Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

СЕВЕРО-ВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ ЦИФРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЭКОНОМИКИ

Кафедра экономики

Реферат по дисциплине: «Методы оптимальных решений»

По теме: «Происхождение и постановка задачи многокритериальной оптимизации»

Выполнил(-а): студент(-ка) группы БУАз-81

Г.В. Максимова

доцент кафедры экономики, к.э.н. П. Н. Мальцева

Магадан 2021



Содержание

Введение

1. Задача многокритериальной оптимизации

2. Множество достижимых критериальных векторов

3. Доминирование и оптимальность по Парето

4. Эффективные решения и паретова граница

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Известно, что при исследовании многих экономических объектов при формализации в целях моделирования функционирования допускается использование методов оптимизации. При этом, для широкого класса подобных методов допустимо использование линейно-программных задач. Задачи подобного типа на формальном уровне предполагают решение задач минимизации или максимизации целевых функций при наличии линейных ограничений.

Актуальность темы данной работы состоит в том, что для любой реальной экономической задачи недостаточно нахождения оптимального значения только для одного критерия. В процессе планирования производственных процессов на предприятиях необходимо постоянное принятие решений, связанных с учетом множества критериев, связанных с качественными характеристиками продукциями и наличием ограничений на ресурсы.

В качестве предмета исследования в рамках данной работы рассматривается решение задач методом Парето.

Объект исследования - задачи многокритериальной оптимизации.

Целью является анализ использования информационных технологий в решении задач многокритериальной оптимизации методом Парето.

Задачи работы:

- рассмотрение основных терминов, принципов, структуры и особенностей многокритериальной оптимизации линейного программирования;

- исследование системы производства на примере конкретной задачи оптимизации;

- оптимизация задачи о производстве на основе изученных методов и с помощью инструментальных программных средств.



1. Задача многокритериальной оптимизации

В данной работе проведено изучение алгоритмов решения задач многокритериальной оптимизации с использованием метода Парето применительно к экономическим и управленческим задачам. Особенность реализации крупных проектов предполагает, что в рамках их исполнения приходится решать проблемы, связанные с распределением имеющихся трудовых и материальных ресурсов. Правильность использования трудовых и материальных ресурсов по стадиям проекта определяет его конечную стоимость, сроки исполнения и величину затрат, направленных на реализацию проекта.

Использование метода Парето эффективно при решении задач многокритериальной оптимизации. Диаграммы Парето включены в состав стандартов определения качества продукции во многих странах.

Целью метода Парето является определение задач, которые подлежащих решению в первую очередь в рамках реализации проекта.

Диаграммы Парето представляют собой инструментарий, который позволяет выявлять и отображать проблемы, проводить установку первоначальных факторов, исходя из которых необходимо проводить реализацию проекта, и распределять ресурсы в целях эффективного решения поставленных задач.

Различаются следующие виды диаграмм Парето Зорин В.А., Павлов А.П., Пегачков А.А. Контроль качества продукции и услуг. Учебное пособие.- М.: МАДИ (ГТУ), 2007 - 12с.- URL: http://www.lib.madi.ru/fel/fel1/fel08E029.pdf:

ѕ по результатам деятельности - используется при выявлении основной проблемы, к которой приводят нежелательные результаты деятельности;

ѕ по причинам - применяется при выявлении основной причины проблем, которые могут возникать в рамках производственного процесса.

План действий в рамках реализации метода Парето:

ѕ Определение проблемы, которую необходимо решать.

ѕ Необходим учёт всех факторов (признаков), имеющих отношение к исследуемой проблематике.

ѕ Выявление первопричин, создающих максимальные трудности, сбор информации по ним с дальнейшим проведением ранжирования.

ѕ Построение диаграммы Парето, которая в объективной мере объективно представляет фактическое положение дел в понятной и наглядной форме.

ѕ Проведение анализа диаграммы Парето.

Особенности метода.

Принцип Парето (принцип 20/80) предполагает, что 20% усилий определяют 80% результата, а остальные 80% усилий - только 20% результативности.

На рисунке 1 приведен пример диаграмма Парето.

Рисунок 1 - Пример диаграмма Парето

Феномен 80/20 в трудах ученых подвергается более глубокому анализу. Так, например, установлено, что 65% доходов принадлежит десяти процентам населения, а 50% материальных ресурсов располагают пять процентов. Анализ распределения доходов в других странах, кроме Англии, привели к точно таким же результатам.

