Процентні ставки та рентабельність активів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Процентні ставки та рентабельність активів



Вступ

Процентні ставки, імовірно, ? фінансові показники, які використовуються найчастіше. Кожна людина у своєму житті бере гроші в кредит і сплачує проценти по цьому кредиту або кладе гроші в банк чи в іншу фінансову установу й отримує за це процентні платежі. При цьому, як можна помітити, існує величезна різноманітність процентних ставок по кредитах і вкладах. Ці ставки відрізняються не тільки за величиною, а й за методами їх обчислення. Одні процентні ставки фіксовані протягом усього періоду дії договору, інші ж можуть змінюватися за домовленістю в певні проміжки часу.

При інвестуванні грошей особа втрачає можливість перетворити їх у товари і послуги, які приносять користь напряму, і вимушена задовольнитись більш низьким рівнем споживання. Компенсація втрати цієї потенційної корисності є найважливішою функцією процента. Крім того, кредитор стикається із значною невизначеністю вартості грошей, коли вони до нього повернуться. Кількісна міра цієї невизначеності відома як ризик. По-перше, це ризик втрати купівельної спроможності (інфляційний ризик), а по-друге, це ризик того, що гроші можуть бути не повернуті внаслідок або невдалого проекту, або обману зі сторони позичальника або інших непередбачуваних обставин (ризик невиконання зобов'язань). Інвестори і в цих випадках повинні вимагати компенсацію за такий ризик. Об'єднавши ризик втрати потенційної вигоди, інфляційний ризик і ризик невиконання зобов'язань, то отримаємо групу факторів, які віддають перевагу володіння грошима зараз порівняно з їх володінням у майбутньому. Люди воліють мати гроші зараз, ніж задовольнятись обіцянками отримати їх пізніше. Тому гроші характеризуються позитивною часовою перевагою (positive time preference). Проценти компенсують інвесторові неможливість задоволення цих переваг у момент інвестування коштів. Позичальники готові заплатити за використання коштів, тому що це дозволяє їм мати додаткову вигоду раннього споживання.

З наведеного, повинно бути зрозуміло, що в будь-який час на фінансових ринках існує низка процентних ставок, які формуються під впливом різних факторів. Їх слід розділити на фактори, що впливають на рівень процентних ставок: політика уряду; грошова маса; очікування майбутньої інфляції й на ті, що впливають на відмінність процентних ставок: час до погашення фінансових зобов'язань; ризик невиконання зобов'язань; ліквідність фінансових зобов'язань; оподаткування та інші фактори, що характерні для конкретних фінансових зобов'язань (забезпечення активами тощо).



1. Часова вартість грошей. Операції нарощення та дисконтування

Часова вартість грошей має відношення до процесу визначення поточної вартості, тобто нинішньої вартості суми, яка обіцяна в деякий момент у майбутньому, або до розрахунку майбутньої вартості, тобто вартості суми в майбутньому, отриманої або виплаченої сьогодні. Процес визначення поточної вартості грошей називається дисконтуванням, а майбутньої - нарощенням.

Поточна вартість знаходиться шляхом досконтування кожного з потоку платежів на процент, який міг би бути зароблений, коли б ці кошти були отримані сьогодні. Найбільш розповсюджене застосування дисконтування - це оцінка облігацій шляхом дисконтування майбутніх купонних платежів, а також оцінка акцій на основі використання моделі дисконтування дивідендів.

Фінансові активи оцінюються методом розрахунку поточної вартості очікуваних потоків платежів від цих активів. Деякі фінансові інструменти, такі як ф'ючерси і форварди, оцінюються виходячи з майбутньої вартості грошей. Майбутня вартість знаходиться нарощенням усіх процентних платежів, які можна було б отримати на дану суму до настання певного моменту в майбутньому. Взагалі, розмір нарахованих процентів, а отже, майбутня вартість, залежать від процентної ставки, терміну до погашення зобов'язань, а також від того, чи є процентна ставка простою чи складною. За умов складної процентної ставки важливе значення має також частота нарахувань процентів.

