Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Данная выпускная квалификационная работа (магистерская диссертация) посвящена исследованию проблемы определения оптимальной структуры капитала для фирмы при помощи структурных моделей. Работа состоит из двух глав: в теоретической части представлен обзор основных теорий относительно структуры капитала, а также основные предпосылки и инструментарий структурного подхода; в практической части - непосредственно применения структурных моделей в авторском подходе для расчета оптимальной структуры капитала для российских публичных компаний.

Задача определения оптимальной структуры капитала является одной из основных и наиболее интересных проблем теории корпоративных финансов. В финансовой теории существует несколько теорий, посвященных решению данной проблемы. В 50-х годах прошлого столетия Модильяни и Миллер предоставили свой взгляд на эту проблему - согласно их теории, стоимость фирмы не зависит от выбора источников финансирования. По итогам различных исследований, возникших в попытке опровергнуть их теорию, возникли альтернативные теории структуры капитала, такие, как теория компромиссов, теория иерархии, теория отслеживания рынка и некоторые другие.

Большинство исследований, посвященных данной проблеме, ставят в качестве своих задач поиск и определение факторов, влияющих на структуру капитала (детерминант) и ответа на вопрос, какая же из известных теорий используется фирмами при решении вопроса о выборе источников финансирования. В данной работе будет использован совершенно иной подход к данной задаче - проблема оптимальной структуры капитала исследуется с точки зрения структурных моделей с целью определить оптимальное соотношение долга и акционерного капитала. Структурные модели - класс моделей, возникших на основе работы Роберта Мертона, который в 70-х годах прошлого века рассмотрел акции компании как опцион на активы компании со страйком, равному номиналу долговых обязательств.

Целью данной работы является разработка модели определения оптимального объема долговых обязательств в структуре капитала компании на основе структурных моделей. Объектом исследования является проблема поиска оптимальной структуры капитала, предметом исследования - использование структурных моделей для определения оптимального объема долговых обязательств компании.

Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:

- Исследовать проблему оптимального размера долговых обязательств компании с точки зрения структурных моделей

- Определить оптимальный размер долга на примере крупнейших российских публичных компаний

- Проанализировать влияние изменений микро- и макроэкономических факторов, использующихся в модели, на полученные результаты.

1. Теоретическая часть

1.1 Обзор основных теорий структуры капитала

С момента публикации работы Модильяни-Миллера (1958) о том, что стоимость фирмы не зависит от структуры капитала (т.е. от соотношения собственных и заемных средств), различные теории относительно корпоративной структуры капитала стали объектом интереса множества экономистов по всему миру.

В течение многих лет после этого образовалось 3 основных теории относительно структуры капитала, которые отклоняются от предположений Модильяни-Миллера об идеальных финансовых рынках (при которых будет справедлива их модель). Первая - это теория компромисса (trade off theory), которая предполагает, что фирма делает выбор между преимуществами и издержками долгового и акционерного финансирования и определяет «оптимальную» структуру капитала после учета отклонений от идеального рынка, таких, как налоги, издержки банкротства и агентские издержки. Вторая - теория иерархии (pecking order theory) (Майерс, 1984; Майерс, Маджлуф, 1984), которая утверждает, что фирма следует следующей иерархии при выборе источников финансирования: собственные средства, затем долг, и только потом акционерный капитал, чтобы минимизировать издержки, связанные с асимметрией информации между менеджерами фирмы - инсайдерами, и акционерами - внешними агентами.

Не так давно Бейкер и Веглер (2002) предложили новую теорию относительно структуры капитала - теорию «отслеживания рынка» (market timing theory). Данная теория утверждает, что текущая структура капитала корпорации - это накопленный результат предыдущих попыток отследить фондовый рынок. Это значит, что фирмы выпускают дополнительный акции в тот момент, когда они убеждены в том, что акции переоценены рынком, а выкупают - соответственно в моменты недооценки. Такое поведение фирм (отслеживание рынка) было неоднократно эмпирически доказано многими другими экономистами, однако Бейкер и Веглер показали, что влияние данного фактора является устойчивым.

Теорема Модильяни-Миллера.

Появление современных теорий относительно структуры капитала началось с публикации работы Модильяни-Миллера (1958) о независимости стоимости фирмы от структуры капитала. До этого момента не существовало общепринятых теорий о структуре капитала. Модильяни и Миллер начали с предположения, что фирма имеет определенный набор ожидаемых денежных потоков. Когда фирма выбирает определенную пропорцию между долговым и акционерным капиталом для финансирования своих активов, она делит будущие денежные потоки между инвесторами. Предполагается, что фирмы и инвесторы имеют одинаковый доступ к финансовым рынкам, что позволяет им создавать любой уровень финансового рычага (леверидж). В результате, леверидж фирмы не влияет на рыночную стоимость.

Данная работа приводит одновременно к ясности и противоречивости. В качестве теории, незначимость структуры капитала как фактор, влияющий на рыночную стоимость фирмы, может быть доказана при ряде допущений. Существует два фундаментально разных предположения относительно теории незначимости структуры капитала. Классические допущения, основанные на арбитраже, определяют условия, при которых арбитраж со стороны инвесторов делает стоимости фирмы независимой от ее левериджа. В дополнение к оригинальной работе Модильяни-Миллера, важный вклад в данную теорию внесли также работы Хиршлейфера (1966) и Штиглица (1969). Второе предположение состоит в том, что при следовании фирмы своей инвестиционной политике, дивидендная политика, выбранная фирмой, не повлияет ни на текущую стоимость акций, ни на общий доход акционеров (Миллер и Модильяни, 1961). Другими словами, на «идеальных» рынках ни решения относительно структуры капитала, ни дивидендная политика не влияет на стоимость компании.

