Мультипликационный множитель, сложные проценты, задачи

8

Содержание

1. Экономический смысл мультипликационного множителя FM1(r,n) и его применение в финансовых вычислениях

2. Методика расчета и область применения сложных процентов

Задачи

Список использованной литературы

1. Экономический смысл мультипликационного множителя FM1(r,n) и его применение в финансовых вычислениях

Аппарат финансовых вычислений широко используется в финансовой практике и составляет основу механизма расчетов при свершении кредитных операций, операций на фондовом рынке, при выборе вариантов инвестиционных проектов, разработке планов погашения долгосрочных кредитов и др. Все перечисленные финансовые операции связаны с конкретным периодом времени.

Фактор времени занимает важнейшее место в финансовых вычислениях; деньги имеют такую объективно существующую характеристику, как временную ценность:

- получение денег сегодня дает нам возможность заработать проценты на эти деньги завтра, поэтому сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра;

-денежная наличность обесценивается за определенный период времени в связи с инфляцией.

Отсюда вытекают два важных следствия:

необходимость учета фактора времени при проведении долгосрочных финансовых операций;

некорректность с точки зрения долгосрочных финансовых операций суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы «PV» с условием, что через некоторое время «t» будет возвращена большая сумма FV[3, с 67].

Результативность этой сделки может быть охарактеризована двояко:

· с помощью абсолютного показателя (FV-PV) = I.Проценты - это доход от инвестиций производственного или финансового характера, либо от предоставления капитала в долг в различных формах.

· Относительного показателя. Процентная ставка - величина, характеризующая интенсивность начисления процентов. Процентная ставка может быть рассчитана отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV либо FV.

Существуют два способа определения и начисления процентов[3, с 88]:

· декурсивный способ, когда проценты начисляются в конце каждого интервала начисления и их величина определяется исходя из величины первоначальной суммы долга. Декурсивная процентная ставка или ссудный процент "r (%)"(требуемая норма доходности) представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала;

r =

· антисипативный способ, когда проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Антисипативной процентной ставкой или учетной ставкой "d (%)" будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, начисленного за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. На практике учетные ставки (d) используются при учете векселей и других денежных обязательств.

d =

Проценты, выплаченные или заработанные на деньги, которые взяты или предоставлены в долг, могут быть либо простыми, либо сложными.

Простые процентные ставки применяются к одной и той же первоначальной сумме в течение всего периода начислений. Применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления, или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты.

Сложные процентные ставки применяются по прошествии каждого интервала начисления к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов. Сложные процентные ставки наиболее распространены в финансовых операциях.

Фактор времени учитывается с помощью методов наращения (аккумулирования) и дисконтирования.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ БУДУЩЕЙ, НАРАЩЕННОЙ СТОИМОСТИ.

Одноразовый платеж в данный момент "PV" преобразуется с учетом процентной ставки в одноразовый платеж через "n" интервалов "FV".

t t … t

Рисунок - Определение будущей наращенной стоимости разового платежа

Для решения этой задачи используются специальные формулы наращения (см. таблицу 1) [5, с 96].

Таблица 1 - Основные формулы наращения с применением различных типов ставок

Область применения	Ссудный процент	Учетная ставка
Простые проценты
Определение будущей стоимости при целом числе лет «n»	(1.1)	(1.1.1)
Определение будущей стоимости при продолжительности периода в днях	(1.2)	(1.2.1)
Сложные проценты
Определение будущей стоимости при целом числе лет, «n»	(1.3)	(1.3.1)
Определение будущей стоимости, когда начисление процентов производится «m» - раз в году	(1.4)	(1.4.1)

где

n - период начисления, количество лет;

t - продолжительность периода начисления в днях;

T - продолжительность года в днях;

m - число начисления процентов в году;

FM1 (r,n) = (1+r)n - фактор будущей стоимости текущего капитала, множитель наращения сложных процентов или мультиплицирующий множитель. Табличные значения множителя наращения FM1 (r,n) приведены в Таблице 2[12, с 42].

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.

Дата выдачи и дата погашения ссуды считаются за один день. При этом возможны два варианта:

используется точное число дней ссуды, определяемое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответсвующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня (см. формулы 1.2 и 1.2.1);

берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням (см. формулы 1.2 и 1.2.1); этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа.

Точный процент получают, когда за временную базу принимают фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.

Пример.

Задача, по сути, являющаяся алгоритмом, позволяющим решать разнообразные инвестиционные проблемы, может быть сформулирована следующим образом:

Какая сумма будет накоплена вкладчиком через три года, если первоначальный взнос составляет 400 тыс. руб., проценты начисляются ежегодно по ставке 10%?

