Оценка портфельных инвестиций

37

Нижегородский Государственный Университет им. Лобачевского

Специальность «Финансы и кредит»

Курсовая работа по предмету: «Инвестиционная стратегия»

На тему:

«Оценка портфельных инвестиций»

Содержание

Теоретическая часть

Введение

Глава 1. Суть теории портфельных инвестиций

1.1 Формирование портфеля

Глава 2.Теория портфеля Гарри Марковица

2.1 Общая постановка задачи нахождения границы эффективных портфелей

2.2 Нахождение оптимального портфеля

Глава 3. Оптимизация инвестиционного портфеля по модели Шарпа

3.1 Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей

Заключение

Список используемой литературы

Практическая часть

Введение

Инвестиционный портфель - это собрание ценных бумаг разного вида, разного срока действия и разной ликвидности, управляемое как единое целое.

Формируя инвестиционный портфель (портфель акций), инвесторы пытаются при минимальном риске получить максимальную прибыль. Достижение этой цели возможно только при принятии компромиссного решения, уравновешивающего эти факторы.

Для определения ожидаемой доходности финансовых активов используется портфельная теория инвестиций. Она описывает связь между риском и доходностью. Классическая портфельная теория прошла три этапа своего развития. Первым этапом - первоначальным - была разработка математических основ для портфельной теории. Последующих два - это современная теория портфельных инвестиций: второй - создание теории рыночного портфеля в работах Г. Марковица, Дж. Тобина и У. Шарпа; третий - формирование на основе теории рыночного портфеля теории оптимального портфеля в работах Ф. Модильяни, М. Миллера, Ф. Блэка, М. Скоулза и Р. Мертона.

Глава 1.Суть теории портфельных инвестиций

Портфельные инвестиции - это инвестиции в ценные бумаги, формируемые в виде портфеля ценных бумаг. Портфельные инвестиции не позволяют инвестору установить эффективный контроль над предприятием и не свидетельствуют о наличии у инвестора долговременной заинтересованности в развитии предприятия.

Ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенную величину из показателей ожидаемой доходности активов, входящих в портфель. Однако стандартное отклонение портфеля абсолютно не зависит от долей бумаг в портфеле и поэтому рассчитывается абсолютно по-другому.

Формулы ожидаемой доходности и стандартного отклонения портфеля из двух активов представлены ниже:

E(r_P) = X_iE(r_i) + X_jE(r_j) (1.1)

где X_i и X_j - доли бумаг i и j в портфеле, 

E (r_i) и E(r_j) - ожидаемые доходности бумаг i и j.

у²_P = X² _i у²_i + X² _j у ²_j + 2X_iX_jCov(r_i,r_j) (1.2)

где у²_P - дисперсия портфеля, 

X_i и X_j - доли бумаг i и j в портфеле,

у ²_i и у²_j - дисперсии бумаг i и j,

Cov(r_i,r_j) - ковариация доходностей бумаг i и j.

Как и прежде стандартное отклонение портфеля является квадратным корнем из дисперсии:

у_P = ? у ²_P (1.3)

где у_P - стандартное отклонение портфеля.

Так как ковариация между бумагами может быть также определена по формуле Cov(r_i,r_j) = с_ijу_iу_j (1.4), где с_ij- корреляция, то формула дисперсии портфеля может быть преобразована в:

у²_P = X² _i у²_i +X² _j у²_j + 2X_iX_jу_iу_j с_ij (1.5)

Именно формула 1.5 будет использована ниже для определения дисперсии портфеля, состоящего из двух активов.

Согласно формуле дисперсии портфеля, дисперсия (а следовательно и стандартное отклонение) уменьшается если ковариация отрицательна. Однако даже если ковариация не отрицательная, стандартное отклонение портфеля все равно ниже, чем средневзвешенная величина стандартных отклонений отдельных активов.

Конечно, если активы идеально коррелированны, то стандартное отклонение портфеля будет простым средневзвешенным стандартных отклонений активов и примет вид:

у_P = X_iу_i+X_jу_j (1.6)

Ввиду того, что коэффициент корреляции варьируется в пределах от -1 до +1 можно определить минимальное стандартное отклонение портфеля, изменив формулу 1.6 на:

у_P = [ X_iу_i-X_jу_j] (1.7)

Формула 1.7 написана в модуле, что означает всегда использовать положительное значение.

Для определения долей активов в портфеле понадобятся следующие формулы:

X_i = у_j / (у_i+у_j)

X_j = 1 - X_i (1.8)

1.1 Формирование портфеля

"Не класть все яйца в одну корзину" - эта американская пословица на мой взгляд является основополагающим принципом портфельной теории. Диверсификация вложений играет одну из важнейших ролей.

