1

18

Типові задачі з дисципліни "Інвестування"

Зміст

1. Майбутня вартість вкладу за складними відсотками

2. Теперішня вартість ануїтету

3. Теперішня вартість вкладу за складними відсотками

4. Майбутня вартість ануїтету

5. Ефективна відсоткова ставка

6. Вигідність вкладання грошей в інвестиційний проект

7. Внутрішня норма дохідності інвестицій

8. Визначення спот-ставок, форвардної ставки, побудова кривої дохідності -- для чисто дисконтних облігацій

9. Обчислення n - річних спот-ставок за форвардними ставками та побудова кривої дохідності

10. Сподівана норма дохідності та ступінь ризику інвестиційного портфеля

11. Найменш ризикований варіант вкладення капіталу за критерієм найменшого значення коефіцієнту варіації

12. Дохід на одну акцію, дивідендна доходність акції, загальна доходність акції

Задача 1

Обчислити майбутню вартість вкладу через 18 місяців за складними відсотками, якщо початкова вартість вкладу -- 3000 грн., відсоткова ставка -- 8% у квартал.

При нарахуванні складних відсотків до уваги береться періодичність їх нарахування протягом року. При всякому наступному нарахуванні відсотки нараховуються на загальну суму грошей, в яку входять вкладені кошти S = 300 грн. і прибутки попередніх періодів.

З умови задачі треба розуміти так, що періодичність нарахування відсотків n = 1 квартал = 3 місяці. Кількість періодів нарахування відсотків залежить від терміну розміщення коштів Т = 18/3 = 6 кварталів; відсоткова ставка одного періоду -- t_n = 8%.

Тепер можемо застосувати формулу для розрахунку майбутньої вартості P_T*n будь-якого нинішнього вкладу (чи позики):

P_T*n = S*(1+ t_n)^T*n = 3000*(1+ 0,08)^(6*1) = 4760,62 грн.

Присутній тут множник (1+ t_n)^T*n називається множником нарощування. Як бачимо, сума в кінці терміну P₆ = 4760,62 грн., а загальна сума відсотків за термін дії вкладу Т = 18 місяців становитиме p = 4760,62-3000 = 1760,62 грн.

Задача 2

Обчислити теперішню вартість ануїтету за 5 років, якщо сума ануїтетного платежу -- 700 грн.., річна відсоткова ставка -- 25%.

Умови задачі дуже поверхневі: не вказаний метод нарахування ануїтетного відсотка -- чи попередній (пренумерандо), чи наступний (постнумерандо). Адже від цього залежить застосовувана в розрахунках формула. Тому будемо вважати, що "наш" ануїтет здійснюється на умові попередніх платежів (пренумерандо). В цьому випадку для розрахунку теперішньої вартості ануїтету використовується формула:

РА = S*(1+ t)*(1+ t)^-T / t.

В цій формулі множник (1+ t)^-T називається дисконтним множником.

В нашому випадку маємо такі вихідні дані: S = 700 грн., t = 0,25, Т = 5 років. Отже, отримаємо:

РА = 700*(1+0,25)*(1+0,25)^-5/0,25 = 1146,88 грн.

Задача 3

Обчислити теперішню вартість вкладу за складними відсотками, якщо кінцева вартість вкладу через 4 роки -- 10000 грн., річна відсоткова ставка -- 20%, темп інфляції -- 10%. Знайти реальну відсоткову ставку та інфляційну премію.

При оцінці теперішньої вартості грошових коштів з урахуванням фактора інфляції використовується наступна формула:

Рр = S / [(1+t)*(1+t_и)]^T,

де в нашому випадку:

кількість інтервалів, по яким здійснюється кожний відсотковий платіж --Т = 4 роки,

очікувана номінальна вартість вкладу -- S = 10000 грн.,

реальна процентна ставка, що використовується в процесі дисконтування вартості -- t = 0,2,

прогнозний темп інфляції -- t_и = 0,1.

Таким чином, за наведеною формулою отримаємо:

Рр = 10000/[(1+0,2)*(1+0,1)]^4 = 3293,85 грн.

Отже, за прийнятих даних реальна теперішня сума вкладу з урахуванням фактора інфляції складає лише 3293,85 грн. При цьому необхідний розмір щорічної інфляційної премії становитиме:

Пр = S* t_и = 10000*0,1 = 1000 грн..,

а реальна відсоткова ставка буде:

t_р = (t - t_и) / (1 + t_и) = (0,2-0,1)/(1+0,1) = 0,09 = 9%.

