Финансовая математика

По дисциплине Финансовая математика

На тему Финансовая математика

38.03.01 бакалавриат «Экономика», зачетка 2835170

Храмова И.Н.

Архангельск 2017

ВВЕДЕНИЕ

Финансовая математика - это система практически необходимых расчетов доходности финансовых, инвестиционных и торговых операций во времени с учетом инфляции, валютных курсов, а также юридических и фактических условий выполнения договоров. Она исследует параметры и результаты коммерческих и финансовых операций.

На знании финансовой математики строятся основы таких наук, как инвестиционный анализ, бухгалтерский учет, банковское дело, финансовый менеджмент.

В данной контрольной работе поставлены следующие задачи:

- решение задач финансовой математики;

- изучение теоретических вопросов, связанных с решением задач.

Целью в данной работе является овладение методами финансовых расчетов, закрепление теоретического материала, формирование навыков построения модели Хольта-Уинтерса.

Финансовая математика использует математические методы и модели для изучения финансовых процессов. С помощью решения задач, построения моделей можно сделать выводы о работе предприятия, о финансовом рынке, спрогнозировать те или иные последствия в будущем сегодняшних мер и воздействий на финансовый рынок.

ЗАДАНИЕ 1

Даны поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за четыре года. Данные приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Кредиты на жилищное строительство за четыре года

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания = 0,3; = 0,6;

= 0,3;

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации;

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения = 1,10 и 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении = 0,32;

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1) Построение модели Хольта-Уинтерса.

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонного временного ряда мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

= [а(t) + k · b(t)] · F(t + k - L), (1)

где k - период упреждения;

- расчетное значение экономического показателя для t - периода;

а(t), b(t), F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются. Уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t - 1 к t;

F(t + k - L) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности (для квартальных данных L - 4).

Таким образом, если рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F(t + k - L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

a(t) = (1 - ) · (a(t - 1) + b(t - 1)) (2)

b(t) = · [a(t) - a(t - 1)] + (1- ) · b(t - 1) (3)

F(t) = + (1 - ) · F(t - L) (4)

Параметры сглаживания даны в условиях задачи.

Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (то есть для t = 1-1 = 0). Значения a(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные.

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым восьми значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

= a(0) + b(0) · t (5)

где - расчетное значение экономического показателя для t - периода;

а(0), b(0) - коэффициенты модели;

t - период.

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по следующим формулам:

; (6)

a(0) = ; (7)

= ; (8)

= (9)

Применяя линейную модель к первым восьми значениям ряда, то есть к данным за первые два года.

= · 36 = 4,5

= · (43+54+64+41+45+58+71+43) = 52,375

=

= 0,845

a(0) = 52,375 - 0,845 · 4,5 = 48,573

Уравнение имеет вид:

= 48,573 + 0,845t

Из этого уравнения находим расчетные значения и сопоставляем их с фактическими значениями. Занесем данные в таблицу 2.

Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности 1-4 кварталов F(-3), F(-2), F(-1), F(0) для года, предшествующего первому году. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов модели Хольта-Уинтерса.

Таблица 2 - Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений

= 48,573 + 0,845 · 1 = 49,418

= 48,573 + 0,845 · 2 = 50,263

= 48,573 + 0,845 · 3 = 51,108

= 48,573 + 0,845 · 4 = 51,953

= 48,573 + 0,845 · 5 = 52,798

(6) = 48,573 + 0,845 · 6 = 53,643

= 48,573 + 0,845 · 7 = 54,488

= 48,573 + 0,845 · 8 = 55,333

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности первого квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) первого квартала первого года, равное и такое же отношение для первого квартала второго года (то есть за пятый квартал t = 5, Для окончательной, более точной оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

F(-3) = (10)

F(-3) = = 0,861

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для второго, третьего, четвертого кварталов.

F(-2) = (11)

F(-2) = = 1,0775

F(-1) = (12)

F(-1) = = 1,2775

F(0) = (13)

F(0) = = 0,783

Оценив значения a(0), b(0),а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1 - 4.

