Финансовая математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ТЕРРИТОРИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

Кафедра учета и финансов

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Финансовая математика

Работу выполнил:

Студент гр. 12ФЗ-401

Ф.И.О. Городцова М.В.

Работу проверил:

(звание) старший преподаватель

Ф.И.О. Маврина Н.А.

Челябинск 2012

Задача 1

Депозитный сертификат номиналом 100 руб. выдан 5 мая погашение 7 ноября под 25% годовых. Определить сумму начисленных процентов и сумму погашения долгового обязательства (3-мя способами).

Решение:

1 способ. Если капитализация насчитывается на конец депозита (т.е. 7 ноября) - тогда 25 % годовых делим на 365 дней и получаем 0,06849 % в день. От 5 мая до 7 ноября 186 дней: 186дн. * 0,06849% = 12,739 %. т.е. 7 ноября депозитный сертификат номиналом 100 рублей должен быть выкуплен за 112,74 рублей.

2 способ. Если капитализация поквартальная, то за каждые 3 месяца начисляется 6,25 %: 5 мая - 5 августа - 106,25 руб.; 5 августа - 5 ноября - 6,640 (это проценты от суммы собранной в 1 квартале) + 106,25 = 112,89 руб.; плюс 2 дня = 112,89 + (0,06849 % * 2) = 113,02 рублей.

3 способ. Если дневная капитализация, то депозитный сертификат будет выкуплен за: 100 руб. * (1 + 25 % / 365 дней) = 106,85 рублей.

Задача 2

За какой срок наращения стоимость финансового инструмента номиналом 125 000 рублей достигнет 140 000 рублей при условии начисления сложных процентов по ставке 8 % раз в году и поквартально? Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам.

Решение:

Найдем 1 процент: 125 000 / 100 % = 1 250 руб.

1 250 руб. * 8 % = 10 000 руб. (это 8 процентов)

140 000 руб. - 125 000 руб. = 15 000 руб. - всего переплаты.

15 000 / 10 000 = 1,5 года.

Задача 3

Простая процентная ставка по векселю равна 10 %. Определить значение эквивалентной ставки, если вексель выдан:

а) на 2 года;

б) на 250 дней.

При сроке 250 дней рассмотреть варианты:

1) временная база ставок одинакова - 360 дней;

2) временная база процентной ставки - 365 дней, учетной 360 дней.

Решение:

Эквивалентная учетная ставка связана с простой учетной ставкой следующей зависимостью:

,

где i - простая учетная ставка;

n - срок ссуды в годах.

В случае, когда срок ссуды меньше года: n = t/K,

где t - число дней ссуды;

К = 360 дней.

а) Определим эквивалентную учетную ставку, если вексель выдан на 2 года:

= 8,33%

Как видно, при наращении по учетной ставке 8,33% владелец векселя получит такой же доход, что и по простой ставке 10%.

б) 1. Определим эквивалентную учетную ставку для векселя, выданного на 250 дней, если временная база 360 дней:

, что составляет 9,35 %

2. Определим эквивалентную учетную ставку для векселя, выданного на 250 дней, если временная база 365 дней:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

, что составляет 9,36 %

Задача 4

Ставка по облигации номиналом 3 500 рублей составляет 7 %. Определить число лет, необходимое для удвоения стоимости облигации, применив простые и сложные проценты:

а) используя антисипативные проценты;

б) используя декурсивные проценты.

Решение:

а) t = (1 - P / S) / i * k = (1 - 3 500 / 7 000) / 0,07 * 365 = 2 607 дней = 7,2 года.

б) Применяя простые проценты, получим:

t = (S / P - 1) / i * k = (7 000 / 3 500 - 1) / 0,07 * 365 = 5 214 дней = 14,3 года

Применяя сложные проценты, получим:

n = (log2 7 000 / 3 500) / (log2 (1 + 0,07)) = 1 / 0,098 = 10,2 года

Задача 5

В условиях выпуска сертификата Сбербанка номиналом 1 200 рублей предусмотрены выкупные суммы в зависимости от срока хранения: за 5 лет - 2 300 рублей. 7 лет - 2 595 рублей. Определить уровни годовых сложных ставок процента для указанных сумм наращения.

