Основы финансовых вычислений

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра экономики связи

Методические указания

по дисциплине: Основы финансовых вычислений

для студентов-заочников

направлений 080100 - Экономика, 080200 - Менеджмент

Москва 2012

План УМД на 2012/2013 уч.г.

Методические указания

по дисциплине

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Составитель: к.э.н. Устинова Ю.В.

Издание утверждено на заседании кафедры 12.03.2012. Протокол № 6

Рецензент: доц., к.э.н. Шаравова О.И.

1. Наращение и дисконтирование

1.1 Учет фактора времени в финансовом анализе

Система финансов построена на основе теории временнуй стоимости денег. Теория временнуй стоимости денег - концепция, основанная на том, что деньги должны приносить процент; ценность денег, имеющихся в данный момент, выше, чем ценность той же суммы, которая будет получена в будущем.

Соответственно, неотъемлемой составляющей финансового анализа является учет фактора времени. В практических финансовых операциях суммы денег вне зависимости от их назначения или происхождения обязательно связываются с конкретными моментами или периодами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. Вне времени нет денег. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже и большую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования, кредитования и инвестирования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени, т.е. «время - деньги».

Одинаковые суммы денег «сегодня» и «потом» оцениваются по-разному. Сегодняшние деньги приравниваются к возросшей денежной массе в будущем и, наоборот, вместо денег «потом» можно согласиться на уменьшенные выплаты, но сейчас.

Неравноценность двух одинаковых по абсолютной величине разновременных сумм определяется следующим:

во-первых, имеющиеся сегодня деньги могут быть инвестированы и принести доход в будущем (полученный доход в свою очередь реинвестируется и т.д.), т.е. возможностью использования денег как приносящего доход финансового актива;

во-вторых, - неопределенностью будущего и связанным с нею риском. Деньги «в кармане» могут быть израсходованы на потребление сиюминутно. Сберегаемые же деньги подвержены всевозможным рискам в зависимости от способа сбережения. Если они хранятся на «домашнем депозите», им грозит обесценение из-за инфляции или потеря в результате ограбления, пожара и т.д.

В случае, когда деньги даются в долг, риск невозврата зависит от успешности кредитуемого мероприятия, которое может завершиться убытками и полным крахом. Поэтому возвращаемая сумма всегда должна быть больше заемной как с учетом срока ссуды, так и существующего риска потерь.

Очевидным следствием временной стоимости денег является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени, особенно при принятии решений финансового порядка. Их сравнение допустимо только при «приведении» таких сумм к одному моменту времени. Формулы, которые будут рассмотрены ниже, позволяют пересчитывать и приводить денежные потоки к различным временным датам без учета фактора неопределенности.

1.2 Наращение

Наращение - приведение денежных потоков (денежных сумм) к одному моменту времени в будущем.

Рассмотрим формулы расчета будущих сумм S по начальному вкладу Р. В основе их построения лежит понятие единичного периода начисления (n=1) и процентной ставки i, которая фиксирует процентное увеличение исходной суммы Р за первый период. В результате сумма на конец этого периода времени составляет:

,

где процентная ставка i измеряется десятичной дробью.

По отношении к следующим периодам начисления ставки процентов трактуются по-разному в зависимости от принятой схемы начисления: по простым или по сложным процентам. В первом случае приросты денежных сумм для любого периода будут составлять все ту же долю i от первоначальной суммы Р. В результате наращенная за n периодов сумма составит величину

, (1)

где n - срок в годах.

В отличие от простых для сложных процентов одна и та же ставка i берется для каждого последующего промежутка не от первоначальной суммы, а от результата предыдущего начисления, т.е. от суммы, наращенной на начало данного периода. Отсюда следует, что вклад Р при ставке сложного процента i через n периодов составит сумму

(2)

Множители и - множители наращения соответственно по простым и сложным процентам.

Т.о. последовательность наращенных сумм в случае простых процентов представляет арифметическую прогрессию, в то время как для сложных процентов прогрессия будет геометрической.

Выражения (1), (2) называют формулой простых и, соответственно, сложных процентов, а под процентными деньгами или, кратко, процентами понимают величину дохода (приращения денег)

В финансовых вычислениях в случае меняющихся во времени процентных ставок используют следующие формулы

- для простых процентов,

- для сложных процентов.

1.3 Дисконтирование

Дисконтирование - приведение всех денежных потоков (денежных сумм) к одному моменту времени в прошлом.

Эта процедура в определенном смысле является обратной по отношению к процессу наращения.

Другим вариантом дисконтирования является учет векселей в банке, когда банк, принимая вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселе сумму до срока его погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг (долговых обязательств).

При дисконтировании исходной величиной выступает не начальный вклад Р, а некоторая будущая сумма S. Вопрос состоит в том, чтобы определить эквивалентную сумму Р, отстоящую на n периодов до срока выплаты S.

Существует два подхода к расчету предшествующих сумм.

Во-первых, по размеру вклада Р, который при начислении процентов через n периодов дает сумму S, и,

во-вторых, по размеру платежа, к которому придем при удержании процентов с финальной суммы S за n периодов.

