Финансовая математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«Финансовый университет при правительстве РФ»

Уфимский филиал

Кафедра математики и информатики

Контрольная работа

По дисциплине Финансовая математика

Выполнила: Давлетбаева ЕА

Студентка 4-го курса.

Факультет: финансово-кредитный

Специальность: финансы и кредит

Личное дело 10ффд 13207

Проверил: Голичев И.И.

Уфа 2013

1. Задание 1

цена банковский ссуда дисконт

Имеются данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года - всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года (таблица 1.1).

Таблица 1.1 Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	38	48	57	37	40	52	63	38
t	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	44	56	67	41	49	60	72	44

Требуется:

Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ; ; .

Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;

нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель с первым восьми значениям заданного временного ряда y (t) (табл. 2).

Линейная модель имеет вид: . Оценим коэффициенты линейной модели а(0) и b(0) с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Таблица 1.2 Расчет коэффициентов линейной модели

	t
	1 2 3 4 5 6 7 8	38 48 57 37 40 52 63 38	-8,625 1,375 10,375 -9,625 -6,625 5,375 16,375 -8,625	-3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5	12,25 6,25 2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 12,25	30,1875 -3,4375 -15,5625 4,8125 -3,3125 8,0625 40,9375 -30,1875
Сумма	36	373			42	31,5
Сред. знач.	4,5	46,625

Определим значения коэффициентов нашей линейной модели по формулам:

;

;

;

.

Подставив исходные данные, получим:

;

;

.

Линейная модель с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

.

Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями заданного временного ряда (табл. 3).

;

;

;

;

;

;

;

.

Таблица 1.3 Значения заданного временного ряда и расчетной модели

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	38	48	57	37	40	52	63	38
Yp(t)	44	44,75	45,5	46,25	47	47,75	48,5	49,25

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3) , F(-2) , F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому.

F(-3) = [Y(1)/Yp(1) + Y(5)/Yр(5)]/2 = [38/44 + 40/47]/2 = [0,8636 + 0,8511]/2 = 0,8573;

F(-2) = [Y(2)/Yp(2) + Y(6)/Yр(6)]/2 = [48/44,75 + 52/47,75]/2 = [1,0727 + 1,0890]/2 = 1,0809;

F(-1) = [Y(3)/Yp(3) + Y(7)/Yр(7)]/2 = [57/45,5 + 63/48,5]/2 = [1,2527 + 1,2990]/2 = 1,2758;

F(0) = [Y(4)/Yp(4) + Y(8)/Yр(8)]/2 = [37/46,25 + 38/49,25]/2 = [0,8 + 0,7716]/2 = 0,7858.

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд - сезонный временной ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Где k - период упреждения;

- расчетное значение экономического показателя для t-го периода.

, , - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода членов ряда с номером t-1 к t.

- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных - L=12).

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта - Уинтерса.

Параметры сглаживания имеют значения ; ; и обеспечивают удовлетворительную адекватность и точность модели.

Тогда для момента времени t = 0 , k = 1 имеем:

При моменте времени t = 1 имеем:

Для t = 1, k = 1 имеем:

;

Для момента времени t = 2 имеем:

Для t =2, k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 3 имеем:

45.43

Для t = 3, k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 4 имеем:

=46,4

Для t = 4, k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 5 имеем:

Для t = 5, k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 6 имеем:

=47,82

Для t = 6, k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 7 имеем:

= 48,95

Для t = 7, k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 8 имеем:

Для t = 8, k = 1 имеем

.

Для момента времени t = 9 имеем:

Для t = 9 k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 10 имеем:

Для t = 10, k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 11 имеем:

Для t = 11, k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 12 имеем:

Для t = 12, k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 13 имеем:

Для t = 13, k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 14 имеем:

Для t = 14, k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 15 имеем:

Для t = 15, k = 1 имеем:

.

Для момента времени t = 16 имеем:

Занесем полученные данные модели Хольта-Уинтерса в табл. 1.4.

2. Оценим точность нашей модели по средней относительной ошибки аппроксимации:

, .

E (t) = Y (t)-Y p (t);

E(1)=38-37,72=0,28;

E(2)=48-48,5= -0,50;

Аналогично рассчитаем последующие E(t). Результаты расчетов представим в таблице 1.4.