Решение:

Уровень годовой сложной ставки процента за 5 лет составит:

i = (nv S/P) - 1 = (5v2 300 / 1 200) - 1 = 1,139 - 1 = 0,139 = 13,9 %

Уровень годовой сложной ставки процента за 7 лет составит:

i = (nv S/P) - 1 = (7v2 595 / 1 200) - 1 = 1,116 - 1 = 0,1169 = 11,6 %

Задача 6

По муниципальной облигации номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: первый год - 60 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 5 %.

Требуется:

1) определить наращенную стоимость облигации по простой процентной и учетной ставкам;

2) составить план наращения первоначальной стоимости по простым процентам;

3) рассчитать наращенную стоимость облигации по сложной процентной и учетной ставкам;

4) составить план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам;

5) построить график наращения стоимости по простым и сложным процентам;

6) проанализировать доходность вариантов.

Решение:

1) Наращенная стоимость по простой процентной ставке:

Pn = P(1+ni)

Pn = 10 000 (1 + 1 * 0,6 + 0,5 * 0,65 + 0,5 * 0,7 + 0,5 * 0,75) = 26 500 руб.

Наращенная стоимость по простой учетной ставке:

S = P/(1-d*T)

S1год = 10 000 / (1 - 0,6 * 1) = 25 000 руб.

Проценты I 1год = 25 000 - 10 000 = 15 000 руб.

S3полугодие = 10 000/(1 - 0,65 * 0,5) = 14 815 руб. (сумма за 3 полугодие)

I 3полугодие = 14 815 - 10 000 = 4 815 руб.

S4полугодие = 10 000/(1 - 0,7 * 0,5) = 15 385 руб.

I 4полугодие = 15385 - 10000 = 5 385 руб.

S5полугодие = 10 000 / (1 - 0,75 * 0,5) = 16 000 руб.

I 5полугодие = 16 000 - 10 000 = 6 000 руб.

Суммарная наращенная стоимость по учетной ставке:

S = 15 000 + 4 815 + 5 385 + 6 000 = 31 200 руб.

2)

Период начисления	Метод: простые проценты
1 год	10 000 (1 + 1 * 0,6) = 16 000
1,5 года	10 000 (0,5 * 0,65) + 16 000 = 19250
2 года	10 000 (0,5 * 0,7) + 19 250 = 22 750
2,5 года	10 000 (0,5 * 0,75) + 22 750 = 26 500

3) При начислении сложных процентов применяется формула

S = P(1+i1 t1)(1+ i2 t2)(1+ i3 t3)(1+ in tn)

S = 10 000 (1 + 0,6 * 1)(1 + 0,65 * 0,5)(1 + 0,7 * 0,5)(1 + 0,75 * 0,5) = 39 352,5 руб.

Сложная учетная ставка: S = Р / (1 - dс) n

S1год = 10 000 / (1 - 0,6)1 = 25000 руб.

S3полугодие = 25 000 / (1 - 0,65)0,5 = 42 258 руб.

S4полугодие = 42 258 / (1 - 0,7)0,5 = 77 152 руб.

S5полугодие = 77 152 / (1 - 0,75)0,5 = 154 304 руб.

4)

Период начисления	Метод: сложные проценты
1 год	10 000 (1 + 0,6 * 1) = 16 000
1,5 года	16 000 (1 + 0,65 * 0,5) = 21 200
2 года	21 200 (1 + 0,7 * 0,5) = 28 620
2,5 года	28 620 (1 + 0,75 * 0,5) = 39 352,5

5)

6) После первого года простая учетная ставка и сложная учетная ставка и проценты дают примерно одинаковый результат, поэтому на этом этапе разницы между этими методами начисления процентов для кредитора и заемщика почти нет. Уже на втором этапе резко выделается сложная учетная ставка, которая выгода кредитору и невыгодна заемщику. Разница между методами начисления процентов начинается и усиливается после 1,5 года.

