Математические модели финансовых рынков

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Пусть функция полезности инвестора имеет вид

рыночный портфель риск

где .

а) Какой из двух активов A и B с математическим ожиданием , и стандартным отклонением , предпочтет инвестор?

б) Обсудите недостатки выбора в условиях риска на основе критерия «математическое ожидание - дисперсия».

в) Сравните приведенную выше функцию полезности с коэффициентом вариации . Изобразите (примерно) на графике кривые безразличия в пространстве для этих двух целевых функций.

Решение:

а) Вычислим значения функции полезности инвестора для обоих активов:

;

;

Поскольку значение функции полезности для актива А выше, чем для актива B, то инвестор предпочтет актив А.

б) На основе критерия «математическое ожидание - дисперсия» для данных активов нельзя дать однозначного ответа, поскольку:

- с одной стороны , то есть ожидаемая доходность актива B выше доходности актива А, и с этой точки зрения предпочтительнее выглядит актив B;

- с другой стороны , что говорит о более высоком риске при вложении в актив B, то есть с этой точки зрения актив А предпочтительнее, т.к. менее рисковый.

Соответственно, принимая во внимание оба факта, нельзя сделать однозначного вывода о предпочтении одного актива другому и необходимо строить функцию полезности.

в) Вычислим коэффициент ковариации для обоих активов:

;

;

Рис.

Значения коэффициента ковариации для обоих активов одинаково, что свидетельствует об одинаковой степени разброса.

2. В состав портфеля входят по 1000 акций компаний А и B, с ценой 60 и 120 руб соответственно. Стандартные отклонения доходностей составляют и , корреляция доходностей по акциям -- . Рассчитайте портфеля. Как бы вы оценили эффект диверсификации с точки зрения снижение риска портфеля?

Решение:

Вычислим доли каждой акции в портфеле:

;

;

Вычислим портфеля:

=

Стандартное отклонение доходности портфеля близко к минимальному из значений стандартного отклонения доходностей входящих в его состав акций, что на мой взгляд является хорошим результатом с точки зрения минимизации риска.

3. Финансовый аналитик полагает, что акции компании А будут стоить $10 за одну акцию через год. Если доходность государственных облигаций составляет 7% годовых, а ожидаемая доходность рыночного портфеля - 15%, определить, сколько следует платить за акции компании А сегодня, если коэффициент бета акций компании равен 1.5.

Решение:

Вычислим процентную ставку для рыночного портфеля:

Тогда стоимость акции сегодня:

4. Согласно модели CAPM на рынке премируется только систематический риск, измеряемый коэффициентом бета. Противоречит ли модель CAPM подходу к принятию решений на основе математического ожидания и дисперсии.

Решение:

Согласно модели CAPM риск, связанный с инвестициями в любой рисковый финансовый инструмент, может быть разделен на два вида: систематический и несистематический. Систематический риск обусловлен общими рыночными и экономическими изменениями, воздействующими на все инвестиционные инструменты и не являющимися уникальными для конкретного актива. Несистематический риск связан с конкретной компанией-эмитентом. Систематический риск уменьшить нельзя, но воздействие рынка на доходность финансовых активов можно измерить. В качестве меры систематического риска в CAPM используется показатель в (бета), характеризующий чувствительность финансового актива к изменениям рыночной доходности. Зная показатель в актива, можно количественно оценить величину риска, связанного с ценовыми изменениями всего рынка в целом. Чем больше значение в акции, тем сильнее растет ее цена при общем росте рынка, но и наоборот - акции компании с большими положительными в сильнее падают при падении рынка в целом.

В целом, это не противоречит подходу к принятию решения на основе математического ожидания и дисперсии.

5. Пусть цена актива подчиняется закону геометрического броуновского движения. Найдите 95-процентный доверительный интервал для значения цены через 30 дней, если , годовых, текущее значение цены - $50. (Двусторонний 5% квантиль для нормального распределения - 1.96).

Решение:

Стоимость актива через некоторый промежуток времени T определяется следующим образом:

Двусторонний 5% квантиль для нормального распределения - 1,96, соответственно при данных условиях цена акции через 30 дней будет находиться в интервале:

или .

То есть через 30 дней цена акции с 95% долей вероятности будет стоить от 45,17$ до 56,54$.

Размещено на Allbest.ru