Финансовые ренты и расчет параметров финансовых рент

3

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»

Контрольная работа

По курсу: Финансовая математика

Тема: Финансовые ренты и расчет параметров финансовых рент

Санкт-Петербург 2010

1. ПОНЯТИЕ ФИНАНСОВОЙ РЕНТЫ

Финансовые операции часто носят продолжительный характер и состоят не из разового платежа, а из их последовательности, т.е. из потока платежей. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом. В финансовом анализе для обозначения денежных потоков в наиболее общем смысле используется термин рента.

Часто аннуитетом называют финансовый актив, приносящий фиксированный доход ежегодно в течение ряда лет

Очевидно, что рента - это более широкое понятие, чем аннуитет. Финансовая рента - это последовательность платежей, выплачиваемых через равные промежутки времени. Промежуток времени между двумя последовательными платежами называется рентным периодом. Время от начала первого рентного периода до конца последнего называют сроком ренты.

Пусть t - срок ренты (в годах), -- количество рентных платежей в году. Тогда количество всех рентных платежей (которое мы обозначим буквой n) можно найти по формуле:

. (1)

Если число рентных платежей не ограничено (т.е. ), рента называется вечной.

Рента, в которой рентные платежи осуществляются в конце рентных периодов, называется обыкновенной. Если все рентные платежи одинаковы, рента называется постоянной. Мы ограничимся рассмотрением обыкновенных постоянных рент.

Обозначим через R размер рентного платежа. Временная диаграмма платежей обыкновенной постоянной ренты (с конечным числом платежей) имеет вид:

Текущая стоимость ренты

Поскольку финансовая рента - частный случай последовательности платежей.. Таким образом,

, (2)

где r - эффективная процентная ставка для рентного периода.

С помощью формулы для суммы геометрической прогрессии, выражение (2) несложно привести к следующему виду:

финансовый рента денежный

. (3)

Пример 1. Пусть рентные платежи, равные 100 д.е., выплачиваются поквартально в течение двух лет. Номинальная годовая процентная ставка равна 16%. Период капитализации процента - полугодие. Требуется определить текущую стоимость ренты.

Решение. Итак, д.е., , года, , . Найдем общее число рентных платежей по формуле (2): . Найдём эффективную процентную ставку для рентного периода:

.

Теперь мы можем найти текущую стоимость ренты по формуле (3):

д.е.

В случае вечной ренты с помощью формулы для суммы бесконечной геометрической прогрессии имеем:

.

Таким образом, в случае вечной ренты

, (4)

где r - эффективная процентная ставка для рентного периода.

Пример 2. Пусть рентные платежи, равные 100 д.е., выплачиваются поквартально неограниченное число лет. Номинальная годовая процентная ставка равна 16%. Период капитализации процента - полугодие. Требуется определить текущую стоимость ренты.

Решение. Итак, д.е., , , , . Найдём эффективную процентную ставку для рентного периода:

.

Теперь мы можем найти текущую стоимость ренты по формуле (4):

д.е.

Будущая стоимость ренты

Найдём будущую стоимость ренты (с конечны числом платежей) по формуле:

. (5)

Воспользовавшись формулой для суммы геометрической прогрессии, получим:

. Итак,

, (6)

где r - эффективная процентная ставка для рентного периода.

Пример 3. Пусть (как и в примере 11) рентные платежи, равные 100 д.е., выплачиваются поквартально в течение двух лет. Номинальная годовая процентная ставка равна 16%. Период капитализации процента - полугодие. Требуется определить текущую стоимость ренты.

Решение. Итак, д.е., , года, , . Найдем общее число рентных платежей по формуле (1): . Найдём эффективную процентную ставку для рентного периода:

.

Теперь мы можем найти текущую стоимость ренты по формуле (6):

д.е.

Отметим, что текущая и будущая стоимости ренты связаны равенством:

.

Следовательно, будущую стоимость ренты из примеров 1 и 3 можно найти также следующим образом:

д.е.

