Розробка методів дослідження робастної стійкості руху керованих систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут прикладної математики і механіки

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.02.01. - Теоретична механіка

РОЗРОБКА МЕТОДІВ ДОСЛІДЖЕННЯ РОБАСТНОЇ СТІЙКОСТІ РУХУ КЕРОВАНИХ СИСТЕМ

САВРАНСЬКА АЛЛА ВОЛОДИМИРІВНА

Донецьк - 2001

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Більшість систем керування (сукупність об'єкту керування і керуючого пристрою) є значною мірою невизначеними. Невизначеності істотньо впливають на працездатність систем керування і можуть призвести до її втрати. У зв'язку з цим дуже важливою задачею при дослідженні працездатності систем керування є задача дослідження робастної стійкості їх руху (робастності). Під “робастністю”, взагалі кажучи, мається на увазі здатність системи керування зберігати стійкість в умовах параметричної невизначеності

Проблема розробки методів дослідження систем керування, що мають властивість робастності, далека від розв'язання. Про це свідчить зростаючий потік публікацій за даною тематикою.

Досліджувані в даній роботі системи керування описуються сингулярно збуреними системами звичайних диференціальних рівнянь. Дослідженням поведінки розв'язків сингулярно збурених систем присвячена велика кількість робіт таких авторів, як А.Н. Тихонов, І.С. Градштейн, А.Б. Васильєва, В.Ф. Бутузов, Ф. Хоппенштадт, А.І. Климушев, Н.Н. Красовський, Н.Н. Моісєев, А.А. Мартинюк, Л.Т. Груич, І.В. Бурков, Е.М. Геращенко, С.М. Геращенко, P.V. Kokotovic, H.K. Khalil, J. O'Reilly, G. Leitmann, M. Corless, F. Garofalo, K. Khorasani.

Одним з найбільш важливих моментів дослідження сингулярно збурених рівнянь стосовно систем керування є дослідження асимптотичної стійкості їх розв'язків. Однак при вивченні поведінки розв'язків систем керування важливо не тільки дослідити стійкість цих розв'язків, але й оцінити розміри їх області притягнення, тобто провести дослідження стійкості у великому. Внаслідок дії збурень на систему керування в більшості випадків неможливо забезпечити асимптотичну стійкість програмних рухів. Тому важливим є розмір околу програмного руху у просторі станів, в який гарантовано входять розв'язки.

Дослідженням стійкості у цілому та великому розв'язків сингулярно збурених систем присвячено багато робіт. У більшості цих робіт приведені теореми, сформульовані для вузького класу сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь. Окрім того, в доведенні цих теорем використовуються функції Ляпунова спеціального виду, які застосовані для дослідження стійкості розв'язків рівнянь конкретного розглядуваного класу і звичайно неприйнятні для інших типів рівнянь. У той ж час, практика автоматичного керування висуває вимоги розробки методів дослідження робастної стійкості руху для широкого класу систем керування, які описуються за допомогою нелінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з не повністю відомими правими частинами.

Розробці таких методів і присвячена подана дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках держбюджетної теми № 0197U015128 “Розробка методів синтезу і аналізу робастних систем управління” за замовленням Міністерства освіти і науки України.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є розробка методів дослідження робастної стійкості розв'язків сингулярно збурених систем, за допомогою яких описуються системи керування зі спостерігачами, які широко використовуються в робототехніці, при дослідженні динаміки космічних апаратів та в інших областях техніки.

Об'єкт дослідження. Комбіновані системи керування зі спостерігачами вектору стану і вектору невизначеності.

Предмет дослідження. Робастно стійкі системи керування, які описуються за допомогою нелінійних неавтономних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з малими збуреннями правих частин.

Методи дослідження. До аналізу систем керування, які розглядаються у даній роботі, застосовуються методи сучасної теорії автоматичного керування.

При дослідженні стійкості розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь застосовується прямий метод Ляпунова, метод сингулярних збурень.

Для ілюстрації розробленої теорії наводяться результати чисельного моделювання зі застосуванням теорії чисельних методів.

Достовірність одержаних в дисертації результатів підтверджується співпадінням результатів дослідження, отриманих розробленими методами, з результатами, отриманими відомими методами для частинних випадків, а також з результатами чисельного моделювання.