Рассчитаем , а(t), b(t), F(t) для t = 1 по t = 16.

Из уравнения = (а(t) + k · b(t)) · F(t + k - L) при условии, что t = 0,

k = 1 находим .

Для t = 1:

= = (а(0) + k · b(0)) · F(0 + 1 - 4) = (48,543 + 1· 0,845) · 0,861=42,549

a(1) = (1 - ) · (a(0) + b(0)) = (1 - ) (48,573 +0,845) = 49,575

b(1)= · (a(1) - a(0)) + (1- ) · b(0) = 0,3·(49,575 - 48,573)+ (1 - 0,3) 0,845=0,892

F(1) = + (1 - ) · F(-3) = + (1 - 0,6) · 0,861 = 0,865

Для t = 2:

= (49,575 + 1 · 0,892) · 1,0775 = 54,378

а(2) = + (1 - 0,3) · (49,575 + 0,892) = 50,362

b(2) = 0,3 · (50,362 - 49,575) + (1 - 0,3) · 0,892 = 0,861

F(2) = + (1 - 0,6) · 1,0775 = 1,074

Для t = 3:

= (50,362 + 1 · 0,861) · 1,2775 = 65,437

а(3) = + (1 - 0,3) · (50,362 + 0,861) = 50,886

b(3) = 0,3 · (50,886 - 50,362) + (1 - 0,3) · 0,861 = 0,759

F(3) = + (1 - 0,6) · 1,2775 = 1,266

Для t = 4:

= (50,886 + 1 · 0,759) · 0,783 = 40,438

а(4) = + (1 - 0,3) · (50,886 + 0,759) = 51,860

b(4) = 0,3 · (51,860 - 50,886) + (1 - 0,3) · 0,759 = 0,824

F(4) = + (1 - 0,6) · 0,783 = 0,788

Для t = 5:

= (51,860 + 1 · 0,824) · 0,865 = 45,572

а(5) = + (1 - 0,3) · (51,860 + 0,824) = 52,486

b(5) = 0,3 · (52,486 - 51,860) + (1 - 0,3) · 0,824 = 0,765

F(5) = + (1 - 0,6) · 0,865 = 0,860

Для t = 6:

= (52,486 + 1 · 0,765) · 1,074 = 57,192

а(6) = + (1 - 0,3) · (52,486 + 0,765) = 53,477

b(6) = 0,3 · (53,477 - 52,486) + (1 - 0,3) · 0,765 = 0,833

F(6) = + (1 - 0,6) · 1,074 = 1,0804

Для t = 7:

= (53,477 + 1 · 0,833) · 1,266 = 69,073

а(7) = + (1 - 0,3) · (53,477 + 0,833) = 54,842

b(7) = 0,3 · (54,842 - 53,477) + (1 - 0,3) · 0,833 = 0,933

F(7) = + (1 - 0,6) · 1,266 = 1,283

Для t = 8:

= (54,842 + 1 · 0,993) · 0,788 = 43,998

а(8) = + (1 - 0,3) · (54,842 + 0,993) = 55,455

b(8) = 0,3 · (55,455 - 54,842) + (1 - 0,3) · 0,993 = 0,879

F(8) = + (1 - 0,6) · 0.788 = 0,780

Для t = 9:

= (55,455 + 1 · 0,879) · 0,86 = 48,447

а(9) = + (1 - 0,3) · (55,455 + 0,879) = 56,527

b(9) = 0,3 · (56,527 - 55,455) + (1 - 0,3) · 0,879 = 0,937

F(9) = + (1 - 0,6) · 0,860 = 0,864

Для t = 10:

= (56,527 + 1 · 0,937) · 1,08 = 62,061

а(10) = + (1 - 0,3) · (56,527 + 0,937) = 57,447

b(10) = 0,3 · (57,447 - 56,527) + (1 - 0,3) · 0,937 = 0,932

F(10) = + (1 - 0,6) · 1,08 = 1,079

Для t = 11:

= (57,447 + 1 · 0,932) · 1,283 = 74,900

а(11) = + (1 - 0,3) · (57,447 + 0,932) = 58,169

b(11) = 0,3 · (58,169 - 57,447) + (1 - 0,3) · 0,932 = 0,869

F(11) = + (1 - 0,6) · 1,283 = 1,277

Для t = 12:

= (58,169 + 1 · 0,869) · 0,78 = 46,049

а(12) = + (1 - 0,3) · (58,169 + 0,869) = 58,634

b(12) = 0,3 · (58,634 - 58,169) + (1 - 0,3) · 0,869 = 0,748

F(12) = + (1 - 0,6) · 0,78 = 0,775

Для t = 13:

= (58,634 + 1 · 0,748) · 0,864 = 51,306

а(13) = + (1 - 0,3) · (58,634 + 0,748) = 60,317

b(13) = 0,3 · (60,317 - 58,634) + (1 - 0,3) · 0,748 = 1,029

F(13) = + (1 - 0,6) · 0,864 = 0,883

Для t = 14:

= (60,317 + 1 · 1,029) · 1,079 = 66,192

а(14) = + (1 - 0,3) · (60,317 + 1,029) = 61,293

b(14) = 0,3 · (61,293 - 60,317) + (1 - 0,3) · 1,029 = 1,013

F(14) = + (1 - 0,6) · 1,079 = 1,078

Для t = 15:

= (61,293 + 1 · 1,013) · 1,277 = 79,565

а(15) = + (1 - 0,3) · (61,293 + 1,013) = 62,173

b(15) = 0,3 · (62,173 - 61,293) + (1 - 0,3) · 1,013 = 0,973

F(15) = + (1 - 0,6) · 1,277 = 1,273

Для t =16:

= (62,173 + 1 · 0,973) · 0,775 = 48,938

а(16) = + (1 - 0,3) · (62,173 + 0,9731,029) = 62,783

b(16) = 0,3 · (62,783 - 60,173) + (1 - 0,3) · 0,973 = 0,864

F(16) = + (1 - 0,6) · 0,775 = 0,769

Максимальное значение t , для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). В нашем случае данные приведены за четыре года, то есть за 16 кварталов. Максимальное значение t равно 16.

Исходя из полученных данных, строим модель Хольта-Уинтерса. Заносим все расчеты в таблицу 3.

Таблица 3 - Модель Хольта-Уинтерса

Для нахождения абсолютной погрешности E(t) применили формулу:

E(t) = Y(t) - (t), (14)

где E(t) - абсолютная погрешность;

Y(t) - фактическое значение экономического показателя;

(t) - расчетное значение экономического показателя.

E(1) = Y(1) - (1) = 43 - 42,549 = 0,451

Все данные занесены в таблицу 3.

Для нахождения относительной погрешности применили формулу:

= , (15)

где - относительная погрешность;

E(t) - абсолютная погрешность;

Y(t) - фактическое значение экономического показателя.

= = 1,049 %

Все данные занесены в таблицу 3.

2) Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда E(t) должны удовлетворять определенным условиям(точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4 с промежуточными расчетами для оценки адекватности модели.

Таблица 4 - Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

Проверим точность модели. Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5 %. Суммарное значение относительных погрешностей составляет:

1,049 + 0,7 + 2,245 + 1,371 + 1,271 + 1,393 + 2,714 + 2,321 + 1,129 + 0,098 + 1,216 + 2,331 + 4,989 + 0,291 + 0,715 + 1,954 = 25,787

Среднее значение: = 1,612 и это значение менее 5 %. Следовательно, условие точности выполнено.

Проверим условие адекватности. Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами:

- случайности;

- независимости последовательных уровней;

- нормальности распределения.

Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда сравниваем с двумя соседними. Если он больше или меньше обоих соседних уровней, то точка считается поворотной. Общее число поворотных точек в нашем случае равно 8.

