Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В учебном процессе при подготовке экономистов, финансистов, коммерсантов, менеджеров и маркетологов большое внимание уделяется изучению теории и практики финансово-экономических расчетов, необходимых в анализе инвестиционных проектов, расчете кредитных и коммерческих операций, эффективности предпринимательской деятельности, в страховом деле. Такая учебная дисциплина, охватывающая определенный круг методов вычислений, получила название финансовой математики.

В России термин финансовая математика постепенно завоевывает сторонников, приходя на смену таким названиям, как финансовые и коммерческие расчеты, высшие финансовые вычисления и т.п.

Один из российских основоположников данной науки Н.С. Лунский считал, что высшие финансовые вычисления являются отраслью прикладной математики, посвященной исследованию доступных математическому анализу вопросов финансовой науки, статистики и политической экономии.

Однако, сформировавшись на стыке финансовой науки и математики, данная область знаний не относится к математическим дисциплинам, поскольку количественные методы могут применяться лишь после того, как эмпирические свойства и отношения переведены на "язык цифр". В связи с этим любому измерению и расчету предшествует качественный анализ объектов, в ходе которого с учетом конечной цели исследования и наличных методологических и методических средств выбираются свойства объектов и процедуры определения, соответствующих им числовых значений. При этом следует следить за адекватностью математических операций, выполняемых на числах, свойствам и отношениям изучаемых явлений и процессов. Качественный анализ необходим и после того, как вычисление произведено, чтобы установить степень соответствия результатов измерения объектам измерения с учетом целей исследования.

Объектом изучения финансовой математики является финансовая операция, в которой необходимость использования финансово-экономических вычислений возникает всякий раз, когда в условиях сделки (финансовой операции) прямо или косвенно присутствуют временные параметры: даты, сроки выплат, периодичность поступления денежных средств, отсрочка платежей и т.д. При этом фактор времени зачастую играет более важную роль, чем стоимостные характеристики финансовой операции, поскольку именно он определяет конечный финансовый результат.

Таким образом, финансовая математика - раздел количественного анализа финансовых операций, предметом которого является изучение функциональных зависимостей между параметрами коммерческих сделок или финансово-банковских операций и разработка на их основе методов решения финансовых задач определенного класса.

Конкретно это выражается в решении следующих задач:

- исчисление будущей суммы денежных средств, находящихся во вкладах, займах или ценных бумагах путем начисления процентов;

- учет векселей;

- определение параметров сделки исходя из заданных условий;

- определение эквивалентности параметров сделки;

- анализ последствий изменения условий финансовой операции;

- исчисление обобщающих показателей финансовых потоков;

- определение параметров финансовой ренты;

- разработка планов выполнения финансовых операций;

- расчет показателей доходности финансовых операций.

Финансовая математика используется в банковском и сберегательном деле, страховании, в работе финансовых организаций, торговых фирм, инвестиционных компаний, фондовых и валютных бирж и т.п.

В данной курсовой работе глубоко изучена методика определения процентной ставки. Процентная ставка - один из важнейших элементов коммерческих, кредитных или инвестиционных контрактов. Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Курсовая работа является важным этапом учебного процесса, способствующим подготовке студентов, и позволяет судить о том, насколько усвоен теоретический материал по данной дисциплине. Будущие специалисты по бухгалтерскому учету, анализу и аудиту должны умело использовать знания полученные по данному предмету.

1. Теоритические аспекты определения процентной ставки

1.1 Виды процентных ставок

Процентная ставка, используемая в процессе наращения или дисконтирования стоимости денежных средств (оценки их будущей и настоящей стоимости), классифицируется по следующим основным признакам:

1. По форме оценки стоимости денег во времени:

-- ставка наращения -- процентная ставка, по которой осуществляется процесс наращения, определяется будущая стоимость денежных средств

т.е. определяется их будущая стоимость (что непосредственно применяется в сфере банковских расчетов).

-- ставка дисконтирования (дисконтная ставка) -- процентная ставка, по которой осуществляется процесс дисконтирования, определяется настоящая стоимость денежных средств.

2. По стабильности значения процентной ставки:

-- фиксированная ставка -- характеризуется неизменным значением в течение всех периодов вычислений;

-- плавающая (переменная) ставка --характеризуется регулярно пересматриваемым ее уровнем по соглашению сторон в разрезе отдельных интервалов общего периода начислений. Такой пересмотр обусловливается изменением средней нормы процента на финансовом рынке (или в отдельных его сегментах), изменением темпа инфляции и другими условиями.

3. По начислению определенной годовой суммы процента:

-- периодическая ставка -- при обеспечении определенной годовой суммы процента может варьировать как по уровню, так и по продолжительности отдельных интервалов на протяжении годового периода платежей.

-- эффективная ставка -- характеризует среднегодовой уровень процента, начисленного по периодическим ставкам. Определяется отношением годовой суммы процентного дохода к основной сумме капитала.

4. По условиям формирования:

-- базовая ставка -- характеризуется определенным исходным уровнем как первоначальной основы последующей ее конкретизации кредитором (заемщиком) в зависимости от условий инвестиционной 1 операции;

-- договорная ставка--характеризует конкретизированный ее уровень, согласованный кредитором и заемщиком и отраженный в инвестиционном договоре.

Кроме того, различают долгосрочные и краткосрочные ставки, рыночные ставки (уровень движения которых зависит от экономической конъюнктуры и состояния рынка ссудных капиталов), ставки, применяемые исключительно на внутреннем кредитном рынке; ставки, регулируемые государством; ставки, используемые одновременно во внутреннем и международном кредите.