Думаю, приведенные выше примеры наглядно прояснили суть и важность диверсификации. Сама портфельная теория позволяет при помощи различных методик и принципов, о которых будет рассказано в дальнейшем выбрать тот портфель, который инвестор считает для себя оптимальным, исходя из его собственных представлений о риске и доходности.

Для формирования оптимального портфеля необходимо провести анализ активов, которые являются претендентами на включение в портфель по отдельности друг от друга, т.е. изолированно. Изолированный анализ активов позволит определить ожидаемую доходность каждого актива, определить показатели, характеризующие риски, связанные с этим активом и определить взаимосвязи между активами. Проведя анализ активов изолированно, можно будет смело приступить к формированию портфелей и определению доходности и риска, связанного уже с нашим портфелем.

Ожидаемая доходность (expected return).

Надо заметить, что термин "ожидаемая доходность" означает простое среднее. Для того, чтобы определить ожидаемую доходность нам понадобятся реальные доходности активов, которые мы хотели бы включить в портфель.

Формула для расчета доходности следующая: (закрытие текущего месяца) - (закрытие прошлого месяца) /(закрытие прошлого месяца).

Другим способом расчета доходности является отношение натурального логарифма текущего месяца к прошлому. Правильным и точным является определение доходности при помощи натурального логарифма, однако в связи с более трудоемкой работой нахождения логарифма почти повсеместно используется первый вариант.

Теперь, зная ежемесячные доходности, надо определить ожидаемую доходность каждого из активов.

После определения значений ожидаемых доходностей активов, можно переходить к расчету рисков.

Дисперсия (variance) и стандартное отклонение (standard deviation)

Дисперсия - это мера разброса возможных исходов относительно ожидаемого значения. Следовательно, чем выше дисперсия, тем больше разброс, а значит и риск. Формула для расчета дисперсии следующая:

у² =У(r_i - r _сред)² / (n - 1), (1.9)

где r_i - доходность актива,

r _сред - ожидаемая (средняя) доходность актива,

n - число наблюдений.

Показатель дисперсии измеряют в процентах в квадрате и так как такая интерпретация очень непривычна и тяжела, в качестве другого показателя отклонения значений доходности от ожидаемого значения используется "среднее квадратическое отклонение" (стандартное отклонение), которое является квадратным корнем из дисперсии.

у_P = ? у², (1.10)

Необходимо отметить, что не всегда актив, имеющий наибольшее стандартного отклонение является самым рискованным. Поэтому, прежде чем использовать стандартное отклонение в качестве меры относительного риска нужно рассчитать риск, приходящийся на единицу доходности при помощи коэффициента вариации. Этот показатель рассмотрен не будет, т.к. применительно к портфельной теории он не обязателен.

Зная ожидаемые доходности и показатели риска (стандартное отклонение), необходимо произвести еще ряд расчетов по определению коэффициентов ковариации и корреляции. После расчета данных коэффициентов станет возможным формирование портфелей, соответствующих нашим требованиям по риску и доходности.

Ковариация(covariance) и корреляция(correlation).

Ковариация - это мера, учитывающая дисперсию индивидуальных значений доходности бумаги и силу связей между изменениями доходностей данной бумаги и других. Более простое определение ковариации - это мера взаимодействия двух случайных переменных.

Формула для расчета ковариации следующая:

Cov(X,Y) = У(r_X - r_Xсред.)Ч(r_Y - r_Yсред.) / n - 1, (1.11)

где r_X и r_Y - доходности активов X и Y,

r_Xсред. и r_Yсред. - ожидаемые (средние) доходности активов X и Y,

n - число наблюдений.

Интерпретация коэффициента следующая: положительное значение ковариации говорит о том, что значения доходности этих акций изменяются в одном направлении, отрицательное значение ковариации говорит о разнонаправленных движениях между доходностями. Ковариация является низкой, если колебания доходностей двух активов в любую сторону носят случайный характер.

Интерпретировать ковариацию, также как и дисперсию довольно тяжело ввиду больших численных значений, поэтому практически всегда для измерения силы взаимосвязи между двумя активами используется коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Значение корреляции +1 говорит о сильной взаимосвязи, т.е. активы ходят одинаково. значение -1, наоборот, свидетельствует о разнонаправленности, т.е. рост одного из активов сопровождается падением другого. Значение 0 говорит об отсутствии корреляции.

Расчет корреляции осуществляется по формуле:

с = Cov (X,Y) / (у_X Ч у_Y), (1.12)

где Cov (X,Y) - ковариация между активами X и Y;

у_X и у_Y - стандартные отклонения активов X и Y.

