Построение корреляционного поля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача № 1

Приводятся данные за 1999 год по территориям Уральского района.

Территории	Инвестиции в основной капитал млрд. руб., Y	Основные фонды в экономике (по балансовой стоимости), млрд. руб., Х
1.Респ. Башкортостан	17,2	381,6
2. Удмуртская респ.	6,3	145,1
3. Курганская обл.	1,6	87,8
4. Оренбургская обл.	8,3	201,1
5. Пермская обл.	14,7	277,5
6. Свердловская обл.	16,5	496,5
7. Челябинская обл.	12,4	333,2
Итого,	77,0	1922,8
Средняя	11,0	274,7
Среднее квадратическое отклонение, у	5,37	131,6
Дисперсия, D	28,87	17313,95

Задание:

1. Расположите территории по возрастанию фактора Х. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и Х.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме связи.

3. Определите параметры линейного уравнения парной регрессии «а₁» и «а₀».

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r_yх) и детерминации (r²_yх ), проанализируйте их значения.

5. Надежность уравнения в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости б=0,05.

6. Рассчитайте по уравнению регрессии теоретические значения результата (y) и по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - е_ср., оцените ее значение.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора составит 1,037 от его среднего уровня (х).

поле корреляция регрессия

Решение:

1. Из графика следует вывод о линейной форме связи дохода(Y) с доле занятых (Х). В этом случае для описания зависимости следует использовать уравнение прямой вида: Y= б₀+ б₁*Х.

2. Расчет неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов, построив систему нормальных уравнений и решая ее, относительно неизвестных б₀ и б_1. Для расчета используем определители второго порядка ?, ?б₀ и ?б₁ Расчетные процедуры выполним в разработочной таблице, в которую. кроме значений Y и х войдут Х², Х*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и Х.

Территории	Yфакт.	Х	Х2	Х*Y	Yрасч.	D	E
1	1,6	87,8	7708,84	140,48	4,004	-2,40	150,23
2	6,3	145,1	21054,01	914,13	6,152	0,15	2,34
3	8,3	201,1	40441,21	1669,13	8,252	0,05	-0,57
4	14,7	277,5	77006,25	4079,25	11,117	3,58	-24,37
5	12,4	333,2	111022,24	4131,68	13,206	-0,81	6,50
6.	17,2	381,6	145618,56	6563,52	15,021	2,18	-12,67
7	16,5	496,5	246512,25	8192,25	19,330	-2,83	-17,15
Итого,	77	1922,8	649363,36	25690,4	77,1	0,00	104,3
Средняя	11	274,7	92766,19429	3670,06			14,9
сигма	5,37	131,6
Дисперсия	28,87	17313,95
?		848383,680
?бс		- 603400,69
?б1		31777,480
бс		0,711
б1		0,0375

3. Расчет определителя системы выполняется по формуле:

?=n*УХ²-УХ*УХ = 7*649363,36 - 1922,8*1922,8 = 848383,68;

Расчет определителя свободного члена уравнения выполняется по формуле:

? б₀ =УY*УХ²-УY*Х-УХ = -603400,69

Расчет определителя коэффициента регрессии выполняется по формуле:

?б₁=n* УY*Х- УY*УХ =7*25690,4 - 77*1922,8 = 31777,48

4. Расчет параметров уравнения регрессии дает следующие результаты:

? б₀ ?б₁

б₀ = ? = 0,711 б₁= ? = 0,0375

В конечном счете, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

Y_х=0,711+0,0375*Х

В уравнении коэффициентов регрессии б₀=0,0375 означает, что при увеличении основных фондов на 1 процент от инвестиций в основной капитал возрастет на 0,0375 млрд. руб.

Свободный член уравнения б₀ =0,711 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на среднедушевой расхода.

5. Относительную оценку силы связи дает общий (средний) коэффициент эластичности:

Это означает, что при изменении инвестиций на 1 процентный пункт (т.к. фактор измеряется в процентах, измерителем его изменений при оценке эластичности является процентный пункт) стоимость основных фондов увеличивается на 9,35 процента.

6. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_yх = б₁*у_х/у_y= 0,0375* (131,6/5,37) = 0,918

r_yх ²=0,918 ² = 0,843

Коэффициент корреляции, равный 0,918 показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между стоимостью фондов и инвестициями. Коэффициент детерминации, равный 0,843, устанавливает, что вариация среднедушевого расхода на 84,3% из 100% предопределена вариацией доли занятых в экономике; роль прочих факторов, влияющих на расход, определяется 12,7 %.

7. Для оценки статистической надежности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - Fфактич. и сравним его с табличным значением - Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе Н₀=а₀=а₁= r_yх =0, то есть, либо примем, либо отклоним ее с уровнем значимости а=0,05.

В нашем случае,

Fфакт= (r_yх ²/(1- r_yх ²))/(к-1)/(n-к)= 26,7647

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата в 26 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия инвестиций и стоимости фондов.

Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия:Fтабл.= 6,61 при степенях свободы df.₁= k-1=1 u d.f.₂=n-k=7-2=5 и уровне значимости а=0,05.

В силу того, что Fфакт.=26,7647>Fтабл.=6,61, нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости и ее параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5 %.

8. Определим теоретические значения результата Yтеор. для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора Х и выполним расчет. По парам значений Yтеор. и Хфакт. строится теоретическая линия регрессии, которая пройдет вблизи от эмпирической регрессии и пересчет ее в нескольких местах. См. график.

9. оценку качества модели дадим с помощью средней ошибки аппроксимации: е=1/n*У(Yфакт-Y)/Yфакт)*100%=14,9%

В нашем случае она составляет 14,9%, что указывает на невысокое, но допустимое качество модели. Которое позволяет использовать ее для выполнения прогнозных расчетов.

Если предположить, что прогнозное значение фактора Х составит1,035 от уровня его средней, то есть Хпрогноз.=1,037*274,7=284,86, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Yпрогноз.= 0,711+0,0375*284,86=11,39 млрд.р.

Задача № 2

Приводятся значения социально-экономических показателей по территориям Уральского, Западно-Сибирского районов РФ за 1999 год.

Территория	Валовой региональный	Объем промышленной	Основные фонды в	Среднемесячная заработная плата
	продукт, млрд. руб.	продукции, млрд. руб.	экономике, млрд. руб.	работающих в экономике, тыс. руб.
А	Y	X1	X2	X3
1.Респ. Башкортостан	64,2	89,9	381,6	1,26
2. Удмуртская респ.	20,0	32,8	145,1	1,18
3. Курганская обл.	9,7	10,6	87,8	1,01
4. Оренбургская обл.	28,8	41,3	201,1	1,27
5. Пермская обл	55,6	77,3	277,5	1,72
6. Свердловская обл.	80,7	114,7	496,5	1,56
7. Челябинская обл.	47,1	91,1	333,2	1,41
8.Респ. Алтай	1,6	0,2	6,7	0,92
9. Алтайский край	22,4	21,5	207,0	0,97
10 Кемеровская обл.	45,6	63,9	290,4	1,73
11. Новосибирская обл.	35,2	23,8	264,4	1,27
12. Омская обл.	29,5	17,0	190,7	1,17
13. Томская обл.	21,2	15,5	143,2	1,69
14Тюменскаяобл.	201,2	228,9	903,9	3,89
15Респ. Бурятия	11,2	8,3	85,5	1,39
16Респ. Тыва	1,8	0,6	14,1	1,03
17.Респ.Хакасия	8,2	10,7	59,1	1,70
18. Красноярский край	71,6	124,5	395,9	2,05
19. Иркутская обл.	52,6	72,4	321,6	1,99
20. Читинская обл.	13,2	7,2	93,7	1,67
Итого, У1	620,2	823,3	3994,8	26,99
Средняя1	32,64	43,33	210,3	1,421
Среднее квадратическое отклонение, у1	23,43	39,3	134,4	0,3329
Дисперсия, D1	548,9	1544,8	18073,3	0,1108

В процессе предварительной обработки исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции:

	Х1	Х2	Х3
Y	0,9576	0,9803	0,5367
Х1	ХХХХ	0,9295	0,5442
Х2	ХХХХ	ХХХХ	0,3674

Задание:

1. По значениям линейных коэффициентов парной корреляции r выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. произведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель

2. Выполните расчет бэта коэффициентов (в) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе. Проанализируйте с помощью бэта коэффициентов (в) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

3. По значениям в-коэффициентов рассчитайте параметров уравнения в естественной форме (а₁, а₂ и а₀). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности - Э_yх.

