Модель Марковица для инвестиционного портфеля

Министерство образования и науки Украины

Кафедра «Финансы»

Реферат

На тему: «Модель Марковица для инвестиционного портфеля»

По дисциплине: Инвестиции

2006 г.

Проблема выбора инвестиционного портфеля

В 1952 г. Гарри Марковиц опубликовал фундаментальную работу, которая является основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля. Подход Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег для инвестирования. Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени, который называется периодом владения (holding period). В конце периода владения инвестор продает ценные бумаги, которые были куплены в начале периода, после чего либо использует полученный доход на потребление, либо реинвестирует доход в различные ценные бумаги (либо делает то и другое одновременно). Таким образом, подход Марковица может быть рассмотрен как дискретный подход, при котором начало периода обозначается t = 0. а конец периода обозначается t = 1. В момент t = 0 инвестор должен принять решение о покупке конкретных ценных бумаг, которые будут находиться в его портфеле до момента t = I¹. Поскольку портфель представляет собой набор различных ценных бумаг, это решение эквивалентно выбору оптимального портфеля из набора возможных портфелей. Поэтому подобную проблему часто называют проблемой выбора инвестиционного портфеля.

Принимая решение в момент t = 0, инвестор должен иметь в виду, что доходность ценных бумаг (и, таким образом, доходность портфеля) в предстоящий период владения неизвестна. Однако инвестор может оценить ожидаемую (или среднюю) доходность (expected returns) различных ценных бумаг, основываясь на некоторых предположениях, а затем инвестировать средства в бумагу с наибольшей ожидаемой доходностью.

Марковиц отмечает что это будет в общем неразумным решением, так как типичный инвестор хотя и желает, чтобы «доходность была высокой», но одновременно хочет, чтобы «доходность была бы настолько определенной, насколько это возможно». Это означает, что инвестор, стремясь одновременно максимизировать ожидаемую доходность и минимизировать неопределенность (т.е. риск (risk)), имеет две противоречащие друг другу цели, которые должны быть сбалансированы при принятии решения о покупке в момент t = 0. Подход Марковица к принятию решения дает возможность адекватно учесть обе эти цели.

Следствием наличия двух противоречивых целей является необходимость проведения диверсификации с помощью покупки не одной, а нескольких ценных бумаг. Последующее обсуждение подхода Марковица к инвестициям начинается с более конкретного определения понятий начального и конечного благосостояния.

Начальное и конечное благосостояние

Согласно уравнению (1.1) доходность ценной бумаги за один период может быть вычислена по формуле где «благосостоянием в начале периода» называется цена покупки одной ценной бумаги данного вида в момент t = 0 (например, одной обыкновенной акции фирмы), а «благосостоянием в конце периода» называется рыночная стоимость данной ценной бумаги в момент t = 1 в сумме со всеми выплатами держателю данной бумаги наличными (или в денежном эквиваленте) в период с момента t -- 0 до момента t = 1.

Определение уровня доходности портфеля

Поскольку портфель представляет собой совокупность различных ценных бумаг, его доходность может быть вычислена аналогичным образом:

(1.1)

Здесь W₀ обозначает совокупную цену покупки всех ценных бумаг, входящих в портфель в момент t = 0; W₁ -- совокупную рыночную стоимость этих ценных бумаг в момент t = l и, кроме того, совокупный денежный доход от обладания данными ценными бумагами с момента t = 0 до момента t= 1. Уравнение (1.1) с помощью алгебраических преобразований может быть приведено к виду:

W₀(l+r_p)= W_v (1.2)

Из уравнения (1.2) можно заметить, что начальное благосостояние (initial wealth), или благосостояние в начале периода (W₀), умноженное на сумму единицы и уровня доходности портфеля, равняется благосостоянию в конце периода (W₁), или конечному благосостоянию (terminal wealth).

Ранее отмечалось, что инвестор должен принять решение относительно того, какой портфель покупать в момент t = 0. Делая это, инвестор не знает, каким будет предположительное значение величины для большинства различных альтернативных портфелей, так как он не знает, каким будет уровень доходности большинства этих портфелей². Таким образом, по Марковицу, инвестор должен считать уровень доходности, связанный с любым из этих портфелей, случайной переменной (random variable). Такие переменные имеют свои характеристики, одна из них - ожидаемое (или среднее) значение (expected value), а другая -- стандартное отклонение (standard deviation)³.

Марковиц утверждает, что инвестор должен основывать свое решение по выбору портфеля исключительно на ожидаемой доходности и стандартном отклонении. Это означает, что инвестор должен оценить ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля, а затем выбрать «лучший» из них, основываясь на соотношении этих двух параметров. Интуиция при этом играет определяющую роль. Ожидаемая доходность может быть представлена как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение -- как мера риска, связанная с данным портфелем. Таким образом, после того, как каждый портфель был исследован в смысле потенциального вознаграждения и риска, инвестор должен выбрать портфель, который является для него наиболее подходящим.

Кривые безразличия

Метод, который будет применен для выбора наиболее желательного портфеля, использует так называемые кривые безразличия (indifference curves). Эти кривые отражают отношение инвестора к риску и доходности и, таким образом, могут быть представлены как двухмерный график, где по горизонтальной оси откладывается риск, мерой которого является стандартное отклонение (обозначенное ?_p), а по вертикальной оси -вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность (обозначенная r_р).

Сравнение уровней конечного благосостояния для двух гипотетических портфелей.

Уровень конечного благосостояния (в доля	Вероятность оказаться ниже данного уровня конечного благосостояния (в %)
	Портфель А'	Портфель Б'
70000 80000 90000 100000 110000 120000 130000	0 0 4 21 57 88 99	2 5 14 27 46 66 82

* Ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля А -- 8 и 10% соответственно.

* Ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля В-- 12 и 20% соответственно.

Начальное благосостояние полагается равным $100 000, кроме того, предполагается, что оба портфеля имеют нормально распределенную доходность.

Здесь уместно спросить: как инвестор может определить вид его кривых безразличия? В конце концов, каждый инвестор имеет график кривых безразличия, которые, обладая всеми вышеперечисленными свойствами, в то же время являются сугубо индивидуальными для каждого инвестора . Исходя из сделанного выбора, может быть произведена оценка формы и местоположения кривых безразличия инвестора. При этом предполагается, что каждый инвестор будет действовать так, как будто бы он исходит из кривых безразличия при совершении выбора, несмотря на то, что осознанно их не использует.

В заключение можно сказать, что каждый инвестор имеет график кривых безразличия, представляющих его выбор ожидаемых доходностей и стандартных отклонений⁵. Это означает, что инвестор должен определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение для каждого потенциального портфеля, нанести их на график (такой, как, например, рис.7.1) и затем выбрать один портфель, который лежит на кривой безразличия, расположенной выше и левее относительно других кривых. Как показано в этом примере, из набора четырех потенциальных портфелей -- А, В, С и D - инвестор должен выбрать портфель С.

Ненасыщаемость и избегание риска

При обсуждении кривых безразличия мы сделали два неявных предположения. Первое: предполагается, что инвестор, делающий выбор между двумя идентичными во всем, кроме ожидаемой доходности, портфелями, выберет портфель с большей ожидаемой доходностью. Более полно можно сказать, что при использовании подхода Марковица делается предположение о ненасыщаемости (nonsatiation), т.е. предполагается, что инвестор предпочитает более высокий уровень конечного благосостояния более низкому его уровню. Это объясняется тем, что более высокий уровень конечного благосостояния позволяет ему потратить больше на потребление в момент / = 1 (или в более далеком будущем). Таким образом, если заданы два портфеля с одинаковыми стандартными отклонениями, как, например, портфели А и ?на рис. 7.4, то инвестор выберет портфель с большей ожидаемой доходностью. В данном случае это портфель А.

Однако все не так просто в случае, когда инвестору нужно выбирать между портфелями, имеющими одинаковый уровень ожидаемой доходности, но разный уровень стандартного отклонения, как, например, портфели А и F. Это тот случай, когда стоит принять во внимание второе предположение, состоящее в том, что инвестор избегает риска.

Избегание риска

В общем случае предполагается, что инвестор избегает риска (risk-averse), т.е. он выбирает портфель с меньшим стандартным отклонением, в данном случае портфель А⁶. Что значит, избегает риска? Это означает, что инвестор, имеющий выбор, не захочет выбрать «честную игру», при которой, по определению, ожидаемое вознаграждение равняется нулю. Например, предположим, что мы подкидываем монету, причем если выпадает «орел», то мы получаем $5, а если выпадает «решка», то мы платим $5. Так как существует 50%-ная вероятность выпадения «орла» (или «решки»), то ожидаемое вознаграждение составляет $0 [(0,5 х $5) + (0,5 х (-$5))]. Соответственно инвестор, избегающий риска, будет инстинктивно избегать эту азартную игру. Это объясняется тем фактом, что «количество разочарования» при потенциальном проигрыше оказывается выше, чем «количество удовольствия» при потенциальном выигрыше.

Эти два предположения о ненасыщаемости и об избегании риска являются причиной выпуклости и положительного наклона кривой безразличия⁷. Несмотря на предположение о том, что все инвесторы избегают риска, нельзя предположить, что степень избегания риска одинакова у всех инвесторов. Некоторые инвесторы могут избегать риска в значительной степени, в то же время другие могут слабо избегать риска. Это означает, что различные инвесторы будут иметь различные графики кривых безразличия. Части (а), (б) и (в) рис. 1 изображают графики инвесторов с высокой, средней и низкой степенью избегания риска соответственно. Как можно заметить из рисунка, инвестор с высокой степенью избегания риска имеет кривые безразличия с более крутым наклоном.

Рис. 1 Ненасыщаемость, избегание риска и выбор портфеля

Вычисление ожидаемых доходностей и стандартных отклонений портфелей

В предыдущем разделе была рассмотрена проблема выбора портфеля, с которой сталкивается каждый инвестор. Кроме того, был изложен подход к инвестициям Гарри Марковица как метод решения данной проблемы. При этом подходе инвестор должен* оценить все альтернативные портфели с точки зрения их ожидаемых доходностей и стандартных отклонений, используя кривые безразличия. В случае, когда инвестор избегает риска, для инвестиций будет выбран портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной «выше и левее» всех остальных.

Однако определенные вопросы остаются без ответов. Например, каким образом инвестор вычисляет ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля.

Исходя из подхода Марковица к инвестициям, инвестор должен обратить особое внимание на конечное (в конце периода) благосостояние W₁ Это означает, что, принимая решение, какой портфель приобрести, и используя свое начальное (в начале периода) благосостояние W₀ инвестор должен обратить особое внимание на эффект, который различные портфели оказывают на W₁ Этот эффект может быть выражен через ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля.

Как было отмечено ранее, портфель представляет собой набор различных ценных бумаг. Таким образом, кажется логически правильным, что ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля должны зависеть от ожидаемой доходности и стандартного отклонения каждой ценной бумаги, входящей в портфель. Также кажется очевидным, что значительное влияние оказывает то, какая часть начального капитала была инвестирована в данную ценную бумагу.