Была произведена довольно тяжелая и кропотливая работа, однако по своей сути являющая квинтэссенцией всего портфельного анализа. Но, как можно определить какую доходность ожидать в следующем месяце, если мы не знаем, хотя бы приблизительно, какой она была в предыдущие месяцы. Как можно определить риск, который нас ожидает, если мы не знаем, каким он был вообще. В общем, вооружившись всеми теми данными, которые теперь есть можно спокойно переходить к формированию портфеля.

Портфель, состоящий из более, чем двух активов.

Для нахождения оптимального портфеля необходимо определить допустимое множество соотношений "риск-доход" для инвестора, которое достигается путем построения минимально-дисперсионной границы (minimum-variance frontier) портфелей, т.е. границы, на которой лежат портфели с минимальным риском при заданной доходности.



Рис.1

На рис. 1 жирной линией отображена "эффективная граница", а красными точками отмечены возможные комбинации портфелей.

Эффективная граница (efficient frontier) - это граница, которая определяет эффективное множество портфелей. Портфели, лежащие слева от эффективной границы применить нельзя, т.к. они не принадлежат допустимому множеству. Портфели, находящиеся справа (внутренние портфели) и ниже эффективной границы являются неэффективными, т.к. существуют портфели, которые при данном уровне риска обеспечивают более высокую доходность, либо более низкий риск для данного уровня доходности.

Для построения минимально-дисперсионной границы и определения "эффективной границы", будут необходимы значения ожидаемых доходностей, рисков (стандартных отклонений) и ковариации активов, которые были определены ранее. Имея эти данные можно приступить к нахождению "эффективных портфелей".

Начнем с расчета ожидаемой доходности портфеля по формуле:

E(r_P) = УX_iE(r_i), (1.13)

Где X_i - доля i-ой бумаги в портфеле,

E(r_i) - ожидаемая доходность i-ой бумаги.

... а затем определим дисперсию портфеля, в формуле которой используется двойное суммирование:

у²_P =УУX_iX_jCov(r_i,r_j), (1.14)

где у²_P - дисперсия портфеля,

X_i и X_j - доли i-ой и j-ой бумаги в портфеле,

Cov(r_i,r_j) - ковариация доходностей бумаг i и j.

И как следствие найдем стандартное отклонение портфеля, которое является квадратным корнем из дисперсии:

у_P = ? у²_P, (1.15)

где у_P - стандартное отклонение портфеля.

Оптимальный портфель

При нахождения оптимального портфеля необходимо взять во внимание такое понятие как "полезность"(utility). Более высокие значения полезности присваиваются портфелям с высокой ожидаемой доходностью, а низкие значение полезности присваиваются портфелям с высоким риском. Формула полезности имеет следующий вид:

U = E(r) - 0.005 Ч A Ч у², (1.16)

где E(r) - ожидаемая доходность,

U - полезность,

A - число, характеризующее отношение инвестора к риску.

Согласно формуле можно сказать, что полезность увеличивается по мере роста ожидаемой доходности и уменьшается по мере роста риска. Размер, на который снижается полезность, зависит от значения A, т.е. степени отношения инвестора к риску. Чем выше значение A, тем более консервативен инвестор, т.е. менее склонен к риску. Нейтральные к риску инвесторы имеют значение A=0.

Если проанализировать формулу можно увидеть, что полезность "безрискового" актива (чаще всего это - T-Bills) является простой ставкой доходности этого "безрискового" актива, т.к. дисперсия равна 0, а, следовательно, и нет риска.

Т.к. при выборе между рисковым портфелем и безрисковым активом мы сравниваем полезность нашего портфеля со ставкой по безрисковому активу, то можно сказать, что полезность портфеля является гарантированной эквивалентной доходностью для инвестора. Таким образом, гарантированная эквивалентная доходность портфеля - это доходность, которую безрисковые вложения должны гарантированно обеспечивать, чтобы быть равнопривлекательным рисковым портфелем. Иными словами, портфель привлекателен только в том случае, если его гарантированная эквивалентная доходность (полезность) выше безрисковой.

Кривые безразличия.

Кривые безразличия - это кривые, которые строятся в плоскости "стандартное отклонение - доходность" и отражают отношение инвестора к риску и доходности.

Требуемая E(r) = U + 0.005 Ч A Ч у² , (1.17)

где E(r) - требуемая ожидаемая доходность,

U - полезность,

A - число, характеризующее отношение инвестора к риску.

Для того, чтобы построить "кривую безразличия" необходимо по оси ординат отложить ожидаемую доходность, а по оси абсцисс стандарное отклонение, т.е. риск.

Данные кривые можно построить для любого инвестора. Для более консервативного инвестора, с уровнем избегания риска A=10, кривая будет иметь более крутой угол наклона. Для менее консервативного инвестора, кривая будет более пологой.