Формули для знаходження майбутньої вартості за простою процентною ставкою мають вигляд:

,



де - майбутня вартість,

P - основна сума капіталу,

r - проста процентна ставка за період T (частіше T - рік),

t - термін вкладу.

У загальному випадку нарощення складних процентів здійснюється за формулою:

,

де r - річна процентна ставка (номінальна ставка),

т - число періодів нарахувань процентів на рік,

n - загальний термін інвестування (у роках).

При необмеженому зростанні т () отримаємо граничний випадок, коли проценти нараховуються неперервно. Майбутня вартість при неперервному нарощенні визначається за формулою:

,

де e - основа натуральних логарифмів (), - сила росту.

Неперервне нарощення - це припущення, що існує лише в теорії і застосовується у фінансових моделях, наприклад, при визначенні вартості опціонів.

Якщо , то



2. Ефективна річна процентна ставка

Різні види фінансових контрактів можуть передбачати різні схеми нарахувань процентів. Як правило, у цих контрактах обумовлюється номінальна процентна ставка, зазвичай річна. Проте ця ставка, по-перше, не відображає реальну ефективність операції і, по-друге, не може бути використана для співставлень. Для забезпечення порівняльного аналізу ефективності таких контрактів використовується ефективна річна процентна ставка , що забезпечує перехід від до при заданих значеннях цих показників і однократному нарахуванні процентів, тобто

.

Звідси

Ефективна ставка при неперервному нарахуванні процентів знаходиться із співвідношення

.

Приведення процентних ставок з різною частотою нарахувань до еквівалентних їм ефективних ставок дозволяє співставити їх між собою.

Приклад 1.1 Підприємець може отримати позику за умов

а) щоквартального нарахування і номінальної річної ставки ;

б) піврічного нарахування з розрахунку 26% річних.

Який варіант вигідніший підприємцю?

Розв'язування. Відносні витрати підприємця з обслуговування боргу можна визначити за допомогою ефективної річної процентної ставки - чим вона вища, тим більший рівень витрат.

За формулою (1.4) маємо

а) ;

б) .

Таким чином, варіант (а) більш вигідний.

Процентну ставку неперервного нарахування називають силою зростання, і вона також може бути використана для співставлення процентних ставок з різною частотою нарахувань. Для цього необхідно лише привести дохід з дискретним нарощенням до еквівалентного доходу з неперервним нарощенням:

,

де - сила зростання.

З даного співвідношення досить легко знайти відповідну силу зростання :

.

Приклад 1.2 За умовами прикладу 1.1 зробити оцінку варіанта позики, скориставшись коефіцієнтом - силою зростання.

Розв'язування. Розрахуємо силу зростання для обох варіантів. У випадку (а) маємо , а у випадку (б) - . Тобто рівень витрат буде більшим у випадку (б). Отже, варіант (а) для підприємця більш вигідний.

процентний гроші економіка дисконтування

3. Поточна вартість грошей

Оцінюючи доцільність фінансових інвестицій у тій чи іншій сфері, завжди виходять з того, чи буде це вкладання більш прибутковим (при допустимому рівні ризику), ніж інвестиції в державні цінні папери, чи ні. Використовуючи нескладні методи, намагаються аналізувати майбутні доходи при мінімальному, «безпечному» рівні прибутковості. Основна ідея таких методів полягає в оцінці майбутніх надходжень з погляду поточного моменту, тобто в обчисленні їх поточної вартості. Поточна вартість - це сума, яка при інвестуванні під існуючу процентну ставку до певної дати платежу мала б вартість, рівну за величиною сумі платежу обіцяного в цей момент у майбутньому. Для обчислення поточної вартості платежу використовують математичне дисконтування, причому в більшості випадків за схемою складних процентів:

,

де - поточна вартість майбутнього грошового потоку,

- прогнозна величина грошових надходжень в n - му році,

r - ставка дисконтування.

