Особливості фінансових розрахунків

Размещено на http://www.allbest.ru/

Особливості фінансових розрахунків



1. Ідентичність та відмінності основних формул фінансових розрахунків

Усі формули, що застосовуються у фінансових розрахунках, є похідними всього від чотирьох основних формул. Саме про ці чотири формули мова йшла в розділах 2, 3, 4, 5. Усі інші формули «виникають» від цих чотирьох, або є їх перетвореними варіантами. Отже, чотири основні формули - це формули (2.2), (2.10), (4.1), (4.5), а саме:

1) формула простого нарахування процентів із використанням процентної ставки:

FV = PV·(1 + i·n) (2.2)

та похідна від неї формула простого дисконтування з використанням процентної ставки (інша назва - формула простої приведеної вартості):

(3.1)

2) формула складного нарахування процентів із використанням процентної ставки:

FV = PV · (1 + і) (2.10)

та похідна від неї формула складного дисконтування з використанням процентної ставки (інша назва - формула приведеної вартості):

(3.6)



3) формула простого дисконтування з використанням облікової ставки:

PV = FV• (1 - n•d) (4.1)

та похідна від неї формула простого нарахування процентів із використанням облікової ставки:

(5.1)

4) формула складного дисконтування з використанням облікової ставки:

PV = FV · (1 - d) (4.5)

та похідна від неї формула складного нарахування процентів із використанням облікової ставки:

(5.6)

Розглядаючи записи формул (2.2), (2.10), (4.1), (4.5), можна побачити, що в них є як спільне, так і відмінне.

Спільне:

- за допомогою кожної з цих чотирьох формул можемо розрахувати або FV, або PV за умов, що інші показники відомі;

- загалом у цих чотирьох формулах показники FV та PV якісно - одні й ті самі показники, що показують суму в грошових одиницях на початку фінансової операції - PV та суму грошей по її закінченні - FV;

- у кожній із формул є множник у дужках, в якому наявна цифра «1».

Відмінності:

- у кожній із формул множник у дужках відрізняється;

- саме за множником у дужках можна визначити, який саме механізм нарахування процентів: простий чи складний (якщо дужки мають ступень - це формула складного нарахування процентів, відсутність степеня, а точніше, степінь дорівнює одиниці з будь-яким знаком «+» чи «-» - це формула простого нарахування процентів);

- також за множником у дужках можна визначити, яка ставка процента застосовується: процентна чи облікова (якщо в дужках знак «+», то застосовується процентна ставка, якщо в дужках знак «-», то застосовується облікова ставка).

У підрозділі 1.5 (с. 48) уже йшла мова про необхідність уніфікації позначок, що використовуються у формулах фінансових обчислень, так, як це, наприклад, стало загальноприйнятим у математиці, фізиці, хімії. Але така уніфікація - справа майбутнього. На сьогодні у нас за плечима історія фінансових розрахунків, що налічує майже п'ять сторіч, тому різноманітність використовуваних позначок - реальність сучасних фінансових розрахунків. Щоб розібратися та визначитися з, на перший погляд, «невідомою» формулою, треба застосувати для ідентифікації згадані вище спільності та відмінності і знайти відповідну формулу з чотирьох основних, не забуваючи, що в кожній із чотирьох основних формул ще існують її можливі похідні варіанти.

Приклад 1

«Невідома» формула має таку форму запису: . Наявність ступеня «y» для показника в дужках означає, що механізм нарахування процентів - складний. Знак «+» у дужках «інформує», що застосовується процентна ставка. Із чотирьох зазначених основних формул наведений запис відповідає формулі (2.10): FV = PV · (1 + і), де S - це відповідно FV; Р - це відповідно РV; r - відповідно і, а y - відповідно n.



Інший варіант. Формула має такий вигляд

Механізм нарахування процентів - простий (дужки не мають степеня, точніше, він є, але дорівнює одиниці). Знак «-» у дужках «показує», що використовується облікова ставка. Із чотирьох зазначених основних формул наведений запис відповідає формулі (4.1), а точніше - похідній від неї формулі (5.1). Отже, BMV - це відповідно FV; OR - це відповідно РV; k може бути або n, або і, а l - відповідно, навпаки, або і, або n (відповідність k та l ідентифікувати виходячи із сутності n та і).

ставка процент нарощення дисконтування



2. Номінальна ставка та її використовування у формулах фінансових розрахунків

У пункті 1.3.1 (на с. 40) уже згадувалося про номіналь-ну ставку, а саме про номінальну процентну ставку. Нагадаємо, що там дано таке визначення: «Номінальна процентна ставка (nominal rate of interest) - показник процентної ставки, що фактично склався на ринку в даний момент часу для конкретної фінансової операції». Подібне визначення має й номінальна облікова ставка (nominal rate of discount). Але наведені визначення характеризують лише кількісну характеристику номінальної ставки. Разом із кількісною складовою номінальна ставка має ще одну характерну особливість - часову характеристику - номінальна ставка завжди річна. Термін «номінальна» на практиці у фінансах є синонімом терміна «річна». Про це вже йшла мова у підрозділі 1.4 (с. 46): «Ставки процента, тобто всі види ставок процента у всіх їх формах функціонують, як правило, у відсотках за один рік (або за певний проміжок часу, відмінний від одного року). Наприклад: 10 % річних, 4 % на місяць, 8 % за квартал, 46 % за 1,5 року». Термін «номінальна ставка» - це вказівка додержання правила, тобто це ставка, що «функціонує … у відсотках за один рік». У наведеному прикладі із переліку ставок - 10 %, 4 %, 8 %, 46 %, тільки ставка 10 % є номінальною.