4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R², а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости а=0,050).

5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 104 процента от их среднего уровня.

6. Основные выводы оформите аналитической запиской.

Решение:

1. Представленные значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что валовой региональный продукт - Y более тесно связан с объемом промышленной продукции - Х₁ (r_yх1 = 0,9576) и с основным фондом в экономике - Х₂ (r_yх2=0,9803); наименее тесно результат y связан с долей занятых - Х₃. Поэтому, в силу небольшой информативности фактора Х₃, исключаем его из дальнейшего анализа, оставляя для рассмотрения только Х₁ и Х₂.

2. Выполним расчет частных коэффициентов корреляции по следующим формулам:

r_yx1x2 = (r_yx1-r_yx2*r_x1x2 )/(1- r²_yx2)*(1- r²_x1x2)=0,0320

r_yx2x1 = (r_yx2-r_yx1*r_x1x2 )/(1- r²_yx2)*(1- r²_x1x2)= 1,2382

r_x1x2y = (r_х1x2-r_yx1*r_yx2 )/(1- r²_yx1)*(1- r²_x1x2)= -0,1268

Как видим, факторы Х₁ и Х₂, действительно, тесно связаны с результатом. Эти обстоятельства позволяют использовать Х₁ и Х₂ в качестве факторов уравнения множественной регрессии.

3. При построении двухфакторной регрессионной модели Y=а₀+а₁х₁+а₂х₂ воспользуемся с целью упрощения расчетов методом стандартизированных переменных. В этом случае исходное уравнение приобретает вид:

t_y=в_yx1*t_x1+ в_yx2*t_x2. Выполним расчет в - коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.

в_yx1=r_yx1-r_yx2*r_x1x2/(1-r²_x1x2)= 0,3412

в_yx2=r_yx2-r_yx1*r_x1x2/(1-r²_x1x2)= 0,6632

В результате получено уравнение в стандартизированном масштабе:

t_y= 0,3412*t_x1+ 0,6632*t_x2.

Параметры данного уравнения представляют собой относительную оценку силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении объемом промышленной продукции на одну сигму от своей средней валовой региональный продукт увеличится на 0,341 своей сигмы; с увеличением основных фондов в экономике на у_х2 результат увеличится на 0,663у_y. Сравнивая в - коэффициенты, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой слабее. В данном случае, увеличение валового регионального продукта происходит, прежде всего, под влиянием увеличения объемов промышленной продукции и в меньшей степени - в результате увеличения основных фондов в экономике.

4. По полученным значениям в - коэффициентов выполним расчет параметров уравнения в естественной форме:

а₁= в_yx1* у_y/ у_х1 = 0,2034

а₂= в_yx2* у_y/ у_х2 = 0,1156

a₀=Y-а₁*х₁-а₂х₂ = -0,4865

В конечном счете, имеем уравнение: Y_х1х2 = -0,4865+0,2034*х₁+0,1156*х₂. По значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу.

А	Y	X1	X2	Y расч.	Yфакт-Y расч.	Е, %
1	64,2	89,9	381,6	61,91212	2,2879	-3,5637
2	20	32,8	145,1	22,95858	-2,9586	14,7929
3	9,7	10,6	87,8	11,81922	-2,1192	21,8476
4	28,8	41,3	201,1	31,16108	-2,3611	8,1982
5	55,6	77,3	277,5	47,31532	8,2847	14,9005
6	80,7	114,7	496,5	80,23888	0,4611	0,5714
7	47,1	91,1	333,2	56,56116	-9,4612	20,0874
8	1,6	0,2	6,7	0,3287	1,2713	79,4563
9	22,4	21,5	207	27,8158	-5,4158	24,1777
10	45,6	63,9	290,4	46,081	-0,4810	1,0548
11	35,2	23,8	264,4	34,91906	0,2809	0,7981
12	29,5	17	190,7	25,01622	4,4838	15,1993
13	21,2	15,5	143,2	19,22012	1,9799	9,3391
14	11,2	8,3	85,5	11,08552	0,1145	1,0221
15	1,8	0,6	14,1	1,2655	0,5345	29,6944
16	8,2	10,7	59,1	8,52184	-0,3218	3,9249
17	71,6	124,5	395,9	70,60284	0,9972	1,3927
18	52,6	72,4	321,6	51,41662	1,1834	2,2498
19	13,2	7,2	93,7	11,8097	1,3903	10,5326
Итого, У1	620,2	823,3	3994,8	620,2	0	255,6760
Средняя1	32,64	43,33	210,3			13,4566
Среднее квадратическое	23,43	39,3	134,4
отклонение, у1	548,9	1544,8	18073,3

