Базовая модель оценки финансового актива

Академия управления при Президенте Республики Беларусь

Институт государственной службы

Кафедра государственного управления экономическими системами

Самостоятельная работа

по дисциплине Финансовый менеджмент

тема: Базовая модель оценки финансового актива

Слушателя заочной формы обучения

Группы 4 …. Авчинника С.В.

Руководитель работы:

к.э.н., доц. Струк Т.Г.

Минск 2004 г.

Содержание

1. Задание на самостоятельную работу

2. Базовая модель оценки финансового актива (модель Уильямса)

3. Оценка долевых ценных бумаг

4. Виды денежных потоков

5. Оценка денежных потоков постнумерандо

1. Задание на самостоятельную работу

В соответствии с методическими указаниями по выполнению данной работы [ ] выбран вариант №1:

1. Базовая модель оценки финансового актива (модель Уильямса). Оценка долевых ценных бумаг.

2. Виды денежных потоков. Оценка денежных потоков постнумерандо.

3. Задача. Через 4 года ваша дочь будет поступать в университет на коммерческой основе. Плата за весь срок обучения составит 5600 долларов, если внести ее в момент поступления в университет. Вы располагаете в данный момент суммой в 4000 долларов. Под какую минимальную процентную ставку нужно положить деньги в банк, чтобы накопить требуемую сумму?

2. Базовая модель оценки финансового актива (модель Уильямса)

Любой вид товара имеет множество характеристик: цена, степень соответствия моде, потребительские качества, наличие потенциальной способности приносить доход владельцу и др. Финансовый актив, являясь в принципе обычным товаром на рынке капитала, также может быть охарактеризован с различных позиций. Этот товар имеет меньшее количество характеристик по сравнению с потребительскими товарами. Сконцентрируем внимание на трех основных характеристиках: цене, стоимости и доходности. Их существенность определяется тем, что любой инвестор, принимая решение, например, о целесообразности приобретения того или иного финансового актива, пытается оценить экономическую эффективность планируемой операции. Совершенно очевидно, что он может при этом ориентироваться либо на абсолютные, либо на относительные показатели. В первом случае речь идет о цене и (или) стоимости финансового актива, во втором - о его доходности.

Логика рассуждений инвестора, например, в первом случае такова. Финансовый актив имеет две взаимосвязанные абсолютные характеристики: во-первых, объявленную текущую рыночную цену (Pm), по которой его можно приобрести на рынке, и, во-вторых, теоретическую, или внутреннюю, стоимость (Vt). Разница между этими характеристиками достаточно очевидна даже на житейском уровне. Так, для любого коллекционера некоторая вещица, найденная им на рынке и относящаяся к сфере его интересов, может быть практически бесценной, тогда как для человека, не интересующегося этим, она не стоит и ломаного гроша.

Очевидно, что обе абсолютные характеристики не только меняются в динамике, но с позиции конкретного инвестора нередко могут не совпадать. По сравнению с ценой, которая реально существует и объективна по крайней мере в том смысле, что она объявлена и товар по ней равнодоступен любому участнику рынка, внутренняя стоимость гораздо более неопределенна и субъективна. Под субъективностью в данном случае понимается то обстоятельство, что каждый инвестор имеет свой взгляд на внутреннюю стоимость актива, полагаясь в ее оценке на результаты собственного, т.е. субъективного, анализа. Возможны три ситуации:

Pm >Vt, Pm<Vt, Pm =Vt.

Первое соотношение свидетельствует о том, что с позиции конкретного инвестора данный актив продается в настоящий момент времени по завышенной цене, поэтому инвестору нет смысла приобретать его на рынке. Второе соотношение говорит об обратном: цена актива занижена, есть смысл его купить. Согласно третьему соотношению текущая цена полностью отражает внутреннюю стоимость актива, поэтому спекулятивные операции по его скупке (продаже) вряд ли целесообразны. Таким образом, если в каждый момент времени рыночная цена конкретного актива существует в единственном числе, то внутренняя его стоимость множественна; в принципе каждый финансовый актив имеет столько оценок значений этого показателя, сколько имеется инвесторов на рынке, заинтересованных в данном активе.