У літературі [7, с. 120] згадується про таке визначення номінальної ставки.

«Хай задано кількість нарахувань у році - m та річна процентна ставка - . У цьому випадку тривалість періоду нарахування дорівнює 1/m років. Річна процентна ставка є номінальною, якщо відповідна процентна ставка «i» за період 1/m розраховується із рівняння ».

А тепер, відповідно до терміна «номінальна ставка», проведемо аналіз чотирьох основних формул, про які йшла мова у попередньому підрозділі 1 (формули (2.2), (2.10), (4.1), (4.5)).

2.1 Номінальна процентна ставка у механізмі складного нарахування процентів

Розглянемо формулу (2.10) - формулу складного нарахування процентів із використанням процентної ставки:

FV = PV · (1 + і). (2.10)

Нас цікавлять показники «і» та «n». У формулі (2.10) дано таке їх визначення:

i - процентна ставка у кожному з періодів нарахування процентів n (у формулі показник i використовується не у відсотках, а десятковим дробом, у частках);

n - кількість періодів нарахування процентів упродовж часу (строку) застосування ставки і; також у кожному з цих періодів процентні ставки рівні між собою.

У формулі (2.10) існує тісний зв'язок між «n» та «і». Основою зв'язку є показник - період нарахування процен-тів. Залежно від періоду нарахування процентів визначаються кількісно «n» та «і». Якщо період нараху-вання - квартал, то «і» - чисельний показник за квартал, «n» - кількість кварталів. Якщо період нарахування процентів - півріччя, то «і» - процентна ставка за півріччя, «n» - кількість півріч. Саме цей механізм взаємозв'язку між «n» та «і» і відображено у формулі (2.10).

Якщо зафіксувати у формулі (2.10) те, що показник «і» записується у формулу тільки як показник річної ставки, тобто «і» завжди номінальна (а вона, як правило, так і надається), а період нарахування процентів не річний, а інший (півріччя, квартал, будь-який інший), то, щоб записати в дужках формули (2.10) правильний чисельний показник процентної ставки, необхідно річну (номінальну) «і» перераховувати на відповідну (піврічну, квартальну, будь-яку іншу). З цією метою у фінансових розрахунках уведено показник «m» - кількість періодів нарахування процентів у році. Тоді при нарахуванні процентів «m» разів у році формула (2.10) набере такого вигляду:

(1)

де i - номінальна (річна) процентна ставка (у формулі показник i використовується не у відсотках, а десятковим дробом, у частках);

m - кількість періодів нарахування процентів у році;

n - кількість періодів нарахування процентів упродовж строку.

Досить часто строк надається в роках. Якщо строк фінансової операції (Т), наданий у роках (N), внести в формулу (1), то формулу (1) можна навести у такому варіанті:

(2)

де i - номінальна (річна) процентна ставка (у формулі показник i використовується не у відсотках, а десятковим дробом, у частках);

m - кількість періодів нарахування процентів у році;

N - кількість років впродовж строку.

_Приклад 2

Депозит у розмірі 500 тис. грн внесено в банк на 5 років під 10 % річних (складні проценти). Нарахування процентів щоквартальне. Знайти нарощену суму.

Розв'язуємо за допомогою формули (2):

При збільшенні кількості періодів нарахування процентів у році (m зростає) сума нарощення зростає. Якщо в умови прикладу 2 внести зміну - нарахування процентів проводити щомісячно, - то нарощена сума буде дорівнювати

Про таку закономірність уже згадувалося у висновках пункту 2.2.1 (с. 89 - 90). Поділ строку фінансової операції на більшу кількість періодів нарахування процентів при застосуванні механізму нарахування складних процентів забезпечує у кінцевому підсумку більший розмір нарощеної суми. Для ілюстрації такого висновку приведемо значення множника (1+і/m) в степені N · m для і = 20 % і N = 10 років при різних m у межах року, (табл. 1).

Таблиця 1

Зміна коефіцієнта нарощення при ставці і = 20 % і строку N = 10 років

Кількість періодів нарахування процентів у році m	1	2	4	12	365
Коефіцієнт нарощення	6,1917	6,7275	7,04	7,2682	7,385

З наведених у табл. 1 даних найбільше «наростання» при нарощенні дає перехід від щорічного нарахування процентів до піврічного, найменший «ефект наростання» - перехід від щомісячного до щоденного.

Характеристику номінальної ставки завершимо двома зауваженнями.

По-перше, формули (1) та (2) є похідними, вони є варіантами формули (2.10), а не навпаки, як це зазвичай вважається.

По-друге, у формулі (2.10) у визначенні чисельного показника процентної ставки «і» точно не зазначено, яка це ставка: річна чи будь-яка інша. З такого визначення можна зробити хибний висновок, що у формулі (2.10) при її практичному застосуванні чисельний показник процентної ставки «і» може бути як річним, так і будь-яким, відмінним від річного: піврічним, квартальним, місячним тощо. Таке може бути, але не завжди і, як правило, рідко. У формулі (2.10) чисельний показник процентної ставки «і», як правило, має за свою основу, а тому і у своїй структурі показник процентної ставки «і», і саме річної «і», і тому при підстановці у формулу (2.10) дійсного чисельного розміру «і», як правило, там уже наявний показник процентної ставки «і» і не будь-якої, а саме річної. Тому в практичних розрахунках за формулою (2.10), як правило, використовується річна процентна ставка «і», тобто у формулі (2.10) при фактичних розрахунках наявна лише номінальна ставка. Таке твердження потребує пояснення.