Т.о. при одном толковании за базовую величину, т.е. за 100%, принимается размер вклада Р, в то время как при другом - за 100% берется будущая сумма S. Кроме того, по каждому варианту дисконтирование может проводиться как по простым, так и по сложным процентам.

В случае приведения по вкладу Р для нахождения дисконтированных значений достаточно воспользоваться формулами простых и сложных процентов (1) и (2), решив их относительно величины Р.

В результате получим формулы

(3)

дисконтирования по простым процентам и

(4)

дисконтирования по сложным процентам.

Множители и называются дисконтными множителями по процентной ставке и показывают, какую долю составляет Р в величине S при простой и при сложной процентной ставке.

Величину Р, найденную дисконтированием S по вкладу, называют современной, или приведенной величиной S. Это понятие является одним из важнейших в количественном анализе финансовых операций, поскольку именно с помощью дисконтирования учитывается фактор времени.

Дисконтирование по платежу.

За основу их построения можно принять понятие единичного периода удержания процентов (дисконтирования) и учетной ставки d, которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы S на один период «назад». Отсюда следует, что за один период удержания эквивалентная выплате S сумма составит величину Р, которая при дробном измерении ставки d определяется формулой

.

По отношению к следующим периодам учетная ставка трактуется по-разному в зависимости от принятой схемы дисконтирования: по простым или по сложным процентам. В первом случае удержания денежных сумм (дисконты) по каждому периоду будут составлять все тот же процент d от все той же суммы S. В результате такого дисконтирования за n периодов получится величина

(5)

В отличие от этого при учете по сложной ставке последовательные по периодам снижения берутся как один и тот же процент d, но не от одной и той же величины S, а каждый раз от новой, полученной в результате дисконтирования на соседний период. Отсюда следует формула дисконтирования (учета) по сложным процентам, где в качестве процента выступает доля удержания d

(6)

и - дисконтные множители соответственно по простой и сложной учетной ставке.

Схема дисконтирования по процентной ставке (3), (4) широко применяется для сравнения потоков платежей и при расчете стоимости облигаций и других ценных бумаг.

Дисконтирование по учетной ставке (5), (6) используется при учете векселей.

Суть данной финансовой операции состоит в следующем. Некто выдает вексель (расписку) с обязательством уплатить сумму S на определенную дату Т. Владелец векселя в случае нужды может досрочно учесть его, т.е. получить деньги раньше срока в коммерческом банке по установленной последним учетной ставке d, которая уменьшает сумму выплаты. В зависимости от принятых условий учет проводится по простым (5) или по сложным (6) процентам.

Такой вексель, который допускает участие третьих лиц, называется переводным или траттой. В дальнейшем, на дату Т, банк предъявляет вексель тому, кто его выписал, и получает сумму S.

Отметим, что такой известный инструмент кредитно-денежной политики, как учетная ставка Центрального Банка, используется им по большей части не только для переучета векселей коммерческих банков, сколько для взыскания с них платежей по коммерческим кредитам. Подобная практика использования учетной ставки, существующая во многих странах, сложилась исторически.

Учетная ставка - ставка процента, под который ЦБ страны предоставляет кредиты коммерческим банкам. В практике РФ применяется термин «ставка рефинансирования».

Учетная ставка - учетный процент, взимаемый банком с суммы векселя при покупке его банком до наступления срока платежа.

2. Номинальная и эффективная ставки

В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой сложных процентов

Параметр n в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой i следует понимать ставку за соответствующий период. Например, при поквартальном начислении процентов за 5 лет общее число периодов начисления составит 5Ч4=20. Множитель наращения по квартальной (сложной) ставке 8% равен в этом случае . На практике, как правило, в контрактах обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка, и одновременно указывается период начисления процентов. Например, «18% годовых с поквартальным начислении процентов».

Пусть годовая ставка равна j, число периодов начисления в году - m. Т.о. каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной. Формулу приращения теперь можно представить следующим образом:

или , (7)

где N - общее количество периодов начисления.

Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

Введем теперь новое понятие - действительная или эффективная процентная ставка. Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Т.о. эффективная ставка - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу

.

Из равенства множителей наращения следует

(8)

Эффективная ставка при больше номинальной. Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Отсюда следует, что разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну величину.

По аналогии с наращением, дисконтирование может производиться не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке f/m. В этом случае

, (9)

где f - номинальная учетная ставка.

Эффективная учетная ставка (d) характеризует степень дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей

,

откуда .

Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда m >1, меньше номинальной.

денежный дисконтирование процентный

3. Эквивалентные процентные ставки

Как было показано выше, разные по величине процентные ставки могут приводить к одинаковым финансовым результатам. Т.е. замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансовых последствий в рамках одной операции. Для участвующих в сделке сторон в общем безразлично, какой вид ставки фигурирует в контракте. Такие ставки называются эквивалентными.

Эквивалентные ставки - ставки разного вида, применение которых приводит к одинаковому финансовому результату.

Уравнения эквивалентности ставок можно получить исходя из равенства взятых попарно множителей наращения.

Например, определим уравнение эквивалентности между простой и сложной ставками. Для этого прировняем друг к другу соответствующие множители наращения

,

где и - ставки простых и сложных процентов.

