Финансовая математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФБГУ ВПО

Финансовый университет при правительстве Российской Федерации

Смоленский филиал финуниверситета

Контрольная работа

по дисциплине "Финансовая математика"

Выполнил студент Шуковский А.А.

Смоленск 2013

План

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

Задание 10

Задание 11

Задание 12

Задание 13

Задание 1

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учётом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б1 = 0,3; б2 = 0,6; б3 = 0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимостей уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчётные и прогнозные данные.

Решение:

Нам даны данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
33	42	50	33	36	46	56	34	39	50	59	37	44	54	65	40

1. Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учётом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания

б1 = 0,3; б2 = 0,6; б3 = 0,3.

Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

Yр (t) = a (0) + b(0) * t

Метод наименьших квадратов даёт возможность определить коэффициенты линейного уравнения a (0) и b (0) по формулам:

Ycp = (33 + 42 + 50 + 33 + 36 + 46 + 56 + 34) / 8 = 41, 25

t cp = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) / 8 = 4, 5

b (0) = 34 / 42 = 0, 81

a (0) = 41, 25 - 0, 81 * 4, 5 = 37, 61

Принимая во внимание найденные значения коэффициентов, линейное уравнение принимает вид:

Yр (t) = 37, 61 + 0, 81 * t

Из этого уравнения находим расчётные значения Yр(t) [ для t = от 1 до 8 ] и сопоставляем их с фактическими значениями Y(t).

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.

Поэтому в качестве коэффициента сезонности 1 квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) 1-го квартала первого года, равное Y(1) / Yр(1), и такое же отношение для 1-го квартала второго года (т.е. T=5) Y(5) / Yр(5). Для более точной оценки используем среднее арифметическое значение этих двух величин:

F(-3) = [Y(1) / Yр(1) + Y(5) / Yр(5)] / 2 = [ 33 / 38, 42 + 36 / 41, 66 ] / 2 = 0, 8615

Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для 2,3 и 4 кварталов: мультипликативный аппроксимация адаптивный

F(-2) = [Y(2) / Yр(2) + Y(6) / Yр(6)] / 2 = [ 42 / 39,23 + 46 / 42,47 ] / 2 = 1, 0769

F(-1) = [Y(3) / Yр(3) + Y(7) / Yр(7)] / 2 = [ 50 / 40,04 + 56 / 43,28 ] / 2 = 1, 2713

F(0) = [Y(4) / Yр(4) + Y(8) / Yр(8)] / 2 = [ 33 / 40,85 + 34 / 44,09 ] / 2 = 0, 7895

Оценив значение a(0) и b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), перейдём к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса:

Наилучшими параметрами сглаживания являются 0,3 ; 0,6 ; 0,3 .

Из уравнения

Yр (t + k) = [ a (t) + k * b (t)] * F (t+k-L),

где k - период упреждения = 1

L - период сезонности - для квартальных данных L = 4

t принимаем = 0, тогда Yр(1) :

Yр (0 + 1) = Yр (1) = [ a (0) + 1 * b (0)] * F(0 + 1- 4) = [ a (0) + 1 * b (0) ] * F(-3)= [ 37, 61 + 1 * 0, 81 ] * 0, 8615 = 33, 1

принимая t = 1, находим:

где а 1 = 0, 3 а (1) = a 1 * Y(1) / F (-3) + (1 - a 1) * [ a (0) + b (0) ] =

= 0,3 * 33 / 0, 8615 + (1 - 0,3) * [ 37, 61 + 0, 81 ] = 11, 49 + 0, 7 * 38, 42 = 38, 38

где а 3 = 0, 3 b (1) = a 3 * [ a (1) - a (0) ] + (1 - a 3) * b (0) =

= 0,3 * [ 38, 38 - 37, 61 ] + (1 - 0,3) * 0, 81 = 0, 231 + 0, 567 = 0, 798

где а 2 = 0,6 F (1) = a 2 * Y(1) / a (1) + (1 - a 2) * F(-3) =

= 0,6 * 33 / 38, 38 + (1 - 0,6) * 0, 8615 = 0, 516 + 0, 3446 = 0, 8606

Дальнейшие расчёты проводим аналогично, для удобства составим таблицу:



Среднее значение погрешности равно 25,2 / 16 = 1,56 % . Следовательно, условие точности выполнено.