Задача 4

Обчислити майбутню вартість ануїтету через 6 років, якщо сума ануїтетного платежу -- 100 грн.., річна відсоткова ставка -- 24%, темп інфляції -- 5%.

Розв'язок цієї задачі здійснюється з використанням в якості річної відстоткової ставки t = 24% реальної відсоткової ставки t_р з урахуванням темпу інфляції t_и = 5%:

t_р = (t - t_и) / (1 + t_и) = (0,24-0,05)/(1+0,05) = 0,181 = 18,1%.

З урахуванням саме цієї процентної ставки й підрахуємо майбутню вартість ануїтету, який здійснюється на умовах наступних платежів (постнумерандо):

SA = R*[(1+ t_р)^T - 1] / t_р,

де в нашому випадку R = 100 грн., t_р = 0,181, Т = 6 років. Отже:

SA = 100*[(1+0,181)^6 - 1]/0,181 = 946,58 грн.

Задача 5

Що Ви обираєте: отримати 12000 грн. готівкою чи виплати по 2900 грн. на протязі 5 років при річній відсотковій ставці 18% з періодичністю виплат 3 рази на рік? (Обчислити для останнього варіанта ефективну відсоткову ставку.)

Щоб відповісти на це запитання, треба розрахувати загальну майбутню суму Р виплат по n = 3 рази на рік за Т = 5 років з урахуванням річних відсотків t = 0,18, якщо виплати проводяться кожний рік по S = 2900 грн. Для цього застосовується формула для розрахунку простих відсотків:

Р = S*(1+t/n)*T = 2900*(1+0,18/3)*5 = 15370,05 грн.

Отже, одразу видно, що отримувати по 2900/3 = 966,67 грн. кожні 12/3 = 4 місяці навіть під такі незначні 18/3 = 6 відсотків значно вигідніше, оскільки в підсумку 12000 грн. < 15370 грн. При цьому ефективна відсоткова ставка становитиме:

t_еф = (Р-S*T)/(S*T²) = (15370,05-2900*5) / (2900*5^2) = 0,012.

Такий низький відсоток -- 1,2% -- означає, що якби виплати проводилися 5 років по 2900 грн. без виплати будь-яких відсотків, то отримана сума 2900*5 = 14500 грн. виявилася б ненабагато меншою, ніж та, що ми отримали вище: уявна сума простого процента в процесі 5-річного компаундінга (нарощення вартості) склала б лише 15370,05-14500 = 870,05 грн. Доречі, ефективну ставку t_еф можна було б розрахувати і виходячи з отриманої суми компаундінга:

t_еф = 870,05/14500/5 = 0,012 = 1,2%.

Задача 6

Чи варто вкладати гроші в інвестиційний проект, який розрахований на 5 років і передбачає такі грошові потоки: с(0) = -5000 грн., с(1) = 3000 грн., с(2) = 1000 грн., с(3) = 250 грн., с(4) = 850 грн., с(5) = 900 грн., альтернативна відсоткова ставка -- 14% річних?

З умови задачі видно, що напочатку інвестор в цей 5-річний проект повинен вкласти S = 5000 грн. Якби він ці гроші поклав на депозитний рахунок в банку навіть із простою відсотковою ставкою t = 14% річних, то через Т = 5 років отримав би

Р_заг = S*(1+Т*t) = 5000*(1+5*0,14) = 8500 грн.

Але цей інвестор, мабуть, волів би отримувати якісь дивіденди кожного року: 1/5 частину свого вкладу плюс відповідні відсотки. Тоді грошовий потік мав би такий вигляд:

с(1) = 5000*(1/5+0,14) = 1700 грн.,

с(2) = 4000*(1/4+0,14) = 1560 грн.,

с(3) = 3000*(1/3+0,14) = 1420 грн.,

с(4) = 2000*(1/2+0,14) = 1280 грн.,

с(5) = 1000*(1+0,14) = 1140 грн.

Отже, загальна сума склала б

Р_заг = 1700+1560+1420+1280+1140 = 7100 грн.

А яку ж загальну суму отримає інвестор з інвестиційного проекту? Складемо грошові потоки, які передбачаються цим проектом:

Р_заг = 3000+1000+250+850+900 = 6000 грн.