Додаткова інформація

Пояснення, що у формулі (2.10) показник у дужках «і» відображає собою, віддзеркалює собою показник річної процентної ставки, а отже, представляє себе через номінальну (річну) ставку, треба починати з показника «n».

У багатьох підручниках і навчальних посібниках показник «n» визначається одночасно і як строк, і як кількість років нарощення (Четиркін [15, с. 43], Гриценко [3, с. 90]). У Бакаєва [1] на сторінці 12 «n» - кількість років, а на сторінці 13 «n» - періоди, впродовж яких використовуються відповідні ставки, а це вже не кількість років, а кількість періодів нарахування процентів. Далі, у Бакаєва, на цій самій 13-й сторінці і далі по тексту, наприклад на 15-й сторінці, «n» - це знову кількість років. Якщо взяти Долінського [6], Машину [9], Медведєва [10], Мелкумова [11], то в цих джерелах про «n» говориться, що це періоди, і, швидше за все, це треба розуміти як кількість періодів, де періодом може бути не тільки один рік. Кутуков [8, с. 23] дав визначення «n» у такій редакції: «… n - кількість періодів нарахування процентів (якщо проценти капіталізуються один раз за рік, то n - кількість років нарощення)». Таке визначення «n» у Кутукова яскраво демонструє, що «n» показує не тільки кількість років, а й кількість інших періодів нарахування процентів (кількість півріч, кількість кварталів, кількість місяців, кількість будь-яких інших періодів нарахування процентів). Автор цього посібника цілком згоден із Кутуковим, тобто якщо показник «n» відображає кількість років нарощення процентів, то це лише один варіант із переліку можливих варіантів, що кількісно характеризує показник «n». Нагадуємо, що в згаданих підручниках і посібниках мова йде про показник степеня «n» в одній і тій самій формулі, а точніше, про один і той самий формальний вираз, ідентичний нашому запису формули (2.10). Справа у тому, що при визначенні показника «n» науковці і викладачі не пов'язували визначення «n» із визначенням «і». Але між «n» та «і» у формулі (2.10) існує тісний зв'язок.

Зв'язок такий:

- якщо проценти нараховуються кожного року, то «n» - кількість років і в дужках показник «і» - процентна ставка за 1 рік, або річна;

- якщо проценти нараховуються кожного півріччя, то «n» - кількість півріч і в дужках на місці показника «і» використовується процентна ставка за півріччя, або піврічна. Щоб знайти чисельно процентну ставку за півріччя, треба річну процентну ставку «і» поділити на 2 (у році два півріччя) і відповідно показник у дужках набере такого вигляду: . Звертаємо увагу, що у виразі величина «і» - річна процентна ставка;

- якщо нарахування процентів щоквартальне, то «n» - кількість кварталів і в дужках на місці показника «і» «працює» процентна ставка за квартал, або квартальна. Щоб знайти чисельно процентну ставку за квартал, треба річну процентну ставку «і» поділити на 4 (у 1 році чотири квартали) і відповідно показник у дужках набере такого вигляду: . Знову звертаємо увагу, що у виразі величина «і» залишається показником річної процентної ставки;

- аналогічно, якщо нарахування процентів щомісячне, то «n» - кількість місяців і в дужках на місці показника «і» «формула вимагає» використання місячної процентної ставки. Щоб знайти процентну ставку за 1 місяць, треба річну процентну ставку «і» поділити на 12 (в 1 році дванадцять місяців) і відповідно показник у дужках набере такого вигляду: . Також, як і в попередніх нарахуваннях, у виразі величина «і» залишається показником річної процентної ставки.

Наведений у попередньому абзаці механізм зв'язку між «n» та «і» із самого початку, ще з механізму її виникнення, закладений у формулі (2.10). Цей тісний зв'язок є атрибутом формули (2.10), який не тільки може, а й повинен бути відображений шляхом визначення «n» та «і» в їх взаємозв'язку. Саме така необхідність й примусила сформулювати визначення «n» та «і» так, як це наведено у формулі (2.10). Визначення, що «…«i» - процентна ставка у кожному з періодів нарахування процентів «n»…», означає, що там, де у формулі (2.10) стоїть позначка «і» необхідно підставити процентну ставку, що «властива», що «існує» впродовж періоду нарахування процентів «n», що відповідає періоду нарахування процентів «n». А у зв'язку з тим, що процентні ставки надаються, як правило, в т. ч. і за неоголошеними правилами, як річні, то процентні ставки за період менше 1 року або більше 1 року розраховуються відповідно діленням річної ставки на частини або збільшенням річної ставки. Тому у формулі (2.10) при підстановці на місце показника «і» чисельного значення, як правило, буде фігурувати показник річної процентної ставки.

2.2 Номінальна облікова ставка у механізмі складного дисконтування процентів

Складне облікове дисконтування має вигляд

(4.5)

де n - кількість періодів дисконтування (нарахування) від дати закінчення операції (наприклад, від дати погашення векселя) до дати обліку ;

d - облікова ставка в кожному з періодів n нарахування (дисконтування) процентів.

Якщо зафіксувати у (4.5), що показник «d» записується у формулу тільки як показник річної ставки, тобто «d» завжди номінальна, (а вона, як правило, так і надається), а період нарахування процентів не річний, а інший (півріччя, квартал, будь-який інший), то, щоб записати в дужках формули (4.5) правильний чисельний показник облікової ставки, необхідно річну (номінальну) «d» перераховувати на відповідну (піврічну, квартальну, будь-яку іншу). З цією метою у фінансових розрахунках введено показник «m» - кількість періодів нарахування процентів у році. Тоді при нарахуванні процентів «m» разів у році формула (4.5) набирає такого вигляду:

(3)

де d - номінальна (річна) облікова ставка;

m - кількість періодів нарахування (дисконтування) процентів у році;

n - кількість періодів нарахування (дисконтування) процентів упродовж строку.