Продолжительность ренты

Для нахождения продолжительности ренты. Используем следующий вариант решения. Вначале найдем продолжительность вечной ренты. Текущая стоимость вечной ренты определяется следующим образом. Возьмем производную от P V по r:

.

Подставим эту формулу и формулу (4). В результате получим:

. (7)

Отметим, что процентная ставка r, фигурирующая в формуле (7) - это эффективная процентная ставка для рентного периода.

Пример 4. В условиях примера 2 требуется найти продолжительность вечной ренты и с ее помощью оценить относительное изменение текущей стоимости ренты при увеличении номинальной годовой процентной ставки на 1%.

Решение. Итак, д.е., , , , , . Найдём эффективную процентную ставку для рентного периода:

.

Найдем продолжительность вечной ренты по формуле (7):

рентных периодов (кварталов).

Для оценки относительного изменения текущей стоимости ренты используем формулу, но, важно понимать, что продолжительность выражена в единицах времени, для которых фигурирующая в формуле процентная ставка r является эффективной.

В нашем примере в качестве единицы измерения времени удобно взять период капитализации процентной ставки. (Тогда легко ищется .)

Итак, найдем эффективную процентную ставку и ее изменение для периода капитализации:

, .

Переведем продолжительность из единиц измерения времени, равных рентным периодам, в единицы измерения времени, равные периодам капитализации:

рентных периодов (кварталов)= периодов капитализации (полугодий). Теперь мы можем воспользоваться формулой, на которую указывали выше:

.

Итак, при увеличении номинальной годовой процентной ставки на 1% текущая стоимость вечной ренты (из примера 2) уменьшится примерно на 6,13%.

Получим формулу для нахождения продолжительности ренты с конечным числом платежей. Текущая стоимость конечной ренты определяется по формуле (3). Возьмем производную от текущей стоимости конечной ренты по r:

.

Подставив это выражение и формулу (24) в (15) после несложных алгебраических преобразований получим:

. (8)

Отметим, что процентная ставка r, фигурирующая в формуле (8) - это эффективная процентная ставка для рентного периода.

Пример 5. В условиях примера 3 требуется найти продолжительность ренты и с ее помощью оценить относительное изменение текущей стоимости ренты при увеличении номинальной годовой процентной ставки на 1%.

Решение. В процессе решения примера 3 были найдены число рентных платежей и эффективная процентная ставка для рентного периода: , . Для нахождения продолжительности ренты используем формулу (8):

рентных периодов (кварталов)периодов капитализации (полугодий) = полугодий = 2,15 полугодий. Найдем эффективную процентную ставку и ее изменение для периода капитализации:

, .

Теперь мы можем воспользоваться формулой , которую использовали в предыдущем примере:

.

Итак, при увеличении номинальной годовой процентной ставки на 1% текущая стоимость ренты (из примера 3) уменьшится примерно на 0,995%.

2. ВИДЫ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ

Часто в контрактах финансового характера предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и др.

Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.

Наращенной суммой потока платежей называется сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом(об этом упомяналось в начале контрольной работы).

Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты - величина каждого отдельного платежа; период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами; срок ренты - время, от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода; процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту; число платежей в году; число начислений процентов в году; моменты платежа внутри периода ренты.

Классификация рент может быть произведена по различным признакам.

В зависимости от продолжительности периода ренты делят на годовые и р - срочные, где р - число выплат в году.

По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.

Список литературы

1. http://www.kopart.ru/public_8.htm

2. http://ecobashedu.narod.ru/finanaliz/glava4.htm

3. http://www.bizeducation.ru/library/fin/invest/sinadsky.htm

4. Савчук В.П. Управление издержками предприятия и анализ безубыточности http://www.cfin.ru/management/costing/savchuk-01.shtml

5. Вольчик В.В. Курс лекций по институциональной экономике Ростов -н/Д: Изд-во Рост. Ун-та, 2000

6. И.К. Шевченко Организация предпринимательской деятельности .-Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004

7. Журнал "Налоги. Инвестиции. Капитал."//.Условия эффективной предпринимательской деятельности в регионе и их оценка респондентами//№4-6, 2006г

Размещено на Allbest.ru