Тепер зрозуміло, що вкладати гроші в такий інвестиційний проект не варто. Хоча, з іншого боку, давайте ще розрахуємо чистий поточний ефект розглядуваного інвестиційного проекту, припускаючи, що альтернативна ставка t є ставкою дисконту (хоча вона повинна була б бути меншою):

NPV = PV - S = Уc(і)/(1+t)^і - S, і = 1 ч 5

NPV = 3000/(1+0,14)^1 + 1000/(1+0,14)^2 + 250/(1+0,14)^3 + 850/(1+0,14)^4 + 900/(1+0,14)^5 - 5000 = -459,51 < 0.

Як бачимо, аналіз чистого поточного ефекту також дає негативну відповідь: цей інвестиційний проект нікуди не годиться.

Задача 7

Оцінити значення внутрішньої норми дохідності інвестиції об'ємом S = 10000 грн., що генерує грошові потоки по с(і) = 2100 грн. на протязі n = 7 років.

Оскільки внутрішня норма рентабельності (прибутковості, дохідності) ІRR -- це і є та сама ставка дисконту t, що входить у вираз для NPV у знаменниках членів суми та ще й у різних ступенях (див. задачу 6), то знайти її буде не легко.

Ми для цього застосуємо ітеративний метод: оберемо два значення ставки дисконту t₁ > t₂ таким чином, щоб в інтервалі t₁ ч t₂ показник чистого поточного ефекту NPV

NPV = Уc(і)/(1+t)^і - S, і = 1 ч 7

змінював своє значення з "+" на "-" або з "-" на "+". Тоді величину ІRR можна обчислити за формулою:

ІRR = t₁ + (t₂ - t₁) * NPV₁ / (NPV₁ - NPV₂).

Отже, спробуємо спочатку t₁ = 0,2:

NPV₁ = 2100/(1+0,2)+2100/(1+0,2)^2+2100/(1+0,2)^3+

+2100/(1+0,2)^4+2100/(1+0,2)^5+2100/(1+0,2)^6+2100/(1+0,2)^7 - 10000 = -2430,36.

Тепер візьмемо t₂ = 0,02:

NPV₂ = 2100/(1+0,02)+2100/(1+0,02)^2+2100/(1+0,02)^3+

+2100/(1+0,02)^4+2100/(1+0,02)^5+2100/(1+0,02)^6+2100/(1+0,02)^7 - 10000 = 3591,18.

Тепер знайдемо ІRR:

ІRR = 0,2 + (0,02-0,2)*-2430,36/(-2430,36 - 3591,18) = 0,1274.

Отже, внутрішня норма рентабельності інвестицій в цей інвестиційний проект складає 12,74% -- як на наш погляд, зовсім непоганий показник.

Задача 8

Розглядаються чотири чисто дисконтні облігації з термінами погашення 1, 2, 3 та 4 роки і цінами $920, $905, $895 та $890 відповідно, номінальна вартість кожної облігації -- $1000.

Використовуючи дану інформацію, визначити річну, дворічну, трирічну та чотирирічну спот-ставки; обчислити форвардні ставки через рік, два та три роки. Який вигляд матиме крива дохідності?

Спот-ставки (тобто, фіксовані купонні ставки) d розраховуються з формули для внутрішньої вартості V(n) чисто дисконтних облігацій (тобто, облігацій з нульовим купоном):

V(n) = S / (1 + d)ⁿ,

де в даному випадку V -- ціна облігації, S -- номінальна вартість облігації, тобто сума, яка виплачується при її погашенні, n -- тривалість періоду (років) до погашення облігації.

Коли n = 1, то формула для d виявляється тривіальною:

d₁ = (S - V) / V = (1000-920)/920 = 0,08696.

Коли ж n = 2, 3, 4, то доведеться розв'язувати рівняння відповідно 2, 3, 4 ступеня відносно невідомого d. Ми ж скористаємося ітераційним методом, підставляючи у вихідне рівняння

V - S / (1 + d)ⁿ = 0

різні значення d такі, щоб воно виповнилося.

Отже, для n = 2:

905-1000/(1+0,07)^2 = 31,56

905-1000/(1+0,05)^2 = -2,03

905-1000/(1+0,052)^2 = 1,416

905-1000/(1+0,0512)^2 = 0,0402 ? 0

Знайшли -- d₂ = 0,0512. Для n = 3 маємо:

895-1000/(1+0,0377)^3 = 0,0793 ? 0

-- d₃ = 0,0377.

Для n = 4:

890-1000/(1+0,02955)^4 = -0,04144 ? 0

-- d₄ = 0,02955.

Таким чином, шукомі спот-ставки знайдені.

