Нарощення з використанням облікових ставок

Размещено на http://www.allbest.ru

НАРОЩЕННЯ З ВИКОРИСТАННЯМ ОБЛІКОВИХ СТАВОК

Як уже зазначалося в попередніх розділах, часова спрямованість розрахунку з використанням облікової ставки - «з майбутнього до сьогодні». Але за допомогою облікової ставки можна виконувати розрахунки і в зворотному напрямку: «від сьогодні в майбутнє», тобто розрахунки нарощення, розрахунки майбутньої вартості. Задачі такого типу виникають, наприклад, при визначенні суми, яку необхідно написати у векселі, якщо відома сума боргу на поточний момент.

З метою змістовної однозначності фінансових термінів визначаємо, що облікове нарощення - це розрахунок майбутньої вартості з використанням облікових ставок (тобто з використанням ставок «зменшення»). Відповідно просте облікове нарощення - розрахунок майбутньої вартості з використанням облікових ставок при застосуванні механізму простого нарахування процентів; складне облікове нарощення - розрахунок майбутньої вартості з використанням облікових ставок при застосуванні механізму складного нарахування процентів.

обліковий нарощення вартість процент

1. Облікове нарощення при застосуванні механізму простого нарахування процентів

Просте облікове нарощення - це механізм, обернений банківському обліку. Наприклад, у результаті обліку (простого облікового дисконтування) невідомого за розміром капіталу FV із використанням облікової ставки d за кількість періодів нарахування n була отримана сума PV. Необхідно знайти суму FV. Використовуючи формулу (4.1), маємо

. (1)

_Приклад 1__________________________________

Задача 1

Облік векселя проведено за півтора року до строку погашення за простою обліковою ставкою 8 % і в момент обліку одержано 2,2 тис. грн. Розрахувати суму, зазначену на векселі.

Розв'язання

Оскільки PV = 2,2 тис. грн; n = 1,5; d = 0,08, то за допомогою (1) розраховуємо

.

Коли облікові ставки в кожному з періодів нарахування відрізняються, то з формули простого облікового дисконтування (4.2) можна записати

(2)

Формула (1) відображає розрахунок нарощеної суми (FV) із використанням простої облікової ставки, а розрахунок безпосередньо нарощення, або прирощення, тобто процента, позначимо (Interest of simple discount) і можемо знайти за формулою

(3)

Формула (3) має інші модифікації свого запису:

, (3.1)

, (3.2)

. (3.3)

Формула (3) дає можливість розраховувати при простому обліковому нарощенні процент (процент простого облікового нарощення) від PV, не обчислюючи FV.

Показник 1/(1 - n·d) є множником простого облікового нарощення. Цей множник показує зростання капіталу PV за кількість періодів n при застосуванні простої облікової ставки d.

При PV = 1, n = 1 із формули (3) випливає, що

(4)

тобто, коефіцієнт нарощення 1/(1 - d) є величиною, наприклад, 1 грн, разом із нарахованим за один рік процентом.

Між нарощенням із використанням простої процентної ставки (і) та нарощенням із використанням простої облікової ставки (d) є суттєві відмінності.

При нарощенні з використанням простої процентної ставки (і) капітал PV , наприклад, щорічно збільшується на одну і ту саму суму PV · і. При застосуванні нарощення з використанням простої облікової ставки (d) розмір нарахованих процентів із кожним періодом нарахування, наприклад із кожним роком, збільшується. За допомогою формули (3) запишемо розрахунок нарощення суми PV за кожний рік.

За перший рік (n = 1) PV збільшується на величину

За перший і за другий роки разом (n = 2) PV збільшиться на 2 · PV · d / (1 - 2·d), і, таким чином, нарощення тільки окремо за другий рік становитиме

За перший, другий і третій роки разом (n = 3) PV збільшиться на 3 · PV · d / (1 - 3·d), і, таким чином, нарощення тільки окремо за третій рік становитиме

і так надалі.

Загалом за окремий k-й рік (1 k n) PV збільшиться на величину

(5)

З наведених рівнянь можемо побачити, що при (2 k n)

а також

_Приклад 2___________________________________

Задача 1

На капітал 3 млн грн упродовж 5 років здійснюється нарощення механізмом простого нарахування за обліковою ставкою 12 %. Знайти прирощення початкового капіталу за кожний рік та загальну нарощену суму.

Загальна нарощена сума розраховується за формулою (1):

Прирощення капіталу за п'ять років становитиме

Прирощення за кожен рік окремо дорівнює:

З метою перевірки додамо отримані величини:

тобто, як і повинно бути, отримали .

Формула (1) дає зрозумілий результат лише при При формула (1) приводить, здається, до нісенітниці. Так, при та (років) отримаємо а при отримаємо що, здавалося б, не має сенсу. Але при результат за формулою (1) має реальний фінансовий зміст, а саме FV = 0.

Порівняння результатів за формулами (1) і (2.1) показують, що проста облікова ставка d дає більш швидке зростання, ніж така ж чисельно, але проста процентна ставка і.

2. Облікове нарощення при застосуванні механізму складного нарахування процентів

Складне облікове нарощення - розрахунок майбутньої вартості з використанням облікових ставок при застосуванні механізму складного нарахування процентів. Перетворення рівняння (4.5) відносно FV дає формулу

, (6)

де FV - майбутня вартість у грошових одиницях;

PV - початкова вартість у грошових одиницях;

d - облікова ставка у кожному з періодів нарощення процентів n;

n - кількість періодів нарощення процентів упродовж часу (строку Т ) застосування ставки d; також у кожному з цих періодів облікові ставки відповідають періодам та рівні між собою.

_Приклад 3___________________________________

Задача 1

За умовами фінансового контракту на депозит розміром 400 тис. грн, який вкладено на три роки, нараховуються проценти за складною обліковою ставкою 9 % річних. Знайти нарощену суму, якщо нарахування процентів: а) щорічне; б) за півріччями; в) щомісячне.

Розв'язання

а ) PV = 400 тис. грн, n = 3, d = 0,09.

б ) PV = 400 тис. грн, n = 3·2=6, d = 0,09/2.

в ) PV = 400 тис. грн, n = 3·12=36, d = 0,09/12.

За допомогою прикладу 3 звернемо увагу на таку особливість. Якби нарощення складними процентами здійснювалося за допомогою процентної ставки (наприклад, і = 9 %), то для варіантів а), б), в) одержали б за формулою (2.10) відповідно значення: 518 012 грн, 520 904 грн, 523 458 грн, тобто при зростанні в межах року кількості періодів нарахування процентів розмір нарощеної суми збільшується. Нарощення за складною обліковою ставкою дає протилежну тенденцію. При зростанні в межах року кількості періодів нарахування процентів при застосуванні складної облікової ставки нарощена сума зменшується. Якщо кількість періодів нарахування в межах року збільшувати, то різниця між майбутніми нарощеними сумами, розрахованими за складними процентними ставками і складними обліковими ставками, зменшується. Так, наприклад, якщо нарахування процентів буде щоденним, то застосування облікової ставки дає результат FV = 524 003 грн, а при такій самій чисельно процентній ставці FV = 523 968 грн, і різниця між цими сумами дорівнює всього 35 грн.

Ще одна особливість. Якщо облікова і процентна ставки чисельно рівні між собою, то складне нарощення за обліковою ставкою (6) є більш швидким (що є вигідним для кредитора), ніж нарощення за процентною ставкою (2.10) ( що вигідніше для боржника).

Як уже зазначалося, термінологічну різноманітність перерахунку вартостей можна пов'язати з англійським терміном compound, що означає складний механізм нарахування, і саме нарахування як нарощення, як збільшення, як перерахування сьогоднішньої вартості в майбутню вартість. При використанні облікової ставки може використовуватися термін «обліковий компаундинг», або «облікове компандування», але ні в якому разі «компандування». Термін «компандування» без пояснення яке: «процентне чи облікове», означає процентне компандування.

Формула (6) відображає розрахунок нарощеної суми (FV) із використанням складної облікової ставки, а розрахунок безпосередньо нарощення, або прирощення, тобто процента, позначимо (Interest of compound discount) і можемо знайти за формулою

(7)

Формула (7) має ще іншу модифікацію свого запису:

(7.1)

Формула (7) (7.1) дає можливість розраховувати при складному обліковому нарощенні процент (процент складного облікового нарощення) від PV, не обчислюючи FV.

Показник 1/(1 - d) є множником складного облікового нарощення. Цей множник показує зростання капіталу PV за кількість періодів n при застосуванні складної облікової ставки d.

При PV = 1, n = 1 із формули (6) також, як і з формули (3), випливає, що

(4)

тобто коефіцієнт нарощення 1/(1-d) є в майбутньому сумою, наприклад, 1 грн, разом із нарахованим процентом за один рік.

Розглянемо випадок, коли облікові ставки в періодах нарахування «плаваючі», тобто різні. Якщо в періодах нарахування процентів п₁, п₂, …, п_k облікові ставки відповідно дорівнюють d₁, d₂, …, d_k при нарощенні складними процентами майбутня сума за строк (вимір періодів п₁, п₂, …, п_k в єдиних одиницях часу) розраховується за формулою

(8)

У формулі (8) показник можемо перерахувати в еквівалентний йому показник і знайти одну облікову ставку (позначимо її ), еквівалентну декільком обліковим ставкам d₁, d₂, …, d_k :

. (9)

Розв'язуючи рівняння (9) відносно , маємо

= 1 - [],

тоді (5) набирає вигляду

.

Таким чином, за n періодів нарахування впродовж строку Т можемо встановити та використовувати замість плаваючих облікових ставок облікову ставку , яка забезпечує такий самий результат, і тому при розрахунку FV можемо використовувати формулу (6).

Якщо d₁ = d₂ = … = d_k = d, тобто за весь строк Т установлена одна постійна ставка, то з (8) одержуємо (6).

Формулою (8) також можна користуватися і у випадку, коли періоди нарахування надані в різних одиницях часу за умови відповідності їх розмірностей із розмірами відповідних облікових ставок.

При складному обліковому нарощенні за цілу й дробову кількість періодів нарахування процентів застосовують формулу змішаного обліку процентів (4.7). Від формули (4.7) формула складного облікового нарощення набирає вигляду (10)

, (10)

де FV, PV, d - мають зміст той самий, що й у формулах (4.1), (4.3), (4.5), (1), (6);

k - ціла частина кількості періодів нарахування;

f - дробова частина кількості періодів нарахування процентів.

Размещено на Allbest.ru