2. Оценим адекватность построенной модели на основе исследования.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Промежуточные расчёты для оценки адекватности модели:

Общее число поворотных точек равно p = 10.

Рассчитаем значение q по формуле:

q = int [2(N - 2) / 3 - 2 v(16N - 29) / 90]

Функция int означает, что от получившегося значения берется только целая часть.

При N = 16:

q = int [ 2(16 - 2) / 3 - 2 v(16*16 - 29) / 90 ] = int [ 9,33 - 3,18 ] = int [ 6,16 ] = 6

Так как количество поворотных точек p больше q, т.е. 10 больше 6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) проводится двумя методами:

1) по d-критерию Дарбина-Уотсона:

d = 32, 35 / 13, 03 = 2, 48

т.к. вычисленное значение d больше 2-х, значит, имеет место отрицательная автокорреляция и величину d необходимо уточнить:

dуточн. = 4 - d = 4 - 2, 48 = 1, 52

если d 2 < d < 2, то уровни ряда остатков являются независимыми:

при d 2 = 1, 37 : 1, 37 < 1, 52 < 2 при d1 = 1,10 :

следовательно, уровни ряда E(t) независимы.

r (1) = - 3, 41 / 13, 03 = - 0, 26

Сравним модуль расcчитанного значения |r(1)| с табличным r табл = 0, 32.

0,26 < 0,32 ; значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению проводится по RS-критерию. Расcчитаем значение RS по формуле:

RS = (E max - E min) / S,

где, E max - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

E min - минимальное значение уровней ряда остатков Е(t);

S - среднее квадратическое отклонение.

2, 30 - E max - 1, 80 - E min

Emax - Emin = 2, 30 - (-1, 80) = 4, 10

S = v? E(t)І / (N - 1) = v 13, 03 / 15 = v 0, 8687 = 0, 932

RS = 4, 10 / 0, 932 = 4, 40

т.к. критические значения не попадают в интервал от 3-х до 4, 21 - такое исследование не проводим.

3. Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t = 17 по t = 20).

Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a (t), b (t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a (16) и b (16) можно определить прогнозные значения экономического показателя Yр (t), для t = 17 по формуле:

Yр (t + k) = [a (t) + k * b(t) ] v F (t + k - L)

Yр (17) = Yр(16 +1) = [a(16) + 1 * b(16)] * F(16+1 - 4) = [a(16) + 1 * b(16)] * F(13) = [ 51, 83 + 1 * 0,9 6] * 0, 885 = 46, 71

аналогично рассчитываются

Yр (18), Yр (19), Yр (20) :

Yр (18) = Yр (16 +2) = [ a(16) + 2 * b(16)] * F(16+2 - 4) = [ a(16) + 2 * b(16)] *

* F(14) = [ 51, 83 + 2 * 0, 96 ] * 1, 0819 = 58, 14

Yр (19) = Yр (16 +3) = [ a(16) + 3 * b(16)] * F(16+3 - 4) = [ a(16) + 3 * b(16)]* *F(15) = [ 51, 83 + 3 * 0, 96 ] * 1, 2708 = 69, 51

Yр (20) = Yр(16 +4) = [ a(16) + 4 * b(16) ] * F(16+4 - 4) = [ a(16) + 4 * b(16) ] *

* F(16) = [ 51,83 + 4 * 0, 96] * 0, 7757 = 43, 17

На нижеприведённом рисунке проводится сопоставление фактических и расчётных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) на 1 год вперёд. Из рисунка видно, что расчётные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.



Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, и %D.

Расчёты проводить для всех дней, для которых эти расчёты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	744	705	709
2	743	675	738
3	750	700	735
4	759	707	751
5	770	740	755
6	776	661	765
7	756	715	720
8	745	685	739
9	758	725	740
10	730	673	678

Решение:

Рассчитаем экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА)

Интервал сглаживания равен 5 дням.