Форвардні ставки b, про які йдеться в умові задачі, визначаються лише для 4-річної облігації. Таким чином, наведена вище формула

V - S / (1 + b)ⁿ = 0

справедлива і для даного випадку, змінюються лише вихідні дані для розрахунків. Тож одразу застосуємо наш ітераційний метод для пошуку форвардних ставок.

Для n = 1 4-річної облігації:

b₁ = (S - V) / V = (1000-890)/890 = 0,1236 = 12,36%.

Для n = 2:

890-1000/(1+0,02955)^2 = -53,42008

890-1000/(1+0,0955)^2 = 56,7502

890-1000/(1+0,06)^2 = 0,0000

-- b₂ = 0,1236+0,06 = 0,1836 = 18,36%. Для n = 3:

890-1000/(1+0,0396)^3 = -0,0229 ? 0

-- b₃ = 0,1836+0,0396 = 0,2232 = 22,32%.

Таким чином, крива доходності для 4-річної облігації матиме вигляд, показаний на рисунку.

Задача 9

Відомі: спот-ставка в(1) = 20% та форвардні ставки т(1) = 18,5%, т(2) = 20%, т(3) = 23%. Обчислити дворічну, трирічну та чотирирічну спот-ставки. Який вигляд матиме крива дохідності?

Мабуть, в умові задачі йдеться про облігацію, яка реалізується з дисконтом без виплати відсотків, тобто про чисто дисконтну облігацію. Якщо так, то тут також застосовується базова формула із задачі 8:

V(n) = S / (1 + d)ⁿ,

де в даному випадку в якості d купонної ставки фігурує форвардна ставка.

Залежність між спот-ставками b та форвардними ставками d дається співвідношенням, яке випливає із рівності величин V і S в наведеній вище формулі:

b_n + (1 + d_n-1)^n-1 = (1 + b_n)ⁿ,

де в даному випадку в якості n виступають роки до строку погашення облігації, що змінюються, як сказано в умові задачі, з 1 до n =4. Але, оскільки значення b₁ = 20% = 0,2 нам відомо, почнемо змінювати значення n з 2.

Аналітично знайти з попереднього співвідношення залежність b(d) дуже важко, тому знову скористаємося чисельним ітераційним методом, підставляючи значення n та d у рівняння

(1 + b_n)ⁿ - b_n - (1 + d_n-1)^n-1 = 0

і відшукуючи такі значення b, аби це рівняння стало тождеством.

Отже, для n = 1 маємо тождество

1 + b₁ - b₁ - 1 = 0.

Для n = 2 отримаємо:

(1+0,1595)^2 - 0,1595 - (1+0,185) = -0,0001 ? 0

-- b₂ = 0,1595. Для n = 3:

(1+0,1386)^3 - 0,1386 - (1+0,2)^2 = -0,0004 ? 0

-- b₃ = 0,1386. Для n = 4:

(1+0,1254)^4 - 0,1254 - (1+0,23)^3 = -0,0003 ? 0

-- b₄ = 0,1254.

Дохідність облігації виражається через величини її форвардних ставок. Відповідна крива доходності показана на рисунку.



Задача 10

Інвестиційний портфель складається з акцій двох компаній із сподіваними нормами дохідності т(1) = 75%, т(2) = 80% і середньоквадратичними відхиленнями (ступенем ризику) ст(1) = 6%, ст(2) = 3%. Обчислити сподівану норму дохідності та ступінь ризику портфеля, якщо частки акцій компаній у портфелі х(1) = 25%, х(2) = 75% відповідно.

Сукупна оцінка сформованого портфеля по співвідношенню рівня дохідності та ризику дозволяє оцінити ефективнічть всієї роботи по його формуванню.

Сподівана норма дохідності портфеля розраховується за такою формулою:

Ндп = Ут(і)*х(і) = 0,75*0,25 + 0,80*0,75 = 0,7875 = 78,75%.

Ступінь ризику портфеля розраховується за формулою:

Срп = Уст(і)*х(і) = 0,06*0,25 + 0,03*0,75 = 0,0375 = 3,75%.

Отже, сукупна сподівана норма дохідності розглядуваного портфеля, який складається з акцій двох компаній, становить 78,75%, а сукупний ступінь його ризику -- 3,75%.

Задача 11

Вибрати найменш ризикований варіант вкладення капіталу. Критерієм відбору є найменше значення коефіцієнту варіації.

Варіант 1. Прибуток при середній величині 50 тис. грн. коливається від 30 тис. грн. до 60 тис. грн.. Імовірність отримання прибутку в розмірі від 30 тис. грн. до 60 тис. грн. становить 0,3.