Множник називають дисконтним множником. Він показує теперішню (поточну) вартість однієї грошової одиниці майбутнього.

Якщо дисконтування відбувається т разів на рік, то формула (1.7) має вигляд:



,

Формула для неперервного дисконтування має вигляд:

,

Визначаючи коефіцієнт дисконтування, зазвичай виходять з так званого безпечного рівня дохідності фінансових інвестицій, що забезпечений державним банком по вкладах або операціях із цінними паперами. При цьому може надаватися надбавка за ризик, причому, чим більш ризиковим вважається проект чи фінансовий інструмент, що розглядається, тим більший розмір премії за ризик. Тобто, процентна ставка , яка використовується при дисконтуванні, буде мати в цьому випадку вигляд:

,

де - безризикова дохідність, - премія за ризик.

Приклад 1.3. На вашому рахунку 200 тис. грн. Банк сплачує 17% річних. Вам пропонують здійснити інвестиції у виробничій сфері. Економічні розрахунки показують, що через 4 роки ваш капітал подвоїться. Чи варто приймати пропозицію?

Розв'язування. Зробимо оцінку даної ситуації з позиції теперішнього часу. Оцінимо суму надходжень за рахунок інвестицій, яка прогнозується на кінець четвертого року:

(тис. грн.)

Отримана поточна вартість свідчить про економічну вигоду зробленої пропозиції. Проте при прийнятті остаточного рішення необхідно по можливості врахувати фактор ризику.

Припустимо, що фінансовий консультант рекомендує оцінити ризик участі в інвестуванні шляхом введення премії в розмірі 4%. Таким чином, процентна ставка для дисконтування складе 21%. Тоді за формулою (1.7) можна розрахувати поточну вартість очікуваних надходжень від інвестицій:

(тис. грн.)

При таких розрахунках пропозиція стає невигідною.

4. Процентні ставки спот, форвардні процентні ставки

Ми розглянули процеси нарощення та дисконтування. Далі обговоримо, як визначаються реальні процентні ставки, що використовуються в цих процесах.

Процентна ставка спот - це процентна ставка, яка використовується на фінансових ринках для дисконтування майбутніх грошових потоків і приведення їх до поточної вартості. Візьмемо, наприклад, грошовий потік через один рік. Однорічною спот-ставкою буде ставка, по якій цей грошовий потік буде дисконтовано і приведено до його поточної вартості. Якщо ж взяти грошовий потік через 5 років, то ставка, по якій ця сума буде дисконтована і приведена до поточної вартості, буде п'ятирічна спот-ставка. Позначивши однорічні та п'ятирічні спот-ставки через та і припускаючи неперервне дисконтування, визначимо поточні вартості за формулами:

, .



Спот-ставка за період може бути розрахована за формулою:

Більшість фінансових ринків використовують дискретне дисконтування, тому спот-ставка за років, є членом такого рівняння:

Типовим прикладом застосування спот-ставки є знаходження дохідності по облігаціях з нульовим купоном. По таких облігаціях не сплачуються періодичні процентні платежі, і вони погашаються по номінальній вартості в кінці терміну. Тому ці облігації випускаються з дисконтом до номінальної вартості, і за весь період обігу торгівля по них проходить з урахуванням дисконту, оскільки в будь-який момент часу поточна вартість облігації відповідає теперішній вартості викупного платежу. Процентна ставка, що використовується на ринку для дисконтування викупної ціни облігації, є спот-ставка відповідного періоду до погашення. Проте ця ставка не фігурує під час торгів на ринку, а визначається лише поточна вартість облігації з нульовим купоном. Спот-ставку можна розрахувати, знаючи номінальну та поточну вартості облігації:

,

де - спот-ставка періоду ;

- вартість при погашенні через років (номінальна вартість);

- поточна вартість, або теперішня ціна облігації з нульовим купоном і з терміном до погашення років.