Рисунок 2

Важно отметить два свойства кривых безразличия:

1. все портфели, лежащие на одной заданной кривой являются равноценными для инвестора;

2. инвестор будет считать любой портфель, лежащий на кривой, которая находится выше и левее, более привлекательным, чем любой другой портфель, который находится на кривой расположенной ниже и правее.

Для более рисковых инвесторов кривые безразличия будут иметь более пологий вид, которым будет соответствовать более высокий риск и как следствие более высокая ожидаемая доходность.

Существует возможность включения в портфель безрискового актива, скажем, государственных облигаций. В принципе технология нахождения множества портфелей, построения эффективной границы и выбора оптимально портфеля довольно схожи.

Глава 2.Теория портфеля Гарри Марковица

Современная теория портфельных инвестиций берет свое начало из небольшой статьи Г. Марковица "Выбор портфеля". В ней он предложил математическую модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, а также привел методы построения таких портфелей при определенных условиях. Рассмотрев общую практику диверсификации портфеля, ученый показал, как инвестор может снизить его риск путем выбора некоррелируемых акций.

Основной заслугой Г. Марковица является предложенная им в этой статье теоретико-вероятностная формализация понятий "доходность" и "риск". В его модели для исчисления соотношения между риском инвестиций и их ожидаемой доходностью используется распределение вероятностей. Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг определяется как среднее значение распределения вероятностей, а риск - как стандартное отклонение возможных значений доходности от ожидаемого.

Согласно Марковицу, любой инвестор должен основывать свой выбор исключительно на ожидаемой доходности и стандартном отклонении при выборе портфеля. Таким образом, осуществив оценку различных комбинаций портфелей он должен выбрать "лучший", исходя из соотношения ожидаемой доходности и стандартного отклонения этих портфелей. При этом соотношение доходность-риск портфеля остается обычным: чем выше доходность, тем выше риск.

Прежде чем приступить к формированию портфеля, необходимо дать определение термину "эффективный портфель". Эффективный портфель - это портфель, который обеспечивает:

· максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска, или

· минимальный уровень риска для некоторой ожидаемой доходности.

В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал статью “Portfolio Selection”, которая легла в основу теории инвестиционного портфеля. Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется. Другим важным исходным положением в теории Г. Марковица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реагирует на появление новой информации.

В своих теоретических исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор, формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя E(r) - ожидаемую доходность и у - стандартное отклонение как меру риска. Следовательно, инвестор должен оценить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его - обеспечивает максимальную доходность r при допустимом значении риска у. Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения “доходность-риск”.

Эффективные портфели. Цель любого инвестора - это составить такой портфель ценных бумаг, который бы давал максимально возможную отдачу с минимально допустимым риском. Раскроем прежде всего взаимосвязь эффекта корреляции и риска инвестиционного портфеля.

Сравнение значений стандартных отклонений различных портфелей позволяет сделать два важных вывода:

· во-первых, при одних и тех же значениях с1,2 разным портфелям соответствуют разные величины у, то есть при изменении соотношения ценных бумаг в портфеле меняется и риск портфеля.

· во-вторых, что более важно, для любого портфеля с понижением коэффициента корреляции уменьшается и риск портфеля (если, конечно портфель не состоит из одной ценной бумаги).

Теория инвестиционного портфеля, за работу над которой Г. Марковиц получил Нобелевскую премию.

Если брать различные количества ценных бумаг (3, 4, 5, …, n), имеющих любые попарные коэффициенты доходностей в пределах от (- 1) до (+ 1), и создавать из них портфели, варьируя “вес” каждой ценной бумаги, то какому-то конкретному портфелю А будет соответствовать вполне определенное соотношение ожидаемой доходности E(rA) и риска (стандартное отклонение уА). Перенеся эти соотношения на координатную плоскость с осями E(r) и у, получим точку А с координатами [E(rA); уA] на рисунке 1:

Рисунок 3. Зона возможных существований портфелей

Заштрихованная площадь S представляет зону возможного существования портфелей, создаваемых из n выбранных ценных бумаг.

Для другого набора этих же ценных бумаг с определенным “весом” каждой бумаги получим другое соотношение ожидаемой доходности и риска (например, точка N на рис. 3). Можно показать, что из любого ограниченного набора ценных бумаг, выбранных инвестором, путем варьирования их “веса” можно получить бесконечное количество портфелей. Строго говоря, для того, чтобы портфелей было бесконечно много необходимо допустить, что каждая ценная бумага может быть разделена, то есть инвестор способен приобрести часть облигации или акции. Без такого допущения количество портфелей будет хоть и велико, но ограниченно. Если для каждого из портфелей определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение, отложить их на графике (рис. 3), то получим совокупность точек - зону, определяющую все возможные портфели для выбранного количества ценных бумаг.