Использование стоимостей на конец периода

Ожидаемая доходность портфеля может быть вычислена несколькими способами, все они дают один и тот же результат. Рассмотрим метод, приведенный в табл. 1. Этот метод включает вычисление ожидаемой цены портфеля в конце периода и использование формулы для вычисления уровня доходности, которая была приведена. Таким образом, начальная стоимость портфеля (И^) вычитается из ожидаемой стоимости портфеля в конце периода (И^) и затем эта разность делится на начальную стоимость портфеля (И^), результатом этих операций является ожидаемая доходность портфеля. Хотя в примере, приведенном в табл. 7.2(б), используются три ценные бумаги, эта процедура может быть применена для любого количества ценных бумаг.

Использование ожидаемой доходности ценных бумаг

Альтернативный метод вычисления ожидаемой доходности портфеля приведен в табл. 1.. Эта процедура включает вычисление ожидаемой доходности портфеля как средневзвешенной ожидаемых доходностей ценных бумаг, являющихся компонентами портфеля. Относительные рыночные курсы ценных бумаг портфеля используются в качестве весов. В виде символов общее правило вычисления ожидаемой доходности портфеля, состоящего из N ценных бумаг, выглядит следующим образом:

,

где r_p -- ожидаемая доходность портфеля;|

X_i -- доля начальной стоимости портфеля, инвестированная в ценную бумагу i;

r_i - ожидаемая доходность ценной бумаги i ;

N - количество ценных бумаг в портфеле.

Таким образом, вектор ожидаемой доходности (expected return vector) может быть использован для вычисления ожидаемой доходности любого портфеля, состоящего из # ценных бумаг. Вектор состоит из одной колонки цифр, где в /-ой строке находится ожидаемая доходность /-ой ценной бумаги.

Так как ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенные ожидаемые доходности ценных бумаг, то вклад каждой ценной бумаги в ожидаемую доходность портфеля зависит от ее ожидаемой доходности, а также от доли начальной рыночной стоимости портфеля, вложенной в данную ценную бумагу. Никакие другие факторы не имеют значения. Из уравнения (7.За) следует, что инвестор, который просто желает получить наибольшую возможную ожидаемую доходность, должен иметь портфель, состоящий из одной ценной бумаги, той самой, у которой ожидаемая доходность наибольшая. Очень небольшое число инвесторов поступает таким образом, и очень небольшое число консультантов по инвестициям посоветует проводить такую экстремальную политику. Вместо этого инвесторы должны диверсифицировать портфель, т.е. их портфель должен содержать более одной ценной бумаги. Это имеет смысл, так как диверсификация может снизить риск, измеряемый стандартным отклонением.

Стандартное отклонение

Полезная мера риска должна некоторым образом учитывать вероятность возможных «плохих» результатов и их величину. Вместо того чтобы измерять вероятности различных результатов, мера риска должна некоторым образом оценивать степень возможного отклонения действительного результата от ожидаемого. Стандартное отклонение -мера, позволяющая это сделать, так как она является оценкой вероятного отклонения фактической доходности от ожидаемой.

Может показаться, что простая мера риска в лучшем случае является очень грубой суммой «плохих» возможностей. Но в наиболее типичной ситуации стандартное отклонение является в действительности очень хорошей мерой степени неопределенности оценки перспектив портфеля. Наилучшим примером является случай, когда распределение вероятностей (probability distribution) доходности портфеля может быть аппроксимировано известной кривой, имеющей форму колокола, которая носит название нормального распределения (normal distribution). Это часто рассматривается как правдоподобное предположение при анализе доходности диверсифицированных портфелей, когда изучаемый период владения относительно короток (например, квартал или менее).

В результате возникает вопрос о стандартном отклонении, как о мере риска: зачем вообще учитывать «счастливые неожиданности» (т.е. случаи, когда доходность превышает ожидаемую) при измерении риска? Почему бы просто не рассмотреть отклонения ниже ожидаемой доходности? Меры риска, при которых поступают таким образом, имеют достоинства. Однако результат будет тем же самым, если вероятностное распределение симметрично как при нормальном распределении. Почему? Потому что левая часть симметричного распределения является зеркальным отображением правой части. Таким образом, перечень портфелей, упорядоченный на основе «риска снижения курса», не будет отличаться от перечня, упорядоченного на основе стандартного отклонения, если доходность нормально распределена⁹.

Альтернативные меры риска

Фактически все учебники по инвестированию (данный не представляет исключения) определяют инвестиционный риск портфеля как изменчивость доходности, которая измеряется стандартным отклонением (дисперсией) распределения доходности портфеля. Это определение доминирует в педагогике, что отражает академическую практикуй в меньшей степени практику тех профессионалов по инвестициям, которые ограничиваются применением количественной техники управления портфелем.

Если попросить среднестатистического человека с улицы определить, что такое инвестиционный риск, то он однозначно сошлется на возможность того, что случится что-нибудь плохое. Если сказать данному человеку, что риск некоторым образом связан с возможной вероятностью хорошего результата, он почти наверняка отнесется к этим словам с недоверием.

Если сразу видно, что определение риска из учебников оказывается довольно далеким от интуитивного чувства риска, почему же тогда определение риска как «стандартного отклонения» так часто доминирует в инвестиционных исследованиях? Далее, почему все альтернативные меры риска, напрямую связанные с вероятностью возникновения нежелательных исходов, не были широко изучены и рассмотрены?

Прямым ответом на первый вопрос является тот факт, что стандартное отклонение является гораздо более простым в вычислении, чем любая альтернативная мера. Формирование и исследование различных принципов инвестиционного риска и доходности обычно проще проводить, используя стандартное отклонение как меру риска. Например, Гарри Марковиц изначально (в первой своей работе по эффективным наборам предполагал, что мера риска включает в себя только негативные результаты. В дальнейшем он отказался от этого подхода в пользу стандартного отклонения, для того чтобы упростить вычисления.