Приклад 1.4. Облігація з нульовим купоном і терміном до погашення 10 років має номінальну вартість $100, а теперішня її ринкова ціна дорівнює $29,5. Знайти десятирічну спот-ставку.

Розв'язок. За формулою (1.11) маємо:

Спот-ставку можна розглядати і як процентну ставку, пов'язану зі спот-контрактом. Такий контракт (після підписання) передбачає негайне запозичення грошей однією стороною в іншої. Позика повинна бути повернута одночасно з процентами по ній у деякий певний момент часу в майбутньому. Процентна ставка, яка вказується в такому контракті, також називається спот-ставкою (Шарп).

Спот-ставки можуть бути розраховані й іншим способом, якщо цінні папери представлені лише купонними облігаціями скарбниці. Як правило, однорічна спот-ставка відома, оскільки безкупонна облігація з терміном погашення один рік зазвичай завжди є в обігу. Проте цілком імовірно, що безкупонної облігації з терміном погашення два роки на ринку може не виявитись. Замість цього доступною для інвестування може виявитися купонна облігація з таким же терміном погашення, яка має поточну ринкову ціну , ціну погашення і купонні виплати кожний рік з даного моменту в розмірі . У цій ситуації спот-ставку для облігації з дворічним терміном погашення можна визначити, розвязавши таке рівняння:

.



Форвардна процентна ставка - це процентна ставка, зафіксована сьогодні для позики, що буде надаватися в майбутньому. Таким чином, процентна ставка для тримісячної позики, яка надаватиметься через три місяці - це тримісячна форвардна процентна ставка на три місяці. Якщо позика піврічна і надаватиметься через 12 місяців, то процентна ставка для неї буде піврічна форвардна ставка на 12 місяців. На грошових ринках ці процентні ставки відомі як форвардні форварди і позначаються у вигляді 3/6 або 12/18, що означає початок майбутніх фінансових операцій через 3 та 12 місяців, а закінчення відповідно через 6 та 18 місяців. Ці ставки можуть також називатися як три проти шести або 12 проти 18.

Форвардні ставки не котируються напряму на ринках. Проте відносно грошових ринків вони можуть бути отримані по інформації про короткотермінові позики та депозити. Для ринку облігацій, включаючи зобов'язання скарбниці, форвардні процентні ставки можна визначити, виходячи із співвідношень між послідовними спот-ставками.

Безпосередньо розрахунок форвардних ставок залежить від того, прості чи складні проценти застосовуються на даному конкретному ринку. У випадку складних процентів розрахунки залежать також від того, застосовується наперервне чи дискретне нарощення. Прості проценти застосовуються на фінансових ринках до фінансових інструментів з терміном менше одного року. На ринках облігацій застосовують дискретне нарощення, а для опціонів облігацій - неперервне.

А) Розглянемо випадок нарахувань простих процентів.

На фінансових ринках форвардна ставка є ставкою на вклад або позику, що буде надаватися в деякий момент у майбутньому.

Форвардна ставка по депозиту може бути утворена шляхом запозичення на короткий термін і поміщення цих коштів на депозит на тривалий термін.

Форвардна позика, або кредит, утворюється у випадку позики на тривалий час і розміщення цієї суми на депозиті на більш короткий термін.

Наприклад, якщо ваш банк пропонує вам процентну ставку на тримісячний депозит через три місяці, то в цьому випадку банк пропонує вам форвардний депозит. Банк повинен захеджувати форвардне зобов'язання, дане вам, запозичивши гроші на 3 місяці і одночасно позичивши цю ж суму на 6 місяців. Банківський баланс буде врівноважений протягом перших трьох місяців, оскільки позика відповідає депозиту. Проте залучені кошти по депозиту мають бути повернуті через 3 місяці, тоді як позика не буде повернута протягом 6 місяців. Тому банк використає депозит, обіцяний вам, для того щоб зрівноважити баланс другого тримісячного періоду.