Базовая банковская ставка

Это минимальная ставка, устанавливаемая каждым банком по предоставляемым задолженностям. Банки, предоставляют займа, прибавляя некоторую разницу, т.е. надбавку к базовой ставке по большой части розничных обязательств. Базовая ставка включает операционные и административные расходы банка и выгода. Ставка устанавливается самостоятельно каждым банком. Повышение или понижение ставки у одного из банков вызовет аналогичные изменения у других банков.

В настоящий момент, во всем мире, % ставка рассчитывается по единым стандартам. Количество денег (М), которое будет получено клиентом в конце срока вложения, можно рассчитать по следующей формуле:

М = D * (1 + r/100* t/360)

Где D - величина вклада,

r - ставка % банка,

t - время размещения вклада в банке (в днях),

360 - число дней в году. В банковском мире обычно считается, что в месяце всегда 30 дней.

Например, если разместить 20'000 USD в банк на 6 месяцев под 8% годовых, то в конце срока мы получим:

М = 20'000 $ * (1 + 8%/100 * 180/360) = 20'000 * (1 + 0,08 * 0,5) = 20'000 * 1,04 = 20'800 $

Указанная формула подходят лишь для тех вкладов, ставка % по которым начисляются один раз - в конце срока вклада или в конце года. Но существуют и такие вклады, когда на годовой вклад проценты начисляются несколько раз, например, ежемесячно. В этом случае мы имеем дело со сложной банковской % ставкой. Если процент начисляется каждые 30 дней, то профит вычисляется по следующей формуле:

M = D * (1 + r/100*30/360)^(360/30),

Например, если разместить те же 20'000 USD в банк на 12 месяцев под 8% годовых с начислением процентов каждый месяц, то в конце срока мы получим:

М = 21'660 $.

Если ставка процента будет рассчитываться каждую неделю или тем более каждый день, то очевидно итоговая сумма будет еще больше. Таким образом, чем короче срок, по истечению которого банк или другая кредитная организация начисляет проценты на депозит, тем больший профит клиент получит в итоге.

Банки практически никогда не начисляют сложные проценты сроком менее чем на 1 год. Поэтому сложные проценты на банковские депозиты имеет смысл принимать в расчет только в том случае, когда вклады делаются на несколько лет.

Процентные ставки по коммерческим, потребительским и ипотекам.

Этот вид ставок хорошо известен как предпринимателям, которые берут в банках долги для развития бизнеса, так и физическим лицам. Фактическая ставка по займу будет определяться как сумма базовой ставки и надбавки. Надбавка представляет собой премию за риск неисполнения займов заемщиком, а также премию за риск, связанный со срочностью кредитования. Однако если при коммерческом кредитовании значение ставки процента известно заемщику заранее, то в потребительских займах реальная эффективная ставка завуалирована различными маркетинговыми ходами и обременена дополнительными вычетами: так, при объявленной ставке в 20% годовых реальная плата оказывается намного выше, достигая порой 80 - 100% годовых.

Ставки по срочным вкладам (депозитам) населения и компаний в частных банках.

Подавляющая часть предприятий, а также все большее количество физических лиц имеют счета в частных банках, размещают рублевые средства в срочные вклады (т.е. депозиты), получая за это процент, выраженный при заключении депозитного договора в виде ставки %. Депозитные ставки по пассивным операциям банков подвержены влиянию тех же рыночных процессов, что и ставки по активным операциям. Депозитные ставки тесно связаны с прочими ставками денежно-кредитного и фондового рынков. Юридическое лицо, желающее разместить во вклад определенную сумму денежных средств может купить на организованном рынке облигации или на неорганизованном - векселя. Депозит в банке удобнее в части оформления, но при это наличие альтернативных возможностей размещения средств означает, что банки не могут слишком занижать процентные ставки по депозитам.

Ставки по долговым ценным бумагам (облигациям, сберегательным (депозитным) сертификатам, векселям, коммерческим бумагам, нотам и т. д.)

Относятся к процентным ставкам рынка капиталов. В долговых ценных бумагах присутствует % ставка, под которую заемщик - эмитент ценной бумаги берет деньги в долг. Эти ставки также весьма разнообразны: купон по многолетним облигациям, процентная ставка по векселям и сберегательным сертификатам, доходность к погашению. Купонные ставки показывают процентный профит к номинальной стоимости облигаций. Доходность к погашению показывает процентный профит с учетом рыночной стоимости облигаций и повторного вложения получаемого купонного дохода.

Ставка процента по казначейским векселям

Ставка, по которой центральные банки западных стран продают казначейские векселя на открытом рынке. Казначейские векселя представляют собой дисконтированные ценные бумаги, т.е. они продаются ниже номинала, поэтому ставка рассматривается как дисконтная доходность.

Ставка процента по межбанковским долгам относится к процентным ставкам денежного рынка

Многие СМИ публикуют ставки кредитования на межбанковском рынке, когда один частный банк кредитует другой на определенный срок в виде сделок. Эти ставки межбанковских займов (МБК) менее известны широкой публике в отличие от банковских ставок по частным вкладам. Такие ставки наиболее подвижны и в большей степени ориентированы на рыночную конъюнктуру.