Варіант 2. Прибуток при середній величині 40 тис. грн. коливається від 25 тис. грн. до 50 тис. грн.. Імовірність отримання прибутку в розмірі 25 тис. грн. становить 0,4, а прибутку в розмірі 50 тис. грн. -- 0,3.

Зведемо вказані в завданні дані в таблицю 1 для проведення необхідних розрахунків.

Таблиця 1

	Показники	Варіант 1	Варіант 2
	Вихідні дані
	Середня величина прибутку, тис. грн.	50	40
	Діапазон коливання прибутку, тис. грн.	30 ч 60	25 ч 50
	Імовірність отримання прибутку	30 ч 60 -- 0,3	25 -- 0,4
			50 -- 0,3
	Розрахункові статистичні дані
М(х)	Математичне сподівання	50	40
D(х)	Дисперсія	160,0	211,9
д(х)	Середньоквадратичне відхилення	12,649	14,557
K(x)var	Коефіцієнт варіації	0,253	0,364

Розрахунки ступеня ризику вкладення капіталу за величиною коефіцієнта варіації виконуються в такій послідовності.

Математичне сподівання М(х) прибутку х задане в задачі середньою величиною очікуваного прибутку.

Для кожного варіанта розраховуємо дисперсію D(х) = У[х_і - М(х)]²p_і, і = 1, 2, 3, як математичне сподівання квадрата відхилення очікуваного прибутку від його середньої величини (необхідно, аби при цьому Уp_і = 1):

D₁(х) = (30 - 50)^2*0,3 + (45 - 50)^2*0,4 + (60 - 50)^2*0,3 =

= 160,0 (тис. грн.)²

D₂(х) = (25 - 40)^2*0,4 + (37,5 - 40)^2*0,3 + (60 - 40)^2*0,3 =

= 211,9 (тис. грн.)²

Розраховуємо середньоквадратичні відхилення д(х) = [D(х)]^1/2 як суми ризику:

д₁(х) = 160,0^(1/2) = 12,649 тис. грн.

д₂(х) = 211,9^(1/2) = 14,557 тис. грн.

Розраховуємо коефіцієнт варіації K(x)_var = д(х) / М(х) як максимально можливе коливання прибутку від його середньоочікуваної величини:

K₁(x)_var = 12,649/50 = 0,253

K₂(x)_var = 14,5667/40 = 0,364

Таким чином, за показником коефіцієнта варіації найменш ризикованим є варіант 1 вкладення капіталу, оскільки максимально можливе коливання прибутку від його середньоочікуваної величини за варіантом 1 становить 25,3%, в той час коли коефіцієнт варіації для варіанта 2 становить 36,4%.

Задача 12

Підприємство придбало 2 роки тому пакет акцій за ціною 1 тис. грн. за кожну. Поточна ринкова ціна акції складає 1,5 тис. грн.. Сума отриманих дивідендів на одну акцію за цей термін -- 0,3 тис. грн..

Визначити дохід на одну акцію, дивідендну доходність акції, загальну доходність акції.

Для проведення розрахунків по цій задачі введемо такі умовні позначення:

термін користування акцією -- Та, років

термін, за який виплачено дивіденди -- Тд, років

кількість акцій -- Ка, шт.

ціна придбання акції -- Цп, тис. грн.

поточна ринкова ціна акції -- Цр, тис. грн.

грошовий потік у формі дивідендів -- Гр, тис. грн.

дохід на акцію -- Да, тис. грн.

дивідендна доходність акції -- Дд

загальна доходність акції -- Дз

У відповідності до цього завдання, маємо такі вихідні дані:

Та = Тд = 2 роки;

Ка = 1 шт.;

Цп = 1 тис. грн.;

Цр = 1,5 тис. грн.;

Гр = 0,3 тис. грн..

Потрібно визначити величини Д, Дд та Дз. Необхідні розрахунки будемо проводити за наведеними нижче формулами.

Дохід на акцію:

Да = + Та*Гр / (Тд*Ка),

або, коли в нашому випадку

Та = Тд, Ка = 1,

Да = Цр - Цп + Гр = 1,5 - 1 + 0,3 = 0,8 тис. грн.

Дивідендна доходність (коефіцієнт дивідендного виходу) акції:

Дд = Гр / Да = 0,3 / 0,8 = 0,375, або 37,5%.

Загальна доходність (прибутковість, рентабельність) акції:

Дз = Да / (Цп * Тд) = 0,8 / (1*2) = 0,4, або 40%.

Отже, задачу розв'язано.