Досить часто строк надається в роках. Якщо строк фінансової операції (Т), наданий у роках (N), внести у формулу (3), то формулу (3) можна записати у такому варіанті:

(4)

де i - номінальна (річна) облікова;

m - кількість періодів дисконтування (нарахування) процентів у році;

N - кількість років впродовж строку.



2.3 Номінальна процентна та облікова ставки у механізмі простого нарощення та дисконтування процентів

У формулах (2.2) та (4.1) та у формулах, що від них походять, використання номінальних ставок із уведенням показника m не змінює характеристик формул, як не змінює і самих формул (детальніше - в розділі 9). Це ще раз доводить, що формули (2.2) та (4.1) також, як і формули (2.10) та (4.5), є основними, бо вони «вміщують у собі», охоплюють собою всі варіанти і моменти фінансових розрахунків.



3. Безперервне нарощення та дисконтування

Усі нарахування процентів, що розглядалися до цього, мали назву «дискретні» тому, що їх нарахування здійснювалося за фіксовані проміжки часу (рік, квартал, місяць, день). Зменшуючи цей проміжок (період нарахування) і, таким чином, збільшуючи частоту нарахування процентів (наприклад, m), в результаті можна перейти до так званих безперервних процентів.

Уже згадувалося, що залежно від частоти нарахування процентів нарощення суми здійснюється змінним темпом, причому при зростанні частоти нарощена сума (FV) при використанні процентної ставки збільшується. Максимально можливе нарощення здійснюється за умови нескінченного зменшення річного періоду нарахування. Із формули (2) при m > +випливає

(5)

тому що множник нарощення за номінальною ставкою складних процентів має граничне значення

(6)

де е - ірраціональне число, е = 2,718281… (термін «ірраціональне» означає, що це число точно, без залишку, вирахувати неможливо, розрахунок можливий при наперед заданій точності, наприклад, шість знаків після коми…);

е - трансцендентне число, тобто не є коренем ніякого алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами, його ще називають числом Ейлера;

- безперервна процентна ставка, річна.

Щоб відрізняти безперервну ставку від звичайної (дискретної), застосовують особливу позначку безперервної процентної ставки - , яка має назву сила зростання (force of interest).

Сила зростання характеризує відносний приріст нарощеної суми за нескінченно малий проміжок часу. Вона може бути незмінною, або змінюватись у часі.

Незмінна сила зростання. З урахуванням властивості (6) формула (2) набирає вигляду

(7)

Отже, при безперервному нарощенні процентів нарощена сума (FV) залежить від початкової суми (PV), строку нарощення (N) і сили зростання (). Сила зростання є номінальною (річною) ставкою складних процентів при m >+, а N - кількість років, причому N може не бути цілим числом або може бути цілим числом із дробом.

Дискретні складні процентні ставки та безперервні ставки нарощення функціонально залежать одна від одної. Цю взаємозалежність можна вивести із прирівнювання множників нарощення Тоді

(8)

(9)

При безперервному складному дисконтуванні із формули (4) при m >+одержуємо



(10)

У формулі (10) має назву сила обліку (force of discount) і показує швидкість відносного зменшення суми, що обліковується (все це при механізмі безперервного дисконтування). Формулу (10) можемо одержати і з формули (7), якщо перетворимо (7) відносно PV. Виникає цікавий висновок: сила зростання дорівнює силі обліку. У формулах (7) та (10) множники (коефіцієнти) нарощення - це одні й ті самі коефіцієнти кількісно і якісно, тому зникають відмінності між процентним нарощенням і дисконтним обліком за умови безперервного нарощення або дисконтування. І це цілком слушно, тому що в такій ситуації початок періоду та кінець періоду збігаються.

Далі, прирівнюючи множники нарощення у формулах (4.5) та (10), одержимо зв'язок між силою обліку (силою зростання) і річною обліковою ставкою:

(11)

(12)

Змінна сила зростання. Хай сила зростання змінюється у часі відповідно до закону, який має вигляд безперервної функції часу: Тоді нарощена сума і теперішня вартість розраховуються так:

Безперервна функція часу може мати будь-який вигляд. Розглянемо лише два її варіанти - лінійну та експоненціальну.

Лінійна функція: де - початкове значення сили зростання; а - приріст сили зростання за одиницю часу.

Інтегрування лінійної функції приводить до такого результату:

Таким чином, множник нарощення розраховується так:

Приклад 3

Початкове значення сили зростання дорівнює 8 %, процентна ставка безперервна та лінійно змінюється, приріст за 1 рік становить 2 % (а = 0,02). Строк нарощення - 5 років. Для розрахунку множника нарощення знайдемо його степінь:

.

Множник нарощення дорівнює =1,91554.

У разі, якщо сила зростання лінійно зменшується (наприклад, а = - 0,02), степінь множника дорівнює 0,15, і відповідно = 1,16183.

Розглянемо варіант, коли сила зростання змінюється експоненціально (за геометричною прогресією):

де - початкове значення сили зростання, а - постійний темп зростання за одиницю часу. У цьому разі степінь множника нарощення розраховується так:

Отже, множник нарощення розраховується так

Приклад 4

Початковий рівень сили зростання дорівнює 8 %, процентна ставка безперервно та експоненціально зростає (річний приріст 20 %, а = 1,2), строк нарощення - 5 років. Необхідно розрахувати множник нарощення.