Итак, можно сформулировать несколько условных правил, позволяющих провести определенное различие между ценой и стоимостью финансового актива:

1) стоимость - расчетный показатель, а цена - декларированный, то есть объявленный, который можно видеть в прейскурантах, ценниках, котировках;

2) в любой конкретный момент времени цена однозначна, а стоимость многозначна, при этом число оценок стоимости зависит от числа профессиональных участников рынка;

3) с известной долей условности можно утверждать, что стоимость первична, а цена вторична, поскольку в условиях равновесного рынка цена, во-первых, количественно выражает внутренне присущую активу стоимость и, во-вторых, стихийно устанавливается как среднее из оценок стоимости, рассчитываемых инвесторами.

Каким же образом рассчитывается внутренняя стоимость финансового актива, имеющего в некоторый момент времени to текущую цену Pm? В зависимости от того, что является методологическим и информационным обеспечением процесса оценивания, существуют три основные теории оценки: фундаменталистская, технократическая и теория «ходьбы наугад» (рис. 1).

Фундаменталисты считают, что любая ценная бумага имеет внутренне присущую ей ценность, которая может быть количественно оценена как дисконтированная стоимость будущих поступлений, генерируемых этой бумагой, то есть нужно двигаться от будущего к настоящему. Все дело лишь в том, насколько точно удается предсказать поступления, а это можно сделать, анализируя общую ситуацию на рынке, инвестиционную и дивидендную политику компании, инвестиционные возможности и т.п. Данный подход к анализу на фондовом рынке известен как фундаментальный анализ.

Технократы, напротив, предлагают двигаться от прошлого к настоящему и утверждают, что для определения текущей внутренней стоимости конкретной ценной бумаги достаточно знать лишь динамику ее цены в прошлом. Используя статистику цен, а также данные о котировках цен и объемов торгов, они предлагают строить различные долго-, средне- и краткосрочные тренды и на их основе определять, соответствует ли текущая цена актива его внутренней стоимости. В систематизированном виде эти подходы изложены в рамках так называемого технического анализа.

Последователи теории «ходьбы наугад» считают, что текущие цены финансовых активов гибко отражают всю релевантную информацию, в том числе и относительно будущего ценных бумаг. Они исходят из предположения, что текущая цена всегда вбирает в себя всю необходимую информацию, которую, следовательно, и не нужно искать дополнительно. Точно так же и все будущие ожидания концентрированно отражаются в текущей цене. Поскольку новая информация с одинаковой степенью вероятности может быть как «хорошей», так и «плохой», невозможно с большей или меньшей определенностью предсказать изменение цены в будущем, то есть внутренняя стоимость, равно как и цена конкретного финансового актив, меняется совершенно непредсказуемо и не зависит от предыдущей динамики. Таким образом, любая информация то ли статистического, то ли прогнозного характера не может привести к получению обоснованной оценки.

Можно сказать, что фундаменталистская теория является наиболее распространенной. Ее модель была предложена в 1938 году Дж. Уильямсом и опубликована в его работе: Williams J.B. The Theory of Investment Value, Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1938. Согласно этой теории текущая внутренняя стоимость (Vt) любой ценной бумаги в общем виде может быть рассчитана по формуле:

?

Vt=УCFi/(1+r)^i (1)

i=1

где CFi - ожидаемый денежный поток в i-ом периоде (обычно год);

r - приемлемая (ожидаемая или требуемая) доходность.

Таким образом, подставляя в эту формулу значения предполагаемых поступлений, доходности и продолжительности периода прогнозирования, можно рассчитать текущую внутреннюю стоимость любого финансового актива. Именно такой подход чаще всего и используется потенциальными инвесторами.

Необходимо особо обратить внимание на то, что в алгоритмах оценки, базирующихся на этой и подобных формулах, негласно подразумевается капитализация получаемых доходов (проценты, дивиденды) с доходностью, равной ставке дисконтирования из формулы оценки. Например, в случае с облигацией ее оценка, полученная с помощью формулы (1), будет верна только в том случае, если регулярно получаемые проценты не используются для потребления, а немедленно инвестируются в те же самые облигации или в ценные бумаги с той же доходностью и степенью риска. В том случае, если возможность такого инвестирования отсутствует или не планируется, применение формулы (1) является ошибкой.