Хоть закон 80/20 и был открыт в конце XIX века, Вильфредо Парето не смог дать его корректного объяснения, таким образом, определение его экономического значения было отложено до 1984 года. Тогда закон Парето был проанализирован профессором из Гарварда Джорджем К. Зипфом. Именно им было установлено, что только 20-30% вложенного капитала отдают 70-80% прибыли. Именно Зипфом вновь было проведено открытие закона Парето и присвоение ему в честь первооткрывателя.

Практически одновременно с этим Иосиф Юран, изучавший распределение дефектных товаров на производствах, подтвердил действенность принципа 80/20. Далее ученый написал работу, в которой провел формулирование данного закона. Юран предполагал, что данный метод минимизирует число бракованных изделий и повысит качественные характеристики выпускаемой продукции.

Юран заявлял, что закон неравного распределения 80/20 можно использовать не только на производственных предприятиях, а как один из методов исследования и криминальных ситуаций, транспортных происшествий и других схожих ситуациях.

Идея профессора заинтересовала ряд крупных японских предпринимателей. В 1953 году ученый прочитал в Японии несколько успешных докладов и был положительно принят своей публикой. К 1970-м годам закон Парето стал одним из перспективных способов продвижения предприятий. Метод диаграммы Парето обеспечил Японии прорыв в производстве, продемонстрировав наглядный пример его эффективности.

Рассмотрим последовательность действий по построению диаграммы Парето. многокритериальный программирование парето

ѕ Определение списка проблем, которые проблемы подлежат исследованию, списка информационных ресурсов, задействованных при анализе.

ѕ Разработка формы для регистрации исходной информации (например, контрольного листка).

ѕ Сбор данных, через заполнение форм, и дальнейший расчет итогов по каждому из исследуемых факторов (показателей, признаков).

ѕ Для возможности построения диаграммы Парето необходимо провести подготовку бланков таблицы, предусмотрев в них графы для расчета итогов по каждому из проверяемых факторов в отдельности, накопленных сумм количества появлений соответствующих факторов, процентов от общего итога и накопленных процентов.

ѕ Заполнение таблицы через расположение данных, полученных в рамках анализа проверяемого фактора, в порядке убывания значимости.

ѕ Подготовка осей (одной горизонтальной и двух вертикальных линий) для построения диаграммы. Нанесение на левую ось ординат шкалы с интервалами от 0 до итоговой суммы количества определенных факторов, а на правую ось ординат нанесение шкалы с интервалами от 0 до 100, отражающей процентную меру фактора. Разделение оси абсцисс на интервалы необходимо проводить в соответствии с количеством исследуемых факторов или относительными частотами, которые им соответствуют.

ѕ Построение столбиковой диаграммы. Высота столбца (откладываемая по левой шкале) соответствует количеству определенных соответствующих факторов. Столбцы располагаются в порядке убывания (сокращения параметра значимости фактора). Последний столбец характеризует "прочие", т. е. малозначительные факторы, и может располагаться выше соседних.

ѕ Построение кумулятивной кривой (кривой Парето) - ломаной, соединяющей точки накопленных сумм (количественной меры факторов или процентов). Каждая точка диаграммы ставится над соответствующим столбцом столбиковой диаграммы, с учетом ориентации на его правую сторону.

ѕ Нанесение на диаграмму всех обозначений и надписей.

ѕ Проведение анализа построенной диаграммы Парето.

Дополнительные данные:

ѕ Достижение высоких показателей лишь по нескольким критериям, остальные параметры остаются прежними.

ѕ Необходима концентрация только на ресурсах, которые приносят максимальную прибыль, без проведения мероприятий по остальным направлениям.

ѕ В каждой из важных областей необходимо определить, какие из 20% усилий могут определять остальные 80% результатов.

ѕ Максимально используйте те немногие удачные моменты, когда вы способны показать наивысшие результаты.

ѕ Нехватка времени не является причиной отклонения проекта по методу Парето.

Решение задачи оптимизации по методу Парето представляет собой многокритериальную задачу линейного программирования.

2. Множество достижимых критериальных векторов

Результаты исследования задач по планированию и управлению показывают, что в реальной постановке данные задачи являются многокритериальными. Так, само условие достижения максимального эффекта при наименьших затратах уже предполагает необходимость принятия решения при двух критериях. Оценка деятельности компаний и планирования как системы принятия решений производится с учетом более десятка показателей: выполнения плана производства по объемам, по номенклатуре, плану реализации, прибыльности по параметрам рентабельности, производительности труда и т.д.