Степінь множника нарощення за весь строк дорівнює

відповідно =1,92139.

Розрахунок розміру сили зростання. При розрахунку нарощення з незмінною силою зростання

(13)

При нарощенні зі змінною силою зростання та постійним темпом сили зростання а:

(14)

Розрахунок строку позики. Строк позики при незмінній силі зростання розраховуємо використовуючи (7):

(15)

При нарощенні зі змінною силою зростання та постійним темпом сили зростання а з урахуванням, що множник нарощення дорівнює

одержуємо

(16)



4. Розрахунки строку позики і розміру ставки

У фінансовій практиці існує необхідність розрахову-вати не тільки суми грошей, які є результатом нарахування або дисконтування процентів, але й додаткові параметри, що пов'язані з цими розрахунками:

- строк фінансової операції, що може мати вигляд як через

- кількість періодів нарахування процентів, так і через

- кількість разів нарахування процентів у році, та

- розрахунок процентних і облікових ставок.

Ці параметри легко розрахувати з відповідних формул для визначення нарощених або початкових сум.

Строк позики при механізмі простого нарахування процентів

З формули (2.2) одержимо формулу для визначення числа періодів нарахування процентів:

або (17)

(17)

З формули (4.1) одержимо формулу для визначення числа періодів обліку процентів:

або (18)

(18)

У формулах (17) та (18) строк «n» дає результат у роках, якщо в розрахунку використовуються ставки «і» або «d» - річні; «n» є кількістю півріч, якщо в розрахунку використовуються ставки «і» або «d» - піврічні; «n» визначає кількість кварталів, якщо в розрахунку використовуються ставки «і» або «d» - квартальні, відповідно таким чином далі. У цих формулах можливе одержання строку відразу в днях, якщо ввести, як це було у формулі (2.5), n = t / y. Тоді ці формули відповідно набирають вигляду:

(19)

(20)

де t - кількість днів;

y - кількість днів у році;

i , d - відповідно процентна та облікова ставки,- обов'язково річні.

Строк позики при механізмі складного нарахування процентів

Перетворенням формули (2.10) знаходимо кількість періодів нарахування процентів «n». Ми знаємо, що формула (2.10) має вигляд FV=PV · (1 + і). За допомогою логарифмування правої та лівої частин формули (2.10) одержуємо

або

Пам'ятаючи, що різниця логарифмів двох чисел дорівнює логарифму частки цих чисел, одержуємо формулу для визначення строку фінансової операції для випадку складних процентів:

(21)

Формулу (2.10) необов'язково перетворювати за допомогою лише натуральних логарифмів. Можливе перетворення і за допомогою десятинних логарифмів:

(22)

Перетворення формули (2) дає такий результат:

(23)

Зазначимо, що параметр т (кількість разів нарахування процентів у році) у вигляді простої формули не може бути отриманий. Формула (2) відносно т являє собою так зване трансцендентне рівняння, яке можна розв'язати тільки приблизно. За необхідності його розв'язування можна використовувати відповідні готові програми для комп'ютера.

При складному обліковому дисконтуванні, використовуючи формулу (4.5), розрахунок кількості періодів нарахування процентів має такий вигляд:

(24)

Перетворення формули (4) дає такий результат:

(25)

У формулах (21), (22), (24) строк «n» дає результат у роках, якщо в розрахунку використовуються ставки «і» або «d» - річні; «n» є кількістю півріч, якщо в розрахунку використовуються ставки «і» або «d» - піврічні; «n» визначає кількість кварталів, якщо в розрахунку використовуються ставки «і» або «d» - квартальні, інші «n» визначаються відповідно.

Формули (23), (25) дають результат (строк «N») завжди в роках і в розрахунку використовуються ставки «і» або «d» - завжди номінальні, тобто річні.

Розмір ставок процента при механізмі простого нарахування процентів.

Необхідність розрахунку чисельних значень процентних ставок або облікових ставок виникає при визначенні фінансової ефективності операції або при порівнянні інвестиційних варіантів за їх дохідністю у випадках, коли ставки у явному вигляді не надано. Перетворюючи формули (2.2), (4.1), а також (2.5) і (4.3) відносно «і» та «d» , одержуємо відповідні формули для строків, що вимірюються роками або днями:

або (26)

або (27)

Додаткова інформація

Іноді розмір дисконту фіксується у вигляді процента знижки (загальної облікової ставки) «» за весь строк фінансової операції. У такому випадку Взявши до уваги, що знаходимо річну процентну ставку, що відповідає загальній обліковій «»:

Річна облікова ставка, що відповідає загальній обліковій «», розраховується так



Розмір ставок процента при механізмі складного нарахування процентів.

Розрахунок чисельних значень процентних та облікових ставок при використанні механізму складного нарахування процентів одержано шляхом перетворення рівнянь (2.10), (2), (4.5), (4) відносно ставок процента.

При нарощенні за складною процентною ставкою з формул (2.10), (2) маємо

(28)

(29)

При дисконтуванні за складною обліковою ставкою з формул (4.5), (4) маємо

(30)

(31)

Звертаємо увагу, що у формулах (28) та (30) ставка «і» або «d» є річною, якщо в розрахунку використовується «n», який показує кількість років; ставка «і» або «d» є піврічною, якщо «n» є кількістю півріч; ставка «і» або «d» є квартальною, якщо «n» визначає кількість кварталів; і далі така сама взаємозв'язаність між «n» та ставками «і» або «d».