Итак, рыночная цена, как характеристика ценности актива, является величиной относительной. В частности, на вторичном рынке значение этого показателя устанавливается как среднее ожидаемых цен потенциальных инвесторов. Несмотря на складывающуюся на рынке вполне определенную текущую цену, любой финансовый актив может иметь различную степень привлекательности для потенциальных инвесторов и в этом смысле может иметь для них различную ценность. Причин тому может быть несколько: различная оценка возможных денежных поступлений и приемлемой нормы прибыли, различные приоритеты в степени надежности и доходности и др.

Как видно из формулы (1), оценка теоретической стоимости зависит от трех параметров:

1) ожидаемые денежные поступления;

2) горизонт прогнозирования;

3) норма прибыли.

В отношении первого параметра существуют различные подходы и модели. В отношении горизонта прогнозирования модели варьируют в зависимости от того, что представляет собой базисный актив: для облигаций и привилегированных акций данный параметр чаще всего ограничен, для обыкновенных акций он обычно равен бесконечности. Последний параметр, вероятно, наиболее существен. Первые два параметра тесно привязаны непосредственно к базисному активу и потому обладают большей степенью объективности. Приемлемая норма прибыли, закладываемая инвестором в анализ, в этом случае в принципе не имеет отношения к базисному активу - она лишь отражает доходность альтернативных вариантов вложения капитала, доступных, возможно, лишь данному инвестору, что и предопределяет вариабельность этого параметра. Вот почему именно нормой прибыли обычно варьируют инвесторы в процессе имитационного моделирования. В частности, приемлемая норма прибыли может устанавливаться инвестором следующими способами:

- в размере процентной ставки по банковским депозитам (rb);

- исходя из процента, выплачиваемого банком вкладчику за хранение его средств (rb), и надбавки за риск инвестирования в данный финансовый актив (rr):

r = rb+ rr ,

- исходя из процента, выплачиваемого по правительственным облигациям (rsb), и надбавки за риск (rr):

r = rsb+ rr .

Именно ввиду различия в оценках базовых показателей рынок ценных бумаг существует. Оценивая текущую внутреннюю стоимость ценной бумаги, инвестор, в частности, варьирует значениями нормы прибыли и ожидаемых поступлений, которые могут значительно отличаться у различных инвесторов.

Как же соотносятся между собой текущие значения рыночной цены и теоретической стоимости финансового актива?

Приведенная формула может использоваться для решения различных типовых задач. В частности, первая задача предполагает собственно расчет текущей внутренней стоимости. Эта задача может возникать в следующей ситуации. Инвестор, например, планирует приобрести бескупонную облигацию, имея одновременно альтернативный вариант возможного размещения капитала. Задавая приемлемую норму прибыли (например, из альтернативного варианта), он может рассчитать устраивающую его текущую цену облигации, которая и будет внутренней стоимостью облигации с позиции данного инвестора, и сравнить ее с рыночной. Вторая типовая задача заключается в расчете нормы прибыли и сравнении ее с приемлемым для инвестора вариантом. В этом случае предполагается известная стоимость актива, в качестве которой берут его текущую рыночную цену.

3. Оценка долевых ценных бумаг

Долевыми ценными бумагами являются различные виды акций. Как и в случае с облигациями, различают несколько количественных характеристик, используемых для оценки акции: внутренняя, номинальная, балансовая, конверсионная и ликвидационная стоимости, а также эмиссионная и курсовая цены.

Как и в случае с облигациями, внутренняя стоимость представляет собой расчетный показатель, исчисляемый, например, по формуле (1). Конверсионную стоимость можно рассматривать для привилегированных акций, в условиях эмиссии которых предусмотрена возможность их конвертации в обыкновенные акции.

Номинальная стоимость акции - это стоимость, указанная на бланке акции. В отличие от облигации, для которой номинальная стоимость имеет существенное значение, поскольку проценты по облигациям устанавливаются по отношению к номиналу независимо от курсовой цены, для акции этот показатель практически не имеет значения и несет лишь информационную нагрузку, характеризуя долю уставного капитала, которая приходилась на одну акцию в момент учреждения компании.