Среднестатистический человек с улицы интуитивно понимает, что наибольшей проблемой со стандартным отклонением является то, что оно представляет в невыгодном свете инвестиции с преобладанием положительных отклонений от ожидаемой доходности, Мы предполагаем, что инвестор не любит рисковать. Поэтому если мы при определении риска не различаем плохие и хорошие результаты, тогда наша оценка награды за риск при инвестировании будет снижать привлекательность Инвестиций, способных преподнести радостные сюрпризы в той же степени, в какой она учитывает их способность преподнести огорчительные сюрпризы.

Все эти заключения являются спорными в том случае, когда доходность инвестиций подчиняется симметричному распределению, например в случае нормального распределения (или кривой, имеющей форму колокола). В этом случае вероятность того, что положительный результат находится на заданном расстоянии от центра распределения, так же велика, как и вероятность того, что отрицательный результат находится на равном расстоянии от центра в противоположном направлении. Тот факт, что результаты, превышающие ожидаемую стоимость, включаются в расчеты вместе с результатами, недостигающими ожидаемой стоимости, не имеет значения. Стандартное отклонение суммирует «плохую» часть распределения доходности инвестиций.

Однако что будет, если доходность инвестиций не является нормально распределенной? Для примера мы может рассмотреть ситуацию, когда доходность обыкновенных акций не удовлетворяет данному предположению. Допустим, что инвестор на рынке обыкновенных акций столкнулся с ограниченной ответственностью. Самое большое, что он может потерять в данном случае, это первоначальные инвестиции. При этом потенциальный выигрыш от повышения не ограничен. Наконец, ожидается падение большинства доходностей по обыкновенным акциям до среднего рыночного значения. То, что мы только что описали, носит название распределения, смещенного вправо по отношению к нормальному. Стандартное отклонение недостаточно характеризует риск «смещенной вправо» ценной бумаги, так как при этом игнорируется тот факт, что большая часть изменчивости ценной бумаги приходится на «хорошую» сторону ожидаемой доходности ценной бумаги.

Интересно, что простыми математическими действиями можно свести смешенное вправо распределение к нормальному. Если прибавить !,0 к доходности ценной бумаги, а затем вычислить натуральный логарифм этого значения, тогда получившееся преобразованное распределение доходности может оказаться нормальным. Поэтому исследователи часто интересуются тем, удовлетворяет ли доходность ценной бумаги «логнормальному» распределению более, чем нормальному распределению. Хотя эмпирическое доказательство может быть оспорено, большинство экспертов рассматривает «логнормальность» как адекватную характеристику доходности обыкновенных акций.

К сожалению, доходность на некоторые виды пенных бумаг не является нормально или «логнормально» распределенной. Самым простым примером являются опционы. Например, опцион на покупку позволяет его владельцу получать прибыль в случае положительной доходности соответствующей акции, но в то же время избегать убытков в случае ее отрицательной доходности. По существу, опцион на покупку отсекает распределение доходности акций в той точке, где начинаются потери. Инвестору, таким образом, принадлежит только «хорошая», или правая, сторона в распределении доходности. Соответственно доходность опциона на покупку по определению не является нормально распределенной.

Кроме того, некоторые ценные бумаги имеют включенные в них опционы. Например, отзывные облигации позволяют эмитентам осуществить их погашение по своему усмотрению. Они делают это только тогда, когда процентная ставка изменяется в их пользу. Жилищная ипотека имеет похожие свойства по предоплате. Поэтому ее доходность также не лишается нормально распределенной. Если мы хотим при определении и измерении риска принять во внимание только вероятность нежелательных результатов Инвестирования, то какие альтернативы Стандартному отклонению. возможны? Простейшим ответом является вероятность «недобора». Она измеряет шансы на fio, что доходность ценной бумаги окажется ниже ожидаемой доходности. По существу, это доля вероятностного распределения, лежащая слева от ожидаемой доходности.

Более сложные измерения риска получения доходности ниже ожидаемой производятся с помощью семейства статистических 1Ланных, известных как частичные моменты Низких порядков. Например, средний недобор Измеряет среднее отклонение доходности ценной бумаги вниз от ожидаемой доходности. Средний недобор является более полезным, чем вероятность недобора, так как он принимает во внимание величину каждого отрицательного отклонения. В то время как вероятность недобора показывает нам только, насколько вероятно что доходность ценной бумаги может упасть ниже ожидаемой доходности, средний недобор показывает, какова может быть величина уменьшения относительно ожидаемой доходности. Полудисперсия является аналогом дисперсии, но в ее вычислении используются только те возможные доходности, которые лежат ниже ожидаемой доходности. Так как полудисперсия является среднеквадратичным отклонением вниз от ожидаемой доходности, она снижает привлекательность ценных бумаг с относительно высоким потенциальным недобором.

Применительно к ценным бумагам, доходность по которым имеет распределение, отличающееся от нормального (и «логнормального»), эти измерители риска не только более приемлемы интуитивно, но и более гибки, чем традиционные измерители риска. Стандартное отклонение измеряется на основе средней величины распределения доходности. Однако инвестор может захотеть оценить инвестиции, используя какую-либо величину как цель, например доходность на индекс рынка, или просто число, такое, как 0%. Измеритель риска понесения убытков может учитывать все эти предпочтения.

Однако использование измерителей риска понесения убытков создает некоторые проблемы. В частности, они игнорируют возможность получения результатов, превышающих целевую доходность. Альтернативой использования этих измерителей риска является прямой учет смещенности при оценке инвестиций. В качестве альтернативы мы можем предположить, что инвестор анализирует потенциальные инвестиции, не только исходя из их ожидаемых доходностей и стандартных отклонении, но и с точки зрения величины их смешения вправо. В сущности, риск становится многомерным, так как он включает и стандартное отклонение, и смещенность. Если две инвестиции имеют одинаковую ожидаемую доходность и одинаковое стандартное отклонение, то предпочтение отдается инвестиции, наиболее смещенной вправо.