Решение.

1) В Таблице 2 на пересечении строки, соответствующей процентной ставке (10%), и колонке, соответствующей периоду начисления процентов (3 года), найдем фактор FM1 (10%,3) = 1,3310.

2) Рассчитаем сумму накопления: FV= 400 * 1,3310 = 532,4 тыс. руб.

Периодичность начисления процентов оказывает влияние на величину накопления. Начисление процентов может происходить раз в полугодие, квартал, месяц и т.д. При более частом накоплении необходимо скорректировать процентную ставку и число периодов начисления процентов: число лет, на протяжении которых происходит накопление, умножается на частоту накопления в течение года, а номинальная годовая ставка процента делится на частоту накопления.

Правило 72-х. Удвоение вложенной суммы происходит через число лет, определяемое как частное от деления числа 72 на годовую номинальную ставку процента.

Таблица 2: Функция накопления капитала

	годы
%	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1	1,010	1,020	1,030	1,041	1,051	1,062	1,072	1,083	1,094	1,105	1,116	1,127	1,138	1,149
2	1,020	1,040	1,061	1,082	1,104	1,126	1,149	1,172	1,195	1,219	1,243	1,268	1,294	1,319
3	1,030	1,061	1,093	1,126	1,159	1,194	1,230	1,267	1,305	1,344	1,384	1,426	1,469	1,513
4	1,040	1,082	1,125	1,170	1,217	1,265	1,316	1,369	1,423	1,480	1,539	1,601	1,665	1,732
5	1,050	1,103	1,158	1,216	1,276	1,340	1,407	1,477	1,551	1,629	1,710	1,796	1,886	1,980
6	1,060	1,124	1,191	1,262	1,338	1,419	1,504	1,594	1,689	1,791	1,898	2,012	2,133	2,261
7	1,070	1,145	1,225	1,311	1,403	1,501	1,606	1,718	1,838	1,967	2,105	2,252	2,410	2,579
8	1,080	1,166	1,260	1,360	1,469	1,587	1,714	1,851	1,999	2,159	2,332	2,518	2,720	2,937
9	1,090	1,188	1,295	1,412	1,539	1,677	1,828	1,993	2,172	2,367	2,580	2,813	3,066	3,342
10	1,100	1,210	1,331	1,464	1,611	1,772	1,949	2,144	2,358	2,594	2,853	3,138	3,452	3,797
11	1,110	1,232	1,368	1,518	1,685	1,870	2,076	2,305	2,558	2,839	3,152	3,498	3,883	4,310
12	1,120	1,254	1,405	1,574	1,762	1,974	2,211	2,476	2,773	3,106	3,479	3,896	4,363	4,887
13	1,130	1,277	1,443	1,630	1,842	2,082	2,353	2,658	3,004	3,395	3,836	4,335	4,898	5,535
14	1,140	1,300	1,482	1,689	1,925	2,195	2,502	2,853	3,252	3,707	4,226	4,818	5,492	6,261
15	1,150	1,323	1,521	1,749	2,011	2,313	2,660	3,059	3,518	4,046	4,652	5,350	6,153	7,076
16	1,160	1,346	1,561	1,811	2,100	2,436	2,826	3,278	3,803	4,411	5,117	5,936	6,886	7,988
17	1,170	1,369	1,602	1,874	2,192	2,565	3,001	3,511	4,108	4,807	5,624	6,580	7,699	9,007
18	1,180	1,392	1,643	1,939	2,288	2,700	3,185	3,759	4,435	5,234	6,176	7,288	8,599	10,147
19	1,190	1,416	1,685	2,005	2,386	2,840	3,379	4,021	4,785	5,695	6,777	8,064	9,596	11,420
20	1,200	1,440	1,728	2,074	2,488	2,986	3,583	4,300	5,160	6,192	7,430	8,916	10,699	12,839
21	1,210	1,464	1,772	2,144	2,594	3,138	3,797	4,595	5,560	6,727	8,140	9,850	11,918	14,421