Реальная и номинальная ставка

Различают номинальную и реальную процентной ставки. Когда говорят о процентных ставках, то имеют ввиду реальные процентные ставки. Однако реальные ставки не могут быть непосредственно наблюдаемы. Заключая кредитный контракт, мы получаем информацию о номинальных процентных ставках. Номинальная % ставка - это процент в денежном выражении. Например, если по годовой кредиту в 10000 российский рубль., выплачивается 1200 российских рублей в качестве процента, то номинальная ставка % составит 12% годовых. Получив по займу профит 1200 целкаш., станет ли кредитор богаче? Это будет зависеть от того, как в течение года изменились цены. Если годовая инфляция составила 8%, то реально профит кредитора увеличился только на 4% . Реальная ставка процента - это увеличение реального богатства, выраженное в приросте покупательной способности инвестора или кредитора, или обменный курс, по которому сегодняшние товары и услуги, реальные блага, обмениваются на будущие товары и услуги. То что, рыночная норма процента испытает непосредственное влияние инфляционных процессов первым предположил И.Фишер Фишер (Fisher) Ирвинг (1867-1947), американский экономист. Труды в области теории денежного обращения и займа., который определял номинальную процентную ставку и ожидаемого темпа инфляции.

Взаимосвязь между ставками может быть представлена следующим выражением:

i=r+e, (1)

где i - номинальная, или рыночная, процентная ставка;

r - реальная процентная ставка;

е - темп инфляции.

Только в особых случаях, когда на денежном рынке нет повышения цен (е=0), реальная и номинальная процентные ставки совпадают. Уравнение (2) показывает, что номинальная ставка % может изменяться вследствие изменений реальной % ставки процента или вследствие изменения инфляции. Так как заемщик и кредитор не знают, какие темпы примет инфляция, то они исходят из ожидаемых темпов инфляции. Уравнение обретает вид:

i=r+eе,

где eе - ожидаемый темп инфляции.

Уравнение известно, как эффект Фишера. Его суть в том, что номинальная % ставка определяется не фактическим темпом инфляции, так как он не известен, а ожидаемым темпом инфляции. Динамика же номинальной % ставки повторяет движение ожидаемого темпа инфляции. Необходимо подчеркнуть, что при формировании рыночной процентной ставки имеет значение именно ожидаемый темп инфляции в будущем с учетом срока погашения долгового задолженности, а не фактическая ставка инфляции в прошлом.

Если непредвиденная инфляция имеет место, то заемщики выигрывают за счет кредиторов, так как возвращают займ обесценившимися деньгами. В случае дефляции кредитор выиграет за счет заемщика.

В данных, характеризующих уровень инфляции в Российской Федерации, если сопоставить фактический индекс инфляции с динамикой средней ставки по краткосрочным задолженностям, то можно подтвердить наличие взаимосвязи между номинальной ставкой процента и уровнем инфляционного обесценения денег.

Иногда может сложиться ситуация, когда реальные процентные ставки по займам имеют отрицательное значение. Это может произойти в случае превышения темпов инфляции темпов роста номинальной ставки. Отрицательные процентные ставки могут установиться в период галопирующей инфляции или при гиперинфляции, а также в период спада в экономике, когда спрос на займы падает и номинальные процентные ставки понижаются. Положительные реальные процентные ставки означают рост прибылей кредиторов. Это происходит, если инфляция снижает реальную цена кредита (полученного ссуды).

Процентные ставки могут быть фиксированными и плавающими. Фиксированная ставка процента устанавливается на весь период пользования заемными средствами без одностороннего права ее пересмотра. Плавающая % ставка - это ставка по средне- и долгосрочным задолженностям, которая складывается из двух частей: подвижной основы, которая меняется в соответствии с рыночной конъюнктурой и фиксированной величины, обычной неизменной в течение всего периода кредитования или обращения долговых ценных бумаг

В денежно-кредитной сфере экономически развитых стран применяются многочисленные процентные ставки. Постепенно и в Российской Федерации структура процентных ставок приближается к международной. Система процентных ставок включает ставки денежно-кредитного и фондового рынков: ставки по банковским обязательствам и депозитам, казначейским, банковским и корпоративным облигациям, процентные ставки межбанковского рынка и многие другие. Их классификация определяется рядом признаком, в том числе: формами займа, видами кредитных учреждений, видами инвестиций с привлечением ссуды, сроками кредитования, видами операций кредитного учреждения.

Фиксированная ставка

Фиксированная ставка процента -- это система начисления процентов, когда в течение всего срока кредитования платежи по ссуде рассчитываются исходя из одного и того же процента за пользование суммой ссуды.

Фиксированная ставка % может меняться только в соответствии с условиями кредитного договора или по соглашению сторон. Российское законодательство не предусматривает иных оснований для изменения ставки процента. Поэтому, если кредитным договором не предусмотрено иное, % ставка может быть изменена только при подписании заемщиком дополнительного документа, изменяющего условия кредитного договора.

Плавающая ставка

Плавающая ставка-- это система начисления процентов, которая "привязана" к какому-либо рыночному показателю.

Для выдачи долгов на российском рынке чаще всего используются два индекса: LIBOR (London Interbank Offered Rate, или Лондонская межбанковская ставка предложения) для задолженностей в валюте и MosPrime (MosPrime Rate -- Moscow Prime Offered Rate) -- для рублевых.

Значительная доля ипотек на Западе оформляется с плавающей ставкой. Кредитные организации, опасаясь банкротства своих клиентов при резком увеличении рыночных индексов, самостоятельно устанавливают черту, выше которой они не поднимут ставки ни при каких условиях.