Ключ к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфелей, так называемой границы эффективности. Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

1. обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска;

2. обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожидаемой доходности.

Иначе говоря, если инвестор выбрал n ценных бумаг со своими характеристиками [E(ri); уi; уij; сij, где i,j = 1,2,…,n], то найдется только одна комбинация ценных бумаг в портфеле, минимизирующая риск портфеля при каждом заданном значении ожидаемой доходности портфеля. Если обратиться к рисунку 3, то вывод теоремы сводится к тому, что какую бы величину ожидаемой доходности не определил инвестор (например, E(rm) на рис. 3), всегда путем перебора весов ценных бумаг портфеля можно найти такой портфель, при котором уровень риска достигает минимального значения (на рис. - точка М).

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образует так называемую границу эффективности - на рис. 3 это линия R. Как видно из данного рисунка, при перемещении по границе вверх - вправо величины E(r) и у увеличиваются, а при движении вниз - влево - уменьшаются.

Итак, эффективный портфель - это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине E(r) и максимальную отдачу при заданном уровне риска.

Как отмечалось, на риск портфеля основное влияние оказывает степень корреляции доходностей входящих в портфель ценных бумаг - чем ниже уровень корреляции, то есть чем ближе коэффициент корреляции приближается к (- 1), тем ниже риск портфеля. Тогда можно предположить, что путем диверсификации - изменения количества входящих в портфель ценных бумаг и их весов - инвестор способен снизить уровень риска портфеля, не изменяя при этом его ожидаемой доходности.

Та часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации, называется диверсифицируемым, или несистематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит название недиверсифицируемого, или систематического риска.

2.1 Общая постановка задачи нахождения границы эффективных портфелей

Если портфель состоит более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей, или, иными словами, можно сформулировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой нормой отдачи E(rn) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к следующему:

необходимо найти минимальное значение дисперсий портфеля. Риск инвестиционного портфеля надо определять с помощью дисперсии. Пусть в исследуемый портфель входят n ценных бумаг; тогда дисперсию портфеля необходимо вычислять по формуле:

Если вспомнить, что коэффициент корреляции сi,j = уi,j / уiуj, то эту формулу можно представить в виде:

(2.1)

при заданных начальных условиях:

E(r портфеля) = (2.2)

(2.3)

Существуют три способа решения подобного рода задач - графический, математический и с использованием компьютерных программ.

Графический способ был предложен Г. Марковицем. Необходимо учитывать, что при n > 3 этот способ мало применим, поскольку не позволяет графически представить границу эффективных портфелей. Математический способ позволяет оптимизировать портфель, содержащий много больше ценных бумаг, и широко используется на практике. Наконец, с помощью специальных программ можно решать подобные задачи с дополнительными начальными условиями.

Итак, для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а) n значений ожидаемой доходности E(ri), где i = 1, 2,…, n каждой ценной бумаги в портфеле;

б) n значений дисперсий у²i каждой ценной бумаги;

в) n(n-1)/2 значений ковариации уi,j, где i,j = 1, 2,…, n.

Способы их вычисления приведены ранее. Если подставить значения E(ri), уi и уi,j в уравнения (2.1) - (2.3), то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины Wi - “веса” каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n акций, по сути дела, сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е* инвестор должен найти такие значения Wi, при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения Е* инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

2.2 Нахождение оптимального портфеля

В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E(r) и уровня риска у портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания E(r) и у, поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее, каждый оптимальный портфель непременно является эффективным, то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E(ri) каждой ценной бумаги, n величин у²i дисперсий всех норм отдачи и n(n-1)/2 выражений попарных ковариаций уi,j ценных бумаг в портфеле.

Глава 3. Оптимизация инвестиционного портфеля по модели Шарпа

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E(ri) каждой ценной бумаги, n величин у²i дисперсий всех норм отдачи и n(n-1)/2 выражений попарных ковариаций уi,j ценных бумаг в портфеле.

В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe single-index model).

Общее описание модели. В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины - независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = б + вЧХ. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность rm, вычисленную на основе индекса Standart and Poor's (S&P500). В качестве зависимой переменной берется доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а доходность rm - доходностью рыночного портфеля.

Пусть доходность rm принимает случайные значения, и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm1, rm2, ... , rmN. При этом доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги имела значения ri1, ri2, ... , riN. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

ri,t = бi + вirm,t + еi,t (2.4)

где: ri,t - доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t (например, 31 декабря 2008 года);

бi - параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm;

вi - параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

rm,t - доходность рыночного портфеля в момент t;

еi,t - случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri,t и rm,t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру вi, поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если вi>1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm. Соответственно, при вj < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E(r)j, чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом в > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с в < 1 - менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг в > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной в.