22	1,220	1,488	1,816	2,215	2,703	3,297	4,023	4,908	5,987	7,305	8,912	10,872	13,264	16,182
23	1,230	1,513	1,861	2,289	2,815	3,463	4,259	5,239	6,444	7,926	9,749	11,991	14,749	18,141
24	1,240	1,538	1,907	2,364	2,932	3,635	4,508	5,590	6,931	8,594	10,657	13,215	16,386	20,319
25	1,250	1,563	1,953	2,441	3,052	3,815	4,768	5,960	7,451	9,313	11,642	14,552	18,190	22,737
26	1,260	1,588	2,000	2,520	3,176	4,002	5,042	6,353	8,005	10,086	12,708	16,012	20,175	25,421
27	1,270	1,613	2,048	2,601	3,304	4,196	5,329	6,768	8,595	10,915	13,862	17,605	22,359	28,396
28	1,280	1,638	2,097	2,684	3,436	4,398	5,629	7,206	9,223	11,806	15,112	19,343	24,759	31,691
29	1,290	1,664	2,147	2,769	3,572	4,608	5,945	7,669	9,893	12,761	16,462	21,236	27,395	35,339
30	1,300	1,690	2,197	2,856	3,713	4,827	6,275	8,157	10,604	13,786	17,922	23,298	30,288	39,374
31	1,310	1,716	2,248	2,945	3,858	5,054	6,621	8,673	11,362	14,884	19,498	25,542	33,460	43,833
32	1,320	1,742	2,300	3,036	4,007	5,290	6,983	9,217	12,166	16,060	21,199	27,983	36,937	48,757
33	1,330	1,769	2,353	3,129	4,162	5,535	7,361	9,791	13,022	17,319	23,034	30,635	40,745	54,190
34	1,340	1,796	2,406	3,224	4,320	5,789	7,758	10,395	13,930	18,666	25,012	33,516	44,912	60,182
35	1,350	1,823	2,460	3,322	4,484	6,053	8,172	11,032	14,894	20,107	27,144	36,644	49,470	66,784
36	1,360	1,850	2,515	3,421	4,653	6,328	8,605	11,703	15,917	21,647	29,439	40,037	54,451	74,053
37	1,370	1,877	2,571	3,523	4,826	6,612	9,058	12,410	17,001	23,292	31,910	43,717	59,892	82,052
38	1,380	1,904	2,628	3,627	5,005	6,907	9,531	13,153	18,151	25,049	34,568	47,703	65,831	90,846
39	1,390	1,932	2,686	3,733	5,189	7,213	10,025	13,935	19,370	26,925	37,425	52,021	72,309	100,510
40	1,400	1,960	2,744	3,842	5,378	7,530	10,541	14,758	20,661	28,925	40,496	56,694	79,371	111,120
41	1,410	1,988	2,803	3,953	5,573	7,858	11,080	15,623	22,028	31,059	43,794	61,749	87,066	122,763
42	1,420	2,016	2,863	4,066	5,774	8,198	11,642	16,531	23,474	33,334	47,334	67,214	95,444	135,530
43	1,430	2,045	2,924	4,182	5,980	8,551	12,228	17,486	25,005	35,757	51,132	73,119	104,561	149,522
44	1,440	2,074	2,986	4,300	6,192	8,916	12,839	18,488	26,623	38,338	55,206	79,497	114,475	164,845
45	1,450	2,103	3,049	4,421	6,410	9,294	13,476	19,541	28,334	41,085	59,573	86,381	125,252	181,615
46	1,460	2,132	3,112	4,544	6,634	9,685	14,141	20,645	30,142	44,008	64,251	93,807	136,958	199,959
47	1,470	2,161	3,177	4,669	6,864	10,090	14,833	21,804	32,052	47,117	69,261	101,814	149,667	220,010
48	1,480	2,190	3,242	4,798	7,101	10,509	15,554	23,019	34,069	50,422	74,624	110,444	163,457	241,916
49	1,490	2,220	3,308	4,929	7,344	10,943	16,304	24,294	36,197	53,934	80,362	119,739	178,411	265,832
50	1,500	2,250	3,375	5,063	7,594	11,391	17,086	25,629	38,443	57,665	86,498	129,746	194,620	291,929