Плавающая ставка процента по ипотеке обычно состоит из двух частей: фиксированной ставки % (базового процента) и некоего плавающего индекса, который при сложении этих двух величин будет делать итоговую ставку процента плавающей. Если индекс идет вверх, то и суммарный процент будет возрастать, и заемщику придется платить больше по такому ипотеке. Если же значение индекса снижается, заемщик может сэкономить на платежах.

LIBOR - это признанный во всем мире индикатор стоимости финансовых ресурсов. По этой ставке крупнейшие банки мира готовы выдавать другим крупным банкам долги на Лондонской межбанковской бирже. Аббревиатура LIBOR расшифровывается как London InterBank Offer Rate (лондонская межбанковская ставка предложения).

Ставка LIBOR является наиболее распространенным показателем краткосрочных процентных ставок во всем мире. LIBOR формируется на основе процентных ставок нескольких ведущих мировых банков. Банки, входящие в базу расчета LIBOR, предоставляют свои котировки между 11.00 и 11.30 по лондонскому времени. Около 12.00 публикуется так называемый "фиксинг" -- фиксируется значение. LIBOR рассчитывается по семи ключевым валютам: американской валюте, евро, английскому англискому Фунту стерлингов, японской Иене, швейцарской валюте (CHF), сырьевой валюте CAD и австралийской национальной валюте.

MosPrime (Moscow Prime Offered Rate) -- индикативная ставка предоставления рублевых займов (депозитов) на московском рынке. Эта ставка формируется Национальной валютной ассоциацией (НВА) на основе ставок размещения рублевых задолженностей (депозитов), объявляемых ведущими участниками российского денежного рынка первоклассным финансовым институтам.

Ставки, объявляемые банками для формирования индикативной ставки MosPrime Rate, являются исключительно индикативной информацией, в то же время объявляемые ставки должны отражать уровень процентных ставок, по которым банки-участники в момент объявления котировок будут готовы предоставить займы, выдаваемые в соответствии с законодательством РФ первоклассным финансовым институтам, осуществляющим операции на московском денежном рынке. Банки объявляют ставки, по которым они могли бы разместить средства на межбанковском рынке, в 11.45 по московского времени. В 12.30 публикуется "фиксинг" - фиксированное значение ставки на конкретный день. MosPrime рассчитывается на сроки overnight, 1 неделя. 2 недели, 1, 2, 3 и 6 месяцев. Эти периоды имеют соответствующие обозначения -- MosPrimeON, MosPrime1w, MosPrime2w, MosPrime1m, MosPrime2m, MosPrime3m, MosPrime6m соответственно.

Ставка LIBOR может фиксироваться на различные периоды от нескольких дней до 12 месяцев. В ипотечном кредитовании часто используется LIBOR 6 месяцев (LIBOR 6m). Обычно при кредитовании с плавающей ставкой смена процента происходит 2 раза в год, т.е. каждые 6 месяцев плавающая часть изменяется, в зависимости от значения определенного рыночного показателя. Возможны и другие варианты, к примеру, каждые 3 или 12 месяцев индекс может пересматривается. Частая смена ставки процента не удобна для самих получателей долгов, поэтому кредитные организации стараются придерживаться именно периода в 6 месяцев. В каждом новом периоде заемщик будет выплачивать займ с учетом нового значения индекса.

"Плавающая" ставка дает возможность получить займ с более низкой ставкой % по сравнению с текущей ценовой рыночной ситуацией обязательств или "поймать" ниспадающий тренд на рынке заемных средств. Однако заемщик не должен забывать, что займ с "плавающей" ставкой несет для него серьезный процентный риск, который может выразиться в повышении для него % ставки вслед за изменением рыночной ситуации.

В ситуации, когда плавающий индекс пойдет вверх, самым разумным для заемщика будет либо погашать займ досрочно, либо перекредитоваться (рефинансироваться) на других условиях. В результате повторного вложения капитала заемщик может получить займ с фиксированной ставкой и, таким образом, уйти от опасной коньюнктуры. Получая займ с "плавающей" ставкой, особое внимание следует уделять штрафным санкциям за досрочное погашение займа, поскольку именно эти санкции могут возникнуть при необходимости вложения инвистиций, срочного полного или частичного погашения ссуды.

Говоря о "плавающей" ставке, необходимо отметить и то, что долги с "плавающей" ставкой процента не пользуется в нашей стране большим спросом, потому что большинству наших заемщиков удобнее и понятнее погашать займ каждый месяц фиксированными суммами. Займы с фиксированной % ставкой позволяют заемщику планировать свои расходы, знать о том, что каждый месяц он должен отложить от заработной платы определенную сумму. Именно это является причиной высокой популярности в нашей стране долгов с фиксированной ставкой %.

Это является причиной того, что не каждый заемщик захочет постоянно отслеживать изменения ставок и переживать, как это может отразиться на займе. Поэтому в основном "плавающей" ставкой процента пользуются финансово подкованные люди, которых не пугает возможное повышение ставок и которые знают, как извлечь выгоду из этого товара.

Эффективная ставка процента. Расчет эффективной ставки

Если говорить об эффективной ставке % (effective rate) в общем и целом, то это величина, которая даёт финансисту возможность определить реальный относительный профит, который принесли ему операции по схеме сложного процента за год. Начисление сложных процентов каждый последующий раз осуществляется по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами.