С увеличением Х₁ на 1 млрд. руб. Y увеличится на 0,2034 млрд. руб., с увеличением х₂ возрастает на 0,1156 млрд. руб. Но так как признаки измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии не следует. Точную оценку силы связи факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и в - коэффициенты.

4. для сравнительной оценки силы связи выполним расчет средних коэффициентов эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1 % от своего среднего значения. В нашем случае, как показал расчет, влияние объема промышленной продукции на валовой региональный продукт оказалось более сильным по сравнению с влиянием основного фонда в экономике.

Различия в силе влияния невелики, но второй фактор влияет сильнее, чем первый. Поэтому регулирование величины стоимости валового регионального продукта через основные фонды будет более результативным, чем через объем промышленной продукции.

Э_yx1 = а₁* (х₁/y) =0,2700

Э_yx2 = а₂* (х₂/y) =0,7449

5. Для оценки качества теоретического уравнения через среднюю ошибку аппроксимации необходимо рассчитать теоретические значения признака - результата Yтеорет. Для этого в полученное уравнение множественной регрессии подставим фактические значения признаков-факторов: Х₁ и Х₂ и выполним расчет. Полученные результаты представлены в гр. 5 расчетной таблицы. В гр. 6 подсчитаны отклонения фактических значений результата от его теоретических значений: Yфактич. - Yтеор. В гр. 7 рассчитаны индивидуальные ошибки аппроксимации е_i Средняя ошибка определяется на основе суммы индивидуальных ошибок как их типическая величина:

е_i =1/nУ е_i =1/nУ(Yфакт-Yтеор)/Yфакт*100%=13,4566%

В данном случае, средняя ошибка весьма велика, что не позволяет использовать модель для прогнозных расчетов - результат будет неточен и ненадежен. Исправить положение можно, повысив степень типичности модели. Этого можно добиться, если исключить из анализа территории с максимальной ошибкой, а для оставшихся единиц - построить новое регрессионное управление, выполнив заново все расчетные процедуры.

6. Тесноту выявленной зависимости валового регионального продукта от объема промышленной продукции и от основных фондов оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчет коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и в - коэффициентов. R_yxj = Уr_yxj*в_yxj. в нашем случае 2-х факторной зависимости расчет строится следующим образом:

R_yx1х2 = Уr_yx1*в_yx1 + r_yx2*в_yx2= 0,9883

R²_yx1х2= 0,9768

Как показали расчеты, установлена весьма тесная зависимость валового регионального продукта от объема промышленной продукции и от основных фондов. Это означает, что 98,8 % вариации валового регионального продукта определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 1,2% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых весьма незначительна.

7. Оценка статистической значимости или надежности установленной формы зависимости, ее параметров, оценок ее силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. С целью подобной оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов, то есть,

Н₀:а₀=а₁=а₂=R²_yx1x2

Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f..₁=k-1 и d.f.₂=n-k.

Fфакт= (R²_yх1х2 /(1- R²_yх1х2))/(к-1)/(n-к)= 400,3542

Фактическое значение критерия показывает, что детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых факторов почти в 400 раза больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. очевидно, что такое соотношение случайно сформироваться не может, а является результатом влияния существенных, систематических факторов.