Построим таблицу и заполним графу 2 имеющимися данными по цене закрытия.

В следующей таблице приведём в графе 3 расчёты 5 - дневной ЕМА

Приведём алгоритм расчёта.

Выбираем интервал сглаживания n (в нашем случае n = 5).

Вычислим коэффициент

К (К = 2 / (n + 1) = 2 / 6 = 0,33).

Вычислим ЕМА для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней. Сумму разделим на 5 и запишем в графу 3 за 5 день.

Перейдём на одну строку вниз по графе 3. Умножим на К данные по конечной цене, которую берём из графы 2 текущей строки. (Для 6 - го дня это будет 765 * 0,33 = 252,45.)

Данные по ЕМА за предыдущий день берём из предыдущей строки графы 3 и умножаем на (1- К). (Для 6 - го дня это будет 737,6 * 0,67 = 494,19).

Сложить результаты, полученные на предыдущих двух шагах (для 6 - го дня это будет 252,45 + 494,19 = 746,6). Полученное значение ЕМА записываем в графу 3 текущей строки.

Повторяем шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы.

Расхождение между ценой закрытия и ЕМА, мало, чем отличаются.

Рассчитаем момент (МОМ).

Интервал сглаживания равен 5 дням.

Момент рассчитывается, как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад:

МОМ t = C t - C t -n.

Построим таблицу и заполним графу 2 имеющимися данными по цене закрытия, а графу 3 по формуле момента.

Построим по данным таблицы график:

Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные - о снижении. График момента пересекает нулевую линию в районе 6 - 7 дней.

Рассчитаем скорость изменения цен (ROC).

Интервал сглаживания равен 5 дням.

Это похожий на МОМ индикатор, который рассчитывается, как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

Построим таблицу и заполним графу 2 имеющимися данными по цене закрытия, а графу 3 по формуле скорости изменения цен.



Построим по данным таблицы график:

Таким образом, ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Графическое отображение и правила работы ничем не отличаются от MOM. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Этот индикатор также показал несколько запоздавший сигнал к продаже в районе 6 - 7 дней.

Рассчитаем индекс относительной силы (RSI).

Интервал сглаживания равен 5 дням.

Значение RSI изменяются от 0 до 100. Этот индикатор может подавать сигналы либо одновременно с разворотом цен, либо с опережением, что является его важным достоинством. Для расчёта применяют формулу:



где AU - сумма приростов конечных цен за n дней; AD - сумма убыли конечных цен за n дней.

Рассчитывается RSI следующим образом.

Выбираем интервал n (n = 5).

Начиная со 2-го дня до конца таблицы, выполняем следующую процедуру. Вычитаем из конечной цены текущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то её записываем в графу 3. Абсолютное значение разности записываем в графу 4.

С 6-го дня и до конца таблицы заполняем графы 5 и 6. Для этого складываем значение из графы 3 за последние n дней (включая текущий) и полученную сумму записываем в графу 5 (величина AU).

Аналогично находим суммы убыли конечных цен по данным графы 4 и записываем в графу 6 (величина AD).

Зная AU и AD, по нашей формуле рассчитываем значение RSI и записываем в графу 7.

Данные наших вычислений приведены в таблице:

Построим по данным таблицы график:



5. Рассчитаем стохастические линии (% R, % K, % D).

Если MOM, ROC и RSI используют только цены закрытия, то стохастические линии строятся с использованием более полной информации. При их расчёте используются также максимальные и минимальные цены. Чаще всего используют следующие кривые: % K, % D, медленная % D и % R.

Найдём значение наших кривых по следующим формулам:

% Kt = 100 * (Ct - L5) / (H5 - L5),

% Rt = 100 * (H5 - Ct) / (H5 - L5).

Смысл индексов % K и % R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной, а при падении цен наоборот - ближе к минимальной. Индексы % K и % R проверяют, куда больше тяготеет цена закрытия. При расчёте % K разность между ценой закрытия текущего дня и минимальной ценой за 5 дней сравнивают с размахом цен за эти же 5 дней. В случае расчёта % R с размахом цен сравнивают разность между максимальной ценой за 5 дней и ценой закрытия.

