Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Содержание

• Финансовые ренты
• Задача 1
• Задача 2
• Задача 3
• Список литературы

Финансовые ренты

Две суммы денег S₁ и S₂ , выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные стоимости, рассчитанные по одной и той же процентной ставке на один момент времени, одинаковы.

Сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке и не могут заменять друг друга.

Результат сравнения зависит от некоторой ставки. Существует критическая ставка i₀ , при которой P₁ = P₂. Отсюда

и . [1, c. 145]

Пусть платежи S₁, S₂, ..., S_m со сроками уплаты n₁, n₂, ..., n_m заменяются одним в сумме S₀ и сроком n₀. Решим задачу: задан срок n₀ , найти сумму консолидированного платежа.

Применим простые процентные ставки. Запишем уравнение эквивалентности:

, [3, c.84]

где S_j - размеры объединяемых платежей со сроками n_j < n₀; S_k - размеры платежей со сроками n_k > n₀.

В частном случае, когда n₀ > n_о, (j = ),

.[1, c. 148]

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют аннуитетом или финансовой рентой.

Например, аннуитетом является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, регулярные взносы в пенсионный фонд и так далее.

Аннуитет характеризуется следующими параметрами:

величиной каждого отдельного платежа;

интервалом между платежами;

сроком от начала аннуитета до его конца (бывают вечные аннуитеты);

процентной ставкой.

Ведем обозначения:

R - величина годового платежа в аннуитете;

i - процентная ставка сложных процентов, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей;

A_k - современная стоимость k-ого платежа;

A - современная стоимость всего аннуитета;

S_k - будущая стоимость k-го платежа;

S - будущая стоимость всего аннуитета.

Обобщающими показателями аннуитета являются: современная стоимость всего аннуитета А и будущая стоимость всего аннуитета S.

Наращенная сумма - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока

Современная стоимость - сумма современных стоимостей членов потока платежей:



Рассмотрим аннуитет постнумерандо, в котором платежи производятся в конце периодов. На вносимые платежи один раз в год начисляются проценты. Будущие стоимости членов аннуитета:

Будущая стоимость аннуитета

Величину называют коэффициентом наращения аннуитета, его обозначение - FVIFA (Future Value of Interest Factor of Annuity).

Итак, наращенная сумма аннуитета постнумерандо: S = RЧFVIFA_i,n

Если платежи производятся в начале периодов, то речь идет об аннуитете пренумерандо.

Формула расчета наращенной суммы аннуитета пренумерандо имеет вид [5, c. 101]

Таким образом, Sў = S(1+i)

Если платежи вносятся в середине периода, то наращенная сумма аннуитета

Современная стоимость аннуитета постнумерандо

Величина называется коэффициентом приведения аннуитета, его обозначение (Present Value of Interest Factor of Annuity).

Итак, формула расчета современной стоимости аннуитета постнумерандо

Аналогично современная стоимость аннуитета пренумерандо

[4, c. 98]

Между наращенной и современной стоимостью аннуитета постнумерандо существует следующая зависимость:

Это означает, что если мы внесем в банк разовый платеж величиной А, то через n лет мы будем иметь наращенную сумму S, то есть аннуитет можно заменить разовым платежом.

Если платежи вносятся в середине периода, то современная стоимость

Вечная рента (бессрочный аннуитет). Рассмотрим случай, когда рента не ограничена во времени и имеет неограниченное число членов, то есть она является вечной рентой. Примером вечной ренты является выпуск облигационных займов без ограничения срока погашения. В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 лет и более. аннуитет финансовый рента платеж конверсия

Пусть А - это долг, который нужно погасить за бесконечное число лет при существующей процентной ставке i. Тогда

 [1, c. 150]

Таким образом, величина годового платежа

На практике может возникнуть ситуация, когда один из партнеров, участвующих в сделке, предлагает изменить условия оплаты: разовый платеж заменить на рентные платежи или, наоборот. К более сложным случаям относятся: объединение рент в одну - консолидация рент; замена ренты с одними условиями на ренту с другими условиями, например немедленной ренты на отложенную и т.д. Все перечисленные изменения не могут быть произвольными. Если предполагается, что конверсия не должна приводить к изменению финансовых последствий, то ее необходимо основывать на принципе финансовой эквивалентности.