Для принятия обоснованного решения Fфактич. сравнивается с F табл., корое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (d.f..₁=k-1) и остаточной (d.f.₂=n-k) дисперсией, а также от уровня значимости а=0,10. В нашем примере, где d.f..₁=k-1=3-1=2 и d.f.₂=n-k=19-3=16 при а=0,05 F табл=3,63. В силу того, что Fфакт.=400,35>Fтабл.=3,63 можно с высокой степенью надежности утверждать, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами. Техническая связь прогнозных расчетов по уравнениям множественной регрессии сравнительно проста. Достаточно определить прогнозные значения каждого факторного признака Х_j,m., подставить их в уравнение и выполнить с ними указанные расчеты. При этом следует помнить, что требования к точности и надежности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования. В нашем случае первое прогнозное значение m₁ каждого из факторов Х₁ и Х₂ получено на основе средней величины:

Х _{1, м=1}=Х₁*1,065=46,146

Х _{2 м=1}=Х₂*1,065=223,970

После подставки в уравнение имеем следующий результат:

Y_х1х2 = -0,4868+0,2034*46,146+0,1156*223,97=34,79 (млрд. руб.)

Если объем промышленной продукции составит 46,146 млрд. руб., а основные фонды возрастут до 223,97 млрд. руб., то следует ожидать формирование валового регионального продукта в размере 34,7*9 млрд. руб.

Задача № 3

Приводится система рабочих гипотез:

Y₁=f(Y₂, Y₃ Х₁,Х₂,)

Y₂=f(Y₁, Y₃, Х_1, Х_2, Х₄)

Y₃= f(Y₁, Х₃,Х_4,)

Y₄=f(Y₂, Х_1, Х_2, Х₃ ,Х₄)

Задание:

1. На основе рабочих гипотез постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;

2. 2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнении и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;

3. Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенных МНК, двухшаговый МНК).

Решение:

1. Система структурных уравнений описывает в формализованном виде выдвигаемые рабочие гипотезы.

Y₁=Я₁₂*Y₂ + Я₁₃*Y₃ +а₁₁*Х₁+а₁₂*Х₂

Y₂=Я₂₁*Y₁+ Я₂₃*Y₃+а₂₁*Х₁+а₂₂*Х₂+а₂₄*Х₄

Y₃=Я₃₁*Y₁ +а₃₃*Х₃ +а₃₄Х₄

Y₄=Я₄₂*Y₂ +а₄₁*Х₄ +а₄₂Х₂+а₄₃*Х₃ +а₄₄Х₄

Выполним идентификацию каждого структурного уравнения и системы в целом для ответа на вопрос имеют ли уравнение и система в целом решения. Воспользуемся счетным правилом, по которому в каждом уравнении системы необходимо сравнить число эндогенных переменных - Y и число отсутствующих в уравнении экзогенных переменных из общего для всей системы их перечня - Х.Для удобства анализа представим результаты в таблице.

Результаты идентификации структурных уравнений и системы в целом.

Номер уравнения	Число эндогенных переменных в уравнении, Н	Число экзогенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении, D	Сравнение параметров Н и D+1	Решение об идентификации уравнения
1	3	2	2+1=3	Точно идентифицировано
2	3	1	1+1<3	Неидентифицировано
3	2	2	2+1>2	сверхидентифицировано
	2	1	2+1=3	Точно идентифицировано
Система уравнений в целом	Неидентифицирована

2. В том случае, когда хотя бы одно из уравнений не имеет решения, система в целом также не имеет решения. Если подобный результат не устраивает, необходимо внести коррективы в исходные рабочие гипотезы и отредактировать их таким образом, чтобы идентификация была возможна.

3. Теоретический анализ содержания взаимосвязи, отраженной в уравнении № 2, позволяет рассмотреть варианты возможной корректировки. Во-первых, из правой части может быть исключена одна из эндогенных переменных. Ею может оказаться Y₃ или Y₁. Во-вторых, возможна корректировка путем исключения из правой части уравнения одной из экзогенных переменных, которая по смыслу наименее связана с результатом. Это может быть Х₂ или Х₁ или Х_4. В результате подобной корректировки рабочей гипотезы уравнение № 2 становится идентифицированным, а система в целом идентифицированной.

4. Для поиска решений идентифицированной системы уравнений применяются: косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) - для точно идентифицированных уравнений.

Задача № 4

По территориям Центрального федерального округа России имеются данные о следующих показателях за 2000 год:

Y₁ -стоимость валовой регионального продукта , млрд. руб.

Y₂ - розничный товарооборот, млрд. руб.

Х₁ - основные фонды в экономике, млрд. руб.