А у формулах (29), (31) ставка «і» або «d» завжди є річною (номінальною), тому що строк «N» - це завжди кількість років, а «m», нагадуємо, - кількість нарахувань у році.

Приклад 5

Задача.

Ви маєте 10 млн грн і хотіли б подвоїти цю суму через 5 років. Яке мінімально прийнятне значення процентної ставки потрібне для такої операції?

Підготовчий аналіз перед розв'язуванням задачі

Відомо, що PV = 10 млн грн. Механізм нарахування процентів не зазначений, отже, складний. Періоди нарахування не оговорюються, отже, періоди нарахування - щорічні. Тоді n = 5, FV = 20 млн грн. Знайти величину i.

Розв'язання задачі

Використаємо формулу (28), або формулу (2.10), у якій невідомою величиною є «i». Із цієї формули виражаємо «i» як невідоме та одержуємо

.

Відповідь: для того щоб подвоїти 10 млн грн через 5 років, необхідно їх покласти на депозитний рахунок під мінімально прийнятну складну процентну ставку розміром 14,9 %.



5. Порівняння множників нарощення

Використання у фінансових обчисленнях механізмів простого та складного нарахувань процентів дає різні результати, звісно, за умов порівнювання, тобто при рівних ставках процента та однакових строках. Отже, цілком доречним є питання, яка з форм нарахування процентів при рівних ставках вигідніша з погляду кредитора або дебітора. Для відповіді на це питання знову згадаємо чотири основні формули: (2.2), (2.10), (4.1), (4.5).

Будь-яка із цих формул має «свій» множник нарахування (k), якщо їх записати у вигляді FV = PV·k:

- - множник простого нарахування процентів із використанням процентної ставки;

- - множник складного нарахування процентів із використанням процентної ставки;

- - множник простого нарахування процентів із використанням облікової ставки;

- - множник складного нарахування процентів із використанням облікової ставки.

Тому, якщо нарахування здійснюється на рівні суми грошей, досить порівняти мультиплікуючі і дисконтуючі множники, тому що саме вони показують, у скільки разів збільшилася (зменшилася) сума за рахунок нарахування процентів.

Порівняємо множники нарощення, що мають рівні прості та складні процентні ставки. Зазначимо, що нарощення за простою процентною ставкою відповідає лінійній залежності, а за складною - степеневій.

Майже всі джерела, що надають інформацію про порівняння процентних множників нарощення, стверджу-ють, якщо строк фінансової операції менший, ніж період нарахування процентів (наприклад, нарахування процентів щорічне, а строк операції - менший 1 року, в цьому випадку пишуть 0 < n < 1), нарощена сума, що розрахована за простими процентами, є більшою від нарощеної суми, розрахованої за складними процентами. При доведенні цього твердження відсилають до розв'язання нерівності, яка завжди, на їх погляд, є такою: > . Але на рівні практичних фінансових розрахунків стверджувати, що > при 0 < n < 1, це, м'яко кажучи, помилка, а, взагалі, це нерозуміння суті фінансових розрахунків.

Про помилковість погляду, згідно з яким існує на практиці складне нарахування процентів при 0 < n < 1, уже зазначалося в Додатковій інформації пункту 2.2.2 та у пункті 2.2.3. Звертаємо увагу на висновки зі згаданих пунктів. «Механізм складного нарахування процентів є механізмом зростання суми з попереднього періоду за наявності наступного, тобто періодів нарахування повинно бути декілька (обов'язково два і більше), тоді і тільки тоді може йти мова про застосування механізму складного нарахування процентів. Але, якщо період нарахування всього один, то зрозуміло, що немає на чому застосовувати механізм складного нарахування процентів. Саме тому, коли період нарахування процентів більший за строк операції, нарахування процентів завжди просте…

У фінансових розрахунках не може йти мови про застосування механізму складного нарахування процен-тів, коли існує тільки дробова кількість періодів нарахування процентів.

Дробова кількість періодів нарахування процентів завжди розраховується за механізмом простого нарахування процентів» (с. 102-104).

Доречним є нагадати одне з неоголошених правил.

Неоголошене правило_(повторно)

В межах кожного періоду нарахування проценти зростають виключно за механізмом простого нарахування процентів.

Отже, твердження, що > при 0 < n < 1, - це данина математичним розрахункам, це безпідставне перенесення правил математичних розрахунків у поле фінансових розрахунків. У фінансах на відміну від математичних розрахунків, якщо 0 < n < 1, то множник стає множником, що має дробову кількість періодів нарахування процентів (наприклад, n = t/y), і складний множник у розрахунках «стає простим» .

Мабуть, автор цього посібника перший, хто стверджує: при 0 < n < 1, = . Це певний математичний парадокс, але в практиці фінансових обчислень це - дійсність.

У подальших порівняннях процентних множників - усе за загальноприйнятою схемою:

при n = 1 = ;

при n > 1 < .

Порівняємо множники дисконтування, що мають рівні прості та складні облікові ставки.

При 0 < n < 1 =

Обґрунтування такого висновку аналогічне обґрунтуванню порівняння при процентних ставках:

при n = 1 = ;

при n > 1 > .



Цікавим є порівнювання, коли абсолютні величини процентних і облікових ставок однакові. Виникають такі співвідношення:

при 0 < n < 1 = > = ;

при n = 1 = > = ;

при n > 1 > > > (32)

Зі співвідношень (32) бачимо, що при 0 < п < 1 (тобто на періоді, меншому за 1 рік) та при n = 1 (тобто на періоді, що дорівнює 1 року) для дебітора процентні складні і прості та облікові складні і прості проценти дають однакові результати, але загалом облікові вигідніші за процентні.