Индекс % D рассчитывается аналогично индексу % K, с той лишь разницей, что при его построении величины (Ct - L5) и (H5 - C5) сглаживают, оперируя их трёхдневной суммой:

Ввиду того, что % D имеет большой статистический разброс, строят ещё её трёхдневную скользящую среднюю - медленное % D.

Расчёт данных индексов приведён в таблице:

В графах 1 - 4 приведены дни по порядку и соответствующие им цены (максимальная, минимальная и конечная).

Начиная с 5-го дня в графах 5 и 6 записываем максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней, включая текущий.

В графе 7 записываем (Ct - L5) - разность между данными графы 4 и графы 6.

Графу 8 составляют значения разности между данными графы 5 и графы 4, т.е. результат разности (H5 - Ct).

Размах цен за 5 дней (H5 - L5) - разность между данными графы 5 и графы 6 записываем в графу 9.

Рассчитанные по формуле значения % K заносим в графу 10.

В графу 11 заносим значения % R, рассчитанные по формуле.

Шаги 2 - 7 повторяем до конца таблицы.

Для расчёта % D, начиная с 7-й строки, складываем значения (Ct - L5) из графы 7 за 3 предыдущих дня, включая текущий (t = 5, 6 и 7), и записываем в графе 12. Аналогично значения размаха (H5 - L5) из графы 9 складываем за 3 предшествующих дня и заносим в графу 13.

По формуле, используя данные граф 12 и 13, рассчитывают % D и записывают в графе 14.

Шаги 9 и 10 повторяют до конца таблицы.

Медленное % D находим как скользящую среднюю от % D (данные берут из графы 14) с интервалом сглаживания, равным трём. Результаты записываем в графе 15.

Задание 3

Выполнить различные коммерческие расчёты, используя данные, приведённые в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлет - время в годах, i - ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчёты.

Вариант	Сумма	Дата начальная	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	Ставка	Число начислений
	S	Tн	Тк	Тдн	Тлет	i	m
4	2000000	16.01.02	14.03.02	180	4	25	2

Задание 4

Банк выдал ссуду, размером 2 000 000 руб. Дата выдачи ссуды - 16.01.02 г, возврата - 14.03.02 г. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 25 % годовых. Найти:

точные проценты с точным числом дней ссуды;

обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды.

Решение:

Исходные данные:

Начальное значение PV = 2 000 000

Дата выдачи 16.01.02 г.

Дата возврата 14.03.02 г.

День выдачи и возврата = 1

Годовая процентная ставка i = 25%

Найти:

точные % с точным числом дней ссуды;

обыкновенные % с точным числом дней ссуды;

обыкновенные % с приближённым числом дней ссуды.

FV = PV · (1 + t / T · i)

FV = 2 000 000 · (1 + 57 / 365 · 0,25) = 2 078 082,19

FV = 2 000 000 · (1 + 57 / 360 · 0,25) = 2 079 166,67

FV = 2 000 000 · (1 + 90 / 360 · 0,25) = 2 125 000

I = FV - PV

1) I = 2 078 082, 19 - 2 000 000 = 78 082, 19

2) I = 2 079 166, 67 - 2 000 000 = 79 166, 67

3) I = 2 125 000 - 2 000 000 = 125 000

Задание 5

Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 2 000 000 руб. Кредит выдан под 25% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение:

Исходные данные:

Наращенная сумма FV = 2 000 000

Количество дней n = 180

Годовая процентная ставка i = 25%

Найти:

Начальное значение PV

Величину дисконта D

Поскольку срок ссуды < года, то используем формулу простых %

PV = FV · 1 / (1 + t / T · i)

PV = 2 000 000 · 1 / (1 + 180 / 360 · 0,25) = 1 777 778

D = FV - PV

D = 2 000 000 - 1 777 778 = 222 222

Таким образом, первоначальная сумма долга составила 1 777 778 руб., а дисконт за 180 дней 222 222.