Х₂ - инвестиции в основной капитал, млрд. руб.

Х₃ - численность занятых в экономике, млн. чел.

Изучения связи социально-экономических показателей предполагает проверку следующих рабочих гипотез:

Y₁=f(Y₂,Х₁,Х₂)

Y₂=f(Y₁,Х_{1 ,}Х₃)

Для их проверки выполнена обработка фактических данных и получена следующая система приведенных уравнений:

Y₁₌-12,58+0,16997Х₁+1,692Х₂+1,478Х₃+12,88Х₄; R²=0,9195 ; F_фактич.=53,3

Y₂=-2,885+0,08106Х₁-0,2016Х₂+15,57Х₃+8,29Х₄ ; R²=0,9383 ; F_фактич.=71,0

Задание:

1. Построить систему структурных уравнений и провести ее идентификацию;

2. Проанализировать результаты решения приведенных уравнений;

3. используя результаты построения приведенных уравнений, рассчитать параметры структурных уравнений (косвенных МНК); проанализируйте результаты;

4. Укажите, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных Y₁ и Y_2.

Решение:

1. Построение системы структурных уравнений выполняется в соответствии с рабочими гипотезами:

Y₁=Я₁₂*Y₂ +а₁₁*Х₁+а₁₂*Х₂

Y₂=Я₂₁*Y₁+а₂₂*Х₂+а₂₃*Х₃

2. В соответствии со счетным правилом оба уравнения и система в целом являются точно идентифицированными и это означает, что они имеют единственное решение, которое может быть получено косвенным МНК (КМНК).

Номер уравнения	Число эндогенных переменных в уравнении, Н	Число экзогенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении, D	Сравнение параметров Н и D+1	Решение об идентификации уравнения
1	2	1	3=2+1	Точно идентифицировано
2	2	1	3=2+1	Точно идентифицировано
Система в целом	Точно идентифицировано

3. Процедура КМНК состоит в том, чтобы путем преобразования результатов решения приведенных уравнений получить искомые структурные уравнения. Используемый прием подстановок обеспечивает получение точных результатов только в том, случае, если выполняемые преобразования точны и безошибочны. Чтобы получить первое структурное уравнение из первого приведенного необходимо отсутствующий в структурном уравнении признак Х₃ выразить через Y₂, используя результаты второго приведенного уравнения. То есть:

Х₃= (Y₂+2,885-0,08106Х₁+0,2016Х₂)/15,57

После подстановки значения Х3 в первое приведенное уравнение и преобразования подобных членов, получаем следующий результат:

Y₁=-1,258+0,16997Х₁+1,692Х₂+1,478*((Y₂+2,8850,08106Х₁+0,2016Х₂)/15,57)

=0,094 Y₂ -0,9842+0,17766Х₁+1,7111Х₂

Как видим, полученный результат соответствует исходной рабочей гипотезе. Анализ показывает, что стоимость ВРП находится в прямой зависимости от розничного товарооборота, от размера инвестиции в основной капитал и от численности населения, занятого в экономике региона. Указанные переменные объясняют 91,9% вариации результата, а характеристики установленной зависимости являются статистически значимыми и надежными, так как:

F_факт.=53,3> F_табл.=3,59

Следовательно, есть основания для отклонения нулевой гипотезы о случайной природе выявленной зависимости.

Аналогично выполняем преобразования для определения параметров второго структурного уравнения. Выразим отсутствующий в уравнении Х1 через Y₁, используя результаты построения первого приведенного уравнения. То есть:

Х₁= (Y₁+1,258-1,692Х₂-1,478Х₃)/0,16997

Y₂=-2,285+0,4769 Y₁-1,0085Х₂+14,865 Х₃

Уравнение описывает линейную зависимость розничного товарооборота от стоимости ВРП, от численности занятых в экономике и от среднедушевого денежного расхода за месяц. Данный перечень переменных объясняет 93,8% вариации оборота розничной торговли, а соотношение F_факт.=71,0> F_табл.=3,59 позволяет отклонить нулевую гипотезу о случайной природе выявленной зависимости.