Если же рассматривать эффективную ставку % (ЭПЦ) в кредитном аспекте, то она представляет собой полную сумму платежей за пользование кредитными средствами банка, распределенную на весь период действия кредитного договора. Определяется эффективная ставка % расчетным путем и включает в себя, кроме номинальной ставки %, декларируемой кредитором, все сопутствующие издержки на оформление и обслуживание займа.

Функции эффективной ставки %

Эффективная % ставка - это стандартная, широко используемая кредитными организациями расчетная величина. Она предназначена для того, чтобы проинформировать заемщиков и помочь им в сравнении и выборе различных условий кредитования. Для вычисления эффективной ставки сначала подсчитывается суммарный займ (размер ссуды с учетом всех комиссий и страховых платежей), далее рассчитывается условный ежемесячный платеж, который определяется исходя из предположения, что банк выдает сумму рассчитанного суммарного займа под указанные им проценты и на указанный срок.

Однако для расчета эффективной ставки банки могут использовать различные способы, в результате чего предложенная в одном банке более низкая ставка может оказаться менее выгодной более высокой ставки, предлагаемой вам другим банком. Все нюансы можно увидеть и прочувствовать при вычислении эффективной % ставки по каждому отдельному ссуде. Но так как осуществить корректный расчет способен не каждый потенциальный заемщик, то имеет смысл обратиться к специалистам.

Проблема расчета эффективной ставки процента стала наиболее актуальной после того, как с 1-го июля 2007 года банк Российской Федерации рекомендовал частным банкам раскрывать ее по долгам населению. Тем не менее, спустя год, многие экономисты признают, что использование эффективной % ставки как способа информирования заемщика об условиях займа неудобно и нерационально. Причина в том, что эта ставка является расчетной величиной: это не конкретная % ставка, которую взыскивают с клиента, и не сводная ставка, которая позволит человеку понять, сколько с него взыщут. Более того, высказывается мнение, что взамен попыткам универсализации ставок следует попросту отказаться от взимания всевозможных дополнительных платежей, за исключением платежей третьим лицам, и учитывать только процент по займу.

Расчет эффективной ставки %

Но на сегодняшний день, согласно законодательству, в расчет эффективной ставки процента в обязательном порядке включаются следующие платежи по обслуживанию кредита, размеры и сроки уплаты которых известны на момент заключения кредитного договора:

- по погашению основного задолженности по кредиту;

- по уплате процентов по займу;

- сборы (комиссии) за рассмотрение заявки по кредиту (оформление займа);

- комиссии за выдачу и сопровождение кредита;

- комиссии за открытие, ведение ссудного счета;

- комиссии за расчетное и операционное обслуживание;

- услуги по государственной регистрации и (или) оценке передаваемого в обеспечение долга имущества;

- услуги по страхованию жизни заемщика, ответственности заемщика, предмета обеспечения долга и др.

В расчет эффективной % ставки могут не включаться предусмотренные договором на предоставление кредита платежи заемщика по обслуживанию займа, величина и (или) сроки уплаты которых зависят от решения заемщика и (или) варианта его поведения, в том числе:

- комиссия за частичное либо полное досрочное погашение кредита;

- комиссия за снятие (погашение) займа наличными деньгами (за кассовое обслуживание);

- неустойка в виде штрафа или пени (например, за превышение лимита овердрафта);

- плата за предоставление информации о состоянии долга.

По банковским картам в расчет эффективной ставки процента не включаются также: комиссии за осуществление операций в валюте, отличной от валюты счета (валюты предоставленной займа); комиссии за приостановку операций по банковской карте; комиссии за зачисление другими кредитными организациями денежных средств на банковскую карту.

1.2 Определение процентной ставки

Начисляемые проценты являются платой заёмщика за пользование ссудой -- никто просто так не даст пользоваться своими деньгами, точно так же, как никто не даст бесплатно автомобиль на прокат. Размер этой платы определяется с помощью так называемой процентной ставки, которая равна относительному приращению задолженности за единицу времени, то есть за год.

Процентная ставка -- относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег -- абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.

Иными словами, если обозначить через S0 первоначальный размер задолженности, а через S(1) -- размер задолженности по истечении года, то процентная ставка определяется по формуле



Процентная ставка используется для сравнения между собой однотипных ссудных операций: чем выше процентная ставка, тем выгоднее сделка для кредитора. Это становится понятно, если переписать предыдущую формулу следующим образом:

S(1) = (1+ i ) S0

-- отсюда видно, что S(1) тем больше, чем больше i.

Простые, сложные и непрерывно начисляемые проценты

При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину. Иначе говоря,

Где P -- исходная сумма

S -- наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными %)

i -- процентная ставка, выраженная в долях за период

n -- число периодов начисления

В этом случае говорят о простой процентной ставке.

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами. Иначе говоря,

S = (1 + i)nP

(при тех же обозначениях).

В этом случае говорят о сложной процентной ставке.

Часто рассматривается следующая ситуация. Годовая процентная ставка составляет j, а проценты начисляются m раз в году по сложной процентной ставке равной j / m (например, поквартально, тогда m = 4 или ежемесячно, тогда m = 12). Тогда формула для наращенной суммы через k лет:

В этом случае говорят о номинальной процентной ставке. Сравнение сложных процентных ставок с разными интервалами начисления производят при помощи показателя годовая процентная доходность(APY).

Наконец, иногда рассматривают ситуацию так называемых непрерывно начисляемых процентов, то есть годовое число периодов начисления m устремляют к бесконечности. Процентную ставку обозначают ?, а формула для наращенной суммы:

S = e?nP.