Для того чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда E(t) (разности - между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности).

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения , поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах в среднем не превышает 5%.

100%Чabs{E(t)}/Y(t);

1 относ. погр. = 100%Чabs (0,28/38) = 0,73;

2 относ. погр. = 100%Чabs (-0,50/48) = 1,05 и т.д.

Аналогично рассчитаем последующие относительные погрешности.

Суммарное значение относительных погрешностей составляет 28,36, что дает среднюю величину 28,36 / 16 = 3,34%.

Вывод: Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Точность построенной модели свидетельствуют о хороших прогностических свойствах модели, следовательно, условие точности выполнено, т.к. 3,34% < 5%.

Таблица 1.4 Модель Хольта - Уинтерса

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	E(t)	отн. погр.	точки поворота
0		43,25	0,750	0,79
1	38	44,10	0,78	0,86	37,72	0,28	0,73	-
2	48	44,74	0,74	1,08	48,50	-0,50	1,05	-
3	57	45,23	0,67	1,27	58,02	-1,02	1,79	1
4	37	46,26	0,77	0,79	36,07	0,93	2,52	1
5	40	46,87	0,73	0,86	40,44	-0,44	1,11	1
6	52	47,82	0,79	1,08	51,22	0,78	1,50	-
7	63	48,95	0,89	1,28	61,56	1,44	2,29	1
8	38	49,24	0,71	0,78	39,59	-1,59	4,18	1
9	44	50,39	0,84	0,87	42,76	1,24	2,81	1
10	56	51,38	0,89	1,09	55,48	0,52	0,92	-
11	67	52,30	0,90	1,28	66,83	0,17	0,25	-
12	41	53,00	0,84	0,78	41,53	-0,53	1,30	1
13	49	54,65	1,08	0,88	46,64	2,36	4,83	1
14	60	55,57	1,03	1,08	60,59	-0,59	0,99	1
15	72	56,50	1,00	1,28	72,46	-0,46	0,64	1
16	44	57,25	0,93	0,77	44,64	-0,64	1,47	-

Рис. 1 График остатков

3. Оценим адекватность построенной модели. Для оценки адекватности модели исследуемому процессу нужно, чтобы ряд остатков Е(t) обладал свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

Общее число поворотных точек р в данной задаче р = 10.

Вывод: Если количество поворотных точек p больше p kp, то условие случайности уровней выполнено. В этом случае p = 10 > p kp = 6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

б) независимости уровней ряда остатков по d-критерию и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r(1)=0,32:

- по d-критерию Дарбина-Уотсона:

.

d = 43,99 / 16,32 = 2,69;

Вывод: Величина d=2,69 >2, значит, имеет место отрицательная автокорреляция, поэтому необходимо уточнить величину d, вычитая из 4 величину d:

4-2,69=1,3

Полученное значение 1,3 сравним с d1=1,10 и d2=1,37.

Так как d2=1,1<d=1,3<1,37, значит уровни ряда E (t) остатков являются независимыми.

- по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

;

r (1) = -5,92 / 16,32 = -0,363.

Вывод: Модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения |-0,363|>0,32, значит, уровни ряда остатков нельзя считать независимыми.

в) нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию:

Рассчитаем значение R/S:

R/S = (Emax - Emin) / S;

где:

Emax - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

Emin - минимальное значение уровней ряда остатков E(t);

S - среднее квадратическое отклонение.

Emax = 2,36; Emin = -1,59;

Emax - Emin =2,36-(-1,59) = 3,95;

=1,035;

R/S = 3,95 / 1,035 = 3,816.

Вывод: Полученное значение R/S: 3,0 < 3,816 < 4,21; попадает в заданный интервал, значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности построения прогноза показателя Yp(t) на четыре квартала вперед.

4) Построим точечный прогноз на четыре шага вперед:

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Рассчитав значения a(16) и b(16)можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t). Для t=17 имеем:

Yp (17) = [a(16) +1Чb(16)]ЧF(13) = (57,25+1Ч0,93) Ч0,88=51,45;

Yp (18) = [a(16) +2Чb(16)]ЧF(14) = (57,25+2Ч0,93)Ч1,08=63,99;

Yp (19) = [a(16) +3Чb(16)]ЧF(15) = (57,25+3Ч0,93)Ч1,28=76,64;

Yp (20) = [a(16) +4Чb(16)]ЧF(16) = (57,25+4Ч0,93)Ч0,77=47,04.

5) Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные:

Рис. 2 Модель Хольта-Уинтерса

Вывод: Точность модели достаточно высокая, однако модель не является адекватной, т. к для нее выполняются не все свойства оценки качества (свойство независимости остатков не выполняется).

Использовать модель можно только в учебных целях.

2. Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней (таблица 2.1).

Таблица 2.1 Исходные данные о ценах

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
	H	L	C
1	663	605	610
2	614	577	614
3	639	580	625
4	625	572	574
5	600	553	563
6	595	563	590
7	608	590	598
8	610	573	580
9	595	575	595
10	600	580	580

Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

экспотенциальную скользящую среднюю;

момент;

скорость изменения цен;

индекс относительной силы;

%R, %К и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение:

1. Найдем экспоненциальную скользящую среднюю (EMA).

EMAt=CtK+EMAt-1(1-K),

где EMAt - значение экспоненциальной скользящей средней текущего дня t; Ct - цена закрытия t-го дня, - коэффициент. Интервал сглаживания n = 5.

К=2/(n+1)=2/(5+1)=0,33

При расчете EMA учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания.

Найдем среднее значение с 1 по 5 день:

EMA5= MA5= (610+614+625+574+563)/5=597,2

k=2/ (5+1) =1/3

EMA6= 1/3 Ч 590+ (1-1/3) Ч597,2 =594,8

EMA7=1/3 Ч 598+ (1-1/3) Ч594,8 =595,8

EMA8=1/3Ч 580 + (1-1/3) Ч 595,8 = 590,6

EMA9= 1/3Ч595+ (1-1/3) Ч 590,6 = 592,0

EMA10=1/3Ч580+ (1-1/3) Ч 592,0 = 588,0

Рис. 3 Экспоненциальная скользящая средняя

Вывод: с 5 по 6 день EMA(t) выше, чем C(t), тренд восходящий - рекомендуется продажа; с 6 по 7 день пересечение EMA(t) с C(t)-сигнал разворота; с 7 по 8 день EMA(t) выше C(t), тренд нисходящий - рекомендуется покупка; с 8-по 9 день EMA(t) ниже C(t), тренд восходящий - рекомендуется продажа; с 9 по 10 день EMA(t) выше C(t), тренд нисходящий - рекомендуется покупка.

2. Вычислим момент (MOM)

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня Ct и цены n дней тому назад Ct-n.

Рассчитываем по формуле:

MOM t = Ct - C t-n,

где МОМt - значение момента текущего дня t, Сt - цена закрытия t-го дня, Ct-n - цена закрытия n дней назад. В итоге получим следующие значения момента:

МОМ 6= 590 - 610= -20

МОМ 7= 598 - 614= -16

МОМ 8= 580 - 625= -45

МОМ 9= 595 - 574 = 21

МОМ 10= 580 - 563 = 17

Рис. 4 Момент

Вывод: с 6 по 9 день момент ниже 0-го уровня, следовательно, тренд нисходящий - рекомендуется продажа; с 9 по 10 день момент выше 0-го уровня, тренд восходящий - рекомендуется покупка.

3. Вычислим скорость изменения цен (ROC).

Рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

,

где ROCt - значение скорости изменения цен текущего дня t, Сt - цена закрытия t-го дня, Ct-n - цена закрытия n дней назад.

ROC 6= 590/ 610Ч 100= 96,7

ROC 7= 598/ 614Ч 100= 97,4

ROC 8= 580/ 625Ч 100= 92,8

ROC 9= 595/ 574Ч 100= 103,6

ROC 10= 580 / 563Ч 100= 103,0.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5 Скорость изменения цен

Вывод: с 6 по 9 день ROC ниже линии 100%, следовательно, тренд нисходящий - рекомендуется продажа; с 9 по 10 день ROC выше линии 100%, тренд восходящий - рекомендуется покупка.

4. Рассчитаем индекс относительной силы (RSI)

Общим недостатком МОМ и ROC является из отставания от динамики рынка. Более своевременные сигналы можно получить с RSI.

