив основные принципы торговли волатильностью и способы дельта-хеджирования, рассмотрим, как рассчитывается реализованная волатильность позиции трейдера.

Исходные данные. Имеются опционы на фьючерс РТС (RIZ7) с датой экспирации 21.12.2017. Дата открытия позиции - 21.11.2017. Дней до экспирации - 30. В момент открытия позиции утром базовый актив (фьючерс на индекс РТС) стоил 113 290 пунктов. Позиция открывается по центральным страйкам, то есть 115 000. Покупаются 100 опционов call и 100 опционов put 17% волатильности. Премии опционов были взяты с официального сайта Московской биржи [7]. Цена одного опциона call = 3 228,02 руб., цена одного опциона put = 1 518,02 руб. Открытая позиция имеет дельту равную -21,9. Финансовый результат созданной нами стратегии в зависимости от движения базового актива изображен на рисунке 1. Как и утверждалось ранее, при значительных колебаниях базового актива (фьючерс на индекс РТС) мы зарабатываем на позиции, в противном случае - несем убытки.

Рис. 1. Длинный стрэддл по опционам на фьючерс РТС (Страйк - 115 000; время до экспирации - 30 дней; 100 опционов call и 100 опционов put)

Основные допущения при удержании позиции. Позиции удерживается нами до экспирации. Процесс дельта-хеджирования проводится каждое утро базовым активом в момент фиксации дельты (чтобы выяснить какое количество базового актива необходимо купить мы используем округление по стандартному математическому правилу). Цена, по которой мы проводим хеджирование - это цена закрытия предыдущего дня. Последнее допущение стоит пояснить, эта мера вводится для устранения гэпов после выходных и праздничных дней. Также в стоимости процесса хеджирования учитывается тетта позиции. Учитывая цены таким образом, тетта-распад за ночь или выходные и праздничные дни отражается в дельте в новый день.

Результаты удержания позиции и анализ. В таблице представлены данные по теоретической стоимости позиции исходя из рыночных данных на каждый день и стоимость, вычисленная на основании результата нашего дельта хеджирования на каждый день. То есть по второму столбцу мы можем определить сколько бы стоила для нас дельта-нейтральная позиция, аналогичная той, что создали мы в любой из указанных в таблице дней. Третий же столбец показывает по какой цене необходимо было бы купить или продать стратегию, чтобы наш финансовый результат равнялся нулю. Как мы видим исходя из таблицы покупка стрэддла по 17% волатильности было для нас убыточным, поскольку мы купили дороже чем в итоге реализовалась волатильность базового актива.

Таблица 1. Теоретическая стоимость позиции относительно подразумеваемой (IV) и реализованной волатильности (RV)

Различия между реализованной и подразумеваемой волатильностями на рисунке 2 свидетельствуют о том, что процесс дельта-хеджирования рассмотренной позиции был убыточным для покупателей и прибыльным для продавцов волатильности. Отметим, что на результат повлиял способ процесса дельта хеджирования.

Рис. 2. Реализованная (RV) и подразумеваемая волатильность (IV) для декабрьской серии ATM-опционов на RIZ7

Подводя итоги, трейдер, освоивший процесс расчета реализованной волатильности приобретает для себя еще один инструмент в построении оптимальных стратегий. Данный тип волатильности позволяет на исторических данных тестировать и в дальнейшем разрабатывать под себя способы дельта-хеджирования для разных активов и рынков (на растущем, снижающем, боковом). К тому же у трейдера появляется возможность оценивать обращающиеся на рынке опционы, тестируя для них разные подходы и, выбрав оптимальный, входить в позиции.

Библиографический список

1. Натенберг Ш. Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли / Шелдон Натенберг / Пер. с англ. - М.:Альпина Паблишер, 2012. - 541 с.

2. Вайн С. Опционы. Полный курс для профессионалов. - М.: Альпина Паблишер, 2017. - 438 с.

3. Коннолли К. Покупка и продажа волатильности. - М.: ИК Аналитика, 2006. - 264 с.

4. МакМиллан Л. Дж. МакМиллан об опционах. - М.: ИК Аналитика, 2002. - 456 с.

5. Халл, Дж. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты, 8-е издание: Пер. с англ. - М.:ООО "И.Д. Вильямс", 2014. - 1072 с.

6. Видеоматериалы "Московской опционной конференции 2017". Владимир Твардовский. "Расчет реализованной волатильности на историческом промежутке времени". - [Электронный ресурс]. - URL: https://www.youtube.com/watch?v=N-Amavt7U8k

7. Официальный сайт ПАО "Московская биржа". - [Электронный ресурс] - URL: http://moex.com/

Размещено на Allbest.ru