Ни от одной меры риска нельзя ожидать, что она будет показывать точные результаты в любых обстоятельствах. Стандартное отклонение доказало свою эффективность в большинстве ситуаций, с которыми сталкиваются практики. В тех случаях, когда оно не является адекватной мерой, альтернативы должны рассматриваться не только в свете того, как хорошо они описывают распределение доходности, но и с точки зрения сложностей, которые они вносят в анализ.

Портфельный анализ. Теорема об эффективном множестве

Как было отмечено ранее, из набора N ценных бумаг можно сформировать бесконечное число портфелей. Рассмотрим ситуацию с компаниями Able, Baker и Charlie, когда N равно трем. Инвестор может купить или только акции компании Able, или только акции компании Baker, или некоторую комбинацию акций двух компаний. Например, он может вложить половину средств в одну, а половину в другую компанию, или 75% в одну, а 25% в другую, или же 33% и 67% соответственно. В конечном счете инвестор может вложить любой процент (от 0% до 100%) в первую компанию, а остаток во вторую. Даже без рассмотрения акций компании Charlie, существует бесконечное число возможных портфелей для инвестирования¹.

Необходимо ли инвестору проводить оценку всех этих портфелей? К счастью, ответом на этот вопрос является «нет». Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве (efficient set theorem):

Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых:

1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска.

2. Обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

находиться на какой-то конкретной кривой не может быть реализовано, если данная кривая нигде не пересекает множество достижимости. Что касается кривой I₁, то существует несколько портфелей, которые может выбрать инвестор (например, О). Однако рисунок показывает, что портфель О* является наилучшим из этих портфелей, так как он находится на кривой безразличия, расположенной выше и левее. Рисунок 8.1 показывает, что инвестор с высокой степенью избегания риска выберет портфель, расположенный близко к точке E. Рисунок 8.2 показывает, что инвестор с низкой степенью избегания риска выберет портфель, расположенный близко к точке S³.

Чисто интуитивно теорема об эффективном множестве кажется вполне рациональной. Было показано, что инвестор должен выбирать портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной выше и левее всех остальных кривых. В теореме об эффективном множестве утверждается, что инвестор не должен рассматривать портфели, которые не лежат на левой верхней границе множества достижимости, что является ее логическим следствием.

Установлено, что кривые безразличия для инвестора, избегающего риск, выпуклы и имеют положительный наклон. Теперь мы покажем, что эффективное множество в общем случае вогнуто и имеет положительный наклон, т.е. отрезок, соединяющий любые две точки эффективного множества, лежит ниже данного множества. Это свойство эффективных множеств является очень важным, так как оно означает, что существует только одна точка касания эффективного множества и кривых безразличия.

Для примера проанализируем портфель из рассматриваемого эффективного множества, лежащий на середине линии между точками U и V; на рис. 8.4 данная точка отмечена буквой W. Если это действительно эффективный портфель, то создать портфель с такой же ожидаемой доходностью, как у W, но с меньшим стандартным отклонением невозможно. Однако если инвестор вложит половину своих фондов в U, а вторую половину в У, то он создаст портфель, более эффективный, чем портфель W, так как он будет иметь такую же ожидаемую доходность, но меньшее стандартное отклонение. Почему он будет иметь меньшее стандартное отклонение? Вспомним, что если корреляция между U и С равняется 1, то портфель должен лежать на прямой линии, соединяющей U и К, и, таким образом, будет иметь меньшее стандартное отклонение, чем W. На рис. 8.4 данная точка обозначена, как Z. Так как фактически корреляция меньше или равна +1, то Сбудет иметь такое же или меньшее стандартное отклонение, как и Z Это означает, что рассматриваемое эффективное множество ошибочно по построению, так как легко найти «более эффективный» портфель в области, где оно не является вогнутым.

Рыночная модель

Предположим, что доходность обыкновенной акции за данный период времени (например, месяц) связана с доходностью за данный период акции на рыночный индекс, такой, например, как широко известный S&P 500 \ В этом случае с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти и цена акции, а с падением рыночного индекса, вероятно, будет падать и цена акции. Один из путей отражения данной взаимосвязи носит название рыночная модель (market model):

r_i= ?_iI+ ?_iI r_I+ ?_iI

где r_i - доходность ценной бумаги / за данный период;

r_I - доходность на рыночный индекс /за этот же период;

?_iI - коэффициент смещения;

?_iI - коэффициент наклона;

?_iI - случайная погрешность.

Предположив, что коэффициент наклона положителен, из уравнения можно заметить следующее: чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше будет доходность ценной бумаги (заметим, что среднее значение случайной погрешности равняется нулю).

Проблема выбора портфеля активным инвестором

Классическая формулировка проблемы выбора портфеля относится к инвестору, который должен выбрать из эффективного множества портфель, представляющий собой оптимальную комбинацию ожидаемой доходности и стандартного отклонения, исходя из предпочтений инвестора относительно риска и доходности. На практике, однако, это описание неадекватно характеризует ситуацию, с которой сталкивается большинство организаций, управляющих деньгами институциональных инвесторов.

Мы хотим рассмотреть, как можно модифицировать проблему выбора портфеля для того, чтобы удовлетворить потребности институциональных инвесторов.

Определенные типы институциональных инвесторов, такие, как, например, пенсионные и сберегательные фонды (которые мы будем называть клиентами), обычно нанимают внешние фирмы (которые мы будем называть менеджерами) в качестве агентов для инвестирования своих финансовых активов. Эти менеджеры обычно специализируются на каком-то одном определенном классе финансовых активов, таком, например, как обыкновенные акции или ценные бумаги с фиксированным доходом. Клиенты устанавливают для своих менеджеров эталонные критерии эффективности. Этими эталонами могут быть рыночные индексы (например, S&P 500} или специализированные эталоны, которые отражают специфику инвестиций (например, растущие акции с малой капитализацией).