Наиболее значимым осциллятором, расчет которого предусмотрен во всех компьютерных программах технического анализа, является индекс относительной силы.

RSI t - определяется соотношением:

где AV (AD)- сумма приростов (убыли) конечных цен за n дней.

Расчет выполняется для t >= n+1.

Алгоритм расчета:

1) Изменение цен начинаем со 2- го дня;

2) Выписываем положительные изменения - приросты,

отрицательные изменения (по модулю) - убыли;

3) Сумма приростов за n дней, от текущего назад. Сумма убыли за n дней, от текущего назад;

4) Расчет RSI по формуле.

Составим таблицу 2, дополнив таблицу 1 столбцами:

1) «Изменение цен» =Ct - Ct-1 (начиная со 2-го дня);

2) Приросты - положительные изменения, убыль - отрицательные изменения по модулю;

3) AU t,5 - суммы приростов по 5 дней, начиная с 6-го,

AD t,5 - суммы убылей по5 дней, начиная с 6-го;

4) По формуле вычисляем RSI.

Таблица 2.2 Расчет RSI

Дни t	Цены Ct	Изменение цен	Прирост	Убыль	AU t,5	AD t,5	RSI
1	610
2	614	4	4	0
3	625	11	11	0
4	574	-51	0	-51
5	563	-11	0	-11
6	590	27	0	27	15	-35	-75,00
7	598	8	8	0	19	-35	-118,75
8	580	-18	0	-18	8	-53	-17,78
9	595	15	0	15	8	13	38,10
10	580	-15	0	-15	8	9	47,06

«Изменение цен» = Ct - C t-1

Начинаем со 2-го дня

1) 2 день 614 - 610 = 4;

2) 3 день 625 - 614 = 11;

3) 4 день 574 - 625 = -51;

4) 5 день 563 - 574 = -11;

5) 6 день 590 - 563 = 27;

6) 7 день 598 - 590 = 8;

7) 8 день 580 - 598 = -18;

8) 9 день 595 - 580 = 15;

9) 10 день 580 - 595 = -15.

Б) Внесем в таблицу приросты и убыли.

В) Рассчитаем AU t,5

1) 6 день 4+11+27+0+0 = 42;

2) 7 день 42+8 = 50;

3) 8 день 4+11+27+8+0 = 50;

4) 9 день 4+11+27+8+0+15 = 65;

5) 10 день 4+11+27+8+0+15+0 = 65;

Г) Рассчитаем AD t,5

1) 6 день 0+0-51-11+0=-62;

2) 7 день 0-51-11+0=-62;

3) 8 день -51-11+0-18 = -80;

4) 9 день -51-11+0-18 +0 =-80;

5) 10 день -51-11+0-18 -15=- 95.

Д) Рассчитываем RSI

1) 6 день 100-100/ (1+42/62)=40,4;

2) 7 день 100-100/ (1+50/62)=44,6;

3) 8 день 100-100/ (1+50/80)=38,5;

4) 9 день 100-100/ (1+65/80)=44,8;

5) 10 день 100-100/(1+65/95)=40,6.



Рис. 6 Индекс относительной силы

Вывод: с 9- го по 10-й день - RSI от 25 до 75- значит в нейтральной зоне, следовательно, финансовые операции проводить можно, ориентируясь на сигналы других индексов.

5. Стохастические линии. %K, %R, %D.

При расчете стохастических линий используется не только цены закрытия (Ct), но и более полная информация - минимальные цены (Lt), максимальные цены (Ht), эти индексы дают более точную информацию.

Используются индексы %K, %R, %D.

Расчетные формулы:

;

;

;

где: Lt, n-минимальная из цен L, за последние n дней.

Ht, n-максимальная из цен H, за последние n дней.

Таблица 2.3 Расчет % K, %R, %D

Ct	Ht	Lt	Ht,5	Lt,5	Ct-Lt,n	Ht,n-Ct	Ht,n-Lt,n	%K	%R	Сум (C)	Сум (H)	%D
663	605	610
614	577	614
639	580	625
625	572	574
600	553	563	663	553	10	100	110	9,0909	90,9091
595	563	590	639	553	37	49	86	43,0233	56,9767
608	590	598	639	553	45	41	86	52,3256	47,6744	92	282	32,6241
610	573	580	625	553	27	45	72	37,5000	62,5000	109	244	44,6721
595	575	595	610	553	42	15	57	73,6842	26,3158	114	215	53,0233
600	580	580	610	563	17	30	47	36,1702	63,8298	86	176	48,8636

a) Найдем Ht, 5.