Определение параметров бi и вi регрессионной модели. Для нахождения параметров бi и вi по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов (МНК). По этому методу в качестве параметров бi и вi берутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок е. Если провести необходимые вычисления, то окажется, что параметры бi и вi принимают следующие значения:

бi = E(ri) ? вi Ч E(rm) (2.5)

(2.6)

Оценка результатов регрессии. Параметры бi и вi регрессионной модели дают представление об общих тенденциях взаимосвязей между изменениями рыночного показателя rm и нормой отдачи ri. Однако величины бi и вi не позволяют давать однозначный ответ о степени подобной взаимосвязи. На точность регрессионной модели оказывает значительное влияние ошибки еi. Значит, точность регрессионной модели, степень взаимосвязи rm и ri, определяется разбросом случайных ошибок еi, который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки. Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию ценных бумаг, для которых составляется регрессионная модель.

Дисперсию i-ой ценной бумаги можно представить в виде двух слагаемых:



Разделим обе части равенства на величину:

В этом случае первое слагаемое будет показывать, какую долю в общем риске ценной бумаги можно описать с помощью регрессионной модели (ri,t = бi + вirm,t), а второе слагаемое - степень неточности регрессионной модели. Значит, чем ближе величина ближе к единице, тем более точная регрессионная модель. Если обратиться к равенству, то можно увидеть, что .

Следует иметь в виду, что квадрат коэффициента корреляции является общепризнанной мерой оценки линейной регрессии, то есть мерой того, насколько точно уравнение регрессии подходит для описания соотношений реальных данных ri,t и rm,t.

Поскольку для определения оптимального портфеля с использованием модели Шарпа понадобятся значения дисперсий случайных ошибок, то вычислим их. Общая формула для вычисления дисперсии случайной ошибки имеет вид:

(2.7)

В данном случае средняя арифметическая величина вычисляется делением на (N-2), поскольку две степени свободы были утеряны при вычислении бi и вi.

3.1 Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей

Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то будем считать, что:

1) Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E(еi)=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n.

2) Дисперсия случайных ошибок для каждой ценной бумаги постоянна.

3) Для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок.

4) Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

5) Отсутствует корреляция между случайными ошибками еi и рыночной доходностью.

Используя эти упрощения, можно получить выражения E(ri), и уi,j для любых ценных бумаг в портфеле:

E(ri) = бi + вi Ч E(rm);

;

уi,j = вi вj у2m

В итоге, если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии бi и вi позволяет выразить с их помощью все начальные элементы - ожидаемую доходность E(ri) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии и ковариации бi,j норм отдачи этих ценных бумаг, необходимые для построения границы эффективных портфелей. При этом инвестору требуется предварительно вычислить n значений бi, n величин вi, n значений, а также E(rm) и у2m. Следовательно всего потребуется найти: (ni) = 3n+2 начальных данных, что существенно меньше объема вычислений для модели Марковица.

Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля. Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле

(2.8)

где Wi - вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту формулу выражение для ri :

(2.9)

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения можно представить в виде:

(2.10)

где: W; (2.11)

.

при этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии рыночной доходности. Выражение (2.11) представляет собой сумму взвешенных величин “беты” (вi) каждой ценной бумаги (где весом служат Wi) и называется портфельной бетой (вn). С учетом сделанных допущений, формулу (8) можно записать так:

(2.12)

а поскольку E(еi) = 0, то окончательно имеем:

(2.13)

Итак, ожидаемую доходность портфеля E(rn) можно представить состоящей из двух частей:

а) суммы взвешенных параметров бi каждой ценной бумаги -

W1б1 + W2б2 + .... + Wnбn, что отражает вклад в E(rn) самих ценных бумаг;

б) компоненты, то есть произведения портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.

Дисперсия портфеля. Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

(2.14)

При этом только необходимо иметь в виду, что то есть (Wn+1)2=(W1в1 + W2в2 + .... + Wnвn)2, значит, дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из двух компонент:

а) средневзвешенных дисперсий ошибок , где весами служат Wi, что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск);

б) взвешенной величины дисперсии рыночного показателя, где весом служит квадрат портфельной беты, что отражает долю риска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночный риск)

В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему:

необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля

(2.15)

при следующих начальных условиях:

(2.16)

(2.17)

Заключение

Основные выводы теории портфельных инвестиций, можно сформулировать так:

1) эффективное множество содержат те портфели, которые одновременно обеспечивают и максимальную ожидаемую доходность при фиксированном уровне риска, и минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности;

2) предполагается, что инвестор выбирает оптимальный портфель из портфелей, составляющих эффективное множество;

3) оптимальный портфель инвестора идентифицируется с точкой касания кривых равнодушия инвестора с эффективным множеством;

4) как правило, диверсификация влечет за собой уменьшение риска, поскольку в общем случае стандартное отклонение доходности портфеля будет меньше, чем средневзвешенные стандартные отклонения доходности ценных бумаг, которые составляют этот портфель;

5) соотношение доходности ценной бумаги и доходности на индекс рынка известно как рыночная модель;

6) доходность на индекс рынка не отражает доходности ценной бумаги полностью; необъясненные элементы включаются в случайную погрешность рыночной модели;

7) в соответствии с рыночной моделью, общий риск ценной бумаги состоит из рыночного риска и собственного риска;

8) диверсификация приводит к усреднению рыночного риска;

9) диверсификация может значительно снизить собственный риск.