Клиенты нанимают менеджеров, которые в результате своей работы должны достигнуть эталонного уровня. Такие менеджеры называются пассивными менеджерами. Клиенты нанимают и других менеджеров, которые должны превысить доходность, обеспечиваемую эталонными портфелями. Таких менеджеров называют активными менеджерами.

Для пассивных менеджеров проблема выбора портфеля является тривиальной. Они просто покупают и удерживают те ценные бумаги, которые соответствуют эталону. Их портфели называют индексными фондами. Для пассивных менеджеров нет никакой необходимости иметь дело с эффективными множествами и предпочтениями по риску и доходности. Данные понятия являются заботой их клиентов. (Эффективность выбранных клиентами эталонов является отдельным вопросом, поэтому мы не будем здесь его рассматривать» хотя он очень важен.)

Перед активными менеджерами стоят гораздо более сложные задачи. Они должны сформировать портфели, которые обеспечивают доходность, превосходящую доходность установленных эталонов постоянно и на достаточную величину.

Наибольшей проблемой, препятствующей активным менеджерам, является недостаток информации. Даже наиболее способные из них совершают многочисленное количество ошибок при выборе ценных бумаг. Несмотря на небылицы, рассказываемые про менеджеров, которые обеспечивают каждый год рыночную доходность в 10 процентных пунктов, менеджеры, работающие на рынке обыкновенных акций, которые превышают эталонную доходность (после всех выплат и издержек) на 1-2 процентных пункта ежегодно, рассматриваются как исключительно эффективные исполнители. Менеджеры с недостатком квалификации (под квалификацией в данном случае подразумевается умение точно прогнозировать доходность ценных бумаг) будут в проигрыше по сравнению с эталоном, так как их гонорары и операционные издержки уменьшают доходность.

Мы будем называть доходность, которую активный менеджер получает сверх эталонной доходности, активной доходностью (active returns). Например, менеджер, портфель которого обеспечивает доходность в 7%, в то время как эталонный портфель обеспечивает доходность в 4%, имеет активную доходность в 3% (7% - 4%). Ожидаемая активная доходность наиболее искусных превысит ожидаемую активную доходность менее талантливых менеджеров. Однако в каждый конкретный период существует определенная вероятность того, что активная доходность менее способного менеджера превысит активную доходность высококвалифицированного менеджера.

Так как результаты инвестиционных решений активного менеджера являются неопределенными, их доходность относительно эталонной меняется в течение времени. Стандартное отклонение активной доходности будем называть активным риском (active risk).

Активные менеджеры (по крайней мере те, у которых есть способности к прогнозированию инвестиций) могут увеличить ожидаемую активную доходность, идя на больший активный риск. Предположим, что менеджер X предсказал, что акции IBM при несут доходность выше ожидаемой доходности эталонного портфеля. Акции IBM составляют 2% в эталонном портфеле. Менеджер X может «поставить» на IBM, увеличив долю данных акций в своем портфеле до 4%. Разницу между долей акций в реальном портфеле и в эталонном назовем активной позицией (activeposition) ( + 1% - 4% - 2%). Если дела IBM складываются удачно, то активная доходность менеджера Xувеличится за счет положительной активной позиции по IBM. Но если дела IBM пойдут плохо, то активная доходность менеджера X уменьшится. Чем более активна позиция менеджера X по IBM, тем больше ожидаемая активная доходность. Однако и активный риск менеджера при этом возрастает.

Активный риск (и, таким образом, активная ожидаемая доходность) может быть исключен, если включить в портфель все ценные бумаги в тех же долях, в которых они входят в установленный эталонный портфель. Пассивные менеджеры следуют этому подходу. Активные менеджеры принимают на себя активный риск, когда их портфель отличается от эталонного. Рациональные и искусные активные менеджеры идут на активный риск только в том случае, когда они ожидают роста активной доходности.

Теперь становится ясной суть проблемы выбора портфеля для активного менеджера. Его не волнует соотношение ожидаемой доходности портфеля и стандартного отклонения. Скорее менеджер выбирает между более высокой ожидаемой активной доходностью и более низким активным риском.

Данный процесс требует от нас предположений о способностях менеджера к предсказанию доходности ценных бумаг. Имея такую информацию, мы можем построить для данного менеджера эффективное множество (исходя из ожидаемой активной доходности и активного риска), которое показывает комбинации наивысшей активной доходности на единицу активного риска и наименьшего активного риска на единицу ожидаемой активной доходности. Эффективное множество более искусных менеджеров будет находиться выше и левее эффективного множества их менее квалифицированных коллег.

Кривые безразличия, аналогичные рассматриваемым в классической теории выбора портфеля, отражают различные комбинации активного риска и активной доходности, которые менеджер считает равноценными. Крутизна наклона кривых безразличия отражает степень избегания риска инвестором и имеет непосредственное отношение к оценке менеджером реакции клиентов на различные результаты своей деятельности.

Оптимальной комбинацией активного риска и активной доходности менеджера является та точка на эффективном множестве, в которой одна из кривых безразличия касается данного множества. Мы можем рассматривать данную точку как желаемый уровень агрессивности менеджера в реализации его прогнозов доходности ценных бумаг Менеджеры (и их клиенты) с большей степенью избегания риска выберут портфель с меньшим уровнем активного риска. Наоборот, менеджеры и их клиенты, в меньшей степени избегающие риска, выберут портфель с более высоким уровнем активного риска.