4. Для выполнения прогнозных расчетов Y₁ и Y₂ наиболее простым является вариант, по которому прогнозные значения экзогенных переменных подставляются в приведенные уравнения. Точность и надежность прогнозов в этом случае зависит от качества приведенных моделей и от того, как сильно отличаются прогнозные значения экзогенных переменных от их средних значений.

Задача № 5

Приводятся данные о стоимости экспорта (М_t) и импорта (Q_t) Швеции за 1990-1999 гг.

Годы	Экспорт (Мт)	Импорт (Vт)
	Мт фактич	Мт теор	Vт факич	Vт теор
1990	57,6	45,8	54,3	47,4
1991	55,2	56,8	50,	49,5
1992	56,1	53,2	50,	51,8
1993	19,9	67,8	42,7	54,2
1994	61,3	71,3	51,7	56,7
1995	79,8	74,2	64,7	59,4
1996	84,9	76,7	72,9	62,1
1997	82,9	78,8	65,7	65,0
1998	84,8	80,6	68,2	68,0
1999	84,9	82,3	68,5	71,1

В уровнях ряда экспорта выявлен линейно-логарифмический тренд: М_t =45,8+15,99ln t ?²=0,618 в уровнях ряда импорта - экспоненциальный тренд Q_t= е^{3,813+0,0452*t}; ?²=0,583 По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уравнений: M_Ктеор. и Q_теор.

Задание:

1. Изучите связь уровней рядов по связи отклонений фактических значений каждого ряда от теоретических (DM_t=М _факт.- М_теор.; DQ_т=Q_факт.-Q_теор.)

2. Используя линейный коэффициент парной корреляции, оцените тесноту связи отклонений;

3. Статистическую значимость установленной связи оцените с помощью Fфакт. Фишера.

4. Проанализируйте полученные результаты.

Решение:

1. Тесноту связи рядов оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции отклонений от тренда:

r _{DMt DQт}= (DMt *DQт- DMt *DQт)/ (у _DMt *у _DQт)

2.Для решения задачи оформим расчетную таблицу, в которой выполним все необходимые подсчеты.

Экспорт и импорт Швеции за 1990-1999 гг.

Годы	Экспорт (Мт)	DМт	DМт2	Импорт (VQт)	DQт	DQт2	DМт*DQт
	Мт факич	Мт теор			Qт факич	Qт теор
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1990	57,6	45,8	11,8	139,24	54,3	47,4
1991	55,2	56,8	-1,6	2,56	50	49,5	0,5	0,25	-0,8
1992	56,1	53,2	2,9	8,41	50	51,8	-1,8	3,24	-5,22
1993	19,9	67,8	-47,9	2294,41	42,7	54,2	-11,5	132,25	550,85
1994	61,3	71,3	-10	100	51,7	56,7	-5	25	50
1995	79,8	74,2	5,6	31,36	64,7	59,4	5,3	28,09	29,68
1996	84,9	76,7	8,2	67,24	72,9	62,1	10,8	116,64	88,56
1997	82,9	78,8	4,1	16,81	65,7	65	0,7	0,49	2,87
1998	84,8	80,6	4,2	17,64	68,2	68	0,2	0,04	0,84
1999	84,9	82,3	2,6	6,76	68,5	71,1	-2,6	6,76	-6,76
ИТОГО	609,8	641,7	0	2545,19	534,4	537,8	0	312,76	710,02
СРЕДНЯЯ	60,98	64,17		254,52	53,44	53,78	0	31,28	71,00
Сигма			15,954				5,592

3. Заполним графы 1,2 и 5,6 с исходными данными, приведенными в условии.

4. Выполним расчет граф 3 и 7, где представлены отклонения фактических значений уровней ряда от расчетных (трендовых) значений.

5. Сумма отклонений от расчетных значений равна нулю (строка «Итого», гр.3 и 7)

6. Подсчитаем квадрат отклонений DМт² и DQт², заполним гр.4 и 8. Сумма квадратов отклонений необходима для расчета показателей вариации отклонений DМт и DQт. Средняя из суммы квадратов отклонений - это величина дисперсии для DМт и DQт. Здесь 254,52 и 31,28, соответственно. Извлекая квадратный корень из дисперсии, получаем необходимое для дальнейшего расчета значения сигмы для DМт и сигмы для DQт, то есть у D_Мт =15,954 и у_DQт=5,592.