Таким образом, можно сформулировать основные постулаты, на которых построена современная теория портфельных инвестиций:

1. Рынок состоит из конечного числа активов, доходность которых для заданного периода считается случайной величиной.

2. Инвестор способен, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходности и их попарных ковариаций - возможностей диверсификации риска.

3. Инвестор может формировать разные допустимые (для данной модели) портфели, доходность которых также является случайной величиной.

4. Сопоставление выбираемых портфелей основывается только на двух критериях - средней доходности и риске.

5. Инвестор не предрасположен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

Центральной проблемой в теории портфельных инвестиций является выбор оптимального портфеля, то есть определение набора активов с наивысшим уровнем доходности при наименьшем или заданном уровне инвестиционного риска. Такой подход является "многомерным" как по количеству привлеченных в анализ активов, так и по учтенным характеристикам.

Традиционный подход в инвестировании, преобладавший до появления современной теории портфельных инвестиций, имел два существенных недостатка. Во-первых, в нем основное внимание уделялось анализу поведения отдельных активов (акций, облигаций). Во-вторых, основной характеристикой активов в нем была исключительно доходность, тогда как другой фактор - риск - не получал четкой оценки при инвестиционных решениях. Нынешний уровень разработки теории портфельных инвестиций преодолевает эти недостатки. Формированием такого нового подхода фактически завершился длительный период (еще с конца 20-х годов ХХ в.), названный в финансовой теории "первоначальным этапом развития теории портфельных инвестиций".

В общем, концепция, разработанная американским ученым В. Шарпом, является более сложной, с точки зрения применяемых методов и устанавливаемых зависимостей. Она получила название «линии эффективного рынка ссудного капитала», так как инвестор, стремящийся достичь более высокого уровня прибыли, чем среднерыночный, должен занимать финансовые средства по рисковому проценту. Безусловно, что Шарп внес огромный и неоценимый вклад в исследование проблемы формирования и управления портфелем ценных бумаг, но модель его из-за большой сложности не получила такого широкого практического применения, как модель Марковица. Но и эта модель требует больших временных затрат и становиться практически не разрешимой при рассмотрении большого числа ценных бумаг, так как требует проведения оценки N параметров. К счастью, существуют альтернативы данному методу.

Список используемой литературы

1) Недосекин А.О., журнал "Аудит и финансовый анализ" ст. «управление риском портфельных инвестиций»,09.12.2000 г.

2) Когут А.Е. Управление инвестиционной деятельностью предприятия. - М.: Перспектива, 1997.

3) Фадеев А., Рукин А. Инвестиционные портфели // Рынок ценных бумаг. 1995. № 14.

4) www.Forexfin.ru

5) www.option.ru

6) www.forexdrom.ru, Нижегородстат НТА-Приволжье

7) www.cfin.ru

Практическая часть

Задача 1

ИП	I0	CF1	CF2	CF3	CF4	K
А	40	15	20	18	17	10
Б	30	13	9	11	17	12
В	35	14	18	16	18	13
Г	25	8	10	12	9	11

L = 90 млн. у.е.

Составить оптимальный план размещения инвестиций по 4 проектам.

Определить NPV и PI

1) NPV_а = (15/1,1) + (20/1,21) + (18/1,331) + (17/1,4641) - 40 = 13,63 + 16,52 + 13,52 + 11,61 - 40 = 15,28 > 0

PI_а = (13,63 + 16,52 + 13,52 + 11,61) / 40 = 1,38 > 1

2) NPV_б = (13/1,12) + (9/1,2544) + (11/1,405) + (17/1,574) - 30 = 11,60 + 7,17 + 7,83 + 10,80 - 30 = 7,4 > 0

PI_б = (11,60 + 7,17 + 7,83 + 10,80) / 30 = 1,25 > 1

3) NPV_в = (14/1,13) + (18/1,2769) + (16/1,443) + (18/1,63) - 35 = 12,39 + 14,1 + 11,09 + 11,04 - 35 = 48,62 - 35 = 13,62 > 0