1.3 Способы начисления процентов

Если говорить кратко, то начисление процентов -- это процесс увеличения задолженности заёмщика перед кредитором с течением времени.

Например, начисление процентов по вкладу выливается в увеличение суммы на счету вкладчика (деньги на счету -- это задолженность банка перед вкладчиком). Начисление процентов по кредиту -- это увеличение суммы, которую заёмщику нужно будет вернуть в банк.

Есть два способа начисления процентов.

Декурсивный. Когда проценты начисляются в конце срока и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами. При этом увеличение суммы долга в связи с присоединением процентов называют наращением суммы.

Второй способ антисипативный (дисконтирование) - сокращения. Процентный доход выплачивается в начале срока, при этом должнику выдаётся сумма, уменьшенная на его величину, а возврату в конце срока подлежит исходная сумма.

S = P + I - это декурсивный метод начисления процентов. Процентный доход считаем по формуле I = P*n*i

Отсюда легко выразить S. При росте срока ссуды или процентов - результат меняется одинаково быстро и линейно. Если срок ссуды определён в днях, то вместо n будут использоваться t/k, где t - это число дней, а k - это число дней в году или временная база.

Метод простых процентов

Метод простых процентов заключается в том, что задолженность заёмщика перед кредитором возрастает с постоянной скоростью. Это значит, что график задолженности является прямой линией, проходящей через точки S0 и S(1) = (1+ i ) S0 :

Рисунок 1 - Увеличение задолженности заёмщика по методу простых процентов

Формула, с помощью которой можно найти размер задолженности в произвольный момент времени t, для метода простых процентов имеет следующий вид:

S(t) = (1+ i t ) S0

(в этом нетрудно убедиться, если подставить в неё значения t = 0 и t = 1).

Пример.

Допустим, что вкладчик положил сумму 100 тысяч рублей в банк, предлагающий 10% годовых. Если банк использует метод простых процентов для начисления процентов по вкладу, то через полгода на счету вкладчика будет сумма

S(?) = (1 + 0,1 · ? ) · 100 = 105 тысяч рублей.

Метод сложных процентов

Смысл метода простых процентов заключается в том, что проценты начисляются всё время на одну и ту же сумму -- начальный долг (поэтому скорость начисления процентов постоянна). В отличие от этого, метод сложных процентов характеризуется фразой «начисление процентов на проценты». Это значит, что задолженность заёмщика возрастает в геометической прогрессии: задолженность в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент:



Рисунок 2 -Увеличение задолженности заёмщика по методу сложных процентов

Наглядно представить этот механизм можно следующим образом. Предположим, что вкладчик положил в банк сумму S0 под процентную ставку i. Тогда через год на его счету будет сумма S(1) = (1+ i ) S0 . Если вкладчик решит не снимать деньги со счёта, а снова их вложить с теми же условиями (реинвестировать), то уже через два года от даты совершения первого вклада на его счету будет сумма:

S(2) = (1+ i ) S1 = (1+ i )2 S0 .

Продолжая в том же духе, за n лет вкладчик сможет получить сумму

S(n) = (1+ i )n S0 .

Как видим, сумма вклада возрастает в геометрической прогрессии. Если обобщить этот пример, то можно сказать, что при использовании метода сложных процентов задолженность заёмщика является показательной функцией от времени (показательная функция -- это обобщение геометрической прогрессии

S(t) = (1+ i )t S0 .

Пример.

Предположим, что вкладчик положил сумму 100 тысяч рублей всё в тот же банк, предлагающий вклады под 10% годовых. Если банк использует метод сложных процентов для начисления процентов по вкладу, то через полгода на счету вкладчика будет сумма

S(?) = (1 + 0,1)? · 100 ? 104 тысячи 881 рубль.

Нужно обратить внимание: в этом и предыдущем примерах мы неявно полагали, что вклад на полгода имеет продолжительность ? года. Если бы мы знали точные даты начала и окончания этой финансовой операции, то для получения правильного результата нам бы пришлось вычислять её точную продолжительность в годах по методу «365/365».

Применение простых и сложных процентов

С экономической точки зрения метод сложных процентов является более обоснованным, так как он выражает возможность непрерывного реинвестирования (повторного вложения) денежных средств. Тем не менее, для краткосрочных (продолжительностью менее года) финансовых операций чаще всего используется метод простых процентов. Тому есть несколько причин:

Во-первых, и ещё несколько десятилетий назад это было достаточно актуально, расчёты с применением метода простых процентов намного проще, чем расчёты с применением метода сложных процентов.

Во-вторых, при небольших процентных ставках (в пределах 30%) и небольших промежутках времени (в пределах одного года) результаты, полученные с помощью метода простых процентов, довольно близки к результатам, полученным с применением метода сложных процентов (расхождение в пределах 1%).

В-третьих, и, возможно, это основная причина, задолженность, найденная с помощью метода простых процентов для промежутка времени меньше года, всегда больше, чем задолженность, найденная с применением метода сложных процентов. Так как правила игры всегда диктует кредитор, то понятно, что в таком случае он выберет первый метод.

Краткосрочные операции (продолжительностью менее года) составляют основную массу всех финансовых операций. Потому что долгосрочные кредиты, погашаемые по частям раз в месяц или раз в квартал (или даже раз в полугодие) -- это не одна большая финансовая операция, а совокупность большого числа непродолжительных операций (длиною в месяц, квартал или полугодие). Именно поэтому в России для начисления процентов по любым кредитам используется метод простых процентов (об этом -- буквально в следующем параграфе).