Приведенное равенство предполагает, что начальные и наращенные суммы при применении двух видов ставок идентичны. Решение приведенного выше равенства дает следующие соотношения эквивалентности

,

Аналогичным образом определим и другие соотношения эквивалентности ставок.

Эквивалентность простых ставок.

Из равенства соответствующих множителей наращения следует

,

,

где n - срок в годах, - ставка простых процентов, - простая учетная ставка.

Эквивалентность простых и сложных ставок

Эквивалентность и

,

Эквивалентность и

,

Эквивалентность и

,

Эквивалентность и

Эквивалентность сложных ставок

Остановимся только на соотношениях эквивалентности для ставок i, j и d

Эквивалентность и

,

Эквивалентность и

,

4. Финансовая эквивалентность обязательств

На практике нередко возникают случаи, когда необходимо заменить одно денежное обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т. д. Понятно, что такие изменения не могут быть произвольными. Поэтому возникает вопрос о принципе, на котором должны базироваться изменения условий контрактов. Таким общепринятым принципом является финансовая эквивалентность обязательств. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему). Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить.

Принцип эквивалентности в наиболее простом проявлении следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины P и S. Сумма P эквивалентна S при принятой процентной ставке и методе ее начисления. Две суммы денег и , выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена на в этих условиях формально не изменяет отношения сторон.

На принципе эквивалентности основывается сравнение разновременных платежей.

Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, результат зависит от выбора ее размера. Пусть сравниваются два платежа и со сроками и , причем и . Соотношение их современных стоимостей зависит от размера процентной ставки.

С ростом размеры современных стоимостей уменьшаются, причем при наблюдается равенство . Для любой ставки имеем . Т.о. результат сравнения зависит от размера ставки, равного . Назовем эту ставку критической или барьерной. На основе равенства

находим

Если дисконтирование производится по сложной ставке, то критическую ставку найдем из равенства

Принцип финансовой эквивалентности реализуется с помощью построения уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на основе простых процентных ставок, для среднесрочных и долгосрочных - с помощью сложных процентных ставок.

Консолидация платежей

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация (объединение) платежей. Пусть платежи со сроками заменяются одним в сумме и сроком . В этом случае возможны две постановки задачи: если задается срок , то находится сумма , и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа , то определяется срок . Рассмотрим обе постановки задачи.

Определение размера консолидированного платежа.

В общем случае, когда , искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей.

При применении простых процентных ставок получим

где - размеры объединяемых платежей со сроками , - размеры платежей со сроками ,

,

Для общего случая на основе сложных процентных ставок получим

Определение срока консолидированного платежа

Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа , то возникает проблема определения его срока . В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей.

При применении простой процентной ставки это равенство имеет вид

, откуда

Очевидно, что решение может быть получено при условии, что , т.е. размер заменяющего платежа не может быть меньше суммы современных стоимостей заменяемых платежей. Кроме того, искомый срок пропорционален величине консолидированного платежа.

Перейдем к определению срока консолидированного платежа на основе сложных процентных ставок. Уравнение эквивалентности запишем следующим образом

Для упрощения дальнейшей записи примем

После чего находим

Т.о. решение существует, если .

5. Учет инфляции

В рассмотренных выше методах наращения все денежные величины измерялись по номиналу. Иначе говоря, не принималось во внимание снижение реальной покупательной способности денег за период, охватываемый операцией. Однако инфляция является важным фактором изменения стоимости денег, без ее учета конечные результаты финансового анализа часто представляют собой условную величину.

Инфляцию необходимо учитывать по крайней мере в двух случаях: при расчете наращенной суммы денег и при измерении реальной эффективности (доходности) финансовой операции.

Введем обозначения:

- наращенная сумма денег, измеренная по номиналу,

- наращенная сумма с учетом ее обесценения,

- индекс цен,

- индекс, характеризующий изменение покупательной способности денег за период.

,

Индекс покупательной способности денег равен обратной величине индекса цен - чем выше цены, тем ниже покупательная способность

Индекс цен в контексте инфляции часто называют индексом-дефлятором.

Под темпом инфляции понимается относительный прирост цен за период; обычно он измеряется в процентах и определяется как

В свою очередь

Например, если темп инфляции за период равен 20%, то это означает, что цены выросли в 1,2 раза.

Инфляция является цепным процессом. Следовательно, индекс цен за несколько периодов равен произведению цепных индексов цен

,

где - темп инфляции в периоде .

Если темп инфляции - величина постоянная в течение n периодов, то

,

если используется средний темп инфляции , то

Грубейшей ошибкой, которая, к сожалению, часто встречается на практике, является суммирование темпов инфляции отдельных периодов для получения обобщающего показателя инфляции за весь срок, что существенно занижает величину получаемого показателя.

Средний темп инфляции определяется по формуле:

Вернемся к проблеме обесценения денег при их наращении. Если наращение производится по простой ставке, то наращенная сумма с учетом изменения покупательной способности денег равна

Т.о. наращение с учетом инфляционного обесценения денег имеет место только тогда, когда , т.е. множитель наращения превышает индекс цен.