Определение структуры и местоположения эффективного множества

Ранее было отмечено, что существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, которые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Марковииа представляет собой изогнутую линию, что предполагает наличие бесконечного числа точек на ней. Это означает, что существует бесконечное количество эффективных портфелей! Как может быть использован подход Марковица, если инвестору необходимо определить структуру каждого из бесконечного числа эффективных портфелей? К счастью, нет поводов для отчаяния. Марковиц видел эти потенциальные проблемы и внес основной вклад в их преодоление, представив метод их решения¹³. Он включает в себя алгоритм квадратического программирования, известный как метод критических линий (critical-line method).

Хотя данный алгоритм и выходит за рамки данной книги, необходимо понимать, как он работает. Для начала инвестор должен оценить вектор ожидаемых доходностей и ковариационную матрицу. Например, рассмотрим портфель из трех акций, представленный ранее в данной главе¹⁴. Проведем оценку вектора ожидаемых доходностей, обозначенного как ER, и ковариационной матрицы, обозначенной как УС:

Затем через алгоритм определяется количество «угловых» портфелей, которые связаны с ценными бумагами и полностью описывают эффективное множество. «Угловой» портфель - это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных «угловых» портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя «угловыми» портфелями. Данное утверждение можно проиллюстрировать примером.

Алгоритм начинается с определения портфеля с наивысшей ожидаемой доходностью. Он состоит только из одной ценной бумаги с наибольшей ожидаемой доходностью. То есть если инвестор хочет приобрести данный портфель, все, что он должен сделать, это купить акции компании с наивысшей ожидаемой доходностью. Любой другой портфель б.удет иметь меньшую ожидаемую доходность, так как в конечном счете часть фондов инвестора будет помешена в акции других компаний, имеющих ожидаемую доходность ниже S.

Например, компанией, акции которой наиболее доходны, является компания Baker. Соответствующим эффективным портфелем будет первый «угловой» портфель, определенный алгоритмом. Его состав описывается следующим вектором весов, обозначенным Х(1):

Его ожидаемая доходность и стандартное отклонение связаны только с ожидаемой доходностью и стандартным отклонением акций Baker и соответственно составляют 24,6% и (854)^|/2, или 29,22%. На рис. 8.13 данный «угловой» портфель обозначен как С(1).

Затем алгоритм определяет второй «угловой» портфель. Данный портфель располагается на эффективном множестве ниже первого «углового» портфеля. Его состав определяется следующим вектором весов, обозначенным X2):



То есть второй «угловой» портфель представляет собой портфель, в котором инвестор вкладывает 22% своих фондов в обыкновенные акции компании Baker, a 78% в обыкновенные акции компании Charlie. Подставляя данные веса в уравнения, можно вычислить ожидаемую доходность и стандартное отклонение данного «углового» портфеля, которые составляют соответственно 23,20 и 15,90%. На рис. 3 данный «угловой» портфель обозначен как С(2).

Говоря о первом и втором «угловых» портфелях, важно отметить, что они являются смежными эффективными (adjacent) портфелями и любой эффективный портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя данными, будет представлять собой просто комбинацию их составов. Например, эффективный портфель, лежащий посередине между ними, будет иметь следующий состав:

Рис. 2. «Угловые» портфели

Таким образом, веса распределены следующим образом: 0,61 - в акции Baker и 0,39 - в акции Charlie. Используя уравнения можно вычислить ожидаемую доходность и стандартное отклонение данного портфеля, которые составляют 23,9 и 20,28% соответственно.

Определив второй «угловой» портфель, алгоритм затем определяет третий. Он имеет следующий состав:

Эти веса теперь могут быть использованы для вычисления ожидаемой доходности и стандартного отклонения даного портфеля, которые равны соответственно 17,26 и 12,22%. Как и два предыдущих, данный «угловой» портфель является эффективным и обозначается С (3) на рис.

Поскольку второй и третий портфели являются смежными, то любая их комбинация является эффективным портфелем, лежащим в эффективном множестве между двумя данными. Например, если инвестор вкладывает 33% своих фондов во второй «угловой» портфель, а 67% -- в третий, то в результате получается эффективный портфель со следующим составом:

Используя уравнения можно показать, что данный портфель имеет ожидаемую доходность 19,10% и стандартное отклонение 12,88%.

Ранее отмечалось, что только комбинация «угловых» смежных портфелей может дать эффективный портфель. Это означает, что портфели, представляющие собой комбинацию двух несмежных «угловых» портфелей, не будут принадлежать эффективному множеству. Например, первый и третий «угловые» портфели не являются смежными, следовательно, любой портфель, представляющий собой комбинацию двух данных, не будет являться эффективным. Например, если инвестор вложит 50% своих фондов в первый «угловой» портфель, и 50% - в третий, то результирующий портфель будет иметь следующий состав:

Можно показать, что при данных весах ожидаемая доходность и стандартное отклонение данного портфеля равны 20,93 и 18,38% соответственно. Однако это неэффективный портфель. Так как его ожидаемая доходность (20,93%) лежит между ожидаемой доходностью второго (23,20%) и третьего (17,26%) «угловых» портфелей, то с помощью комбинации этих двух смежных портфелей инвестор имеет возможность сформировать эффективный портфель, имеющий такую же ожидаемую доходность, но меньшее стандартное отклонение¹⁵.

Далее алгоритм определяет состав четвертого «углового» портфеля:

Можно вычислить его ожидаемую доходность и стандартное отклонение, которые равны 16,27% и 12,08% соответственно. Определив данный портфель, соответствующий точке ? на рис. 8.1 (и С(4) на рис. 8.13), имеющий наименьшее стандартное отклонение из всех достижимых портфелей, алгоритм останавливается. Четыре «угловых» портфеля, объединенных в табл. 8.1, полностью описывают эффективное множество, связанное с акциями Able, Baker и Charlie.