Сравнение методов простых и сложных процентов

Остановимся подробнее на второй и третьей причинах (так как первая очевидна). Если совместить приведённые в предыдущем параграфе графики роста задолженности, то получится следующая картина:

Рисунок 3- Сравнение графиков роста задолженности по методам простых и сложных процентов

Таким образом, если используется одна и та же процентная ставка, то:

- для промежутков времени меньше года задолженность, найденная по методу простых процентов, всегда будет больше задолженности, найденной по методу сложных процентов;

- для промежутков времени больше года, наоборот, задолженность, найденная по методу сложных процентов, всегда будет больше задолженности, найденной по методу простых процентов;

- для промежутка времени, равного одному году, результаты совпадают.

При этом, если процентная ставка невелика, а промежуток времени -- меньше года, то Sсл(t) и Sпр(t) достаточно близки друг к другу. Однако всегда надо помнить, что если эти условия не выполняются, то расхождения в результатах могут быть значительными.

Пример.

В начале 90-х годов, в период сильной инфляции, российские банки предлагали очень большие -- исчисляемые сотнями процентов -- процентные ставки по рублёвым вкладам и кредитам.

В качестве примера посмотрим, к каким расхождениям может привести использование простых процентов для полугодового вклада, когда процентная ставка составляет 300% годовых. Если размер вклада составляет S рублей, то через полгода на счету вкладчика будет сумма

S(?) = (1+ 3 · ? ) S = 2,5 S.

Если бы банк использовал сложные проценты, то итоговая сумма составила бы

S(?) = (1+ 3)? S = 2 S.

Разница в результатах составляет ? S , или 25% относительно сложного итога.

Комбинированные схемы начисления процентов

На практике для продолжительных, но не целых промежутков времени особо щепетильные кредиторы иногда применяют комбинированную схему начисления процентов. При этом для целого числа лет используется метод сложных процентов, а для нецелого «остатка» -- метод простых процентов. Например, если ссуда размером 1 млн рублей выдана на 3 года и 73 дня (73 дня -- это 0,2 невисокосного года) под 10% годовых, то итоговая задолженность может быть найдена следующим способом:

S(3,2) = (1+0,1)3 · (1+0,1 · 0,2) · 1 000 000 = 1 357 620 рублей.

Комбинирование простых и сложных процентов может также естественным образом возникать при многократном повторении одной и той же краткосрочной операции. К примеру, банки предлагают своим клиентам краткосрочные депозиты (вклады) на сроки от месяца до года. В течение периода действия депозитного договора увеличение суммы на счету вкладчика происходит по простой схеме. По окончании срока вклада происходит капитализация (присоединение процентных денег к исходной сумме). Если клиент не забирает деньги, то договор по вкладу пролонгируется на новый срок и базой для начисления процентов становится уже увеличенная сумма. Таким образом, с точки зрения клиента банка сумма вклада, оставленного на несколько сроков, будет расти по схеме сложных процентов:

S(n t) = (1+ i t )n S0 ,

где t -- продолжительность того самого «базового» вклада, а n -- число периодов.

Пример.

Некий банк предлагает своим клиентам срочные вклады сроком на полгода под простую процентную ставку 10% годовых. Если клиент этого банка положил на депозит 200 000 рублей, а затем дважды продлевал договор по вкладу, то через полтора года он снял со своего счёта

S(1,5) = (1+0,1 · ? )3 · 200 000 = 231 525 рублей.

2. Расчетная часть

процентная ставка доход

Задание 1.

Банк выдает долгосрочные кредиты по сложной ставке 30% годовых. Определите сумму процентов, полученных за кредит в размере 20 тыс. руб, погашенный единовременным платежом через 2,5 года (двумя методами)

1 метод:

Наращение по сложному проценту рассчитывается по следующей формуле:

Рn = Р0(1 + i)n ,

где Pn - наращенная сумма через число периодов n,

Р0 - первоначальный размер долга,

i - сложная ставка наращения,

n = a+b - число периодов (лет) наращивания,

a - целая часть периода;

b - дробная часть периода;

(1 + i)n - множитель наращивания по сложным процентам.

20000*(1+0,3)2,5 = 38537,93

Сумма процентов, полученных за кредит = 38537,93-20000 = 18537,93

2 метод:

Смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года - формулу простых процентов:

Рn = Р0 * (1 + i)a * (1 + bi),

где Pn - наращенная сумма через число периодов n,

Р0 - первоначальный размер долга,

i - сложная ставка наращения,

a - целое число лет;

b - дробная часть года.

20000*(1+0,3)2 * (1+0,5*0,3) = 38870

Сумма процентов, полученных за кредит = 38870-20000 = 18870

Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.

Задание 2

Определить доходность в виде годовой ставки сложных процентов от учета векселя по простой учетной ставке 8 % годовых, если срок оплаты его наступает через два года.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j / m:

(1 + i)n = (1 + j / m)m * n, тогда i = (1 + j / m)m - 1.

где j - номинальная годовая ставка процентов

m - число периодов начисления,

n - период вклада.

i = (1+0,08/2)2 - 1 = 0,1664

Таким образом, доходность по годовой ставке сложных процентов составит 16,64%.