Задание 6

Через 180 дней предприятие должно получить по векселю 2 000 000 руб. Банк приобрёл этот вексель с дисконтом. Банк учёл вексель по учётной ставке 25 % годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение:

Исходные данные:

Наращенная сумма FV = 2 000 000

Количество дней n = 180

Годовая процентная ставка = 25% (врем. база 360 дней)

Найти:

Начальное значение PV

Величину дисконта D

D = FV · n · d = FV · t / T ·d

D = 2 000 000 · (180 / 360) · 0,25 = 250 000

Найдём сумму, полученную предприятием

PV = FV - D

PV = 2 000 000 - 250 000 = 1 750 000

Задание 7

В кредитном договоре на сумму 2 000 000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 25 % годовых. Определить наращенную сумму.

Решение:

Исходные данные:

Начальное значение PV = 2 000 000

Срок проведения операции (лет) n = 4 года

Номинальная процентная ставка i = 25 %

Найти:

Наращенную сумму FV

Количество периодов начисления:

N = m · n

N = 2 · 4 = 8

Наращенная сумма составляет:

FV = PV · (1 + i) n

FV = 2 000 000 · (1 + 0,25) 4 = 4 882 812

Задание 8

Ссуда, размером 2 000 000 руб. предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка - 25 % годовых. Проценты начисляются 2 раза в год. Вычислить наращенную сумму.

Решение:

Исходные данные:

Начальное значение PV = 2 000 000

Срок проведения операции (лет) n = 4 года

Номинальная процентная ставка j = 25 %

Периоды начисления m = 2

Найти:

Наращенную сумму FV

Количество периодов начисления:

N = m · n

N = 2 · 4 = 8

Наращенная сумма составляет:

FV = PV · (1 + j / m) N

FV = 2 000 000 · (1 + 0,25 / 2) 8 = 5 131 569

Задание 9

Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 25 % годовых.

Решение:

Исходные данные:

Периоды начисления m = 2

Номинальная процентная ставка j = 25 %

Найти:

Эффективную ставку i

i = (1 + j / m)m - 1

i = (1 + 0,25 / 2)2 - 1 = 0,265625, т.е. ? 27 %

Задание 10

Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в год, чтобы обеспечить эффективную ставку 25 % годовых.

Решение:

Исходные данные:

Периоды начисления m = 2

Эффективная ставка i = 25 %

Найти:

Номинальную процентную ставку j

j = m · [ (1 + i) 1 / m - 1 ]

j = 2 · [ (1 + 0,25) 1 / 2 - 1 ] = 0,23607, т.е. ? 24 %

Задание 11

Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 2 000 000 руб. Определить её современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 25 % годовых.

Решение:

Исходные данные:

Начальное значение PV = 2 000 000

Срок проведения операции (лет) n = 4 года

Годовая процентная ставка i = 25 %

Найти:

Современную стоимость FV

FV = PV · (1+ i) n = PV · K n

FV = 2 000 000 · 0, 4096 = 819 200

Задание 12

Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 2 000 000 руб. Банк учёл вексель по сложной учётной ставке 25 % годовых. Определить дисконт.

Решение:

Исходные данные:

Наращенная сумма FV = 2 000 000

Срок проведения операции (лет) n = 4 года

Дисконтная величина векселя d = 25 %

Найти:

Дисконт D

PV = FV · (1 - d)n

PV = 2 000 000 · (1 - 0,25)4 = 632 812, 50

D = FV - PV

D = 2 000 000 - 632 812, 50 = 1 367 187, 50

Задание 13

В течение 4 лет на расчётный счёт в конце каждого года поступает по

2 000 000 руб., на которые 2 раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 25 % . Определить сумму на расчётном счёте к концу указанного срока.

Решение:

Исходные данные: Размер очередного платежа R = 2 000 000

Номинальная ставка j = 25 % Срок ренты n = 4

Периоды начисления m = 2

Найти: Наращенную сумму ренты FVA

FVA = R · [ (1 + j / m)mn - 1 ] / [ (1 + j / m)m - 1 ]

FVA = 2 000 000 · [ (1 + 0,25 / 2) 8 - 1 ] / [ (1 + 0,25 / 2)2 - 1 ] = 11 800 000

Размещено на Allbest.ru