2. Методика расчета и область применения сложных процентов

Сложные процентные ставки обычно используются для долгосрочных ссуд со сроком более года. При сложной процентной ставке процентный платеж в каждом расчетном периоде добавляется к капиталу предыдущего периода, а процентный платеж в последующем периоде начисляется уже на эту наращенную величину первоначального капитала. Процентный платеж может начисляться как в начале каждого периода (антисипативное начисление процентов), так и в его конце (декурсивное начисление процентов). Последний способ наиболее распространен. Для начисления выплат по постоянной сложной процентной ставке обычно используется формула [12, с 46]

.

Как и в случае простой процентной ставки, сложная процентная ставка может изменяться в некоторые моменты времени. Для начисления выплат по переменной сложной процентной ставке используется формула

.

При расчете выплат может приниматься во внимание инфляция, т.е. уменьшение покупательной способности денег. В этом случае выплаты расчитываются либо по точной формуле:

,

либо по приближенной:

.

Здесь r - реальная процентная ставка, p - годовой темп инфляции.
При начислении сложных процентов m раз в году выплаты расчитываются по формуле

.

Ставку r в этом случае принято называть номинальной годовой процентной ставкой.

Обычно при удержании процентов в момент выдачи ссуды, при учете векселей, при покупке депозитных сертификатов возникает задача определения по заданной сумме S_T, которую следует уплатить через время T, сумму получаемой ссуды S₀ при заданной годовой процентной ставке d. В этой ситуации начальную сумму S₀ принято называть современной величиной (приведенной стоимостью), ставку d - дисконтной или учетной процентной ставкой, величину D = S_T - S₀ - дисконтом, а процедуру определения современной величины - дисконтированием.
Существует два способа дисконтирования при простой процентной ставке[3, с. 109]:

· математическое дисконтирование

· банковский учет

Для дисконтирования при сложной процентной ставке используется формула

при начислении процентов один раз в году и формула

при начислении процентов m раз в году.

Задача 1

Сдан участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на условиях: в первые шесть лет по 20 тыс. руб., а оставшиеся четыре года по 22 тыс. руб.

Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 20 %.

Для решения задачи рассмотреть исходный денежный поток в двух вариантах:

Как сумма двух аннуитетов: первый имеет А=20 тыс. руб. и продолжается десять лет; второй имеет А = 2 тыс. руб. и продолжается четыре года;

Как разность двух аннуитетов: первый имеет А=22 тыс. руб. и продолжается десять лет, второй А =2 тыс. руб и, начавшись в первом году, заканчивается в шестом.

Решение

Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).

Отличие постоянных платежей пренумерандо от постнумерандо состоит в том, что время начисления процентов на каждую выплату увеличивается на один период, следовательно, сумма наращения по схеме пренумерандо будет больше, чем сумма по схеме постнумерандо в S(1,r) раз, где S(1,r) - множитель наращения платежа за один период, соответствующей данному типу ренты.

Приведение постнумерандо PV годовое с начислением % 1 раз в году

, где

A - величина каждого годового платежа,

n -количество периодов получения доходов;

r-годовая ставка процента;

PV- приведенная (современная) стоимость потока платежей-это сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

1. Для платежа в 20000 руб в течение 10 лет:

PV1 = 20*(1- 1,2^-10)/0,2 =84 тыс.руб

Для платежа 2000руб в течение 4 лет:

PV2= 2*(1- 1,2^-4)/0,2= 5, 2 тыс. руб

Сумма двух аннуитетов (приведенная стоимость договора) будет равна:

PV = PV1 + PV2 = 84 + 5,2 = 89,2 тыс. руб.

2. Для платежа в 22000 руб в течение 10 лет:

PV1 = 22*(1- 1,2^-10)/0,2 =92,4 тыс.руб

Для платежа 2000руб в течение 6 лет:

PV2= 2*(1- 1,2^-6)/0,2 = 6, 6 тыс. руб

Разность двух аннуитетов (приведенная стоимость договора) будет равна:

PV = PV1 - PV2 = 92,4 - 6,6 = 99 тыс. руб.

Задача 2

АО «Вымпел» заняло у банка «Сатурн» 300 000 руб на 3 месяца под 30 % годовых, проценты выплачиваются вперед. Какую сумму получит «Вымпел», если:

1. Используются простые проценты

2. Используются сложные проценты

Решение

1. Определим сумму, которую получит АО «Вымпел», учитывая, что необходимо вернуть 300000 руб, по формуле простых процентов:

, где (1)

S₀ - сумма к получению;

S_T - размер выплат по окончании;

T - срок заема в днях;

T_год - временная база (число дней в году);

r - годовая процентная ставка.

S₀ = S_T/(1 + rT/(100 T_год))

S₀ = 279070 руб.

2. Определим сумму, которую получит АО «Вымпел», учитывая, что необходимо вернуть 300000 руб, по формуле сложных процентов:

(2)

S₀ - сумма к получению;

S_T - размер выплат по окончании;

T - срок заема в днях;

T_год - временная база (число дней в году);

r - годовая процентная ставка.

S₀ = 280899 руб.

Задача 3

СКОЛЬКО необходимо поместить в банк, чтобы через полтора года получить 55 000 рублей, если банк предлагает 12 % годовых, если:

используется схема простых процентов

используется схема сложных процентов.

Решение

3. Определим первоначальный размер вклада по формуле простых процентов:

, где (1)

S₀ - первоначальный размер вклада;

S_T - размер выплат по окончании;

T - срок вклада в днях;

T_год - временная база (число дней в году);

r - годовая процентная ставка.