Из графика ясно, что наиболее выгодным для кредитора является вариант сложной учетной ставки. Затем идут сложные проценты, простая учетная ставка и наименее выгодными являются простые проценты.

Для заемщика ситуация противоположна - наиболее выгодным вариантом являются простые проценты, наименее выгодна сложная учетная ставка.

Кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент -- в одном случае и под простой дисконт -- в другом.

Задача 7

Определить число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15 % годовых.

Решение:

Сначала определим число лет при начислении простых процентов.

Формула простых процентов:

Pn = P(1+ni), где

Pn - наращенная сумма,

i - ставка процента,

P - изначальная сумма,

n - число периодов начисления.

Составим уравнение:

Первоначальный капитал увеличится в 5 раз, следовательно

Pn = 5P

5P = P(1 + n*0,15)

1 + n*0,15 = 5

0,15n = 4

n = 26,6 т.е. примерно через 26,6 лет капитал увеличится в 5 раз при простых процентах.

Формула сложных процентов:

Pt = P(1 + i)t, где

t - количество периодов наращения,

i - ставка процента,

P - изначальная сумма,

Pt - наращенная сумма.

Первоначальный капитал увеличится в 5 раз, следовательно,

Pn = 5P

5P = P(1 + 0,15)t

(1,15)t = 5

t = 11,5 т.е. через 11,5 лет капитал увеличится в 5 раз при сложных процентах

Задача 8

Вексель с обязательством 15 тыс. руб. учитывается банком за 3 месяца до погашения с дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента.

Решение:

Формула расчета дисконта банка:

D = d*S*n, где

d - годовая учетная ставка,

n - срок до даты учета,

S - наращенная сумма.

d = D/ S*n

d = 3 000 / 15 000 * 3/12 = 0,8 т.е. 80 %

Задача 9

Вексель погашается через 3 года за 5 тыс. руб. Определить дисконтную цену векселя по простым и сложным процентам.

Решение:

В условии пропущена ставка процентов. Примем ставку процентов за 10% годовых. Тогда:

P = S(1 - dt)

P = 5 000 (1 - 0,1*5) = 2500 руб. - при простых процентах

P = S(1 - d)n

P = 5000 (1 - 0,1)5 = 2952 руб. - при сложных процентах

финансовый процентный ставка облигация вексель

Задача 10

Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 10 млн. руб. Определить наращение суммы вклада через 2 года, если проценты начисляют ежеквартально из расчета 80% годовых.

Решение:

Простые проценты:

Pn = P(1+ni)

для простых процентов неважно, сколько раз в год начисляют проценты, поэтому ежеквартальное начисление не учитываем (итоговая сумма будет та же)

Pn = 10 000 000 ( 1 + 2*0,8) = 26 млн. руб.

Сложные проценты:

Pt = P(1 + i)t,

процентная ставка за квартал t = 80/4 = 20%

Pt = 10 000 000 (1 + 0,2)2*4 = 42 998 169,6 руб.

№ задачи	Результаты (с единицами измерения)
1	1) 112,74 руб.; 2) 113,02 руб.; 3) 106,85 руб.
2	1,5 года
3	а) 8,33 %; б) 1. 9,35 %; 2. 9,36 %
4	а) 7,2 года; б) 14,3 года; 10,2 года
5	13,9 %; 11,6 %
6	1) 26 500 руб.; 3) 39 352,5 руб.
7	26,6 лет; 11,5 лет
8	80 %
9	2 500 руб.; 2 952 руб.
10	26 млн. руб.; 42 998 169,6 руб.

Размещено на Allbest.ru