Первая работа Модильяни и Миллера (1958) стимулировала возникновение целого ряда исследований, направленных на то, чтобы опровергнуть их теорию о незначимости структуры капитала как в теоретическом плане, так и с точки зрения эмпирических фактов. Данные исследования показали, что теорема Модильяни-Миллера не работает при целом ряде условий. Самые часто упоминаемые из них - это налоги, транзакционные издержки, издержки при банкротстве предприятия, агентские издержки, ложный выбор, недостаточное разделение между финансовой и операционной деятельностью компании и прочие. Альтернативные модели использовали различные элементы из данного списка. Очевидно, что при таком количестве доступных ингредиентов возникло множество различных альтернативных исследований и предложенных на основе их теорий, и их описание лежит за рамками данной работы.

Эмпирически же предположение теорему Модильяни-Миллера не так просто доказать или опровергнуть, как кажется на первый взгляд. В связи с тем, что и стоимость долга, и стоимость фирмы оба являются эндогенными переменными и определяются другими факторами, такими как прибыль, стоимость залога, потенциал роста, мы не можем провести тест данного предположения путем построения регрессии стоимости фирмы на долг (данная проблема более подробная освещена в работах Фама, Френч (1998) и Кимсли, Ниссим (2002)). Однако тот факт, что существуют относительно достоверные эмпирические взаимосвязи между рядом факторов и финансовым рычагом компании, хотя и не опровергает данную теорию, но показывает, что она вряд ли является достоверным описанием того, как в реальности фирмы принимают решения о финансировании своего бизнеса.

Популярным аргументов в защиту данной теории часто является следующее высказывание: «Хотя теорема Модильяни-Миллера не предоставляет реалистичного описания того, как фирмы финансируют свою деятельность, она является важным вкладом с точки зрения понимания возможного влияния источников финансирования на стоимость фирмы». Данное выражение также справедливо для большей части теории корпоративных финансов в целом. Таким образом, данная теорема оказала влияние на возникновение, как теории компромиссов, так и теории иерархии.

Теория компромиссов.

Термин «теория компромиссов» используется различными авторами для определения семейства связанных теорий. Во всех теориях данного типа лицо, принимающее решение относительно структуры капитала в фирме, оценивает различные издержки и выгоды (преимущества, полезности) различных уровней финансового рычага (левериджа). Часто предполагается, что решение принимается таким образом, чтобы предельные издержки и предельные выгоды были равны друг другу.

Первоначальная версия теории компромиссов возникла на основе дискуссий относительно теоремы Модильяни-Миллера. Когда корпоративный налог на прибыль был добавлен к оригинальной теореме, это создало выгоды от использования долга в том смысле, что долг стал служить своеобразным щитом для прибыли от налогов. Так как целевая функция стоимости фирмы - линейная, и в модели не было издержек от использования долга, то это привело к оптимальной структуре капитала со 100% долговым финансированием.

Несколько аспектов определения данной теории компромиссов Майерсом требуют упоминания. Во-первых, цель компромисса капитала не является величиной, наблюдаемой в явном виде. Она может быть выведена на основе эмпирических данных, однако это требует добавление структуры. Различные исследования добавляют такую структуру различными способами. Во-вторых, налоговый кодекс в реальности устроен гораздо сложнее, чем предполагается теорией. В зависимости от того, какие особенности налогового режима включены в модель, получаются различные результаты относительно целевой структуры. В-третьих, издержки, связанные с банкротством должны быть безвозвратными издержками, нежели чем переходящими от одного кредитора к другому. Сущность данных издержек также важна. В-четвертых, для того, чтобы данная теория работала, транзакционные издержки принимать иметь определенную форму. Для того, чтобы корректировка структуры капитала была постепенной, а не резкой, предельные транзакционные издержки должны возрастать по мере роста величины изменения структуры капитала.

Статическая теория компромиссов.

Статическая теория компромиссов утверждает, что фирмы определяют для себя оптимальную структуру капитала путем нахождения баланса между выгодами и издержками от использования долгового и акционерного капитала. Одним из преимуществ от использования долга является так называемый «налоговый щит». Недостатками же от использования долга выступают издержки возможных финансовых затруднений, особенно в том случае, если компания намеревается использовать слишком много долга. На основе этого уже можно определить баланс между налоговыми вычетами и издержками, связанными с высоким риском финансовых затруднений (банкротства). Однако существует больше возможных выгод и издержек, связанных с использованием долга и собственного капитала. Один из основных факторов - это агентские издержки. Они возникают из-за конфликта интересов между различными заинтересованными сторонами, а также из-за асимметрии информации (Йенсен и Миклинг (1976), Йенсен (1986)). Поэтому включение агентских издержек в статическую теорию компромиссов означает, что фирма находит оптимальную структуру капитала путем балансирования налоговых преимуществ долга с издержками финансовых затруднений от использования слишком большого объема долгового капитала и агентскими издержками. Много других факторов издержек было предложено в рамках теории компромиссов, при их описании можно зайти довольно далеко. Поэтому, подводя итог данной теории, сформулируем ее основное предположение - фирмы нацелены на поиск своей оптимальной структуры капитала, при отклонении текущего уровня финансового рычага от оптимального компания будет стремиться вернуть леверидж к оптимальным уровням.

Динамическая теория компромиссов.