Наукова новизна роботи:

розроблено метод дослідження робастної стійкості розв'язків сингулярно збурених систем з неповністю визначеними правими частинами;

доведена теорема, яка узагальнює теорему Тихонова для систем сингулярно збурених рівнянь на випадок, коли праві частини систем містять не повністю відомі малі за абсолютною величиною збурюючі функції;

доведена теорема, яка узагальнює теорему Климушева-Красовського про рівномірну асимптотичну стійкість розв'язків сингулярно збуреної системи на випадок, коли на систему діють зовнішні збурення, малі за абсолютною величиною;

доведена теорема про рівномірну асимптотичну стійкість у великому розв'язків системи сингулярно збурених рівнянь з постійно діючими збуреннями;

знайдені умови робастної стійкості руху системи керування зі спостерігачем вектора невизначеності;

одержані умови робастної стійкості руху системи керування зі спостерігачем повного порядку;

сформульовані умови робастної стійкості руху системи керування з розширеним спостерігачем;

розв'язана задача стабілізації за допомогою неконсервативних позиційних сил руху механічної системи, на яку діють дисипативні, гіроскопічні та потенційні сили; приведена оцінка в фазовому просторі області притягнення.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати були використані у Запорізькому державному технічному університеті при аналізі динаміки космічного апарату “Січ-2” та використовуються при дослідженні динаміки електроприводів.

Особистий внесок здобувача. По матеріалам дисертації опубліковано 11 робіт, з яких 5 статей у наукових журналах, 6 публікації у збірниках тез конференцій.

У статті [1] здобувачу належить формулювання та доведення теореми.

У статті [2] - побудова спостерігача вектору стану, регулятора, умови робастної стійкості руху комбінованої системи та твердження.

У статті [3] умови робастної стійкості руху системи керування зі спостерігачем вектору невизначеності, побудова спостерігача та регулятора, твердження.

У статті [4] теорема та її доведення.

У статті [5] здобувачу належить доведення теореми.

Апробація результатів дисертації. Результати, представлені в дисертації, по мірі їх отримання доповідались та обговорювались на наступних наукових конференціях і семінарах: IV і V Кримських Міжнародних Математичних Школах “Метод функцій Ляпунова та його застосування” (Алушта - 1998, 2000), П'ятій Українській конференції з автоматичного управління “Автоматика 98” (Київ - 1998), Міжнародній конференції “Моделювання і дослідження стійкості динамічних систем” (Київ - 1999, 2001), Міжнародній конференції “Диференціальні та інтегральні рівніння” (Одеса - 2000), на семінарі “Актуальные проблемы механики и геометрии” механіко-математичного факультету Московського державного університету ім. М. В. Ломоносова (Москва, листопад 1999, науковий керівник семінару доктор фізико-математичних наук Д. В. Георгієвський), щорічних наукових конференціях професорсько-викладацького складу Запорізького державного університету, науковому семінарі кафедри математичного аналізу Запорізького державного університету - науковий керівник доктор технічних наук, професор С.Ф. Шишканова.

Публікації. За результатами досліджень, проведених у дисертації, опубліковано 11 робіт, з них 5 статей у наукових журналах, 6 публікацій у збірниках тез конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація загальним обсягом 125 сторінок машинописного тексту складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку літератури, який містить 130 найменуваннь.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

робастний керування вектор невизначеність

Перший розділ “СТАН В ОБЛАСТІ ДОСЛІДЖЕННЯ РОБАСТНОЇ СТІЙКОСТІ РУХУ” складається з трьох підрозділів. В підрозділі 1.1 дається огляд різних означень робастної стійкості, які зустрічаються в літературі, і сформульоване означення, прийняте в даній роботі.

Означення 1. Програмний рух системи

,

де неперервна, задовольняюча умови теореми про існування та єдиність розв'язків, не повністю відома вектор - функція, є робастно стійким, якщо існує закон керування такий, що розв'язок замкненої системи

є практично стійким.

Означення 2. Система називається робастною, якщо поведінка її програмного руху відповідає означенню 1.

У підрозділі 1.2 зроблено огляд методів дослідження робастної стійкості розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь. Стисло оглянуті роботи попередників, вказані питання, які залишилися невирішеними, визначено місце даної роботи в розв'язанні проблеми, а також сформульовані задачі дисертації.

Перший розділ в дисертації, як і всі наступні, закінчується висновками з даного розділу.

Другий розділ “РІВНЯННЯ, ЯКІ ОПИСУЮТЬ РОБОТУ РОБАСТНИХ КОМБІНОВАНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ” складається з п'яти підрозділів.

В підрозділі 2.1 описаний принцип дії та структура систем керування зі спостерігачами.

В підрозділі 2.2 розглядається абстрактна система (об'єкт регулювання)

(1)

(2)

,(3)

де підвектори повільних та підвектор швидких складових вектора стану розмірностей відповідно ; малий додатний параметр; и неперервні вектори та матриці, які мають неперервні обмежені похідні за всіма аргументами в деякій відкритій області простору змінних , матриці і обертовні; неперервний за всіма аргументами обмежений вектор невизначеності розмірності , який задовольняє умови теореми про існування та єдиність розв'язків, ; відомі матриці розподілу елементів вектора по скалярних диференціальних рівняннях системи, вектор керування.