Изображение графика данного эффективного множества является простой задачей для компьютера, обладающего высокими графическими возможностями. Он может определить состав и соответственно ожидаемые доходности и стандартные отклонения каждого из 20 эффективных портфелей, равномерно распределенных между первым и вторым «угловыми» портфелями. Затем он последовательно соединит отрезками точки, соответствующие данным портфелям. Это придаст графику вид изогнутой линии, показанной на рис. 3, так как данные портфели расположены близко друг к другу.

«Угловые» портфели в случае трех ценных бумаг
	Веса	«Угловые» портфели
«Угловые» портфели	Able	Baker	Charlie	Ожидаемая доходность	Стандартное отклонение
С(1) С(2) С(3) С(4)	0,00 0,00 0,84 0,99	1,00 0,22 0,00 0,00	0,00 0,78 0,16 0,01	24,60% 23,20 17,26 16,27	29,22% 15,90 12,22 12,08

Продолжая в том же духе, можно построить 20 эффективных портфелей между вторым и третьим «угловыми» портфелями, а затем соответствующий сегмент эффективного множества. После того как данная процедура будет выполнена для следующего промежутка между третьим и четвертым «угловыми» портфелями, график будет полностью построен.

Определение состава оптимального портфеля

После того как были определены структура и местоположение эффективного множества Марковица, можно определить состав оптимального портфеля инвестора. Портфель, обозначенный как О* на рис. 8.2, соответствует точке касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством. Процедура определения состава оптимального портфеля начинается с графического определения инвестором уровня его ожидаемой доходности. То есть из графика инвестор может определить, где располагается О*, а затем с помощью линейки отметить его ожидаемую доходность. Для этого следует провести из точки О линию, перпендикулярную вертикальной оси (с помощью компьютера это можно сделать значительно более точно).

Проведя данную операцию, инвестор теперь может определить два «угловых» портфеля с ожидаемыми доходностями, «окружающими» данный уровень. То есть инвестор может определить «угловой» портфель, который имеет ближайшую ожидаемую доходность, большую, чем у данного портфеля (ближайший «угловой» портфель, расположенный «выше» О), и «угловой» портфель с ближайшей, меньшей ожидаемой доходностью (ближайший «угловой» портфель, расположенный «ниже» О).

Если ожидаемая доходность оптимального портфеля обозначена как * и ожидаемые доходности двух ближайших «угловых» портфелей обозначены как ^aи ^b соответственно, тогда состав оптимального портфеля может быть определен с помощью решения следующего уравнения относительно Y:

^a=(^aY)+[ ^b(1-Y)] (8.13)

Оптимальный портфель будет состоять из доли Y, инвестированной в ближайший «угловой» портфель, находящийся «выше» оптимального, и доли 1 - Y, инвестированной в ближайший «угловой» портфель, расположенный «ниже» оптимального.

Например, если оптимальный портфель имеет ожидаемую доходность в 20%, тогда можно заметить, что второй и третий «угловые» портфели являются верхним и нижним ближайшими «угловыми» портфелями, так как они имеют ожидаемую доходность в 23,20% и стандартное отклонение в 17,26%. Уравнение (8.13), таким образом, имеет следующий вид:

20%=(23.20%Y)+[17.26%(1-Y)]

Решением данного уравнения является 7=0,46. Это означает, что оптимальный портфель состоит на 46% из второго «углового» портфеля и на 54% из третьего «углового» портфеля. В терминах объема инвестиций в ценные бумаги компаний Able, Baker и Charlie данное утверждение принимает следующий вид:

Таким образом, инвестор должен вложить 45% своих фондов в акции Able, 10% - в акции Baker и 45% - в акции Charlie.

Исходные данные, необходимые для определения местоположения эффективного множества

Для того чтобы определить эффективное множество, инвестор должен оценить ожидаемые доходности всех рассматриваемых ценных бумаг, а также их дисперсии и ковари-ации. Далее, можно определить оптимальный портфель, найдя точку касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством, как это показано на рис. 8.2.

Для определения эффективного множества нужно сделать следующие шаги. Первое, нужно оценить ожидаемую доходность каждой ценной бумаги. Если рассматривается N ценных бумаг, то нужно произвести оценку N параметров. Второе, нужно оценить дисперсию каждой из этих ценных бумаг. Для N рисковых ценных бумаг нужно провести оценку других N параметров. Третье, нужно оценить ковариацию каждой пары ценных бумаг. Для этого нужно оценить (N ² - N )/2 параметров¹⁶. Это означает, что общее число параметров, для которых необходимо провести оценку, равняется (N² +3N)/2:

Ожидаемые доходности N

Дисперсии N

Ковариации, (N²-N)/2

Всего (N²-3N)/2

Например, если мы рассматриваем 100 рисковых ценных бумаг, то нам необходимо произвести оценку 5150 параметров [(100² + (3 х 100)/2], состоящих из 100 ожидаемых доходностей, 100 дисперсий и 4950 ковариаций. Эти параметры могут быть оценены один за другим, что представляет задачу, требующую больших временных затрат и практически неразрешимую. К счастью, существуют альтернативы данному методу, одной из которых является метод, основанный на рыночной модели¹⁷.

При подходе, использующем рыночную модель, в первую очередь необходимо оценить ожидаемую доходность на рыночный индекс. Затем для каждой ценной бумаги нужно оценить коэффициент вертикального смещения и коэффициент «бета». В обшей сложности надо произвести оценку (1 + 2Л⁷) параметров (1 для г,, 2Л^г) для коэффициента вертикального смещения и «бета»-коэффициентов для каждой из W рискованных ценных бумаг). Полученные значения могут быть использованы для проведения оценок ожидаемой доходности каждой ценной бумаги с помощью уравнения (8.3), которое в данном случае имеет следующий вид: