Еквівалентність ставок процента

Размещено на http://www.allbest.ru/

Еквівалентність ставок процента

процентний обліковий еквівалентність

Один і той самий фінансовий результат можна одержати різноманітними способами, використовуючи різні ставки, різні механізми нарощення та дисконтування. Таке є можливим тому, що будь-яка ставка процента (процентна, облікова або сила зростання) характеризує один і той самий показник - дохідність фінансової операції.

Еквівалентні ставки - це такі ставки, застосування яких приводить до однакових фінансових результатів.

Латинський термін «еквівалентний» означає «рівноцінний», а, швидше за все, на наш погляд, означає «рівно оцінюваний». Додержання «рівнооцінюваності» вимагає додержання певних принципів. Еквівалентні ставки, за визначенням, не змінюють початкової суми (PV = const), не змінюють кінцевого результату (FV = = const), не змінюють строку операції (Т = const) і не змінюють кількості періодів нарахувань упродовж строку Т (n = const). Додержання таких вимог має у фінансах назву принципу еквівалентності.

Іншими словами, еквівалентність ставок - це заміна однієї ставки на іншу, така заміна ставки, яка не змінює фінансового результату, тобто заміна ставки при дотриманні принципу еквівалентності.

Якщо початкові і кінцеві суми не змінюються, то не змінюється й їх різниця - прибуток (процент). При рівності початкових сум процент визначається розміром множника нарощення. Звідси випливає: щоб вивести співвідношення для еквівалентних ставок, потрібно прирівняти множники нарощення для різних процентних ставок і з отриманої рівності виразити потрібний показник. Основних формул у фінансах усього чотири, тому основних множників у нас також чотири. Для одержання формул еквівалентності ставок запишемо чотири множники у вигляді так званого квадрата еквівалентності (рис. 1).

Рисунок 1 - Можливі співвідношення ставок еквівалентності - квадрат еквівалентності ставок процента (де «і» - процентна ставка; «d» - облікова ставка, індекс «s» означає, що ставки «і» та «d» прості (від англ. simple), індекс «с» означає, що ставки «і» та «d» складні (від англ. compound))

Квадрат еквівалентності дає можливість записати всі формули еквівалентності ставок. Використовуючи квадрат еквівалентності, немає потреби запам'ятовувати формули. Просто за необхідності треба написати відповідне співвідношення між множниками нарощення й одержати з нього потрібну формулу. У квадраті еквівалентності можливі співвідношення між множниками нарощення вказані стрілками. Таких співвідношень всього дванадцять. Головне: зрозуміти цей простий прийом.

Еквівалентність простої процентної ставки () і простої облікової ставки знайдемо з прирівнювання множників:

=.

Якщо n - ціле число або ціле число з дробом, наприклад кількість років, то

(1)

(2)

У формулах (1), (2) за умови, що n - кількість років, ставки i_s, d_s річні, якщо n вимірюється кількістю півріч, ставки i_s, d_s піврічні, загалом ставки такі, що відповідають періоду нарахування процентів.

Треба звернути увагу, що співвідношення еквівалентності між простими ставками залежать від строку. Наприклад, для d_s = 10 % змінюється так (табл. 1).

Таблиця 1 - Еквівалентність простої процентної ставки i_s до простої облікової, що дорівнює d_s = 10 %, залежно від строку n (кількість років)

*При n = 9 років = 100 %, а при 10 і більше роках формула (1) не працює, тобто еквівалентності ставок не існує.

Якщо n - дробове число, наприклад, строк вимірюється в днях, тоді підставимо у (1) і (2) n = t /y та одержимо варіанти еквівалентності ставок (нагадуємо, що t - строк нарощення (дисконтування) процентів у днях; y - кількість днів у році, y ще може мати назву «часова база», або «база розрахунку»).

Варіант 1. Бази розрахунків, тобто кількість днів у році y, рівні в еквівалентних варіантах:

або (3)

або ( 4)

Варіант 2. Бази розрахунків, тобто кількість днів у році y, різні в еквівалентних варіантах.

Якщо при процентній ставці i_s нарахування процентів здійснюється при y = 365 днів, а за обліковою ставкою d_s розрахунок проводиться при y = 360 днів, то формули еквівалентності мають такий вигляд:

(5)

(6)

Якщо при процентній ставці i_s нарахування процентів здійснюється при y = 360 днів, а за обліковою ставкою d_s розрахунок проводиться при y = 365 днів, то формули еквівалентності мають такий вигляд:

(7)

(8)

Забезпечення еквівалентності простих процентних та облікових ставок досягається за інших рівних умов їх нерівністю, тобто завжди менше (чисельно, за модулем) від еквівалентної до неї .

Еквівалентність процентних ставок - простої ставки () і складної ставки () - знайдемо з прирівнювання множників = :

(9)

або (10)

У формулах (9), (10) ставки , є ставками в періодах n. Якщо n вимірюється роками, то й ставки , річні, якщо n вимірюється кварталами, то відповідно ставки та квартальні, і така відповідність у цих формулах завжди. Якщо зафіксувати ставки тільки як номінальні, тобто річні, то при m разів нарахування процентів у році і кількості років N показник n = N · m. За цих умов формули (9) та (10) мають такий вигляд:

(11)

або

. (12)

У формулах (11) та (12) ставки та річні.

Еквівалентність простої облікової ставки () і складної процентної ставки () знайдемо з прирівнювання множників

= :

або (13)

(14)

Якщо зафіксувати ставки тільки як номінальні, тобто річні, то при застосуванні m та N формули (13) та (14) набирають такого вигляду:

або

, (15)

або

. (16)

Еквівалентність складної процентної ставки () і складної облікової ставки () знайдемо з прирівнювання множників

= :

(17)

(18)

Як бачимо, при виведенні формул (17) та (18) показник кількості періодів нарахування процентів n у математичний запис формул не потрапляє, він там відсутній. Його відсутність у запису формул еквівалентності складних процентної та облікової ставок привела до некоректного висновку: у формулах (17) та (18) результат еквівалентних перерахунків не залежить від строку фінансової операції, або, що одне й те саме, не залежить від кількості періодів нарахування чи утримання процентів. Такої думки дотримуються Долінський [6, с. 22], Мелкумов [11, с. 68], Четиркін [15, с. 72]. Але це не зовсім так, а точніше, зовсім не так. У наведених формулах строк існує, і він один і той самий для двох еквівалентних ставок, тому він у формулах і не «виникає». Це формули для одного й того самого строку фінансової операції. Кількість періодів нарахування в цих формулах не змінюється, кількість n у множникахі передбачається рівною, передбачається підсвідомо і тому автоматично скорочується за правилами математики. Строк і кількість періодів нарахування процентів n наявні в будь-яких розрахунках, де використовуються формули (17) та (18), і їх не явна присутність передбачає: строк є, строк є і тому на розрахунок впливає, і цей строк не змінюється при заміні ставки на еквівалентну; n у розрахунках присутня, n на розрахунки впливає тим, що n однакова для кожної еквівалентної ставки. Як тільки перейдемо до практичного застосування формул (17) та (18), відразу в розрахунках «виникають» і строк, і кількість періодів нарахування, і вони починають впливати на розрахунки. У випадках, коли n різні для ставок () і (), а їх еквівалентність потрібно розрахувати, формули еквівалентності будуть іншими, не подібними до (17) та (18), і в їх формалізованому записі будуть показники n, що відповідають своїм ставкам. Формули (17) і (18) - похідні формули від інших, більш загальних формул, в яких і строк, і n фігурують у запису формули безпосередньо.

Прикладом такого узагальнення може бути формула еквівалентності складної облікової ставки () і номінальної складної процентної ставки () при нарахуванні процентів m разів у році, яку знайдемо з прирівнювання множників

= :

, або , (19)

. (20)

Еквівалентність складної облікової ставки () і простої облікової ставки знайдемо з прирівнювання множників

=:

або (21)

(22)

Якщо зафіксувати ставки тільки як номінальні, тобто річні, то при застосуванні m та N формули (21) та (22) набирають такого вигляду:

. (23)

(24)

Еквівалентність простої процентної ставки () і складної облікової ставки знайдемо з прирівнювання множників

=:

(25)

або (26)

Якщо зафіксувати ставки тільки як номінальні, тобто річні, то при застосуванні m та N формули (25) та (26) набирають такого вигляду:

,або (27)

. (28)

Таким чином, розглянуто всі варіанти еквівалентності ставок, передбачених квадратом еквівалентності (рис. 1). Проголошувалося, що формул еквівалентності всього дванадцять, а у нас - вже двадцять вісім. І все ж таки основних формул еквівалентності ставок дванадцять, а всі інші - похідні від цих дванадцяти. Основними формулами еквівалентності ставок є формули: (1), (2), (9), (10), (13), (14), (17), (18), (21), (22), (25), (26). У тексті їх номери в дужках виділені жирними цифрами.