Рассчитаем значение q по формуле:

q = int ( (16)

финансовая математика погрешность линейный

Функция «int» означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16

q = int ( = int (6,16) = 6

Если количество поворотных точек больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p = 10, q = 6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверку независимости уровней ряда остатков проводим двумя методами:

- по d-критерию Дарбина-Уотсона;

- по первому коэффициенту автокорреляции r(1).

Для проверки по d-критерию Дарбина-Уотсона рассчитаем значение d по формуле:

d = (17)

d = = = 2,349

Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:

d = 4 - 2,349 = 1,651.

Условие выполнено 1,37 < 1,651 < 2, следовательно, уровни ряда остатков E(t) являются независимыми.

Проверим по первому коэффициенту автокорреляции r(1). Рассчитаем r(1) по формуле:

r(1) = (18)

r(1) = =

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения , то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень = 0,32, следовательно,

= 0,32 уровни независимы.

Проверку соответствия ряда остатков нормальному распределению осуществляем по RS-критерию.

Рассчитаем значение RS:

RS = , (19)

где - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

- минимальное значение уровней ряда остатков E(t);

S - среднее квадратическое отклонение.

S = , (20)

S = = 1,129

= 2,694

= -1,437

RS = = 3,659

Полученное значение RS сравнивают с табличными значениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N = 16 и 5% уровня значимости значение RS для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21.

Так как 3,00 < 3,659 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворенном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя на четыре квартала вперед.

3) Расчет прогнозных значений экономического показателя. Составим прогноз на четыре квартала вперед, то есть на один год , с t = 17 по t = 20. Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t) и b(t), определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a(16) и b(16) можно определить прогнозные значения экономического показателя (t). Для t = 17:

(17) = (a(16) + 1 · b(16)) · F(16 + 1 - 4) = (62,783 + 1 · 0,864) · 0,883 = 56,200

(18) = (a(16) + 2 · b(16)) · F(16 + 2 - 4) = (62,783 + 2 · 0,864) · 1,078 = 69,543

(19) = (a(16) + 3 · b(16)) · F(16 + 3 - 4) = (62,783 + 3 · 0,864) · 1,273 = 83,222

(17) = (a(16) + 4 · b(16)) · F(16 + 4 - 4) = (62,783 + 1 · 0,864) · 0,769 = 50,938

На рисунке 1 проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения кредитов коммерческого банка на жилищное строительство на год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рисунок 1 - Сопоставление расчетных и фактических данных

ЗАДАНИЕ 2

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице 5. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, - время в годах, i - ставку в процентах. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Таблица 5 - Данные для решения задач

Задача 2.1

Банк выдал ссуду размером 5000000 рублей. Дата выдачи ссуды 08.01.02, возврата 22.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 55% годовых.

Найти:

- точные проценты с точным числом дней ссуды;

- обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

- обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение:

Расчет ведем по формуле:

I = P()i, (21)

где I - точные проценты с точным числом дней ссуды, руб.;

t - число дней пользования ссудой, дни;

k - число дней в году, дни;

i - процентная ставка, %.

- точные проценты с точным числом дней ссуды:

= P()i = 5000000(0,55 = 550000,00 рублей.

- обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

= P()i = 5000000(0,55 = 557638,89 рублей.

- обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

= P()i = 5000000(0,55 = 565277,78 рублей.

Задача 2.2

Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 5000000 рублей. Кредит выдан под 55% годовых (проценты обыкновенные).

Найти:

- первоначальную сумму;

- дисконт.

Решение:

- первоначальная сумма:

Расчет ведем по формуле:

P = , (22)

где Р - первоначальная сумма, руб.;

- сумма выданная банком, руб.;

n - время, дни;

i - процентная ставка, %.

P = = = 4395604,40 рублей.