Эмиссионная цена представляет собой цену, по которой акция эмитируется, то есть продается на первичном рынке. Эта цена может отличаться от номинальной стоимости, поскольку чаще всего размещение акций производится через посредническую фирму, являющуюся профессиональным участником фондового рынка. В этом случае посредническая фирма скупает весь выпуск акций по согласованной цене и в дальнейшем реализует их на рынке по цене, которая определяется уже фирмой и, естественно, превышает номинал.

С началом операций компании доля капитала, приходящаяся на одну акцию, немедленно меняется. С этой точки зрения акция характеризуется балансовой стоимостью, которая может быть рассчитана по балансу как отношение стоимости чистых активов (общая стоимость активов по балансу за минусом задолженности кредиторам) к общему числу выпущенных акций.

Ликвидационная стоимость акции может быть определена лишь в момент ликвидации общества. Она показывает, какая часть стоимости активов по ценам возможной реализации, оставшаяся после расчетов с кредиторами, приходится на одну акцию. Поскольку учетные цены активов могут значительно отличаться от их рыночных цен в зависимости от инфляции и конъюнктуры рынка, ликвидационная стоимость не равна балансовой.

Для учета и анализа наибольшее значение имеет курсовая (текущая рыночная) цена. Именно по этой цене акция котируется (оценивается) на вторичном рынке ценных бумаг. Курсовая цена зависит от разных факторов: конъюнктуры рынка, рыночной нормы прибыли, величины и динамики дивиденда, выплачиваемого по акции, и др. Она может определяться различными способами, однако в основе их лежит один и тот же принцип - сопоставление дохода, приносимого данной акцией, с рыночной нормой прибыли. В качестве показателя дохода можно использовать либо дивиденд, либо величину чистой прибыли, приходящейся на акцию. Более оправданным является использование дивиденда, однако в некоторых случаях, например, компания находится в стадии становления или крупной реорганизации, когда значительная часть чистой прибыли реинвестируется, использование показателя чистой прибыли на акцию позволяет получить более реальную оценку экономической ситуации.

Оценка целесообразности приобретения акций, как и в случае с облигациями, предполагает расчет теоретической стоимости акции и сравнение ее с текущей рыночной ценой.

Привилегированные акции, как и бессрочные облигации, генерируют доход неопределенно долго, поэтому их текущая теоретическая стоимость определяется по формуле (8.3). Таким образом, наиболее простым вариантом оценки привилегированной акции является отношение величины дивиденда к рыночной норме прибыли по акциям данного класса риска (например, ставке банковского процента по депозитам с поправкой на риск).

В некоторых странах привилегированные акции нередко эмитируются на условиях, позволяющих эмитенту выкупить их в определенный момент времени по соответствующей цене, называемой ценой выкупа (call price). В этом случае текущая теоретическая стоимость таких акций определяется по формуле (8.4), где М заменяется ценой выкупа Рс. Эмиссия бессрочных привилегированных акций, предусматривающих выплату дивиденда по постоянной ставке, является довольно рисковым мероприятием, поскольку невозможно спрогнозировать процентные ставки на длительную перспективу. Именно поэтому условиями выпуска привилегированных акций нередко принимается во внимание их конверсия в обыкновенные акции.

Что касается обыкновенных акций, то известны различные методы их оценки; наиболее распространенным из них является метод, основанный на оценке их будущих поступлений, т.е. на применении формулы (8.1). В зависимости от предполагаемой динамики дивидендов конкретное представление формулы (1) меняется. Базовыми являются три варианта динамики прогнозных значений дивидендов:

- дивиденды не меняются (ситуация аналогична ситуации с привилегированными акциями, т.е. применяется формула (8.3));

- дивиденды возрастают с постоянным темпом прироста;

- дивиденды возрастают с изменяющимся темпом прироста.

