Основы финансовой математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. На какой срок должен быть выпущен сберегательный сертификат номиналом 235 руб., если сумма погашения при 12 % годовых составляет 305 руб.? Год не високосный. Дано: , , , . Найти:

Решение. Сумму погашения можно представить в виде двух слагаемых: номинала и суммы процентов :

,

,

,

- срок ссуды в долях года;

- число дней в году (временная база);

- срок операции в днях.

- годовая процентная ставка

Тогда,

,

,

дней.

Ответ: 906 дней.

2. По сертификату, выданному на 120 дней начисляется дисконт в размере 17 % от суммы погашения. Год не високосный. Определить учетную и процентную ставку. Дано: , . Найти , -?

Решение. Простая годовая учетная ставка находится по формуле:

,

где - первоначальная сумма;

- сумма погашения;

- срок ссуды в долях года;

- число дней в году (временная база);

- срок операции в днях.

или 51,7 %.

Определим процентную ставку:

.

Из равенства выражений имеем: процент дисконт ставка нарашенная

,

откуда:

или 77,0 %.

Ответ: учетная ставка - 51,7 %, процентная - 77,0 %.

3. Предприятие на условиях потребительского кредита продало товар с оформлением простого векселя, номинальная стоимость которого 0,75 тыс. руб., срок векселя - 54 дня, ставка процента за предоставленный кредит - 7 % годовых. Через 15 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть вексель в банке, предложенная банком дисконтная ставка составляет: а) 5 %, б) 11 %. Рассчитать суммы, получаемые предприятием и банком

Решение. Определим будущую стоимость векселя к погашению:

,

где - первоначальная сумма ссуды;

- общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты.

; дней;

- годовая ставка процента;

руб.

При учете векселя банк выплатит фирме (векселедержателю) сумму:

,

где - сумма, получаемая при учете обязательства;

- срок от момента учета до погашения долга

; дней;

- учетная ставка.

а) При :

руб.

При погашении векселя банк реализует дисконт:

руб.

б) При :

руб.

При погашении векселя банк реализует дисконт:

руб.

4. В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 600 тыс. руб. через 45 дней. Первоначальная сумма долга - 120 тыс. руб. Определить доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой ставки процента и учетной ставки (). Дано: , , ,. Найти: , -?

Решение:

,

где - наращенная сумма (сумма погашения обязательства);

- первоначальная сумма;

- сумма процентов.

,

- срок ссуды в долях года;

- число дней в году (временная база);

- срок операции в днях.

- годовая ставка процента

Тогда,

.

Отсюда годовая ставка процента:

,

или 3200 %.

Простая годовая учетная ставка находится по формуле:

или 640 %.

Ответ: i-3200 %, d-640 %.

5. По муниципальной облигации номиналом 50 тыс. руб., выпущенной на 4 года, предусматривается следующий порядок начисления процентов: первый год - 15 %, в каждом последующем квартале ставка повышается на 0,3 %. Необходимо:

1) определить наращенную стоимость облигации по простой и сложной процентной и учетной ставкам;

2) составить план наращения первоначальной стоимости по простым и сложным процентам;

3) построить графики наращения стоимости по простым и сложным процентам на базе процентной и учетной ставок

Решение. Наращенная стоимость облигации по простой процентной ставке:

,

где , , … - ставка процентов в периоде с номером , ;

- продолжительность периода начисления по ставке

руб.

Наращенная стоимость облигации по сложной процентной ставке:

,

руб.

Ответ: S по простой процентной ставке - 109250 руб., S по сложной процентной ставке - 154465,73 руб.

6. Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при различной частоте начисления процентов, если номинальная ставка равна 18 %. Дано:

Если проценты начисляются по сложной ставке раз в год, каждый раз со ставкой , то можно записать равенство для множителей наращения:

,

где - эффективная ставка;

- номинальная ставка.

Отсюда:

.

.

	1	2	4	12	365
	0,1800	0,1881	0,1925	0,1956	0,1972

При , при различных частотах начисления процентов.

7. Вексель выдан на сумму 175 руб. с уплатой 16.10. Векселедержатель учел вексель в банке 19.07 по ставке 8 %. Требуется определить сумму, полученную векселедержателем и размер дисконта в пользу банка. Дано: , . Найти: , -?

Решение. Принимаем K=360. Посчитаем количество дней до погашения векселя. По таблице порядковых номеров дней в году, определяем, что 16.10 - это 289 день в году, а 19.07 - 200 день. Следовательно, количество дней до погашения:

.

Сумма, полученная владельцем векселя, определяется по формуле:

.

- сумма погашения;

- срок ссуды в долях года;

- сумма дисконта;

- учетная ставка.

Тогда сумма, полученная векселедержателем равна:

руб.

Размер дисконта в пользу банка:

руб.

Ответ: P- 171,54 руб., D- 3,46 руб.

8. Найти размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, если при разработке условий контракта была установлена договоренность о доходности кредита в 28 % годовых. Дано: . Найти:

Решение. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:

,

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- годовая ставка процентов;

- число периодов начисления в году;

- общее число периодов начисления,

,

где - число лет начисления).

Отсюда:

,

или 24,94 %.

Ответ: j- 24,94 %.

9. Найти величину учетной ставки, эквивалентной годовой процентной ставке 9 % при условии, что срок учета равен 240 дней; 3 года. Дано: , , . Найти: ,

Решение. Наращенная сумма определяется по формулам:

,

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- годовая процентная ставка;

- учетная ставка процента

- срок наращения.

Из равенства выражений имеем:

,

.

Тогда:

или 9,6 %.