Обратимся теперь к наращению по сложным процентам. Наращенная сумма с учетом инфляционного обесценивания определяется следующим образом



Величины, на которые умножаются Р в двух последних формулах, представляют собой множители наращения, учитывающие ожидаемый уровень инфляции.

Определим ставку, компенсирующую влияние инфляции - критическую ставку :

для простых процентов

,

для сложных процентов

,

где - индекс цен за n периодов.

Ставку, превышающую критическое значение i', называют положительной ставкой процента.

Владельцы денег, разумеется, не хотят мириться с их инфляционным обесценением и предпринимают различные попытки компенсации потерь. Наиболее распространенной является корректировка ставки процента, по которой производится наращение, т.е. увеличение ставки на величину так называемой инфляционной премии. Итоговую величину можно назвать брутто-ставкой.

Определим брутто-ставку (обозначим ее r) при условии полной компенсации инфляции.

При наращении по сложной процентной ставке находим брутто-ставку из равенства

,

где - средний темп инфляции за период.

Откуда

На практике скорректированную по темпу инфляции ставку часто рассчитывают проще

Предпоследняя формула по сравнению с последней содержит один дополнительный член, которым при незначительных величинах i и h можно пренебречь. Если же они значительны, то ошибка (не в пользу владельца денег) станет весьма ощутимой.

При наращении по простым процентам имеем

,

где - индекс цен за учитываемый период.

Очевидно, что при больших темпах инфляции корректировка ставки имеет смысл только для краткосрочных или в крайнем случае среднесрочных операций.

Теперь перейдем к измерению реальной доходности финансовых операций, т.е. доходности с учетом инфляции. Если r объявленная норма доходности (или брутто-ставка), то реальный показатель доходности в виде годовой процентной ставки i можно определить при наращении сложных процентов следующим образом

Если брутто-ставка определяется по упрощенной формуле, то

Аналогичный показатель, но при начислении простых процентов, находим как

Как видим, реальная доходность здесь зависит от срока операции. Положительная простая ставка i может быть только при условии, что

6. Постоянные финансовые ренты

6.1 Виды потоков платежей и их основные параметры

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени, например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций и т.д. Такого рода последовательность платежей называют потоком платежей. Отдельный элемент такого ряда платежей называется членом потока.

6.2 Классификация потоков

Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. Члены потоков могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными величинами (выплаты).

Поток платежей, все члены которого - положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой. Например, рентой является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д.

Рента описывается следующими параметрами:

член ренты - размер отдельного платежа,

период ренты - временной интервал между двумя последовательными платежами,

срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего,

процентная ставка - ставка, используемая для наращения или дисконтирования платежей, из которых состоит рента..

В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации может быть положен ряд признаков. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р-срочные (р - количество выплат в году). Перечисленные виды рент называют дискретными. В финансовой практике встречаются и с такими последовательностями платежей, которые производятся так часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

По числу раз начислений процентов на протяжении года различают: ренты с ежегодным начислением, с начислением m раз в году, с непрерывным начислением.

По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми размерами члена ренты) и переменные. Члены переменных рент изменяют свои размеры во времени, следуя какому-либо закону, например арифметической или геометрической прогрессии. Постоянные ренты - наиболее распространенный вид ренты.

По вероятности выплат ренты делятся на верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной уплате, например при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события, число ее членов заранее не известно. К такого рода рентам относятся страховые аннуитеты - последовательные платежи в имущественном и личном страховании. Типичным примером страхового аннуитета является пожизненная выплата пенсии.

По количеству членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные ренты (их срок заранее оговорен) и бесконечные или вечные ренты. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты процентов по бессрочным облигационным займам.

Очень важным является различие по моменту выплат платежей в пределах периода ренты. Если платежи осуществляются в конце этих периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если же платежи осуществляются в начале периодов, то их называют пренумерандо.

Например, контракт предусматривает периодическое погашение задолженности путем выплаты в конце каждого полугодия одинаковых погасительных платежей на протяжении фиксированного числа лет. Т.о. предусматривается постоянная полугодовая верная ограниченная рента постнумерандо.

Обобщающие характеристики потоков платежей.

В подавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости потока. Наращенная сумма - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока ренты процентами. Под современной стоимостью потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый предшествующий момент времени.

Прямой метод расчета обобщающих характеристик ренты.

Рассмотрим общую постановку задачи. Пусть имеется ряд платежей , выплачиваемых спустя время после некоторого начального момента времени. Общий срок выплат лет. Необходимо определить наращенную на конец срока потока платежей сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставке , то, обозначив искомую величину через , получим по определению

Современную стоимость такого потока также находим прямым счетом как сумму дисконтированных платежей

,

где А - современная стоимость потока платежей, - дисконтный множитель по ставке .

Наращенная сумма и современная стоимость постоянной ренты постнумерандо (на примере годовой ренты)

Методом прямого счета, как это было рассмотрено выше, можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей. Однако удобнее воспользоваться более компактными формулами.

Пусть в течение лет в банк в конце каждого года вносится по рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке годовых. Т.о. имеется рента, член которой равен , а срок - . Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты - на первый член проценты начисляются год, на второй и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (т.к. рента постнумерандо). Наращенная к концу срока по каждому взносу сумма составит

, , …, , .