Незбитковою процентною ставкою, яку банк зможе запропонувати вам по форвардному депозиту, буде ставка, що відповідає різниці отриманих банком процентів по шестимісячній позиці і процентів, які він сплатить по тримісячному депозиту.

Для аналогічного форвардного кредиту банк повинен захеджувати свою позицію, взявши шестимісячну позику (депозит) і позичивши ці кошти на 3 місяці. Через 3 місяці позика буде повернута банку, який зможе її використати для вашого кредитування. Коли через 6 місяців ви повернете кредит, банк використає ці кошти для погашення своєї шестимісячної позики. Незбиткова ставка, по якій банк буде кредитувати вас, відповідає різниці витрат банку по шестимісячній позиці і прибутків по кредиту за перші 3 місяці.

Нехай - тривалість у днях більш тривалого фінансового інструмента, - тривалість у днях більш короткого фінансового інструмента, - процентна ставка довгого фінансового інструмента, - процентна ставка короткого фінансового інструмента. Для виведення загальної формули обчислення форвардних ставок на фінансових ринках складемо відповідне рівняння вартості:



,

де - початкова сума кредиту (депозиту).

Розв'язавши його, отримаємо:

,

де - часова база (згідно з угодою або ).

Для ілюстрації розглянемо конкретний приклад. Припустимо, що процентна ставка по тримісячному кредиту складає 6,0 - 6,1% річних, а відповідна ставка по шестимісячному кредиту - 6,15 - 6,25%, тобто банки беруть гроші на 3 місяці під 6%, а позичають їх під 6,1%, аналогічно банки беруть шестимісячні кредити під 6,15% і позичають під 6,25%. Розрахуємо тримісячні форвардні процентні ставки по банківському депозиту та кредиту, що надаватимуться через три місяці.

По депозиту, для згідно з формулою (1.12) маємо:

.

По кредиту при отримаємо:

.

А) При нарахуванні складних процентів



,

де - терміни, що вимірюються в роках; - відповідні спот-ставки.

Наприклад, якщо трирічна спот-ставка складає 12,75% річних, а дворічна спот-ставка - 11,63% річних, то форвардна ставка складе:

.

Очевидно, що форвардні ставки, розраховані по формулам (1.12) і (1.13), можуть і не бути рівними тим ставкам, які реально будуть в майбутньому. Що дійсно виражають форвардні ставки, так це поточні очікування ринку відносно процентних ставок у майбутньому. У розглянутому вище прикладі на ринку встановилася така ціна на цінні папери скарбниці, що інвестор, який купуватиме цінний папір з терміном обігу три роки, вимагатиме процентну ставку, рівну трирічній спот-ставці в 12,75%. Тобто інвестора задовольнятимуть такі умови: 1) дворічна позика уряду по процентній ставці, рівній дворічній спот-ставці в 11,63%; 2) форвардний контракт з урядом на запозичення грошей урядом через два роки і отримання їх назад через три роки по форвардній процентній ставці 15,024%.

Між спот-ставками та форвардними ставками існує і зворотній зв'язок. Спот-ставки - це ставки дисконтування і одночасно це річні ставки прибутковості від інвестицій в облігації з нульовим купоном. Спот-ставка - це середнє геометричне між поточною короткотерміновою спот-ставкою та всіма короткотерміновими форвардними ставками, що відповідають даному терміну до погашення:

.



Література

1. Вітлінський В.В. Моделювання економіки

2. Вишняков Н.В. Экономико-математические модели оценки деятельности коммерческих банков. СПб-2009.

3. Конюховский П.В., «Микроэкономическое моделирование банковской деятельности», СПб., 2011.

4. Уотшем Т.Дж., Количественные методы в финансах. М., 2009.

5. Четыркин Е.М., «Финансовая математика», М., 2010.

6. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. Инфра-М. 2003.

Размещено на Allbest.ru