или 12,3 %.

Ответ: , .

10. Депозитный сертификат номиналом 100 руб. выдан 5 мая с погашением 7 ноября под 25 % годовых. Определить сумму начисленных процентов и сумму погашения долгового обязательства (3-мя способами)

Решение. Сумму погашения можно представить в виде двух слагаемых: номинала и суммы процентов :

,

- срок ссуды в долях года;

- число дней в году (временная база);

- срок операции в днях.

Рассмотрим различные варианты расчета:

1. Точные проценты с точным числом дней депозита. Точное количество дней определим по таблице порядковых номеров дней в году: 5 мая - это 125 день в году, а 7 ноября - 311 день. Следовательно, точное количество дней: дней.

Временная база дней.

руб.

руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней депозита. Точное количество дней , временная база дней.

руб.

руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней депозита.

Найдем приближенно число дней, считая, что в мае по ноябрь содержится по 30 дней:

5 мес. · 30 дн. + (30 дн. - 5 дн.) + 7 дн. = 182 дн.

Временная база дней.

руб.

руб.

11. Вексель с обязательством 15 тыс. руб. учитывается банком за 3 месяца до погашения с дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента. Дано: , , . Найти:

Решение. Простая годовая учетная ставка находится по формуле:

,

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- учетная ставка процента;

- период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах.

или 66,7 %.

Годовая процентная ставка находится из равенства следующих соотношений:

,

, .

или 80 %.

Ответ: i-80 %.

12. Облигация номиналом 80 тыс. руб. под 6,5 % годовых погашается по тройному номиналу. На какой срок размещается займ при условии наращения по процентной ставке? Дано: , , . Найти: -?

Решение:

.

день.

Ответ: t-11231 день.

13. Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 10 млн. руб. определить наращение суммы вклада через 3 года, если проценты начисляю ежеквартально из расчета 17 % годовых. Дано: , , . Найти: - ?

Решение. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:

,

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- годовая ставка процентов;

- число периодов начисления в году;

- общее число периодов начисления:

,

где - число лет начисления);

руб.

Ответ: 16478314 руб.

14. В условиях выпуска сертификата Сбербанка номинал 1230 руб. предусмотрены выкупные суммы в зависимости от срока хранения: за 5 лет - 1615 руб., 7 лет - 2205 руб. Определить уровни годовых сложных ставок процента для указанных сумм наращения. Дано: , , , , . Найти: ,

Решение. Формула наращения сложных процентов:

,

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- годовая ставка сложных процентов;

- срок наращения.

Тогда:

.

1) или 5,6 %.

2) или 8,7 %.

Ответ: 5,6 %; 8,7 %.

15. Простая процентная ставка по векселю равна 6 %. Определить значение эквивалентной ставки, если вексель выдан: а) на 2 года, б) на 270 дней. При сроке 270 дней рассмотреть варианты: 1) временная база ставок одинакова - 360 дней; 2) временная база процентной ставки 365 дней, учетной - 360 дней

Наращенная сумма определяется следующими выражениями:

,

Из равенства выражений имеем:

,

,

в случае, когда , получим:

,

а) или 5,36 %.

б) или 5,74 %.

или 5,67 %.

Ответ: 5,36 %, 5,74 %, 5,67 %.

16. Облигация номиналом 2500 руб., срок платежа по которой наступает через 3 года, продана с дисконтом 15 % годовых. Определить сумму дисконта. Дано: , , . Найти:

Размер дисконта, удерживаемого банком равен:

,

где - сумма дисконта;

- номинал облигации;

- учетная ставка процента

- период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах.

руб.

Ответ: 1125 руб.

17. Определить, на какой срок должен быть выпущен сертификат номиналом 1 тыс. руб. при 40 % (простых и сложных) годовых, если сумма погашения составляет 1,75 тыс. руб.

Решение. Для простой ставки наращения:

,

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- годовая ставка сложных процентов;

- срок наращения.

Откуда:

,

года.

Для сложной ставки:

,

года.

Ответ: 1,875 года, 1,663 года.

18. Вексель, выданный на 120 дней с обязательством уплатить 50 тыс. руб., учитывается по ставке 8 %. Определить приведенную величину наращенной стоимости и размер дисконта при математическом дисконтировании и коммерческом учете

Решение. Математическое дисконтирование:

,

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- годовая ставка процентов;

- срок наращения.

Сумма дисконта :

,

руб.

руб.

Коммерческое дисконтирование:

,

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- учетная ставка процентов;

- срок наращения.

,

.

руб.

19. Вексель, выданный на 90 дней с обязательством уплатить 40 тыс. руб., учитывается по ставке 10 %. Определить приведенную величину наращенной стоимости и размер дисконта при математическом дисконтировании и коммерческом учете

Математическое дисконтирование:

,

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- годовая ставка процентов;

- срок наращения.

,

руб.

руб.

Коммерческое дисконтирование:

,

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- учетная ставка процентов;

- срок наращения.

,

руб.

руб.

20. За какой срок наращенная стоимость финансового инструмента номиналом 60 тыс. руб. достигнет 70 тыс. руб. при условии, что начисляются сложные проценты по ставке 10 % годовых раз в году и поквартально? Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам

Решение. Для сложной процентной ставки при начислении раз в году используем формулу:

,

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- годовая ставка процентов;

- срок наращения.

Откуда:

,

года.

При начислении несколько раз в году используем формулу номинальной процентной ставки наращения:

.

.

года.

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f получим:

,

где - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- учетная ставка процентов;

- срок наращения.

Откуда:

.

года.

.

года.

Размещено на Allbest.ru