Переписав этот ряд в обратном порядке, нетрудно убедиться в том. Что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом . Число членов прогрессии равно . Искомая величина равна сумме членов этой прогрессии. Откуда

Обозначим множитель, на который умножается , через . Нижний индекс указывает на продолжительность ренты и величину процентной ставки. Будем называть этот множитель коэффициентом наращения ренты. Данный коэффициент представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1

Таким образом

Как было сказано выше, современная стоимость потока платежей - это сумма дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени. Вместо термина «современная стоимость» потока платежей в зависимости от контекста употребляют термины капитализированная стоимость или приведенная величина.

Пусть имеется годовая рента постнумерандо, член которой равен , срок ренты - , ежегодное дисконтирование. В этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна , второго - , последнего - .

Т.е. данные величины образуют ряд, соответствующий геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Обозначим сумму членов этой прогрессии через А

Множитель, на который умножается , называется коэффициентом приведения (коэффициентом дисконтирования) ренты, он обозначен как . Этот коэффициент характеризует современную стоимость ренты с членом, равным 1.

При увеличении срока ренты величина стремится к некоторому пределу. При предельное значение коэффициента составит

Полученное выражение применяется при расчете современной стоимости вечной ренты.

7. Планирование погашения долгосрочной задолженности

7.1 Расходы по обслуживанию долга

Важной целью количественного анализа долгосрочной задолженности является разработка плана погашения займа, адекватного условиям финансового соглашения.

Разработка плана погашения займа заключается в составлении графика периодических платежей должника. Такие расходы должника обычно называют расходами по обслуживанию долга, а также срочными уплатами, расходами по займу. Расходы по обслуживанию долга включают как текущие процентные платежи, так и средства, предназначенные для погашения основного долга.

Методы определения размера срочных уплат существенно зависят от условий погашения долга, которые предусматривают срок займа, продолжительность льготного периода, уровень и вид процентной ставки, методы уплаты процентов и способы погашения основной суммы долга. В льготном периоде основной долг не погашается, обычно выплачиваются проценты.

Не исключается возможность присоединения процентов к сумме основного долга.

При определении размера срочных уплат используем следующие обозначения:

D - Сумма задолженности,

Y - срочная уплата,

I - проценты по займу,

R - расходы по погашению основного долга,

g - ставка процентов по займу,

n - общий срок займа.

По определению расходы по обслуживанию долга находятся по формуле

7.2 Создание погасительного фонда

Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринимать меры для обеспечения этого. При значительной сумме долга обычная мера заключается в создании погасительного фонда. Необходимость формирования такого фонда иногда оговаривается в договоре выдачи займа в качестве гарантии его погашения. На практике возникает необходимость накопления средств и по другим причинам. Например, для накопления амортизационных отчислений на закупку изношенного оборудования и т.д.

Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника (например, на специальный счет в банке), на которые начисляются проценты. Т.е. должник имеет возможность инвестировать средства для погашения долга. Сумма взносов в фонд вместе с начисленными процентами, накопленная в погасительном фонде к концу срока, должна быть равна его сумме. Взносы могут быть как постоянными, так и переменными во времени.

Постоянные взносы в фонд

Пусть накопление производится путем регулярных ежегодных взносов , на которые начисляются сложные проценты по ставке i. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке g. В этом случае срочная уплата составит

Обе составляющие срочной уплаты постоянны во времени. Первая составляющая определяется величиной долга и процентной ставкой по займу. Найдем вторую составляющую.

Пусть фонд должен быть накоплен за N лет. Тогда соответствующие взносы образуют постоянную ренту с параметрами R, N, i. Пусть речь идет о ренте постнумерандо., тогда

,

где - коэффициент наращения постоянной ренты со сроком N.

В целом срочная уплата находится следующим образом

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата определяется

При создании погасительного фонда используются две ставки - i и g. Первая определяет темп роста погасительного фонда, вторая - сумму выплачиваемых за заем процентов. Очевидно, что рассматриваемый способ погашения долга - создание фонда - выгодна должнику только тогда, когда , т.к. в этом случае должник на аккумулируемые в погасительном фонде средства получает больше процентов, чем сам выплачивает за заем. Чем больше разность , тем больше экономия средств должника, направляемая на покрытие долга. В случае, когда , преимущества создания фонда пропадают - финансовые результаты для должника оказываются такими же, как и при погашении долга частями.

7.3 Погашение долга в рассрочку

В практической финансовой деятельности, особенно при значительных размерах задолженности, долг обычно погашается в рассрочку, частями. Такой метод погашения часто называют амортизацией долга. Он осуществляется различными способами:

- погашением основного долга равными суммами (равными долями),

- погашением всей задолженности равными или переменными суммами по обслуживанию долга.

Погашение основного долга равными суммами

Пусть долг в сумме D погашается в течение n лет. В этом случае сумма, ежегодно идущая на его погашение, составит

Размер долга последовательно сокращается: и т.д. Соответствующим образом уменьшаются и выплачиваемые проценты, т.к. они начисляются на остаток долга. Пусть проценты выплачиваются один раз в конце года по ставке . Тогда за первый год и последующие годы они равны и т.д. Процентные платежи образуют убывающую арифметическую прогрессию с первым членом и разностью .