ОЦЕНКА АКЦИЙ С РАВНОМЕРНО ВОЗРАСТАЮЩИМИ ДИВИДЕНДАМИ

Предполагается, что базовая величина дивиденда (т.е. последнего выплаченного дивиденда) равна С; ежегодно она увеличивается с тем¬пом прироста g. Например, по окончании первого года периода про¬гнозирования будет выплачен дивиденд в размере С(1+g) и т.д. Тог¬да формула (1) имеет вид:

Домножив обе части (8.6) на q и вычтя новое уравнение из (8.6), получим:

Vt(1-q)=Cq.

Таким образом:

Данная формула имеет смысл при r > g и называется моделью Гор¬дона. Она названа по имени Майрона Гордона и представляет собой развитие модели Дж. Уильямса; впервые была опубликована в работе: М. J. Gordon, Е. Shapiro Capital Equipment Analysis: The Required Rate of Profit, Management Science, № 3, October 1956. P. 102-110. Отметим, что показатели r и g в этой и последующих формулах берутся в долях единицы. Очевидно, что числитель формулы (8.7) пред¬ставляет собой первый ожидаемый дивиденд фазы постоянного роста.

ОЦЕНКА АКЦИЙ С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ТЕМПОМ ПРИРОСТА

Из формулы (8.7) видно, что текущая цена обыкновенной акции очень чувствительна к параметру g. Даже незначительное его изме¬нение может существенно повлиять на цену. Поэтому в расчетах иногда пытаются разбить интервал прогнозирования на подынтер¬валы, каждый из которых характеризуется собственным темпом при¬роста g. Так, если выделить два подынтервала с темпами прироста g и р соответственно, то формула (1) принимает вид:

где Со -- дивиденд, выплаченный в базисный момент времени;

Ck -- прогноз дивиденда в k-м периоде;

g -- прогноз темпа прироста дивиденда в первые k подпериодов;

р -- прогноз темпа прироста дивидендов в последующие подпериоды.

Главная сложность этой модели состоит в выделении подпериодов, прогнозировании темпов прироста (как правило, в прогнозах темпы прироста в динамике снижаются) и коэффициентов дисконтирования для каждого подпериода. При выделении нескольких подпериодов модель становится более громоздкой в представлении, однако вычислительные процедуры достаточно просты. Безусловно, модель должна рассматриваться в динамике и постоянно уточняться по мере получения новой информации, в частности по истечении очередного подпериода.

В теории и практике оценки акций описана и получила достаточно широкое распространение ситуация, когда темп прироста дивидендов в течение нескольких лет прогнозного периода меняется (фаза непостоянного роста), однако по истечении этих лет он устанавливается на некотором постоянном уровне. Считается, что такое развитие событий характерно для компаний, находящихся в стадии становления, либо уже зрелых компаний, осваивающих новые виды продукции или перспективные рынки сбыта. Тогда в течение непродолжительного подпериода темп прироста может быть сравнительно высоким, причем не обязательно одинаковым, а затем он снижается и становится постоянным. Наиболее общая постановка задачи в этом случае такова.

Пусть продолжительность фазы непостоянного роста составляет k лет, дивиденды в этот период по годам равны Сj, j = 1,2,...,k. Сk+1 -- первый ожидаемый дивиденд фазы постоянного роста с темпом g; r -- приемлемая норма прибыли. Схематично данная ситуация выглядит следующим образом (рис. 8.2).

С, С2

I I I

0 1 2 ... /c-1 k fc+1 k+2 k+3 k+4 k+5 Годы

В первые k лет прогнозируется бессистемное изменение величины годового дивиденда, а начиная с момента (k + 1), эта величина равномерно увеличивается, т.е.

Сk+1 = Сk (1 + g); Сk+2= Сk+1 (1 + g) = Сk (1 + g)^2 и т.д.

Показатель Vtk дает оценку акции на конец периода k. Поскольку мы пытаемся сделать оценку с позиции начала первого года, значение Vtk нужно дисконтировать. Таким образом, формула (8.8), позволяющая рассчитать теоретическую стоимость акции на конец года 0, может быть трансформирована следующим образом:

Пример

В течение последующих четырех лет компания планирует выплачивать дивиденды соответственно 1,5; 2; 2,2; 2,6 долларов на акцию. Ожидается, что в дальнейшем дивиденд будет увеличиваться равномерно с темпом 4% в год. Рассчитать теоретическую стоимость акции, если рыночная норма прибыли 12%.