S₀ = S_T/(1 + rT/(100 T_год))

S₀ = 46610 руб.

2. Определим первоначальный размер вклада по формуле сложной процентной ставки:

(2)

S₀ - первоначальный размер вклада;

S_T - размер выплат по окончании;

T - срок вклада в днях;

T_год - временная база (число дней в году);

r - годовая процентная ставка.

S₀ = 46219 руб.

Задача 4

Данные компании «Юпитер»:(тыс. руб.)

Денежные средства и ликв. ценные бумаги 100

Внеоборотные активы 700

Выручка от реализации 2000

Чистая прибыль 150

Коэффициент срочной ликвидности 1,3

Коэффициент текущей ликвидности 2

Оборачиваемость дебиторской задолженности 70 дней

Рентабельность собственного капитала 25 %

РАССЧИТАТЬ:

1. величину дебиторской задолженности

2. краткосрочные обязательства;

3. оборотные средства;

4. общую сумму активов;

5. рентабельность активов;

6. долгосрочные обязательства

7. собственный капитал.

Решение

1. Рассчитаем величину дебиторской задолженности.

Коэффициент оборачиваемости дебиторской задолженности:

К_ОДЗ = (1)

Продолжительность одного оборота в днях можно рассчитать следующим образом:

(2)

Отсюда определим коэффициент оборачиваемости дебиторской задолженности, подставив который в формулу (1), определим величину дебиторской задолженности.

К_ОДЗ = 360/70 = 5,14

Величина дебиторской задолженности = 2000/5,14 = 389,1 тыс. руб.

2. Краткосрочные обязательства.

Коэффициент срочной ликвидности рассчитывается с использованием только части текущих активов - денежных средств, легко реализуемых ценных бумаг и дебиторской задолженности, которые сопоставляются с текущими (краткосрочными) обязательствами.

(3)

где ДС - денежные средства на счетах предприятия;

КФВ - краткосрочные финансовые вложения (ценные бумаги).

Из формулы (3) определим краткосрочные (текущие) обязательства:

КО = (100 + 389,1)/1,3 = 376,23 тыс. руб.

3. Оборотные средства. Коэффициент текущей ликвидности (коэффициент покрытия) представляет собой отношение текущих активов (оборотных средств) к краткосрочным обязательствам:

(4)

Из этой формулы определим оборотные средства:

ОС = 2*376,23 = 752,5 тыс. руб.

1. Общая сумма активов. Находим ее как сумму оборотных средств и основных средств (внеоборотных активов):

А = 752,5 + 700 = 1452,5 тыс. руб.

5. Рентабельность активов:

Р_А = (5)

Р_А = 150/1452,5 = 0,103

6. Долгосрочные обязательства. Находим как разность общей суммы активов и краткосрочных обязательств:

ДО = 1452,5 - 376,23 = 1076,27 тыс. руб.

7. Собственный капитал.

Рентабельность собственного капитала:

Р_СК = (6)

Из данной формулы определим собственный капитал:

СК = 150/0,25 = 600 тыс. руб.

Список использованной литературы

1. Акулов В.Б., Акулова О.В. Экономическая теория. Учебное пособие. Петрозаводск:ПетрГУ, 2002.

2. Артемова Л.В. Инвестиции и инновации. Словарь-справочник от А до Я. М., 2008.

3. Балабанов И.Т. Основы финансового менеджмента. М.:Финансы и статистика, 2001.

4. Экономическая теория: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений / Под ред. В.Д. Камаева. - 6-е изд. - М.:ВЛАДОС, 2005.

5. Каратуев А. Г. Финансовый менеджмент: Учебно-справочное пособие. - М.: ИД ФБК-ПРЕСС, 2001.- 496 с.

6. Ковалёв В. В. Управление финансами: Учебное пособие. - М.: ФБК-ПРЕСС, 2003.- 160 с.

7. Лобанов Е.Н., Лимитовский М.А. Управление финансами: 17-модульная программа для менеджеров “Управление развитием организации”. Модуль 14. -М.: “ИНФРА-М”, 2006. -280с.

8. Ковалев В.В., Ковалев Вит. В. Финансы предприятий. М., 2003г.

9. Ковалева А.М., Лапуста М.Г., Скамай Л.Г. Финансы фирмы. М., 2005г.

10. Колчина Н.В. Финансы предприятий. М., 2008г.

11. Колчина Н.В. Финансы организаций. М., 2004г.

12. Кудина М.В. Финансовый менеджмент. М., 2006г.

13. Лапуста М.Г., Скамай Л.Г. Финансы фирмы. М., 2003г.

14. Шуляк П.Н. Финансы предприятий. М., 2006г.