7. В гр. 9 рассчитаем произведение отклонений: DМт * DQт. Сумма этих произведений составила710,02. Среднее значение суммы произведений, необходимое для расчета, составила 71.

8. Подставляя полученные результаты в расчетную формулу, получаем следующий результат:

r _{DMt DQт}= (DMt *DQт- DMt *DQт)/ (у _DMt *у _DQт)=71/(15,954*5,592)=0,014

r² _{DMt DQт}=0,000196

Задание № 6

Приводятся данные о среднегодовом уровне цен мирового рынка кофе в Бразилии за 1961-1999 гг., ам. центы за фунт. Необходимо изучить цикличность изменения цен за период.

Годы	Yт фактич.	Годы	Yт фактич.	Годы	Yт фактич.
1961	29,5	1974	39,8	1987	44,1
1962	28,7	1975	29,9	1988	48,8
1963	26,3	1976	39,5	1989	48,7
1964	25,3	1977	41,6	1990	50,3
1965	25,7	1978	49,9	1991	47,6
1966	23,6	1979	64,2	1992	46,7
1967	19,9	1980	73,5	1993	47,3
1968	19,9	1981	57,0	1994	48,9
1969	26,2	1982	45,3	1995	56,7
1970	21,1	1983	56,2	1996	54,8
1971	18,0	1984	49,6	1997	53,6
1972	18,1	1985	41,8	1998	52,6
1973	35,1	1986	41,2	1999	50,2

Предварительный анализ выявил несколько лаговых переменных, которые могут представлять интерес при моделировании циклических колебаний.

Лаговые переменные Yт-т	Линейный коэффициент парной корреляции
	Уравнений исходного ряда и лаговой переменной rYtYt-й	Критическое значение для А=0,05 и D.F.=N -Т-2, где N=39
19	0,2109	0,4438
20	0,3279	0,4555
21	0,4799	0,4683
22	0,5188	0,4821
23	0,1887	0,4973

Задание:

1. Установите информативные лаговые переменные;

2. Выберите наиболее информативную лаговую переменную и постройте линейное уравнение парной регрессии (уравнение авторегрессии);

3. По уравнению авторегрессии выполните прогноз на четыре года;

4. Проанализируйте полученные результаты.

Решение:

1. Из представленных пяти лаговых переменных, но среди этих следует выбрать единственную лаговую переменную, которая наиболее тесно связана с исходными уровнями ряда. Такой является 22 лаговая переменная, для которой r_YtYt-й=0,5188 и является максимальной из представленных.

2. С выбранной лаговой переменной строим уравнение авторегрессии по рассмотренным ранее правилам, используя определители второго порядка. Для расчета сформулируем базу данных и представим ее в расчетной таблице. С этой целью уровни исходного ряда сместим относительно первого уровня на 22 года, то есть до 1983 г.

3. В результате расчета определителей и параметров уравнения получены следующие результаты Yt=41,0978-0,3*Y _t-22. Это означает, что Y _t- - уровень цен данного года зависит от цены, имевшей место 22 года тому назад и составляет 0,5188 часть от ее уровня. Прочие факторы также влияют на Y _t и определяют ее величину на уровне 115,7968.

4. Линейный коэффициент автокорреляции r_YtYt-30 - в нашем случае составляет 0,6352, а квадрат его значения r²_YtYt-3 указывает, что 40,34% вариации современного уровня цен определены вариацией уровня цен 322-летней давности.

5. Для выполнения прогноза на предстоящие четыре года подставим в уравнение авторегрессии в качестве фактора фактические значения уровней исходного ряда, начиная 1978 года, Для этих значений фактора получены следующие прогнозные значения результата: Y₂₀₀₀= 56,0678 , Y₂₀₀₁= 60,3578 Y₂₀₀₂= 6,3,1478 , Y₂₀₀₃= 58,1978. Средняя ошибка аппроксимации в 0,6% позволяет предположить, что точность выполненного прогноза будет в допустимых границах при высокой вероятности его реализации.

Список литературы:

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. -М.: Финансы и статистика, 2000.

2. Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. и др. Эконометрика. - М.: Финансы и статистика, 2001.

3. Маленво Э. Статистические методы эконометрики. -М.: Статистика, 2000.

Размещено на Allbest.ru