Построение моделей, учитывающих роль времени, требует определенных аспектов, которые обычно игнорируются в статических моделях (рассматривающих единичный отрезок времени). Особенно важными можно отметить роли ожидании и издержек, связанные с изменением объема производства. В динамической модели правильное решение относительно финансирования обычно зависит от маржи, ожидаемой фирмой в следующем периоде. Некоторые фирмы ожидают выплат средств в течение будущего отрезка времени, в то время как другие собираются привлечь средства. В этом случае привлеченные средства могут иметь форму либо долгового, либо акционерного капитала. В общем случае фирма использует некоторую комбинацию вышеописанных действий.

Важным предшественником современных динамических теорий компромиссов был Штиглиц (1973), который изучал влияние налогообложения с точки зрения государственных финансов. Модель Штиглица не была в общем смысле моделью компромиссов, потому что одним из серьезных допущений его модели было игнорирование неопределенности.

Первыми динамическими моделями, рассматривающими компромисс между налоговыми выгодами и издержками финансовых затруднений, были работы Кейна (1984), а также Бреннана и Шварца (1984). Обе теории анализировали динамические модели с учетом неопределенности, налогов, издержек банкротства, но без учета транзакционных издержек. Так как фирмы реагируют на изменение рыночных условий немедленно, меняя структуру капитала (и не неся при этом практически никаких затрат), фирмы стараются держать как можно более высокий уровень долга с целью извлечь наибольшую выгоду от налоговых вычетов.

Динамические модели компромиссов могут также быть использованы для анализа стоимости опциона, встроенного в решение об отсрочке решения по изменению левериджа на следующий период. Голдштейн (2001) в своей работе наблюдает, что фирма с низким финансовым рычагом владеет опционом на его увеличение в следующем периоде. Согласно предположениям автора, опцион на увеличение левериджа в будущем служит для уменьшения финансового рычага от оптимального уровня в текущем периоде. Стребулаев (2007) анализировал модель, крайне схожую с моделями в работах Фишера (1989) и Голдштейна (2001): если фирма может поддерживать оптимальный уровень левериджа только в течение короткого промежутка времени (из-за транзакционных издержек), то уровни долга для фирм будут отклоняться от оптимальных уровней большинство времени. В этих моделях уровень финансового рычага слабо реагирует на колебания стоимости акционерного капитала в краткосрочном временном периоде и сильнее - на изменения стоимости в долгосрочной перспективе.

Похожие идеи лежат в основе большинства динамических моделей компромиссов. Оптимальный выбор источников финансирования сегодня зависит от того, что ожидается оптимальным в следующем периоде - привлекать дополнительные средства или же производить их выплату. В случае привлечения средств, оптимальным может быть либо привлечение их в форме долга, либо в виде акционерного капитала. В любом из возможных вариантов, ожидаемое оптимальное соотношение долга и акционерного капитала в следующем периоде помогает вывести соответствующий оптимальный уровень в текущем периоде.

Теория иерархии.

Теория иерархии (the pecking order theory) не использует оптимальную структуру капитала в качестве точки отсчета, а утверждает следующий эмпирический факт: фирмы демонстрируют явное предпочтение в пользу использования внутренних источников финансирования (нераспределенная прибыль, избыточные ликвидные активы) по сравнению с внешним финансированием. Если же внутренних источников средств недостаточно для финансирования инвестиций, компании могут прибегнуть к использованию внешних источников. Выбор между различными внешними источниками финансирования делается таким образом, чтобы минимизировать дополнительные издержки асимметричной информации. Последние в основном отражают премию, которую внешние инвесторы запрашивают за риск банкротства «средней» фирмы на рынке. В итоге, порядок предпочтений источников финансирования получается следующий: сначала внутренние средства, затем долговое финансирование и только потом - акционерный капитал.

В модели Майерса и Майлафа (1984) внешние инвесторы рационально применяют дисконт к цене акций компании, когда менеджеры принимают решение привлечь акционерный капитал вместо долгового. Чтобы избежать данного дисконта, менеджеры должны избегать выпуска акций, насколько это возможно. Майерс и Майлаф в своей модели прогнозируют, что менеджеры будут следовать следующему порядку при выборе финансирования: сначала используются внутренние источники, затем долг, и только в последнюю очередь выпуск акций. В отсутствие достойных инвестиционных проектов, фирмы накапливают нераспределенную прибыль, чтобы избежать привлечения капитала из внешних источников в будущем.

Множество исследований поддерживают как теорию иерархии, так и теорию компромиссов: эмпирические тесты для определения того, какая же из этих двух теорий лучше подтверждается наблюдаемыми в реальности решениями, которые принимаются менеджерами относительно структуры капитала, в равной степени подтверждают обе вышеупомянутые теории.

Теория отслеживания рынка.

Теория отслеживания рынка (market timing theory) утверждает следующее: фирмы выбирают момент для размещения акционерного капитала таким образом, чтобы организовать выпуск акций в тот период, когда они переоценены рынком, и соответственно выкупают свои акции в момент их недооценки рынком. Следовательно, колебания котировок акций оказывают влияние на структуру капитала корпорации. Существует две версии относительно отслеживания рынка акций, которые приводят к одинаковой динамике структуры капитала фирмы.

В первой из этих версий предполагается, что экономические агенты рациональны. Компании выпускают дополнительный акционерный капитал сразу после выхода позитивной информации (новостей) относительно компании, что уменьшает проблему асимметрии информации между менеджментом фирмы и акционерами. Снижение асимметрии информации совпадает с увеличением цены акций компании. Таким образом фирмы создают благоприятные возможности для выпуска акций.

Вторая версия рассматривает экономических агентов как иррациональных (Бейкер и Веглер, 2002). Из-за этого иррационального поведения существуют неправильные оценки стоимости акций компании рынком, которые меняются во времени. Менеджеры корпорации принимают решение о выпуске акций в тот момент, когда они оценивают стоимость акционерного капитала иррационально низкой, а выкуп акций происходит соответственно в момент оценки стоимость акционерного капитала как иррационально высокой. Важно отметить, что вторая версия теории отслеживания рынка не обязательно предполагает, что рынок действительно является неэффективным. Также не предполагается, что менеджеры могут успешно предсказывать будущую доходность акций. Предположение данной версии всего лишь состоит в том, что менеджеры верят в то, что могут успешно отследить рынок и выбрать нужный момент для выпуска или выкупа акций. В исследовании Грехема и Харви (2001), большинство менеджеров признались в том, что они пытались отследить рынок, и те из них, кто рассматривал возможность выпуска акций отметили, что «размер, на который наши акции недооценены или переоценены» был важным фактором при принятии решения.

Данная работа подтверждает основные предпосылки теории отслеживания рынка о том, что менеджеры верят в свои способности выбрать правильный момент для выпуска акций, однако в явном виде не выделяют ни одну из версий данной теории, описанных выше.

Бейкер и Веглер (2002) в своем исследовании показывают, что эффект отслеживания фондового рынка оказывает устойчивое влияние на структуру капитала фирмы. Авторы определяют меру отслеживания рынка, как среднее взвешенное потребностей «внешнего капитала» (т.е. из внешних источников - долг или акционерный капитал) за последние несколько лет, при этом в качестве весов выступают соотношения рыночная/балансовая стоимость фирмы. Авторы находят, что изменения левериджа имеют сильную положительную связь с их определением меры отслеживания рынка, поэтому делают вывод о том, что структура капитала фирмы является кумулятивным итогом предыдущих попыток отследить рынок.

Теорема Модильяни-Миллера положила начало целому ряду исследований по проблеме структуры капитала фирмы, фундаментальному выбору между долгом и акционерным капиталом. В идеальном мире, рассмотренном Модильяни и Миллером, стоимость компании не зависит от выбранных источников финансирования, будь то долговой или долевой капитал. Однако в реальном мире данный выбор, безусловно, оказывает влияние на оценку стоимость фирмы из-за наличия таких факторов, как налоги, асимметрия информации и агентские издержки. Различные теории относительно структуры капитала разнятся в интерпретации данных элементов. Согласно стандартной теории компромиссов, рассматриваются налоги и издержки банкротства при использовании корпоративного долга. В теории иерархии изучается проблема асимметрии информации при привлечении капитала из внешних источников. Обе теории имеют недостатки, поэтому неудивительно, что различные исследования по этой проблеме продолжаются и по сей день. В теории отслеживания рынка не предполагается какая-либо оптимальная структура капитала для фирмы, она рассматривается как совокупный итог всех предыдущих попыток менеджмента отследить рынок (т.е. выпустить корпоративный долг или акционерный капитал в те моменты, когда рассматриваемый вид финансирования наиболее переоценен фондовым рынком).

1.2 Структурные модели как связь структуры капитала с кредитным риском фирмы

В 1974 году нобелевский лауреат Роберт Мертон представил новый подход к моделированию и оценке кредитного риска компании. В модели Мертона формализировались и дорабатывались идеи, заложенные в модель ценообразования опционов Блека и Шоузла (1973). Класс моделей, разработанный на основе работы Мертона, получил название «структурные модели».

В основе подхода структурных моделей лежит следующее наблюдение: стоимость обязательств фирмы (долга и акционерного капитала) в определенный момент времени зависит от стоимости активов фирмы в этот момент, а также будущих прогнозов относительно этого значения. Таким образом, долг и акционерный капитал являются условными требованиями на активы фирмы. Стоимость активов фирмы является центральным элементом и основной движущей силой всех структурных моделей. В типовой структурной модели, текущая структура капитала используется в качестве входных данных, затем определяется процесс, которому следует стоимость активов фирмы, определяются условия наступления дефолта, и затем стоимость долговых обязательств и акционерного капитала оценивается на основе всех необходимых данных, определенных на предыдущих шагах.

Однако стоимость активов фирмы является величиной ненаблюдаемой, поэтому применение структурных моделей на практике обычно осуществляется обратным способом, используя характеристики акционерного капитала. То есть, имея стоимость акций как условное требование на активы фирмы (чье значение в каждый момент времени и остальные характеристики легко наблюдаются), стоимость активов и остальные характеристики фирмы могут быть выведены на основе этой информации. С помощью этих полученных значений далее можно получить требуемые результаты, такие, как, например, вероятность дефолта на любом выбранном горизонте времени. Одной из наиболее успешных коммерческих реализаций структурного подхода является модель, разработанная корпорацией KMV (сейчас Moody's KMV) в конце 80-х годов прошлого века.

Модель Мертона (1974).

Как и все структурные модели, модель Мертона начинается со спецификации стохастического процесса стоимости компании (т.е. экономическая стоимость всех активов фирмы). Обозначим за стоимость активов в момент времени t. Модель предполагает, что данная величина изменяется в соответствии с геометрическим Броуновским движением:

Второй тип входных данных для структурных моделей - это структура капитала компании. Модель Мертона предполагает, что фирма имеет простую структуру капитала, то есть акционерный капитал и один выпуск корпоративного долга. Более того, долг представляется в виде бескупонной облигации с номинальной стоимостью и датой погашения .

Для завершения модели требуется определение условий, при которых компания объявит дефолт и связанные с этим событием издержки. В подходе Мертона предполагается, что у фирмы нет ковенантов, нарушение которых может привести к дефолту до момента ; дефолт может случиться только в момент времени . Кроме того, абсолютный приоритет имеется у держателей корпоративного долга: расчеты с ними в момент должны быть завершены полностью, прежде чем акционеры получат что-либо. В модели также предполагается отсутствие издержек при ликвидации фирмы и переходе собственности в случае дефолта.

Пользуясь вышеперечисленными предпосылками, Мертон в своей модели делает ключевой вывод: корпоративный долг, выпущенный фирмой, является опционом на стоимость фирмы и может быть оценен с помощью известных теоретических моделей для оценки опционов.

Корпоративный долг как опцион на активы фирмы.

В дату погашения долговых обязательств , существует два возможных исхода. Если фирма имеет достаточно средств, чтобы расплатиться с держателями долга (то есть, если ), то кредиторы получают полагающуюся им сумму, а акционеры, соответственно, остаточную стоимость. Однако, если , держатели долга получают стоимость активов фирмы (какой бы она ни была), а акционеры не получают ничего. Таким образом, сумму, получаемую кредиторами, можно обозначить как:

Другими словами, держатели корпоративного долга получают . Это может быть переписано в виде:

Выражение (3) показывает, что требования кредиторов эквивалентны портфелю, который содержит следующие инструменты:

· Длинная позиция по безрисковой облигации номиналом , который выплачивается в момент (первое слагаемое в (3))

· Короткая позиция по пут опциону на активы фирмы со страйком и датой исполнения (второе слагаемое в выражении (3))

Таким образом, позиция держателей корпоративного долга эквивалентна ситуации, где долг является безрисковым (кредиторы гарантированно получат сумму в момент погашения), однако акционеры имеют право забрать этот платеж и отдать держателям долга фирму взамен, данное право будет исполнено при . Следовательно, стоимость долга может быть определена с помощью оценки безрисковой облигации и пут опциона. Обозначим данные величины как и соответственно, и стоимость долга как . Имеем:

Данное представление также означает, что спред по корпоративному долгу - разница между доходностью соответствующей облигации и безрисковой ставкой - целиком и полностью определяется значением цены опциона пут . Высокая цена опциона увеличивает разницу между рисковым и безрисковым долгом, повышая тем самым и кредитный спред. Это делает возможным определить, как различные факторы оказывают влияние на кредитный спред в соответствии с предположениями модели. Например:

· Увеличение волатильности активов (базовый актив для опциона) повышает стоимость пут опциона, поэтому стоимость рискового долга падает, а спред - увеличивается

· Увеличение безрисковой ставки ведет к понижению стоимости пут опциона, и соответственно к уменьшению спреда

Основное наблюдение, сделанное выше - стоимость рискового корпоративного долга эквивалентно позиции по безрисковой облигации за вычетом пут опциона на активы фирмы - не зависит от конкретного типа стохастического процесса, которому следуют активы фирмы. Однако для количественной оценки данных величин необходимо использовать предположения модели, описанные выше.

Оценка стоимости корпоративного долга.

Обозначим текущий момент времени как . Как определено выше, модель Мертона предполагает, что активы фирмы следуют геометрическому броуновскому движению. Предположим также, что безрисковая ставка является постоянной (с непрерывным начислением процентов) и обозначим ее за .

Тогда стоимость безрискового долга равна номиналу , дисконтированному к текущему моменту времени по безрисковой ставке :

Стоимость пут опциона может быть определена с помощью формулы Блека-Шоулза, так как все условия и предпосылки модели одноименной модели выполнены:

· Пут опцион является европейским, со страйком и датой исполнения

· Цена базового актива (в данном случае стоимость активов ) следует геометрическому броуновскому движению с постоянной волатильностью

· Безрисковая ставка является константой

Применяя формулу Блека-Шоулза, цена пут опциона определяется по следующей формуле:

где

и - функция стандартного нормального распределения

Мертон (1974) выражает цену пут опциона немного по-другому. В его работе определяется:

и далее:



где

Показатель здесь является мерой левериджа (финансового рычага): отношение приведенной стоимость долга к стоимости фирмы. Несмотря на немного измененную форму записи, стоимость пут-опциона в точности совпадает с оригинальной формулой модели Блека-Шоулза.

Напомним, что выражение

- это стоимость долга компании.

Немного упростив выражения (5) и (10), получаем:

Данное выражение также может быть записано в виде:

Риск-нейтральные вероятности дефолта.

Модель Мертона также может быть использована для расчета риск-нейтральной вероятности дефолта, то есть риск-нейтральной вероятности события . Это достаточно просто. Риск-нейтральная вероятность дефолта - это в точности вероятность того, что опцион пут финиширует «в деньгах» (in-the-money). В модели Блека-Шоулза, данная вероятность равна , где определено в выражении (11). В полной форме данная формула имеет следующий вид:

Фактические вероятности дефолта.

При предположении, что активы следуют геометрическому броуновскому движению (1), фактическая (в противовес «риск-нейтральной) вероятность дефолта - это вероятность события при условии, что имеет параметр сноса и волатильность . В риск-нейтральном мире, параметр сноса для процесса равен безрисковой ставке . Однако в реальном мире и могут быть различны, поэтому риск-нейтральная вероятность дефолта (14) не обязательно совпадает с реальной вероятностью дефолта. Действительно, если , то стоимость активов фирмы в реальности растет быстрее, чем в риск-нейтральном мире, поэтому фактическая вероятность дефолта будет ниже, чем риск-нейтральная. Обратно, если , то реальная вероятность дефолта превысит риск-нейтральную.

Аналитическую формулу для вычисления реальной вероятности дефолта получить также несложно: это выражение (14), где безрисковая ставка заменена на реальный параметр сноса (ожидаемая доходность активов):

C экономической точки зрения, можно интерпретировать более высокую риск-нейтральную вероятность дефолта следующим образом: она включает в себя реальную вероятность дефолта плюс риск-премию за неопределенность относительно времени и размера возможного дефолта. (В модели Мертона данная неопределенность отсутствует, но в более общих моделях, и, конечно, в реальном мире, она присутствует). Фактическая вероятность дефолта, как правило, будет ниже риск-нейтральной вероятности из-за того, что обычно .

Каким же образом можно оценить ? Один из возможных способов состоит в оценке ожидаемой доходности акционерного капитала (c помощью стандартных моделей, таких, как CAPM, или же других факторных моделей для оценки доходностей акционерного капитала), и затем очистка полученного показателя для определения доходностей искомой доходности активов фирмы.

Оценка кредитных спредов с помощью модели Мертона.

Разница между стоимостью рискового корпоративного и безрискового долга обычно выражается в терминах кредитных спредов. Спред - разница между доходностью рисковой и безрисковой облигации.

Обозначим за доходность рисковой облигации. По определению,

,

поэтому

Доходность безрисковой облигации - это безрисковая ставка . Используя равенство (13), спред можно выразить следующим образом:

Практическая реализация модели Мертона.

Несмотря на все вышеописанные особенности и возможности применения модели Мертона, существуют препятствия на пути ее практической реализации. В частности, ключевые параметры модели: стоимость активов и их волатильность , не являются наблюдаемыми. Однако используя данные о цене акций публично торгуемой компании, существует возможность оценить значения этих параметров. Например, рассмотрим компанию, акции которой торгуются на бирже и данные о ценах легко доступны. В таком случае, волатильность цен данной акции также может быть оценена с помощью этих исторических данных. Если же для данной компании на рынке также торгуются и опционы, то значение волатильности также может быть получено как вмененная волатильность (implied volatility), используя рыночную цену соответствующего опциона. При наличии соответствующих данных второй метод, очевидно, является более предпочтительным, так как он отражает рыночные оценки и ожидания по поводу будущей волатильности, а не полагается на ее оценку на исторических данных о ценах акции. Таким образом, имея в наличии данные о ценах акций и волатильности , можно получить оценки текущей стоимости активов и их волатильности .

Первый шаг состоит в выражении акционерного капитала (а точнее, рыночной капитализации компании - число акций * текущая цена) как опциона на стоимость активов фирмы . В дату погашения долга , величина , получаемая держателями акций - это остаточная стоимость активов после выплаты кредиторам причитающийся им суммы (номинала долга):

В краткой форме: . Соответственно, акционерный капитал равен стоимости длинного опциона колл на активы фирмы со страйком D и датой исполнения . На интуитивном уровне - акционеры фирмы имеют право в момент времени обрести контроль над активами фирмы (а точнее, их остаточной стоимостью) путем выплаты кредиторам долга , или же оставить им фирму и остаться ни с чем.

Стоимость акционерного капитала в момент времени -это стоимость колл опциона в момент , которая в свою очередь зависит от текущей стоимости и волатильности базового актива (то есть, и ), а также от наблюдаемых величин (страйк), (время до истечения опциона) и (безрисковой ставки). Обозначим за функцию ценообразования колл опциона, и опуская зависимость от наблюдаемых величин , запишем:

Функция для оценки стоимости опциона зависит от определенных предположений относительно процесса, которому следуют активы фирмы. Например, в случае предположения о геометрическом броуновском движении, сделанным в рамках модели Мертона, - это формула Блека-Шоулза для цены колл опциона с базовым активом , страйком и временем до исполнения :

где определяется в выражении (11), а - функция стандартного нормального распределения.

Теперь, пользуясь тем, что акционерный капитал - это опцион на активы фирмы, волатильность акций, обозначенная как , также будет являться функцией от . Обозначим такую функцию за :

Поскольку модель Мертона использует определенные предположения относительно процесса, которому следуют активы фирмы, форма функции может быть определена. Для модели Мертона, с помощью леммы Ито может быть выведена следующая формула:

где - функция для оценки колл опциона (20),

- дельта колл опциона в момент времени (в модели Блека-Шоулза данный показатель равен ).

Выражения (19) и (21) представляют собой два нелинейных уравнения с двумя неизвестными, где остальные переменные известны:

· Акционерный капитал

· Волатильность акционерного капитала

· Другие наблюдаемые переменные

Поскольку данные о ценах акций наблюдаемы, а волатильность акций может быть вычислена на основе исторических цен или выведена из цен опционов на соответствующие акции, данная система уравнений может быть использована для решения относительно неизвестных .

1.3 Модель KMV как продолжение модели Мертона

Модель Мертона пользуется предположением о том, что компания имеет только один выпуск долговых обязательств, который к тому же имеет бескупонную форму. На практике фирмы обычно имеют гораздо более сложную структуру долга. Чтобы они подходили под модель Мертона, необходимо заменять на эквивалентную бескупонную структуру. Проблема состоит в том, чтобы определить этот самый “эквивалент”. Это может быть сделано различными способами. Например, можно использовать бескупонную облигацию с дюрацией, которая равна дюрации текущего набора долговых обязательств.

Альтернативный подход, который используется в популярной модели Moody's KMV состоит в использовании бескупонного эквивалента уровня сроком в один год, который имеет номинал, равный сумме (i) краткосрочных (менее 1 года) обязательств и (ii) половине номинала долгосрочных обязательств. Данный подход основан на наблюдении о том, что на практике дефолт компании обычно случается в момент, рыночная стоимость активов падает ниже определенной критической точки, которая находится ниже балансовой стоимость всех обязательств, но выше балансовой стоимости краткосрочных обязательств.

Конечно, данный подход упрощает реальную структуру долга анализируемой компании, однако вопрос о том, насколько хороша данная модель на практике, учитывая эмпирические тесты и популярность подхода Moody's KMV и схожих моделей, имеет положительный ответ.

Модель MKMV.

В середине 80-х годов прошлого века, Moody's KMV (в то время независимая фирма под названием KMV Corporation) разработала модель с практическим применением структурного подхода для оценки кредитных рисков. Подход Moody's KMV (далее MKMV) основан на классической модели Мертона, однако в некоторых моментах есть существенные различия.

В общих чертах, подход MKMV использует состоящую из четырех шагов процедуру для отслеживания изменений кредитного риска для публично торгующихся фирм. Первый шаг состоит в том, чтобы преобразовать текущую структуру капитала таким образом, чтобы она подходила для использования в модели Мертона. Это достигается с помощью способа, описанного выше: номинал бескупонной облигации из модели Мертона (под названием «точка дефолта») устанавливается равным сумме краткосрочных и половине долгосрочных обязательств.

На втором шаге полученная точка дефолта , вместе с рыночной стоимостью и волатильностью акционерного капитала используется для нахождения стоимости активов и их волатильности . Данная процедура описана выше в уравнениях (19) - (22).

На данном этапе модель все еще находится в рамках классического подхода Мертона, однако далее MKMV подход расходится с оригиналом. Имея рассчитанными стоимость активов фирмы и волатильность, третий шаг состоит в расчете так называемой «дистанции до дефолта». Интуитивно, дистанция до дефолта - это количество стандартных отклонений, на которое должна упасть стоимость фирмы для достижения дефолтной точки. Чисто технически, должно использоваться логнормальное распределение относительно ; при данных параметре сноса и волатильности , дистанция до дефолта - это в точности точка оцененная в (15). Но модель MKMV определяет дистанцию до дефолта в несколько упрощенном виде:

Числитель данного выражения - это расстояние, выраженное в долларах, между текущей оценкой стоимости активов и точкой дефолта . Знаменатель нормализует данную дистанцию путем расчета «стандартного отклонения в долларах». Отношение представляет собой количество стандартных отклонений до дефолта для выбранной фирмы. Нормализация данного показателя подобным образом позволяет сравнить между собой, насколько две фирмы далеки от дефолта, даже если они существенно отличаются по многим другим показателям. Более высокий показатель подразумевает более надежную фирму.

На четвертом (финальном) этапе подход MKMV применяет оцененную дистанцию до дефолта к своей базе данных и задается следующим вопросом: среди всех фирм в базе данных со схожим показателем , сколько объявили дефолт в течение 1 года? Данный показатель называется ожидаемой частотой дефолта (expected default frequency - EDF). EDF является основным результатом модели, это вероятность объявления дефолта в течение 1 года для анализируемой фирмы. Показатель EDF может быть рассчитан и для других временных отрезков, не только для 1 года. На данный момент, MKMV рассчитывает показатели EDF вплоть до 5 лет. В принципе, имея в наличии значения параметров и , можно вычислить теоретическую вероятность дефолта, используя предположение о логнормальном распределении активов фирмы. На практике такой решение имеет несколько проблем. Во-первых, параметр сноса сложно оценить на практике с приемлемой степенью точности. Во-вторых, исследования данного подхода показывают, что полученные оценки вероятностей дефолта очень часто недооценивают вероятность дефолта (по сравнению с реальной статистикой). Необычный подход MKMV, который комбинирует теоретический и эмпирический подходы, позволяет избежать данных проблем. Метод избавляет от необходимости в оценке параметра , и, по определению, сильно соответствует реальным вероятностям дефолта, оцененным по статистике. Одна из причин заниженных оценок вероятностей дефолта по модели Мертона состоит в предположении о нормальном распределении доходностей. В реальности данное распределение имеет «толстые хвосты», то есть вероятность экстремальных событий (включая дефолты) гораздо выше, чем предполагается в теории. С теоретической точки зрения, данная проблема может быть устранена путем использования другого распределения доходностей, которое имеет более «толстые хвосты», или же искусственно создать их с помощью добавления в модель некоторых особенностей (скачки волатильности или стохастическую волатильность). Хотя с теоретической точки зрения выполнить все это не кажется сложны, очевидно, это сложнее реализовать в контексте оценки кредитных рисков.

Подход KMV в этом смысле гарантирует, по определению, высокую степень соответствия реальным данным. Однако, стоит отметить некоторые недостатки данного подхода. Модель Мертона, как и все модели, связанные с оценкой условных требований, ориентирована на будущее. Ее применение на практике использует ожидания участников рынка как содержащиеся в ценах финансовых инструментов (в частности, в ценах акций). При этом, переводя уникальный для фирмы показатель дистанции-до-дефолта в вероятность дефолта для компании, MKMV связывает этот показатель с исторической базой данных по дефолтам. Получающаяся в итоге вероятность дефолта не является целиком ориентированной на будущее, а также не полностью уникальной для рассматриваемой фирмы. В частности, историческая база данных по дефолтам может содержать данные о дефолтах фирм различного размера, из разных отраслей, в период роста или спада экономики. Все это вызывает вопросы с точки зрения теории. Тем не менее, подход, предложенный MKMV, остается одним из самых популярных на практике.

С концептуальной точки зрения, структурный подход может быть рекомендован по целому ряду причин. Модель имеет прочную экономическую основу. Это каузальная модель: ключевые переменные, являющиеся основной движущей силой модели, являются наблюдаемыми и могут быть проанализированы. Ставки возмещения (recovery rates) также натурально определяются в модели способом, согласующимся с вероятностями дефолта. При реализации структурных моделей на практике используются актуальные данные о рыночных ценах финансовых инструментах, в частности, информация с рынка акций, которые обычно более ликвидны и, как следствие, более информативны, чем рынки долговых инструментов. Эта модель нацелена на перспективу (хотя использование исторических данных таких подходах, как MKMV, немного ослабляют данное преимущество). Эмпирически, различные версии структурных моделей были расценены как имеющие хорошую прогнозную силу относительно дефолтов и изменений кредитных рейтингов.

Все это является преимуществами структурного подхода. Однако существуют и некоторые недостатки. Модель довольно сложно применить для любых, кроме самых простых, структур долга. В частности, для фирм с долгом различной степени приоритетности (очередности в погашении), чтобы оценить определенный транш корпоративного долга, нужно одновременно оценить все выпуски с высшим приоритетом. На практике, модель редко используется для оценки отдельных выпусков долга; в основном она применяется как индикатор будущих финансовых затруднений.

Также структурные модели в основном как модели оценки единичной корпорации, нежели чем в общем смысле для оценки кредитного риска контрагента. Они не могут быть использованы для оценки суверенного долга развивающихся стран. Даже в качестве моделей оценки корпоративного риска, структурные модели тяжело применимы для оценки непубличных компании ввиду отсутствия цен публично торгуемых акций.

Кроме этого, структурные модели не подходят для оценки большинства кредитных деривативов. В заключение, модели используют много традиционных предпосылок, которые часто нарушаются на практике. И хотя в литературе существует много обобщений, которые помогают справляться с такими проблемами, практическое применение таких обобщений ограничено.

3. Практическая часть

3.1 Описание подхода к определению оптимального размера долга в структуре капитала российских публичных компаний

В практической части данной работы будет продемонстрировано использование структурного подхода, предложенного Мертоном, для несколько нестандартной цели. Обычно такие модели используются в качестве инструмента для оценки кредитного риска компании (путем оценки вероятности дефолта). В этой же работе структурные модели используются для оценки компонентов структуры капитала компании - долга и акционерного капитала с целью нахождения оптимальной структуры капитала (такой структуры, которая максимизирует теоретическую стоимость фирмы). Практическая часть состоит из трех разделов: в первом подробно описывается метод, по которому будет определяться оптимальная структура капитала; затем во второй части данный метод будет применен на данных для российских публичных компаний (“голубых фишек”); в заключительном разделе работы полученные результаты будут протестированы на предмет чувствительности к изменениям ключевых входных переменных.

Процедура расчета оптимального уровня долга в структуре капитала с использованием структурных моделей состоит из следующих шагов:

1. C помощью данных о рыночной капитализации и волатильности акций выбранной компании определить стоимость и волатильность активов.

2. Найти оценки акционерного капитала и долга компании с по структурной модели Мертона и оптимизировать их таким образом, чтобы средневзвешенная стоимость капитала (WACC) была минимальной.

Расчет рыночной стоимости и волатильности активов.

Как было отмечено выше, одним из препятствий к использованию структурных моделей на практике для оценки обязательств компании (долга и акционерного капитала) является тот факт, что ключевые входные параметры - рыночная стоимость активов и их волатильность - не являются наблюдаемыми в реальном мире. Однако существует возможность вывести их значения при наличии данных о рыночной капитализации компании и волатильности акций . В рамках структурной модели, предложенной Мертоном, акции компании - это колл опцион на активы компании со страйком, равным номиналу долговых обязательств . Соответственно, стоимость такого опциона может быть найдена по модели Блека-Шоулза (выражение (20) из 2 главы, приведем его здесь еще раз):

где

Волатильность акционерного капитала также может быть выражена с помощью формулы (22):

В итоге имеем систему из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными и :



Данная система не имеет численного решения, однако может быть решена численными методами (при известных значениях и ), например, с помощью функции «Поиск решения» табличного процессора Microsoft Excel. Делается это следующим образом:

1) Определяется целевая функция

2) Задаются ограничения: текущее значение рыночной капитализации; текущее значение волатильности акций

3) Решается задача нахождения минимума целевой функции (1) при заданных ограничениях (2), изменяя ячейки со значениями переменных и .

Далее, имея рассчитанное значение рыночной стоимости активов при текущей рыночной капитализации , можно найти текущую оценку долговых обязательств по простейшей формуле , не прибегая к помощи модели Блека-Шоулза.

Минимизация WACC с помощью оценок долга и капитала, полученных по модели Мертона.

Теперь, имея в наличии оценки и , полученные с использованием структурных моделей, можно приступить к минимизации средневзвешенной стоимости капитала (WACC - weighted average cost of capital).

Для начала стоит обосновать выбор именно данного критерия оптимальности. Согласно доходному методу оценки стоимости бизнеса, стоимости компании - это приведенная стоимость будущих денежных потоков, дисконтированная к текущему моменту времени по средневзвешенной стоимости привлечения средств (WACC). Таким образом, при постоянных денежных потоках в будущем, стоимость фирмы будет наибольшей при минимальном значении ставки дисконтирования, то есть WACC. Поэтому путем минимизации WACC мы максимизируем стоимость фирмы, что является основной задачей менеджеров компании и целью акционеров компании.

В общем случае (при наличии только долга и капитала в структуре обязательств компании) формула для расчета WACC выглядит следующим образом:

Где оценка стоимости долговых обязательств ( по модели Мертона)

оценка стоимости акций - (20) по модели Мертона

- рыночная стоимость активов по модели Мертона

- ставка налогообложения

- стоимость привлечения долгового капитала по модели Мертона

стоимость привлечения акционерного капитала по модели CAPM