Срочная уплата в конце первого года определяется

Для конца года t находим

, ,

где - остаток долга на конец года t (после уплаты ),

- остаток долга на конец года -1 или на начало года (до уплаты ).

У рассмотренного метода амортизации задолженности в начале срока погашения срочные уплаты выше, чем в конце его, что часто является нежелательным для должника.

7.4 Погашение долга равными срочными уплатами

В соответствии с этим методом расходы должника по обслуживанию долга постоянны на протяжении всего срока его погашения. Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процентов, остаток идет на погашение основного долга. Также как и при предыдущем методе, величина долга здесь последовательно сокращается, в связи с этим уменьшаются процентные платежи и увеличиваются платежи по погашению основного долга. По определению

,

- остаток долга на начало года ,

- сумма выплаты основного долга в конце года .

План погашения обычно разрабатывается при условии, что задан срок погашения долга.

Первый этап разработки плана погашения - определение размера срочной уплаты. Далее полученная величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга.

Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с заданными параметрами. Приравняв сумму долга к современной величине этой ренты, находим

,

где - коэффициент приведения годовой ренты со ставкой g и сроком n.

Найдем сумму первого погасительного платежа. По определению

,

Суммы, идущие на погашение долга, увеличиваются во времени

В связи с этим рассматриваемый метод погашения называется прогрессивным. Платежи по погашению долга образуют ряд , т.е. геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем , число членов .

По этим данным легко определить сумму погашения задолженности на конец года t после очередной выплаты

,

где - коэффициент наращения постоянной ренты постнумерандо.

8. Оценка финансовой эффективности производственных инвестиций

8.1 Характеристика эффективности производственных инвестиций

Инвестиционный процесс - это последовательность взаимосвязанных инвестиций (вложений денег), растянутых на несколько временных периодов, отдача (доходы) от которых также растянута во времени. Инвестиционный процесс характеризуется двусторонним потоком платежей, положительные члены которого соответствуют отдаче от инвестиций, а отрицательные - вложениям, необходимым для осуществления инвестиционного проекта.

8.2 Основные финансовые критерии

Характеристика эффективности производственных инвестиций - определение их доходности для инвестора. С такой задачей сталкиваются как на этапе первоначального анализа финансовой «привлекательности» проекта, так и при разработке бизнес-плана. Отрицательный вывод обычно дает основание отказаться от дальнейшего изучения проекта. Без расчета такого рода измерителей нельзя осуществить и сравнение альтернативных инвестиционных проектов.

Применяемые в финансовом анализе методики можно разбить на две большие группы по тому, учитывают они фактор времени или нет. Как было рассмотрено ранее, учет фактора времени опирается на дисконтирование соответствующих стоимостных величин, поэтому методы и измерители первой группы часто называют дисконтными. Ко второй относят методы без дисконтирования распределенных во времени денежных сумм. Условно назовем последние бухгалтерскими. Обычно в финансовом анализе одновременно используются показатели, получаемые дисконтными и бухгалтерскими методами. В современной зарубежной практике у средних и крупных фирм дисконтные методы являются преобладающими.

В анализе в основном используют следующие показатели, основанные на дисконтировании:

чистый приведенный доход (чистый доход - прибыль за вычетом налогов),

внутреннюю норму доходности,

дисконтный срок окупаемости,

индекс доходности.

Потоки платежей в инвестиционном анализе

Основная задача при разработке модели, с помощью которой намереваются проанализировать долгосрочный инвестиционный проект, в том числе измерить его финансовую эффективность, заключается в формировании ожидаемого потока платежей. Первым шагом в этом направлении является разработка структуры потока во времени - разбивка его на этапы, различающиеся своим содержанием и закономерностями в изменении доходов и затрат (проектирование, строительство, освоение производственных мощностей).

В общем виде член потока платежей для каждого временного интервала определяется следующим образом (при условии выплат налога на прибыль):

,

R - член потока платежей,

G - ожидаемый общий доход от реализации проекта, сумма выручки за период,

C - текущие расходы,

L - расходы, на которые распространяются налоговые льготы,

T - налоговая ставка,

K - инвестиционные расходы,

S - различные компенсации, сокращающие текущие затраты.

Приведенное уравнение характеризует общий подход к определению члена потока. Оно может быть уточнено с учетом конкретных условий и принятой в фирме методики, методами начисления и выплат налогов и т.д.

Приведенное выше уравнение разработано без учета источников финансирования. Если в потоке платежей учитывается привлечение заемных средств, их погашение и выплата процентов, то член потока определяется следующим образом:

,

где I - сумма выплаченных процентов за заемные средства, В - полученные в текущем году заемные средства, Р - погашение основного долга.

В данном выражении предполагается, что суммы выплат процентов за кредит освобождаются от налогов.

Инвестиционные затраты включают все виды расходов, необходимых для реализации проекта: проектные работы, приобретение лицензий, оплата оборудования, строительство, монтаж и наладка оборудования и т.д. Поступления от инвестиций - чистые доходы, причем под чистым доходом понимается не бухгалтерская прибыль, а доход за вычетом всех реальных расходов.

Очевидно, что в первые годы реализации проекта члены потока - отрицательные величины, т.к. затраты превышают поступления. Нельзя исключить ситуации, когда отрицательными оказываются потоки платежей и в отдельные годы периода эксплуатации, например в период модернизации технологического процесса.

8.3 Ставка приведения (дисконтирования)

Дисконтный метод оценки эффективности инвестиций так или иначе связан с приведением как инвестиционных расходов, так и доходов к одному моменту времени, т.е. с расчетом соответствующих современных стоимостей потоков платежей. Важным моментом здесь является выбор уровня процентной ставки для дисконтирования. Назовем эту величину ставкой приведения (ставкой дисконтирования). Какую ставку следует принять в конкретной ситуации - дело экономического суждения. Чем ставка выше, тем в большей мере отражается фактор времени.

От выбора уровня ставки дисконтирования зависят конечные результаты оценки эффективности инвестиций по конкретному проекту. Однако полученное для одного уровня процентной ставки ранжирование нескольких проектов по их финансовой эффективности сохранится в пределах большого диапазона уровня ставки, т.е. наблюдается известная инвариантность результатов.

Выбор уровня процентной ставки для дисконтирования за редким исключением не является однозначным и зависит от ряда факторов. Практически для этого используют конкретные ориентиры - доходность ряда ценных бумаг, банковских операций и т.д. с учетом условий деятельности инвестора.

В качестве ставки дисконтирования может использоваться норматив доходности или минимально привлекательная ставка доходности.

Важным моментом является учет риска. Риск в инвестиционной деятельности независимо от ее конкретных форм в конечном счете проявляется в виде возможного сокращения отдачи от вложенного капитала по сравнению с ожидаемой ее величиной. В качестве общей рекомендации по учету риска сокращения отдачи, инфляционного обесценения дохода, изменения конъюнктуры и других отрицательных факторов обычно предлагается вводить рисковую надбавку к уровню ставки приведения.

Ставка дисконтирования может определяться

с учетом инфляции,

с учетом риска инвестирования.

СД с учетом инфляции определяется

r - ставка дисконтирования (брутто-ставка),

i - безрисковая ставка или норма доходности инвестиций.

Для определения СД с учетом риска инвестирования существует ряд методик. Рассмотрим кумулятивный метод оценки премии за риск.

Если бы инвестиции были безрисковыми, то инвесторов устраивала бы безрисковая ставка доходности. И чем выше инвестор оценивает риск проекта, тем более высокие требования он предъявляет к его доходности. Т.о. в СД должна быть учтена премия за риск.

где i - ставка дисконтирования,

- безрисковая ставка дохода,

,… - рисковые премии по различным факторам риска, которые определяются экспертным путем.

В основном используются три типа риска при использовании кумулятивного метода

1) страновой риск,

2) риск ненадежности участников проекта (не должен быть больше 5%),

3) риск недополучения предусмотренных проектом доходов.

Страновой риск отражен в рейтингах, составляемых рейтинговыми агентствами. Риск недополучения доходов зависит от цели проекта.

В качестве безрисковых активов (активов с нулевым риском) обычно рассматриваются государственные ценные бумаги (в США - казначейские векселя (облигации), в России - гос. облигации РФ, депозиты СБ РФ).

8.4 Чистый приведенный доход

Чистый приведенный доход (ЧПД) - разность дисконтированных показателей чистого дохода (положительные величины) и инвестиционных затрат (отрицательные величины). Чистый приведенный доход представляет собой обобщенный конечный результат инвестиционной деятельности в абсолютном измерении.

Пусть капиталовложения и доходы представлены в виде потока платежей, тогда чистый приведенный доход определяется как современная стоимость этого потока, определенная на начало действия проекта.

,

где - размер члена потока платежей в году t, v - дисконтный множитель по ставке i (ставка приведения, принятая норма доходности). Т.е. применяется прямой метод расчета современной стоимости потока платежей.

Обратим внимание, что членами потока платежей являются как положительные (доходы), так и отрицательные (инвестиционные затраты) величины. Соответственно, положительной или отрицательной может быть и величина N. Последнее означает, что доходы не окупают затраты при принятой норме доходности (ставке приведения) и заданном распределении капитальных вложений и поступлений во времени.

Пусть теперь поток платежей представлен раздельно, т.е. как поток инвестиций и поток чистых доходов, тогда чистый приведенный доход определяется:

,

где - инвестиционные расходы в году , - чистый доход в году , - продолжительность инвестиционного периода, - продолжительность периода поступления дохода, - общий срок проекта.

Обычно годовые данные о размерах членов потока приурочиваются к окончаниям соответствующих лет. Однако зачастую отдельные компоненты потока можно с достаточным основанием рассматривать как равномерно распределенные затраты (поступления) в пределах года. Более точный результат расчета в таких условиях можно получить, приписывая соответствующие величины к серединам годовых интервалов. В связи с этим современная стоимость потока увеличивается в раз.