Для системи (1) - (2) виконується умова узгодженості

,(4)

де деяка відома матриця.

Формується вектор вимірювання у вигляді

.(5)

Побудовано спостерігач вектору невизначеності

,(6)

і регулятор

,(7)

де матриця коефіцієнтів підсилення спостерігача, оцінка вектора , вектор, який задається.

В підрозділі 2.4 розглядається система рівнянь, за допомогою якої можна описати рух роботів, космічних апаратів та інших машин з урахуванням пружності конструкції і зчленувань

,(18)

,(19)

,(20)

де і вектори стану повільних (без урахування пружності) та швидких (що враховують пружність) процесів відповідно; малий параметр (); вектори керування і вимірювання відповідно, ; сталий вектор.

Матриці - функції та вектори-функції неперервні, -разів неперевно диференційовні за , мають неперервні обмежені похідні -го порядку. Вектор-функція неперервна, -разів неперевно диференційовна за і , має неперервні обмежені частинні похідні -го порядку за і .

Третій розділ “РОЗРОБКА МЕТОДІВ ДОСЛІДЖЕННЯ РОБАСТНОЇ СТІЙКОСТІ РУХУ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ” складається з чотирьох підрозділів.

У підрозділі 3.1 розглядається сингулярно збурена система “тихоновського” типу (29), (30) при постійно діючих невідомих збуреннях , з початковими умовами

,.(31)

Дослiджується поведінка розв'язку задачі (29) (30) на сегментi . Якщо покласти в (29), (30) , одержимо систему

(32)

,(33)

яка за термінологією А.Н. Тихонова називається виродженою системою.

Порядок системи (32), (33) нижче, нiж порядок початкової системи. Для системи (32), (33) задаться менша кiлькiсть початкових умов, а саме

.(34)

З (33) одержимо

.(35)

Підстановка (35) в (32) дає систему

.(36)

, взагалi кажучи, не задовольняє початкову умову (31) для , тобто , і тому принаймні в деякому околі початкової точки розв'язок виродженої системи не близький до розв'язку початково системи (29), (30).

Доведена теорема 1, згідно з якою при досить малих значеннях параметру розв'язок системи (29), (30) за скінченний інтервал часу входить у малий окіл розв'язку виродженої системи, причому розмір околу пропорційний .

Теорема 1 є модифікацією відомої теореми Тихонова для сингулярно збурених систем на випадок, коли на систему діють невідомі збурення. Тому у формулювання теореми додана умова:

існують сумовні функції та і сталі та такі, що в області мають місце нерiвностi

,,(37)

,.

В підрозділі 3.2 система (29), (30) розглядається при початкових умовах, які взяті з малого околу розв'язку виродженої системи, а саме

Теорема 2 є модифікацією відомої теореми Клімушева - Красовського про рівномірну асимптотичну стійкість розв'язків сингулярно збурених систем на випадок, коли на систему діють малі не повністю відомі збурення. У формулювання теореми 2 додані дві умови, які відсутні в теоремі Клімушева - Красовського:

Доведення проводиться з використанням прямого методу Ляпунова.

В підрозділі 3.3 на підставі теорем 1 і 2 сформульована теорема 3, згідно з якою незбурений розв'язок системи (29), (30) є рівномірно асимптотично стійким у великому відносно незбуреного розв'язку виродженої системи (32), (33).

Доведення проводиться у два етапи:

за умов теореми 1 розв'язок системи (29), (30) при початкових умовах з області за скінченний час потрапляє в малий окіл незбуреного розв'язку виродженої системи;

згідно з теоремою 2 розв'язок системи (29), (30) є рівномірно асимптотично стійким з початковими умовами зі вказаного околу.

Це дає рівномірну асимптотичну стійкість у великому розв'язків системи (29), (30) відносно незбуреного розв'язку виродженої системи (32), (33).

У розділі 4 “ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ РОБАСТНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ” розв'язки сингулярно збурених систем, отриманих у другому розділі, досліджуються на робастну стійкість з використанням апарату, який описаний у розділі 3.

У підрозділі 4.1 доведено твердження 1, згідно з яким для спостерігача (6) і регулятора (7) завжди можна підібрати матрицю і вектор такі, що програмний розв'язок повної системи керування (1) (3), (6), (7) буде робастно стійким.

У підрозділі 4.2 доведено твердження 2, згідно з яким для спостерігача (14) і регулятора (15) завжди можна підібрати матриці коефіцієнтів і такі, що програмний розв'язок повної системи керування (12) (15) буде робастно стійким.