PI_в = (12,39 + 14,1 + 11,09 + 11,04) / 35 = 1,39 > 1

4) NPV_г = (8/1,11) + (10/1,2321) + (12/1,3676) + (9/1,518) - 25 = 7,21 + 8,12 + 8,77 + 5,93 - 25 = 5,03 > 0

PI_г = (7,21 + 8,12 + 8,77 + 5,93) / 25 = 1,2 > 1

Проранжировать по убыванию

PI NPV

1,39 В 15.28 А

1,38 А 13.62 В

1,25 Б 7.4 Б

1,2 Г 5.03 Г

Составляем оптимальный план

ИП	I0	% финансирования	NPV
В	35	100%	13,62
А	40	100%	15,28
Б	15	50%	7,4*0,5 = 3,7%

Итого: L = 90 ?NPV = 32,6%

Max ?NPV = 32,6%

Выбрать оптимальное сочетание инвестиционных проектов

Варианты сочетаний инв. проектов	Суммарные инвестиции ? I	? NPV	Вывод
А + Б	70	15,28 + 7,4 = 22,68	Неоптим.сочет, т.к 22,68 < 28,9
А + В	75	15,28 + 13,62 = 28,9	ОРТ
А + Г	65	15,28 + 5,03 = 20,31	Неоптим.сочет, т.к 20,31< 28,9
Б + В	65	7,4 + 13,62 = 21,02	Неоптим.сочет, т.к 21,02< 28,9
Б + Г	55	7,4 + 5,03 = 12,43	Неоптим.сочет, т.к12,43< 28,9
В + Г	60	13,62 + 5,03 = 18,65	Неоптим.сочет, т.к18,65<28,9

Задача 2

Составить оптимальный план размещения инвестиций по двум годам, при условии, что инвестиции в первом году не могут превысить 90 млн. у.е.

ИП	NPV0	Р	NPV1 = NPV0*Р	Потеря в NPV	I0	Index вп
1	2	3	4	5	6	7
А	15,28	1,1	15,28*1,1 = 16,81	16,81-15,28=1,53	40	1,53/40=0,0383
Б	13,62	1,12	15,25	1,63	30	0,0543
В	7,4	1,13	8,36	0,96	35	0,0274
Г	5,03	1,11	5,58	0,55	25	0,022

Вывод: наименьшие потери связаны с переносом на второй год инвестиционного проекта Г (с Index вп = 0,022) и инвестиционного проекта В (с Index вп = 0,0274). Следовательно, при реализации в первом году могут быть приняты проекты Б и А в полном объёме, а также часть проекта В (при условии, что проект В поддаётся дроблению).

Оставшаяся часть проекта В и проект Г в полном объёме переносятся на второй год.

Задача 3

L = 20 млн.руб

		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	7	4	9500	10200	0,6	6120	2375	3380	15,82	1,55	8,34	3	5	8	24,16	*
2	5	3	5200	6100	0,3	1830	1733,3	3370	15,78	2,84	15,28	1	4	5	31,06		*
3	4	2	3400	4050	0,4	1620	1700	1780	8,33	2,1	11,3	1	3	4	19,63
4	6	4	6100	7300	0,7	5110	1525	990	4,64	1,19	6,4	2	4	6	11,04
5	3	0,5	3800	5000	0,5	2500	7600	1300	6,09	1,52	8,18	1	3	4	14,27
6	4	3	4900	6070	0,2	1214	1633,3	3686	17,26	4,04	21,73	1	4	5	38,99		*
7	5	4	5700	7000	0,6	4200	1425	1500	7,02	1,36	7,31	2	4	6	14,33
8	8	7	10000	11950	0,5	5975	1428,6	4025	18,84	1,67	8,98	3	5	8	27,82	*
9	3	1	2500	3300	0,7	2310	2500	190	0,89	1,08	5,81	1	2	3	6,7
10	6	3	5950	8020	0,6	4812	1983,3	1138	5,33	1,24	6,67	2	4	6	12
ИТ				68990		35691		21359	100	18,59	100

Вывод2: Оптимальный ИП будет включать в се6я: 2 + 6 + 1 + Ѕ часть 8 проекты. Если проекты могут быть приняты только в полном объёме, то также, как и в других видах оптимизации необходимо учитывать возможности дополняющих инвестиций.

Вывод 1: Оптимальный ИП будет включать в себя : : 1 + 8 + 6 + часть 2 проекты (при условии, что проект 2 поддаётся дроблению).

Выбор инвестиций по рейтингу R₂, обеспечивает max доходы предприятия, но при этом риск снижается в меньшей степени по сравнению с первым вариантом. Выбор по рейтингу R₂ целесообразен при стабильной макроэкономической ситуации и при финансовой устойчивости предприятия - инициатора этих проектов.