Многокритериальные математические модели принятия решений на рынке ценных бумаг в условиях неопределенности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кубанский государственный университет

УДК 330.42:519.816

Многокритериальные математические модели принятия решений на рынке ценных бумаг в условиях неопределенности

Семенчин Евгений Андреевич

д. ф.-м. н., профессор

Денисенко Андрей Олегович

аспирант

В статье дан обзор методов оптимизации портфеля ценных бумаг. Раскрыто содержание портфеля ценных бумаг

Ключевые слова: оптимизация портфеля ценных бумаг, портфель ценных бумаг, рынок ценных бумаг, критерии оптимизации, модель оптимизации портфеля ценных бумаг

инвестиция финансовый шарп

Оптимизация портфеля инвестиций является одной из распространенных, типичных и значимых финансовых задач, которая возникает в практике ресурсного обеспечения, страхования, инвестирования, банковского дела. Решение ее позволяет найти наиболее эффективный способ вложения инвестором своего капитала в акции нескольких компаний. Основными принципами формирования инвестиционного портфеля являются надежность и доходность вложений, их стабильный рост и высокая ликвидность.

Целью оптимизации портфеля ценных бумаг является формирование такого портфеля ценных бумаг, который бы соответствовал требованиям инвестора, предприятия, как по доходности, так и по возможному риску, что достигается путем распределением ценных бумаг в портфеле.

При инвестировании ценных бумаг инвестор формирует портфель этих бумаг и использует для этого наиболее известные и апробированные на практике модели: Марковица, Шарпа, Тобина и другие. Математические модели всех портфелей в значительной степени похожи друг на друга: имеется критерий, который необходимо оптимизировать (как правило, минимизировать) по некоторым входящим в него параметрам, на которые наложены определенные ограничения. Некоторые из них (как предлагается в данной работе) можно выбрать в качестве новых критериев. В этом случае будем иметь многокритериальную задачу оптимизации (с двумя и более критериями). Также задачи можно исследовать методами свертки критериев или путем построения Парето-оптимальных точек. Существует несколько методов свертки критериев [2]: методы линейной, лексико - графической, мультипликативной свертки, метод выбор главного критерия, метод идеальной точки. В данной работе при использовании задач будем использовать линейную свертку критериев.

Многокритериальная оптимизация состава портфеля ценных бумаг Шарпа

Модель портфеля Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом.

Основные допущения, которые предполагаются выполненными при построении модели Шарпа:

- в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

- существует некая безрисковая ставка доходности , т. е. доходность некой ценной бумаги, риск которой всегда минимален по сравнению с другими ценными бумагами (под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности рынка в целом);

- взаимосвязь отклонений доходности ценной бумаги от безрисковой ставки доходности описывается функцией линейной регрессии;

- данные о составе портфеля в прошлые периоды времени, используемые при расчете его доходности и риска, в полной мере отражают будущие значения доходности.

Математическая модель портфеля ценных бумаг Шарпа имеет вид [3]:

(1)

где ,,,- соответственно избыточная доходность, вес, риск, остаточный риск, - доходность ценных бумаг, - ожидаемая доходность рынка в целом, - среднее квадратическое отклонение доходности рынка, - максимально допустимая величина риска портфеля ценных бумаг.

В модели (1) предполагается, что величина заранее задана (например, экспертом).

Перейдем от модели (1) к модели, представляющую собой задачу двухкритериальной оптимизации:

(2)

Как показывают вычислительные эксперименты модель (2) позволяет с большей выгодой сформировать состав портфеля. От модели (2) с двумя критериями можно перейти (путем линейной свертки критериев [2]) к модели с одним критерием

(3)

и теми же ограничениями, что и в (2):

, (4)

где , , отражают предпочтение одного критерия по сравнению с другим и определяются экспертами.

Модель (3),(4) может быть исследована методами квадратичного программирования.

Пример 1. Согласно статистическим данным, приведенным в [3], можно рассчитать основные параметры модели (2): , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , .

Эксперты предлагают выбрать в (3) значения

Воспользовавшись офисным приложением электронных таблиц Excel, найдем решение модели (3) (табл. 1).

Таблица 1 Результаты расчета веса каждой ценной бумаги в портфеле

При этом максимально средняя эффективность состава портфеля при минимальном риске

.

Если в модели (2), наоборот , то имеем (табл.2).

Таблица 2 Результаты расчета веса каждой ценной бумаги в портфеле

При этом максимально средняя эффективность состава портфеля при минимальном риске

.

Многокритериальная оптимизация состава портфеля ценных бумаг Марковица

Модель оптимизации портфеля Марковица основана на том экспериментальном факте, что показатели доходности различных ценных бумаг взаимосвязаны (коррелируют между собой): с ростом доходности одних бумаг наблюдается одновременный рост ее по другим бумагам, по третьим остается без изменения, а по четвертым она, наоборот, снижается. Такая зависимость не является детерминированной, т.е. однозначно определенной, а является стохастической.

При построении модели Марковица предполагается выполненными следующие основные допущения:

- в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

- в качестве риска ценной бумаги принимается среднее квадратическое отклонение доходности;

- данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, в полной мере отражают ее будущие значения;

- степень и характер взаимосвязи между ценными бумагами выражается коэффициентом линейной корреляции.

Математическая модель портфеля ценных бумаг Марковица имеет вид [1]:

(5)

где - выбранное инвестором значение эффективности портфеля; - доля -ой ценной бумаги в портфеле; - математическое ожидание, эффективности -ой ценной бумаги: . В модели (5) величина предполагается заранее заданной (экспертом).

Перейдем от модели (5) к модели, представляющую собой задачу двухкритериальной оптимизации:

(6)

Как и ранее, методом линейной свертки критериев [2] от модели (6) с двумя критериями можно перейти к модели с одним критерием:

(7)

где , , задаваемые экспертами константы, каждая из которых определяет степень значимости соответствующего ей критерия.

Задача (7) представляет собой задачу квадратического программирования и может быть решена с помощью офисного приложения Excel.

Пример 2. Пусть в модели (7) n = 5; , , , , ; , , , , ; ;.

Воспользовавшись офисным приложением Excel, найдем ее решение (табл.3).

Таблица 3 Результаты решения модели (7)

При этом максимальная средняя эффективность состава портфеля .

Если в модели (7), наоборот , то имеем (табл.4).

Таблица 4 Результаты решения модели (7)

При этом средняя эффективность состава портфеля .

Таким образом, с изменением степени значимости критерия изменяется и максимальная средняя эффективность состава портфеля.

Рассмотренные выше модели различных портфелей ценных бумаг представляют собой однокритериальную задачу оптимизации. Однако при исследовании этих моделей целесообразно одновременно минимизировать риск и максимизировать доход. Такой подход приводит к исследованию двухкритериальной задачи нелинейного программирования, которая может быть решена одним из методов свертки критериев, в частности, линейной свертки.

Литература

1. Математические методы и модели исследования операций: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности 08.01.16 «Математические методы в экономике» и другим экономическим специальностям / Под ред. В.А. Колемаев.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.-592 с.

2. Перепелица, В.А. Теория игр и исследование операций/ В.А. Перепелица, В.Е. Попова, Е.А. Семенчин. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2004.-182 с.

3.Разработка и анализ инвестиционных проектов// [Электронный ресурс].- Режим доступа: http://exsolver.narod.ru/Books/Fininvest/Invest/index.html

Размещено на Allbest.ru