- дисконт:

Расчет ведем по формуле:

D = S - P, (23)

где D - дисконт, руб.;

Р - первоначальная сумма, руб.;

- сумма выданная банком, руб.

D = S - P = 5000000 - 4395604,40 = 604395,60 рублей.

Задача 2.3

Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 5000000 рублей. Банк приобрел вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение:

Найдем дисконт.

Решение ведем по формуле:

D = S·n·d, (24)

где D - дисконт, руб.;

S - сумма по векселю, руб.;

n - период времени, дни;

d - учетная процентная ставка, %.

D = S·n·d = 50000000,55 · = 687500,00 рублей.

Найдем полученную предприятием сумму.

Расчет ведем по формуле:

P = S - D, (25)

где Р - сумма, полученная предприятием, руб.;

D - дисконт, руб.;

S - сумма по векселю, руб.

P = S - D = 5000000 - 687500,00 = 4312500,00 рублей.

Задача 2.4

В кредитном договоре на сумму 5000000 рублей и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 55% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение:

Расчет ведем по формуле:

S = P, (26)

где S - наращенная сумма, руб.;

i - процентная ставка сложных процентов, %;

n - период, лет.

S = P = 5000000 = 44733048,44 рублей.

Задача 2.5

Ссуда размером 5000000 рублей предоставлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка - 55 % годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение:

Расчет ведем по формуле:

S = P, (27)

где S - наращенная сумма, руб.;

Р - сумма кредита, руб.;

i - процентная ставка сложных процентов, %;

N = 5· 4 = 20

S = P = 5000000 = 65765497,67 рублей.

Задача 2.6

Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 55 % годовых.

Решение:

Расчет ведем по формуле:

= , (28)

где - эффективная ставка, %;

m - количество раз начисления процентов, раз;

i - номинальная процентная ставка, %.

= = = 0,6742 или 67,42 %.

Задача 2.7

Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 55% годовых.

Решение:

i = m ((1 + i_э)^1/m - 1) = 4 (() - 1) = 0,46316 или 46,316 %.

Задача 2.8

Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 5000000 рублей. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 55 % годовых.

Решение:

Расчет ведем по формуле:

Р = S, (29)

где Р -современная стоимость, руб.;

S - сумма через 5 лет, руб.;

i - сложная процентная ставка, %;

n - количество лет, лет.

Р = S= 5000000 = 558870 рублей.

Задача 2.9

Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 5000000 рублей. Банк учел вексель по учетной ставке 55 % годовых. Определить дисконт.

Решение:

Решение ведем по формуле:

Р = S5000000 = 92264,06 рублей

D = S - P = 5000000 - 92264,06 = 4907735,94 рублей.

Задача 2.10

В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 5000000 рублей, на которые 4 раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 55 %. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

S = R 5000000 = 90130664,48 рублей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной контрольной работе рассмотрены задачи по финансовой математике на темы:

- построение модели Хольта-Уинтерса;

- простые и сложные проценты;

- дисконтирование.

В контрольной работе мной были рассмотрены и решены задачи, закреплены теоретические знания по данным темам, приведены формулы к каждому расчету и сделаны выводы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Половников, В.А. Финансовая математика: Методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания. Для студентов IV курса по специальности 060400 «Финансы и кредит» / ВЗФЭИ. - М.: Финстатинформ, 2002. - 78с.

2 Никулин, А.Н. Финансовая математика. Практикум: методические указания / сост.: А. Н. Никулин. - Ульяновск: УлГТУ, 2010. - 27с.

3 Общие требования к оформлению и изложению документов учебной деятельности обучающихся. Стандарт организации. СТО 89-03.5 - 2013 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.narfu.ru/upload/iblock/983/sto_89_03052013_s_izmeneniyami_v_sootvetstvii_s_prikazom_1256_ot_25012014.pdf (дата обращения: 10.12.2016).

4 Математика финансов [Электронный ресурс]. - Режим доступа: utmagazine.ru (дата обращения 18.12.2016).

Размещено на Allbest.ru