Крім використаних вище дискретних формул, існують формули безперервного нарахування (див. підрозділ 6.3).

Еквівалентність сили зростання і процентних ставок:

- для простої процентної ставки з прирівнювання множників

=:

(29)

(30)

- для складної процентної ставки з прирівнювання множників

= :

(31)

(32)

Еквівалентність сили зростання і облікових ставок:

- для простої облікової ставки з прирівнювання множників

= :

(33)

(34)

- для складної облікової ставки з прирівнювання множників

= :

(35)

(36)

Еквівалентність сили зростання і номінальної складної процентної ставки при нарахуванні процентів m раз у році розраховується з прирівнювання

=

(37)

(38)

При лінійній зміні сили зростання еквівалентну складну процентну ставку можна розрахувати за такою формулою:

(39)

Приклад 1

Задача

На певну суму позики безперервно впродовж 4 років нараховуються проценти з початковою силою зростання = 10 %, щорічний приріст сили зростання а = 2 %. Розрахувати для цих самих умов еквівалентну складну процентну ставку.

Розв'язання

Використовуючи формулу (39), розраховуємо множник нарощення для безперервних процентів:

Розраховуємо еквівалентну складну процентну ставку:

Перевірка

Множник нарощення за складною процентною ставкою= 15,027 % для позики строком 4 роки розраховується та дорівнює

При постійному темпі зміні сили зростання еквівалентну складну процентну ставку можна розрахувати за такою формулою:

(40)

Список літератури

1. Бакаєв Л. О. Кількісні методи в управлінні інвестиціями : навч. посіб. / Л. О. Бакаєв. - К. : КНЕУ, 2000. - 151 с.

2. Бланк И. А. Основы финансового менеджмента : в 2 т. / И. А. Бланк. - 3-е изд. - К. : Эльга; Ника-Центр, 2007. - Т. 1.- 624 с.

3. Гриценко Олена. Гроші та грошово-кредитна політика : навч. посіб. / Олена Гриценко. - К. : Основи, 1997. - 180 с.

4. Гроші та кредит : навч. посіб. / С. Б. Ільїна, В. П. Шило, В. І. Кисла, Н. І. Шрамкова. - К. : «ВД «Професіонал», 2007. - 368 с.

5. Гроші та кредит : підручник / М. І. Савлук, А. М. Мороз, І. М. Лазепко та ін. ; за заг. ред. М. І. Савлука. - 4-те вид., перероб. і доп. - К. : КНЕУ, 2006. - 744 с.

6. Долінський Л. Б. Фінансові обчислення та аналіз цінних паперів : навч. посіб. / Л. Б. Долінський. - К. : Майстер-клас, 2005. - 192 с.

7. Ковалёв В. В. Курс финансовых вичислений / В. В. Ковалёв, В. А. Уланов. - М. : Финансы и статистика, 1999. - 328 с.

8. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики: методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем / В. В. Кутуков. - М. : Дело, 1998. - 304 с.

9. Машина Н. І. Вищі фінансові обчислення : навч. посіб. / Н. І. Машина. - К. : Центр навчальної літератури, 2003. - 208 с.

10. Медведев Г. А. Начальный курс финансовой математики : учеб. пособие / Г. А. Медведев. - М. : ТОО «Острожье», 2000. - 267 с.

11. Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика : учебно-справочное пособие / Я. С. Мелкумов. - М. : ИНФРА-М, 2002. - 383 с.

12. Михайловська І. М. Гроші та кредит: практикум : навч. посіб. / І. М. Михайловська, К. Л. Ларіонова. - Львів : Новий Світ - 2000, 2008. - 312 с.

13. Семко Т. В. Гроші та кредит у схемах і таблицях : навч. посіб. / Т. В. Семко, М. В. Руденко. - К. : Центр навчальної літератури, 2006. - 158 с.

14. Словник іншомовних слів / за ред. О. С. Мельничука. - К. : АН УССР, 1974. - 775 с.

15. Четыркин Е. М. Финансовая математика : учеб. / Е. М. Четыркин. - М. : Дело, 2000. - 400 с.

Размещено на Allbest.ru