В случаях, когда поток доходов можно описать как постоянную ренту, расчет чистого приведенного дохода заметно упрощается. Пусть доходы поступают в виде постоянной годовой ренты

а) постнумерандо,

б) относятся к середине года

,

где - годовая сумма дохода, n - срок ренты.

Если капиталовложения мгновенны (например, приобретение законченного производственного объекта), а доходы сразу поступают после инвестирования в виде постоянной ограниченной ренты постнумерандо, то

,

где К - мгновенные инвестиционные затраты, - коэффициент приведения постоянной ренты, R - член потока доходов (член ренты), n - продолжительность периода поступления доходов (срок ренты), i - ставка, принятая для дисконтирования.

ЧПД показывает чистые доходы или чистые убытки инвестора от помещения денег в проект на основе СД. Если СД = ставке по депозиту, то ЧПД показывает чистые доходы (убытки) по сравнению с хранением денег в банке. Если ЧПД > 0, то доходы от проекта превышают риск, присущий этому проекту, и инвестиции следует осуществлять.

ЧПД - один из основных показателей, используемых в инвестиционном анализе, но он имеет несколько недостатков и не может быть единственным инструментом оценки эффективности инвестиционного проекта. ЧПД определяет абсолютную величину отдачи от инвестиции, и, скорее всего, чем больше инвестиция, тем больше ЧПД. Следовательно, сравнение нескольких инвестиций разного размера с помощью этого показателя невозможно. Кроме того, ЧПД не определяет период, через который инвестиции окупятся.

Показатель ЧПД имеет еще один важный недостаток. По умолчанию предполагается, что положительные денежные потоки реинвестируются по ставке, равной СД. В случае, если СД близка к уровню реинвестиций фирмы, то этой проблемы не возникает. Если СД особенно привлекательного инвестиционного проекта равна, к примеру 80%, то имеется в виду, что все денежные поступления должны реинвестироваться по ставке 80%. Однако маловероятно, что предприятие обладает ежегодными инвестиционными возможностями, которые обеспечивают рентабельность в 80%. В данном случае показатель ЧПД завышает эффективность инвестиций.

В случае, когда СД и уровень реинвестирования существенно различаются, имеет смысл определять модифицированный чистый приведенный доход - показатель, учитывающий, что полученные в результате инвестиций средства реинвестируются по другой ставке.

i - ставка дисконтирования,

r - уровень реинвестиций (норма доходности реинвестиций)

8.5 Внутренняя норма доходности

Относительной мерой эффективности реализации инвестиционного проекта является (ВНД) внутренняя норма доходности (J).

ВНД - это норма прибыли (ставка дисконтирования), при которой чистый приведенный доход равен нулю, т.е. это та ставка дисконта, при которой дисконтированные доходы от проекта равны дисконтированным инвестиционным затратам (капиталовложения только окупаются). ВНД определяет максимальную ставку дисконтирования, при которой можно инвестировать средства без потерь для собственника. Чем выше эта ставка, тем больше эффективность инвестиций.

Внутренняя норма доходности может быть как положительной, так и отрицательной.

Экономический смысл данного показателя заключается в том, что он показывает ожидаемую норму доходности инвестиций.

Пусть i - приемлемый для инвестора уровень ставки процента (выше она была названа минимально привлекательной ставкой доходности). Очевидно, что разность ставок характеризует эффективность инвестиционной деятельности. С чисто финансовых позиций инвестиции имеют смысл только тогда, когда . При нет оснований для осуществления инвестиций, т.к. доходность ниже принятого норматива, если же под i понимается стоимость заемных средств, то они просто убыточны.

Расчет внутренней нормы доходности часто применяют в качестве первого шага анализа инвестиций. Для дальнейшего анализа отбирают только те проекты, которые обеспечивают некоторый приемлемый для данной компании уровень доходности.

В общем случае, когда инвестиции и доходы задаются в виде потока платежей, искомая ставка J определяется на основе решения уравнения относительно v

,

где v - дисконтный множитель по искомой ставке J; t - время от начала реализации проекта,

- член потока платежей (вложения и чистые доходы).

В случае, когда инвестиции «мгновенны», а поток доходов может быть представлен в виде постоянной ренты, задача упрощается и сводится к определению ставки J на основе равенства

,

Из этой формулы следует

.

Т.о. задача заключается в расчете искомой ставки по заданному коэффициенту приведения постоянной ренты.

Затем, зная v, находим искомую ставку J. Как видим, нет формулы для определения J. Задача решается с помощью специальных программ или методом последовательного приближения (подбираем ставки J так, чтобы найти минимальные значения ЧПД по модулю, а затем проводится аппроксимация).

Аппроксимация заключается в следующем: делается предположение, что на участке от точки до точки функция прямолинейна и используется формула для аппроксимации на участке прямой

На практике могут встречаться случаи, когда члены потока платежей несколько раз меняют знаки на протяжении срока инвестиционного проекта. Это может быть связано с инвестициями в реконструкцию или расширение предприятия. В этих случаях чистый приведенный доход также может неоднократно изменять свой знак. Для данного потока получим несколько значений внутренней нормы доходности. Каждое из значений формально удовлетворяет уравнению , однако множественность ответов лишена экономического смысла.