для 5-го из 663, 614, 639, 625, 600 дня максимальная цена = 663;

для 6-го дня из 614, 639, 625, 600, 595 максимальная цена = 639;

для 7-го дня из 639, 625, 600, 595, 608 максимальная цена = 639;

для 8-го дня из 625, 600, 595, 608, 610 максимальная цена = 625;

для 9-го дня из 600, 595, 608, 610, 595 максимальная цена = 610;

для 10-го дня из 595, 608, 610, 595, 600 максимальная цена = 610.

б) Найдем Lt,n.

для 5-го дня из 610, 614, 625, 574, 563 минимальная цена = 553;

для 6-го дня из 614, 625, 574, 563, 590 минимальная цена = 553;

для 7-го дня из 625, 574, 563, 590, 598 минимальная цена = 553;

для 8-го дня из 574, 563, 590, 598, 580 минимальная цена = 553;

для 9-го дня из 563, 590, 598, 580, 595 минимальная цена = 553;

для 10-го дня из 590, 598, 580, 595, 580 минимальная цена = 563.

в) Найдем разность Ct-Lt, 5:

для 5-го дня 563-553=10;

для 6-го дня 590-553=37;

для 7-го дня 598-553=45;

для 8-го дня 580-553=27;

для 9-го дня 595-553=42;

для 10-го дня 580-563=17.

г) Найдем разность Ht,n-Ct:

для 5-го дня 663-563=100;

для 6-го дня 639-590=49;

для 7-го дня 639-598=41;

для 8-го дня 625-580=45;

для 9-го дня 610-595=15;

для 10-го дня 610-580=30.

д) Найдем разность Ht,n-Lt,n:

для 5-го дня 663-553=110;

для 6-го дня 639-553=86;

для 7-го дня 639-553=86;

для 8-го дня 625-553= 72;

для 9-го дня 610-553=57;

для 10-го дня 610-563=47.

е) Рассчитаем %K:

для 5-го дня 10/110*100=9,0;

для 6-го дня 37/86*100=43,0;

для 7-го дня 45/86*100=52,3;

для 8-го дня 27/72*100=37,5;

для 9-го дня 42/57*100=73,6;

для 10-го дня 17/47*100=36,2.

ж) Рассчитаем % R:

для 5-го дня 100/110=90,9;

для 6-го дня 49/86*100=56,9;

для 7-го дня 41/86*100=47,7;

для 8-го дня 45/72*100=62,5;

для 9-го дня 15/57*100=26,3;

для 10-го дня 30/47*100=63,8.

з) Рассчитаем трехдневную сумму Ct-Lt,5:

для 7-го дня 10+37+45=92;

для 8-го дня 37+45+27=109;

для 9-го дня 45+27+42=114;

для 10-го дня 27+42+17=86.

и) Рассчитаем трехдневную сумму Ht,5-Lt,5:

для 7-го дня 110+86+86=282;

для 8-го дня 86+86+72=244;

для 9-го дня 86+72+57=215;

для 10-го дня 72+57+47=176.

к) Рассчитаем %D:

для 7-го дня 92/282*100=32,6;

для 8-го дня 109/244*100=44,7;

для 9-го дня 114/215*100=53,0;

для 10-го дня 86/176*100=48,9.

Рис. 7 График %D, %R, %K.

Вывод:

%K: 5 день - критическая зона, следовательно, нужно остановить операцию;

с 6 и 7 день - нейтральная зона - операция возможна.

8 день - критическая зона, ожидается разворот тренда.

9 день - критическая зона, разворот тренда.

10 день - нейтральная зона, операция возможна.

% R: 5 день - критическая зона, зона перепроданности.

с 6 по 7 день - нейтральная зона, операция возможна.

8 день - критическая зона, зона перекупленности.

9день - критическая зона, зона перепроданности.

10 день - нейтральная зона, операция возможна.

Сигналы % R совпадают с %K.

%D: 7 день в нейтральной зоне, операции возможны.

10 день операция возможна.