Величина ожидаемого дивиденда пятого года будет равна: 2,6*1,04=2,7 доллара. По формуле (8.9):

1,5

2,2

2,6

1 + 0,12 (1 + 0.12Г

2,7

(1 + ОД2)3 (1 + 0.12)4 - = 27,62 долл.

0,12-0,04 (1 + 0,12)"

Таким образом, в условиях эффективного рынка акции данной компании на момент оценки должны продаваться по цене, примерно равной 27,62 доллара.

4. Виды денежных потоков

Одним из основных элементов финансового анализа является оценка денежного, потока C1C2, …,Cn, генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Элементы потока Сi могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Хотя данное условие в принципе не является обязательным, в дальнейшем мы будем придерживаться его. Кроме того, для простоты изложения материала предполагается, что элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств. Также считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток называется потоком пренумерандо, или авансовым, во втором -- потоком постнумерандо.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Некоторые объяснения этому можно дать исходя из общих принципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике оно чаще всего распределено во времени неравномерно и потому удобнее условно отнести все поступления к концу периода. Благодаря этому соглашению формируются равные временные периоды, что позволяет разработать удобные формализованные алгоритмы оценки. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, т.е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения); б) обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в ее основе лежит будущая стоимость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления процентов на вложенный капитал (P) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит формула (7.4).

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирование невозможно. Приведение денежного потока к одному моменту времени осуществляется с помощью формулы. Основным результатом расчета является определение общей величины приведенного денежного потока. Используемые при этом расчетные формулы различны в зависимости от вида потока -- постнумерандо или пренумерандо.

Необходимо отметить, что ключевым моментом в рассмотренных схемах является молчаливая предпосылка, что анализ ведется с позиции «разумного инвестора», т.е. инвестора, не накапливающего полученные денежные средства в каком-нибудь сундуке, подобно небезызвестному Плюшкину, а немедленно инвестирующего их с целью получения дополнительного дохода. Именно этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях, т.е. и при наращении, и при дисконтировании, предполагается капитализация по схеме сложных процентов.

5. Оценка денежных потоков постнумерандо

Ситуация, когда денежные поступления по годам варьируют, является наиболее распространенной. Общая постановка задачи в этом случае такова.

Пусть C1,C2, …,Cn -- денежный поток; r -- ставка дисконтирования. Поток, все элементы которого с помощью дисконтирующих множителей приведены к одному моменту времени, а именно к настоящему моменту, называется приведенным. Требуется найти стоимость данного денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода n, когда реализуется схема наращения, которую можно представить следующим образом.

Таким образом, на первое денежное поступление С1 начисляются сложные проценты за (n-1) период, и оно в конце n-го периода станет равным Ci(l+r)"~l. На второе денежное поступление C2 начисляются сложные проценты за (n-2) периода, и оно станет равным СЈ1 + г)"~2 и т.д. На предпоследнее денежное поступление Cn-1 проценты начисляются за один период, и оно будет в конце n-го периода равно Cn-1 (1 + r). Естественно, на Cn проценты не начисляются.

tl

1 2

л-1:

С„

Сп-1 (1+г)

C2, , С, (1+r)"-1

Следовательно, наращенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид:

С,(1 + г)"'1, СА1 + г)»-2, ..., Сп.,(\ + г), С„,

и будущая стоимость FVpst исходного денежного потока (аннуитета) постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т.е. получаем формулу:

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец периода 0. В этом случае реализуется схема дисконтирования, а расчеты необходимо вести по приведенному потоку. Элементы приведенного денежного потока уже можно суммировать; их сумма характеризует приведенную, или текущую, стоимость денежного потока, которую при необходимости можно сравнивать с величиной первоначальной инвестиции. Таким образом, приведенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид:

1 + Ml + r)2.....(1 + г)" '

Приведенная стоимость денежного потока постнумерандо PVpst в общем случае может быть рассчитана по формуле

Пример

Рассчитать приведенную стоимость денежного потока постнумерандо (тыс. руб.): 12, 15, 9, 25, если ставка дисконтирования г = 12%.