При n > 1 (тобто на періоді, більшому за рік) найбільш вигідні облікові прості, найменш - позичкові прості.

Для кредитора - все навпаки.

Можливим є інший варіант порівнювання множників формул (2.2), (2.10), (4.1), (4.5) за умови, що формули записані у вигляді PV = FV· k (формули дисконтування):

при 0 < n < 1 = > = ;

при n = 1 = > = ;

при n > 1 > > > (33)



6. Розрахунок строку для збільшення початкової суми у k разів (правило 72)

Знайдемо в загальному вигляді час (строк, кількість періодів), необхідний для збільшення початкової суми (PV) у k разів при нарахуванні простих і складних процентів. Оскільки в обох випадках множники нарощення дорів-нюють k, то для механізму простого нарахування процен-тів, використовуючи рівняння = k, одержуємо:

(34)

а для складних процентів, використовуючи рівняння = k, маємо

(35)

Із цих формул можна знайти проміжок часу (період, кількість періодів, кількість років), за який виникає подвоєння початкової суми при процентній ставці і при механізмах простого і складного нарахування процентів. Підставляючи у формули (34), (35) k = 2, відповідно маємо

(для простих процентів),

(для складних процентів).

У практичних розрахунках для швидкої оцінки ставки нарощення при механізмі складних процентів користуються приблизним розрахунком часу, що необхідний для подвоєння початкової суми, відомим під назвою «правило 72». Це правило спрацьовує так: якщо і - процентна ставка, що дана у відсотках, то n = 72 / і є кількістю періодів, упродовж яких початкова сума приблизно подвоюється. Це правило досить добре спрацьовує в межах невеликих значень і (і в межах до 20 %). Так якщо річна ставка і = 12 %, то n = 6 рокам. Підкреслюємо, що мова йде про кількість періодів нарахування процентів, що відповідають даному періоду ставки, а саме: якщо базовим періодом, тобто періодом нарощення, наприклад, є половина року, то в розрахунку необхідно використовувати піврічну ставку. Також треба звернути увагу на таку особливість, незважаючи на те, що в більшості фінансових розрахунків процентна ставка береться десятковим дробом; при застосуванні «правила 72» процентну ставку використовують у відсотках.

Існують й інші правила, за допомогою яких швидко розраховують строк подвоєння початкового капіталу при застосуванні конкретної процентної ставки. У літературі можна натрапитити на «правило 70»: n = 70 / і, і аналогічне «правило 71». Зазначимо також «правило 69»: n = 69 / і + + 0,35. Наприклад, при річній ставці і = 12 % по правилам «70», «71», «69» відповідно одержуємо: n = 70 / 12 5,83 року, n = 71 / 125,92 року, n = 69 / 12 + 0,35 6,1 року. Якщо всі перелічені правила дають приблизне значення, то, звичайно, одержуємо розрахунки, результати яких не збігаються. Якщо ж скористатися точною формулою, то одержуємо року.

На завершення ще раз нагадуємо, що всі згадані «правила» розрахунку строку подвоєння початкової суми «обслуговують» виключно механізм складного нараху-вання процентів із використанням процентної ставки.



7. Термінологічні особливості ставок процента: декурсивні, антисипативні

Плата за кредит, як правило, здійснюється у формі процента. Процент може стягуватись як у кінці строку кредиту, так і на початку кредитної операції, авансом. У першому випадку проценти нараховуються в кінці строку кредитної операції, де за базу розрахунку береться сума наданої позики, а поверненню підлягає сума боргу разом з процентами. Такий спосіб нарахування процентів має назву декурсивний, або звичайний, або позичковий, або postnumerando. У другому випадку проценти стягуються авансом (сплачуються одержувачем кредиту на початку кредитної операції), при цьому боржнику надається сума позики, зменшена на суму процента, а поверненню в кінці строку підлягає повна сума позики. Процент, сплачений таким чином, має назву «дисконт» (тобто знижка із суми позики), а спосіб нарахування процентів має назву «антисипативний» (авансовий, дисконтний, обліковий, prenumerando). Загалом у багатьох фінансових джерелах до визначення цих двох термінів підходять ще більш широко, проценти, що отримують розрахунково за допомогою ставки нарощення (interest base rate), можуть називати декурсивними, а за допомогою облікової ставки (discount base rate) - антисипативними. У Росії в ХІХ - на початку ХХ століття цим термінам відповідали проценти «на 100» і «зі 100».

У світовій практиці декурсивний спосіб нарахування процентів частіше застосовується, тому термін «декурсивний», як правило, не вживають, а говорять про процент, або про позичковий (депозитний, будь-який інший) процент. При застосуванні антисипативниих процентів іноді зазначають термін «антисипативний» або інші терміни-синоніми.

Неоголошене правило.

Від визначених термінами «декурсивний», «антисипативний» способів нарахування процентів процентні ставки (і) інколи називають декурсивними, а облікові ставки (d) - антисипативними (авансовими).

8. Проценти «зі 100», «на 100», «у 100»

Довідкова інформація__

Наведемо декілька задач, що виникають у комерційних розрахунках, а також деякі терміни, пов'язані з цими задачами. Такі задачі раніше широко використовувалися в російській та радянській (до початку 50-х років ХХ століття) практиці, та й тепер ще викликають певну зацікавленість [7, с. 19].

Приклад 6

Підприємство перерахувало суму, що становить р % від Q грн. Знайти розмір перерахованої суми.

Зазначимо суму, яку треба знайти через R, одержуємо розрахунок:

(1)

де (тобто на відміну від р, наданого у відсотках, відображено десятковим дробом).