У підрозділі 4.3 доведено твердження 3, згідно з яким для спостерігача (21), (22) і регулятора (26) завжди можна підібрати матриці коефіцієнтів і такі, що програмний розв'язок повної системи керування (18) (22), (26) є робастно стійкий.

У підрозділі 4.4 як ілюстрація ефективності розробленого в підрозділі 4.3 методу представлений синтез системи керування і чисельне моделювання динаміки одноланцюгового пружного робота з невідомими масово-інерційними характеристиками транспортованого вантажу. Чисельне моделювання повністю підтвердило теоретичні положення.

У розділі 5 “ДОСЛІДЖЕННЯ РОБАСТНОЇ СТІЙКОСТІ ЛАГРАНЖЕВИХ СИСТЕМ” розглядаються системи, рівняння руху яких подані у вигляді матричних рівнянь другого порядку (лагранжеві системи). Показано, що для більшості динамічних об'єктів таке подання є більш природним, ніж представлення у формі Коші. При зведенні матричних рівнянь другого порядку до форми Коші втрачається розрідженість, симетричність матриць і фізичний зміст їх елементів, а розмірність матриць збільшується у 2 рази. Відомо, що для одного й того ж об'єкту керування об'єм обчислень при інтегруванні рівнянь руху у вигляді системи рівнянь другого порядку у декілька разів менше, ніж для рівнянь першого порядку. Крім того, критерії стійкості для лагранжевих систем більш прості. Для лагранжевих систем часто роль функції Ляпунова або її частини може грати повна енергія системи (сума кінетичної і потенціальної енергій).

В підрозділі 5.1 розглядаються рівняння збуреного руху механічної системи, на яку діють дисипативні, гіроскопічні і потенційні сили. Розв'язана задача стабілізації руху цієї системи неконсервативними позиційними силами. Наведена оцінка у фазовому просторі області притягнення, яка виражена в термінах самої системи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

В дисертації розроблені методи синтезу і аналізу робастних систем керування, робота яких описується нелінійними параметрично і структурно невизначеними сингулярно збуреними рівняннями. Зокрема, в ній отримані наступні основні результати:

1. Потапенко Е.М., Савранська А.В. Узагальнення теореми Тихонова для сингулярно-збудженої системи // Вісник Запорізького университету. - 1998. № 1. -С. 61-65.

2. Потапенко Е.М., Савранська А.В. Дослідження робастної стійкості комбінованої системи з нерозширеним спостерігачем // Вісник Запорізького университету. - 1999. № 1. -С. 90-93.

3. Потапенко Е.М., Савранська А.В. Дослідження робастної стійкості системи управління зі спостерігачем вектора невизначеності // Вісник Запорізького университету. - 1999. № 2. - С.108-113.

4. Потапенко Е.М., Савранська А.В. Рівномірна асимптотична стійкість сингулярно-збудженої системи при постійно діючих збудженнях // Вісник Київського університету. - 1999. № 4. - С.55-59.

5. Агафонов С.А., Савранская А.В. Стабилизация движения механических систем неконсервативными позиционными силами с оценкой области притяжения // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия “Естественные науки”. 1999. №1. С 70 - 75.

6. Потапенко Е.М., Савранская А.В. Устойчивость в целом и большом сингулярно возмущенной системы при постоянно действующих возмущениях // Тезисы докладов IV Крымской Международной Математической Школы “Метод функций Ляпунова и его приложения”. - Алушта. - 1998. - С. 58.

7. Potapenko Y. M., Savranskaya A.V. Research of robust stability of control systems with the observer of the vector of uncertainty// Thesis of international conference “Dynamical systems modelling and stability investigation”. - Kyiv. - May 25-29,1999. - P. 109.

8. Potapenko Y. M., Savranskaya A.V. Research of robust stability of control systems with the observer of the state vector // Thesis of international conference “Dynamical systems modelling and stability investigation”. - Kyiv. - May 25-29,1999. - P. 110.

9. Потапенко Е.М., Савранская А.В. Равномерная асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных систем в целом и большом// Тезисы докладов Международной конференции “Дифференциальные и интегральные уравнения”. - Одесса. - 2000. - С. 234-235.

10. Агафонов С.А., Савранская А.В. Стабилизация движения механических систем неконсервативными позиционными силами с оценкой области притяжения // Тезисы докладов V Крымской Международной Математической Школы “Метод функций Ляпунова и его приложения”. - Алушта. - 2000. - С. 20.

11. Савранская А.В. Оценка верхней границы малого параметра в исследовании устойчивости решений сингулярно возмущенной системы при постоянно действующих возмущениях // Тезисы докладов международной конференции “Dynamical systems modelling and stability investigation”. - Kyiv. - 2001. - P. 92.

Размещено на Allbest.ru