Ранее, в рамках исследования проблемы многокритериальности часто все параметры, кроме одного, который выбирался как доминирующий, принимались как ограничения, оптимизация производилась по доминирующим параметрам. Данный подход к решению практических задач в значительной степени сокращает эффективность принимаемых решений. В данном случае необходимо осуществлять поиск точки области допустимых решений, в которой искомые критерии принимают минимальные или максимальные значения. В связи с этим, исследователи начали развивать имеющиеся теоретические и практические результаты методов по решению задач, имеющих один критерием таким образом, чтобы они могли быть использованы при исследовании многокритериальных задач линейного программирования Бураков Д. П., Гарина М. И. Теория принятия решений: методы оптимизации и многокритериального выбора: учебное пособие / Д. П. Бураков, М. И. Гарина. - Санкт-Петербург: ФГБОУ ВО ПГУПС, 2017. - с. 26.

В силу этого в теории многокритериальной оптимизации термин оптимальности получает различные толкования, и в силу этого данная теория включает следующие направления:

1. Проведение разработки концепции оптимальности.

2. Проведение доказательств о существовании решения, являющегося оптимальным в соответствующем смысле.

3. Проведение разработки методов нахождения оптимального решения.

Обозначим i-й частный параметр через z_i(x), а область допустимых решений через Q. Учтем, что через изменение знака функции всегда можно сводить задачу минимизации к задаче максимизации, и наоборот, мы возможна формулировка задачи векторной оптимизации следующим образом:

, при ,

Если рассматривать задачу таким образом, то по существу многокритериальная задача имеет отличие от обычной задачи оптимизации только наличием более чем одного количества целевых функций. Но в отличие от задач оптимизации, имеющих один критерий в многокритериальной оптимизации существует неопределенность поставленных целей. Действительно, при существовании решения, максимизирующего некоторое количество целевых функций, является редким исключением, поэтому с математической точки зрения задачи многокритериальной оптимизации являются неопределенными и в качестве решения может рассматриваться только компромиссное решение.

Например, при выборе работы, человек, как правило, руководствуется несколькими критериями. Допустим, кому-то хочется, чтобы одновременно выполнялись такие условия:

- высокий уровень заработной платы;

- комфортные условия труда;

- оптимальное расположение.

В качестве другого примера задачи с многими критериями можно рассматривать модернизацию производства, в процессе которой необходимо достигнуть максимального роста эффективности с минимальными затратами. Очевидно, что невозможно достижение обеих целей одновременно, так как чем выше затраты, тем больше должно быть выпущено продукции и тем больше значение прибыли.

Еще одним примером многокритериальной задачи является выбор решения в области инвестирования, когда необходимо получение максимального дохода (или доходности) при наименьших рисках.

Примеры многокритериальности в экономике

3. Доминирование и оптимальность по Парето

В задачах, использующих математическое программирование с одним критерием необходимо определять значение целевого параметра, соответствующего, например, минимуму затрат или максимуму прибыли. Однако, в реальных производственных задачах при планировании проекта возникает множество критериев, по которым необходимо достижение различных целевых показателей.

Приведем несколько примеров задач реальной экономики, предполагающих использование многокритериальности.

1. Планирование производства Холопкина Л.В., Кремер О.Б. Методы оптимизации. Компьютерные технологии: учебное пособие / Л. В. Холопкина, О.Б. Кремер. - Воронеж: Воронежский государственный технический университет, 2016. - с.75:

- Максимум суммарного чистого дохода, минимум чистого дохода за любой период;

- Минимум количества неисполненных заказов, использования сверхурочного времени, запасов готовой продукции.

2. Задача выбора портфеля ценных бумаг:

- Максимум доходов, дивидендов;

- Минимум рисков, отклонений от желаемого уровня разнообразия бумаг.

3. Задача составления сметы капиталовложений

- Максимум наличия средств, инвестиции в проекты, связанные с охраной окружающей среды, инвестиции в проекты в заданном регионе, инвестиции в проекты, связанные с заданной товарной специализацией;

- Минимум спроса на капитальные вложения, ежегодные эксплуатационные расходы.

4. Задача организации транспортировки:

- Максимум по производству по заданной технологии;

- Минимизация стоимости, среднего времени доставки грузов приоритетным клиентам, расход топлива.