Платежи считаются эквивалентными, если, будучи приведены к одному моменту, они будут иметь одинаковую стоимость.

Рассмотрим некоторые случаи конверсии.

Выкуп ренты. Аннуитет с параметрами R, i, n заменяют разовым платежом. Решение проблемы простое. Размер выкупа должен быть равен современной стоимости ренты A = R Ч PVIFA_{i , n}

Задача обратная выкупу ренты. Если есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму, то задолженность можно погашать частями - в рассрочку.

Величина отдельного платежа равна

R = A/PVIFA_{i ,n},

где А - величина долга

Величина 1/PVIFA_{i ,n} называется коэффициентом рассрочки.

Изменение продолжительности ренты. При замене обычной годовой ренты на новую с изменением срока ренты необходимо определить размер нового рентного платежа. Уравнение эквивалентности имеет вид:

Тогда величина рентного платежа новой ренты составит:

Задача 1

Ссуда в размере 10 000 руб. была выдана под 10% годовых с 13 марта по 18 сентября. Определить проценты и сумму накопленного долга, если простые проценты считались как банковские.

Решение:

Накопленный долг определим по формуле:

,

где Р - размер ссуды, первоначальный;

i - ставка процента;

- точное число дней ссуды;

К - временная база. Банковские проценты предполагают точное число дней ссуды и временную базу Т = 360 дней.

Точное число дней ссуды определим по следующим образом: 13 марта - 71, порядковый день в году, 18 сентября - 260. Точное число дней ссуды = 260 - 71 = 189 дн.

Получаем: руб.

Сумму процентов определим по формуле: руб.

Ответ: I = 525 руб.; S = 10525 руб.

Задача 2

Вексель номиналом в 100 000руб выдан 24 февраля до конца года с начислением 10% годовых. 18 октября он был учтён под 15% годовых. Определить сумму дисконта.

Решение:

Сумму дисконта по векселю определим по формуле:

D = S-P,

где S - номинал векселя;

Р - сумма, по которой вексель был учтен до момента погашения.

Используем формулу:

P = S(1 + i·/К) (1 - d·n/К),

d - учетная ставка;

К - временная база (360 дней);

n - число дней до момента погашения;

- число дней начисления процентов;

i - величина процента.

Определим число дней начисления процентов, 24 февраля это 54 день в году, а 18 октября - 290 день, число дней начисления процентов = 290-54 = 236 дней; число дней до погашения составит 365-290 = 75 дней.

Получаем:

Р = 100000·(1 + 0,1· 236/360)·(1 - 0,15·75/360) = 103225,7 руб.

Величина дисконта составит:

D = 103225,7-100000 = -3225,7 руб., т.е. не дисконт, а премия.

Ответ: премия 3225,7 руб.

Задача 3

Кредит на 2 года и 3 месяца был выдан под 20% сложных годовых в размере 80 000руб. Определить конечную сумму долга по общей формуле и по смешанному методу.

Решение:

Конечную сумму долга определим по формулам:

- общей формуле:

S = P·(1+i)ⁿ,

где Р - сумма кредита;

i - ставка процента;

n - срок кредита, лет (2+3/12 = 2,25 года);

- смешанной формуле: S=P·(1+i)ⁿ·(1+k/T·i), где n - полное число лет начисления процентов; k - число месяцев начисления процентов; Т - число месяцев в году.

Получаем:

- в первом случае: S = 80000(1+0,2)^2,25 = 120572,4 руб.;

- во втором случае: S = 80000(1+0,2)²·(1+3/12·0,2) = 120960 руб.

Ответ: 120572,4 руб. и 120960 руб.

Список литературы

1. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. - М.: Финансы и статистика, 1999, - 327 с.

2. Ершов Ю.С. Финансовая математика в вопросах и ответах: Уч. Пособие. - Новосибирск: Сибирское соглашение, 1999, -159 с.

3. Малыхин В.И. Финансовая математика: Уч. Пособие. - М.: ЮНИТИ, 2000, - 247 с.

4. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Уч. Пособие. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000, - 367 с.

Размещено на Allbest.ru