Задание 3

Кредит в размере 30 тыс. руб. был взят 20 марта 2000 г. со сроком погашения 15 августа этого же года по ставке 30% годовых. Определите сумму процента за кредит при германской и английской практике их начисления.

В германской (коммерческой) практике расчет числа дней основывается на длительности года в 360 дней и месяцев в 30 дней. Сокращенно суть данного метода можно записать:

12 месяцев по 30 дней = 360 / количество дней в году - 360

Во французской практике длительность года принимается равной 360 дням, количество дней в месяце соответствует их фактической календарной длительности (28, 29, 30, 31 день). 365 / 360

В английской практике Tгод = 365 (366) дней, продолжительность каждого месяца - фактическая. 365 / 365

Исчисляемые по германской базе проценты называются обыкновенными или коммерческими, по английской - точными.

Количество дней по германской системе:

10+30+30+30+30+15-1 = 144,

где 1 - день вложения и снятия суммы

Количество дней по английской системе:

11+30+31+30+31+15-1 = 147 дней

Наращенную сумму по схеме простых процентов можно будет определять следующим образом:

FV = PV + I = PV + i * PV * n = PV (1 + i * n) = PV * kн,

где kн - коэффициент (множитель) наращения простых процентов.

FV - показывает будущую стоимость "сегодняшней" величины PV

PV - сегодняшняя величина.

i - процентная ставка

n - количество лет наращивания

Сумма процента за кредит при германской практике начисления составит:

FV = 30000(1+0,3*144/360) = 33600 руб.

Сумма процента за кредит = 33600-30000 = 3600 руб.

Сумма процента за кредит при английской практике начисления составит:

FV = 30000(1+0,3*147/365) = 33624,7

Сумма процента за кредит = 33624,7-30000 = 3624,7 руб.

Задание 4

Банк А выплачивает простые проценты раз в полгода по ставке 155% годовых. Банк Б выплачивает простые проценты. Вкладчик разместил по 10 000 руб. в банках А и Б сроком на 3 года. Какую полугодовую процентную ставку должен начислять банк Б, чтобы у вкладчика по итогам 3-х лет суммы вклада в банках А и Б были одинаковы.

А) FV=10000= 318100

Б) FV = 10000(1+3r)

1+3r = 318100/10000

1+3r =31.81

3r = 30.81

r = 10.27%

Задание 5

Банк выплатил за первый год проценты по ставке Сбербанка, а за второй год на 10% ниже, чем в Сбербанке. Проценты сложные. Какую сумму требуется разместить вкладчику в банке, чтобы через 2 года его вклад был не менее 10 000 руб., если ставка Сбербанка все два года была равна 12% годовых.

Решение:

12%-1,2%=10,8%

10000=PV(1+0,12)•(1+0,108)

PV=

Проверка

FV= 8064,52(1+0,12)=9032,25(1+0,108)=10007

Задание 6

Чтобы накопить деньги на мотоцикл, вклад размером 20000 рублей положен в банк под сложные проценты по ставке р% годовых. После того, как вклад пролежал 1 год, банк увеличил процентную ставку на 10%. В конце второго года на счете находилось 28750 рублей. Какова годовая ставка сложных процентов была в первый и второй год?

Решение:

1) Так как первоначальный вклад равен 20000 рублей, то через год:

2) Через 2 года на счету находилось S2=28750 рублей и так как банк увеличил процентную ставку на 10%, то

P1= -105 +120 = 15

P2= -105 - 120 = -225 - не удовлетворяет условию задачи.

Задание 7

Банк обещал своим клиентам годовой рост вклада 30%. Какую сумму денег может получить человек, вложивший в этот банк 450 тысяч рублей?

Решение:

1) 4500 * 0,3 = 1350(руб.) - «прирост» за год.

2) 4500 + 1350 = 5850(руб.)

Ответ: в конце года на счете будет находиться 5851 руб.

Задание 8

По окончании третьего года на счете инвестора находится сумма 21074 руб. Начисление происходило по схеме сложного процента по ставке 12% в конце каждого года. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

Решение:

PV = FV /(1+r);

где - FV- Стоимость денежного потока в будущем;

PV - Размер инвестиций денежных средств;

n - Период начисления %;

r - Процентная ставка в долевом выражении.

FV==18765,80 -?- первоначального вклада.

Заключение

В данной курсовой работе глубоко изучена методика определения процентной ставки. Процентная ставка - один из важнейших элементов коммерческих, кредитных или инвестиционных контрактов. Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Размер процентной ставки зависит от ряда как объективных, так и субъективных факторов, а именно: общего состояния экономики, в том числе денежно-кредитного рынка; кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики.

В финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле - как измеритель доходности любой финансовой, кредитной. Инвестиционной или коммерческой деятельности.

Данная работа дала возможность студенту приобрести практические навыки выполнения расчетов по определению сложных и простых процентов. Были рассмотрены виды процентных ставок и различные методы начисления процентов.

Библиографическая ссылка

1. Капитоненко В.В. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. -- М.: Финансы и статистика, 2007.

2. Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов / Б.Т. Кузнецов. -- М.: Издательство «Экзамен», 2005.

3. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. - М.: Издательство «Дело» АНХ, 2008.

4. Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: Учебник. - М.: Гардарики, 2002.

5. Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых операций: Учебное пособие / Под ред. В.А. Половникова и А.И. Пилипенко. - М.: Вузовский учебник, 2009.

6. Цымбаленко С.В., Цымбаленко Т.Т. Финансовые вычисления: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика,2004.

Размещено на Allbest.ru