Формула (1) має назву формула обчислення процентів «зі 100», а проценти (R), що розраховуються за формулою (1), мають назву проценти «зі 100» (стосовно ). Процентна ставка р (або еквівалентна їй ) стосовно числа має назву процентної ставки «зі 100».

Якщо сума, перерахована підприємству, становить 40 % від 200 тис. грн , то при розрахунку процентів «зі 100» від 200 тис. грн одержимо R = 200·0,4 = 80 (тис. грн).

Приклад 7

Підприємство реалізувало партію товару за Ц грн та одержало р % прибутку. Знайти розмір (суму) одержаного прибутку (Пр).

Позначимо собівартість товару через Х, тоді Ц є сумою собівартості товару (Х) і отриманого прибутку

Тому Ц = Х + звідки Х =

Отже, прибуток дорівнює

(2)

Формула (2) є формулою розрахунку процентів «на 100», а проценти (Пр) за формулою (2) мають назву процент «на 100» (стосовно Ц). У цьому випадку процентна ставка р (або еквівалентна їй ) стосовно числа Ц має назву процентної ставки «на 100».

Якщо р = 40 % та Ц = 200 тис. грн, то Пр = =200·0,4/1,4 = 57,143 (тис. грн), і собівартість (Х) товару визначається розрахунком Х = Ц - Пр = 200 - 57,143 = = 142,857 (тис. грн). Проценти «на 100» використовують у задачах, в яких задано ставку процента і суму двох доданків, перший з яких є процентом «зі 100» другого; потрібно знайти один із доданків. Так, у попередньому розрахунку величина Ц (200 тис. грн) дорівнювала сумі собівартості товару та процентів «зі 100», тобто прибутку.

Приклад 8

Підприємство реалізувало партію товару за К грн та одержало р % збитків. Знайти розмір (суму) збитку (Зб).

Позначимо собівартість товару через Х, тоді К є від'ємним показником між собівартістю товару (Х) і отриманого збитку .

Тому К = Х- звідки Х =



Отже, збиток дорівнює

(3)

Формула (3) є формулою розрахунку процентів «у 100», а проценти (Зб) за формулою (3) мають назву процент «у 100» (стосовно К). У цьому випадку процентна ставка р (або еквівалентна їй p?) стосовно числа К має назву процентної ставки «у 100».

Якщо р = 40 % та К = 200 тис. грн, то Зб =200·0,4/0,6 = = 133,333 (тис. грн), і собівартість (Х) товару визначається розрахунком Х = К+Зб = 200 + 133,333 = = 333,333 (тис. грн).

Проценти «у 100» використовують у задачах, в яких задано ставку процента і від'ємний результат двох показників, перший з яких (той, що віднімають) є процентом «у 100» другого; потрібно знайти один із показників. Так, у попередньому розрахунку величина К (200 тис. грн) дорівнювала різниці собівартості товару та процентів «у 100», тобто збитку.



СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Бакаєв Л. О. Кількісні методи в управлінні інвестиціями : навч. посіб. / Л. О. Бакаєв. - К. : КНЕУ, 2000. - 151 с.

2. Бланк И. А. Основы финансового менеджмента : в 2 т. / И. А. Бланк. - 3-е изд. - К. : Эльга; Ника-Центр, 2007. - Т. 1.- 624 с.

3. Гриценко Олена. Гроші та грошово-кредитна політика : навч. посіб. / Олена Гриценко. - К. : Основи, 1997. - 180 с.

4. Гроші та кредит : навч. посіб. / С. Б. Ільїна, В. П. Шило, В. І. Кисла, Н. І. Шрамкова. - К. : «ВД «Професіонал», 2007. - 368 с.

5. Гроші та кредит : підручник / М. І. Савлук, А. М. Мороз, І. М. Лазепко та ін. ; за заг. ред. М. І. Савлука. - 4-те вид., перероб. і доп. - К. : КНЕУ, 2006. 744 с.

6. Долінський Л. Б. Фінансові обчислення та аналіз цінних паперів : навч. посіб. / Л. Б. Долінський. - К. : Майстер-клас, 2005. - 192 с.

7. Ковалёв В. В. Курс финансовых вичислений / В. В. Ковалёв, В. А. Уланов. М. : Финансы и статистика, 1999. - 328 с.

8. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики: методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем / В. В. Кутуков. - М. : Дело, 1998. - 304 с.

9. Машина Н. І. Вищі фінансові обчислення : навч. посіб. / Н. І. Машина. - К. Центр навчальної літератури, 2003. - 208 с.

10. Медведев Г. А. Начальный курс финансовой математики : учеб. пособие / Г. А. Медведев. - М. : ТОО «Острожье», 2000. - 267 с.

11. Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика : учебно-справочное пособие / Я. С. Мелкумов. - М. : ИНФРА-М, 2002. - 383 с.

12. Михайловська І. М. Гроші та кредит: практикум : навч. посіб. / І. М. Михайловська, К. Л. Ларіонова. - Львів : Новий Світ - 2000, 2008. - 312 с.

13. Семко Т. В. Гроші та кредит у схемах і таблицях : навч. посіб. / Т. В. Семко, М. В. Руденко. - К. : Центр навчальної літератури, 2006. - 158 с.

14. Словник іншомовних слів / за ред. О. С. Мельничука. - К. : АН УССР, 1974. - 775 с.

15. Четыркин Е. М. Финансовая математика : учеб. / Е. М. Четыркин. - М. : Дело, 2000. - 400 с.

Размещено на Allbest.ur