3. Задание 3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице 3.1. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, - время в годах, i - ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

3.1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - , возврата - . День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

3.2. Через дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

3.3. Через дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

3.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на лет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтоб обеспечить эффективную ставку i% годовых.

3.8. Через предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

3.9. Через по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

3.10. В течение на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной ставке i%.

Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

1. Формула наращения по простым процентам:

где: P- первоначальная сумма денег; (1+ni)- множитель наращения;

а) Рассчитаем точные проценты с точным числом ссуды:

; I = P it / K;

где: К - количество дней в году; t - срок ссуды в днях;

январь - 20 дней;

февраль - 28 дней;

март - 19 дней;

t = 67 дней;

I = 3500000 Ч 0,4 Ч 67 / 365 = 3756986 руб. 30 копеек

б) Рассчитаем обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

АСТ / 360;

t = 67 дней;

n = 67 / 360 = 0,136

I = 3500000 Ч 0,4 Ч 67 / 360 = 3760555 руб. 56 копеек

в) Рассчитаем обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

t = 68 дней;

n = 68 / 360 = 0,189;

I = 3500000 Ч 0,4 Ч 68 / 360 = 3764444 руб. 44 копейки

2. Рассчитаем первоначальную сумму и дисконт:

Для решения первоначальной суммы используем формулу:

где: P - первоначальная сумма; S - заданная сумма;

P = 3500000 / (1+ 0,4 Ч 0,186) = 3257497 рублей 41 копейка.

Для решения дисконта используем формулу:

где: D - дисконт суммы S;

D = 3500000 - 3257497,41 = 242502 рублей 58 копеек.

3. Рассчитаем полученную предприятием сумму и дисконт:

Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка d.

D = 0,1%

Рассчитаем полученную предприятием сумму по формуле:

P= 3500000 (1-0,4 Ч 0,189) = 3235555 руб. 56 копеек

Вычислим дисконт:

D = 3500000 - 3235555,56 = 264444 руб. 44 копейки

4. Определим наращенную сумму:

Для решения используем формулу:

где: S- наращенная сумма; i- годовая ставка сложных процентов;

n- срок ссуды;

= 18823840 рублей 00 копеек;

5. Вычислим наращенную сумму:

Начисление процентов ежеквартальное. Вычислим количество имеющихся кварталов:

N = 5 Ч 12 / 3 = 20 кварталов.

Наращенную сумму вычислим по формуле:

где: Р - первоначальная сумма; i - процентная ставка; m - число периодов начисления в году; N - число кварталов;

= 77000000 рублей 00 копеек.

6. Вычислим эффективную ставку:

Эффективная ставка вычисляется по формуле:

где: iэ - эффективная ставка;

= 0,4641, т.е. 46,41%.

7. Вычислим номинальную ставку:

Номинальная ставка вычисляется по формуле:

.

где: in - номинальная ставка;

= 0,351, т.е. 35,1%.

8. Определим современную стоимость:

>

=650770 рублей 51 копейка.

9. Определим дисконт:

В случае учета проценты снимаются с суммы S согласно ставки d.

Для сложной учетной ставки используем формулу:

где: d - сложная годовая учетная ставка;

= 272160 рублей 00 копеек.

Дисконт равен:

D = S - P;

D = 3500000 - 272160 = 3227840 рублей 00 копеек.

10. Определим сумму на расчетном счете к концу срока:

Расчет производится по формуле:

;

где: R - годовая сумма платежей; in - номинальная ставка процентов;

= 21367850 рублей 00 копеек.

Список литературы

Ковалев В.В. Введение в финансовый менеджмент. - М.: Финансы и статистика, 1999.

Ковалев В.В. Введение в финансовый менеджмент. - М.: Финансы и статистика, 1999.

Колмогоров А.Н., Журбенко Й.Г., Прохоров А.В. Введение а теорию вероятностей. - М., 1995.

Мельников А.В. Финансовые рынки: Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. - М.: Изд-воТВП, 1997.

Половников В.А. Финансовая математика: математическое моделирование финансовых операций. - М.: Вузовский учебник, 2004.

Самсонова Н.Ф. Финансовый менеджмент. - М.: Финансы, Юнити, 1999.

Стоянова Е.С. Финансовый менеджмент. - М.: Перспектива, 1999.

Размещено на Allbest.ru