Конечно, решения, одновременно удовлетворяющего всем противоречивым требованиям, как правило, не существует. Но математика может помочь и при решении таких задач. Помощь эта состоит не в нахождении несуществующих решений, одновременно обращающих все критерии в максимум, а в отбрасывании заведомо плохих решений.

Согласно концепции Парето, общество пребывает в состоянии общего экономического равновесия и социальной эффективности распределения ресурсов, что предполагает оптимальность распределения в области производства при минимуме использования ресурсов и эффективности распределения в области потребления, что обеспечивает максимальный уровень удовлетворения потребностей. В. Парето считал, что в основе анализа общего равновесия должны лежать факты выбора потребителя, при которых фиксируется лишь порядок предпочтения одного набора благ перед другими.

В процессе решения большого количества практических задач приходится иметь дело с необходимостью поиска решений, которые удовлетворяют нескольким, зачастую имеющим конфликты между собой, критериям. В связи с этим, процесс решения задачи предполагает не нахождение какого-либо одного решения, а отыскание некоторого множества решений, каждое их которых будет превосходить другие хотя бы по одному критерию. Такие решения, как правило, являются оптимальными по Парето. Необходимость поиска целого множества решений в значительной мере усложняет задачу многокритериальной оптимизации и делает практически непригодными большинство классических методов оптимизации. Задача усложняется также и тем, что необходимо осуществлять поиск решения, максимально близкого к истинному множеству (или фронту) Парето, но и обеспечивать максимально возможное отличие между данными решениями (т.е. охватывать возможно большую часть данного фронта).

Принципы многокритериальной оптимизации существенно отличны от традиционной оптимизации. Во втором случае (при одном критерии) в качестве цели решения задачи рассматривается нахождение глобального оптимального решения, которое дает оптимальные значения для одной целевой функции. При наличии нескольких критериев имеется соответственно несколько целевых функций, каждая из которых может иметь оптимальное значение при своем собственном наборе значений независимых переменных. Если оптимальные решения для различных целевых функций существенно различны, то невозможно говорить об оптимальном решении всей задачи в целом. В этом случае получается множество оптимальных решений, ни одно из которых не является оптимальным по сравнению с другими во всех смыслах (т.е. по все критериям). Данное множество называется множеством решений оптимальных по Парето.

Для того, чтобы иметь возможность получения более полных характеристик по преимуществам и недостаткам проектируемых объектов, нужно учитывать как можно большее число качественных характеристик. Как результат, задачи по проектированию сложных систем всегда являются многокритериальными, так как в случае выбора оптимального варианта необходимо учитывать множество различных требований, которые предъявляются к системе .

Если использовать традиционные подходы к решению задач оптимизации, то задачи со многими критериями не имеют решения. В силу того, что практически для любой реальной задачи допустимы разные компромиссные разрешения, то и подходы к их поиску являются многочисленными и весьма разнообразными.

Определим перечень подходов к решению задач, связанных с многокритериальной оптимизацией Зак Ю. А. Прикладные задачи многокритериальной оптимизации / Ю.А. Зак. - Москва: Экономика, 2014. - с.88:

1. Решение с использованием метода уступок - процесс принятия решения сводится к определению решения через постепенное ослабление изначальных требований, которые не являются выполнимыми одновременно.

2. Использование метода идеальной точки, что предполагает поиск решения в области допустимых значений с таким условием, что обеспечивается набор значений параметров, в том или ином смысле ближайших к оптимальному варианту.

3. Метод свертывания - принятие решения сводится к однокритериальной задаче.

Далее проведем подробный анализ данных методов решения задач, связанных с многокритериальной оптимизацией по Парето.

4. Эффективные решения и паретова граница

Использование метода последовательных уступок предполагается в случаях, когда частные критерии могут упорядочиваться в порядке убывания важности. Предположим, что каждый из критериев максимизируется и нумеруется в порядке убывания уровня их важности. Сначала проводится определение максимального значения , являющегося первым по степени важности исследуемого критерия в области допустимых решений, через решение задачи

Далее проводится назначение, исходя из практических соображений и принятой точности, допустимой величины (экономически оправданная уступка) для критерия и производится поиск максимального значения для второго критерия с условием, что отклонение значения первого критерия от максимального не превышает величины допустимой уступки, т.е. проводится решение задачи

Далее проводится назначение величины уступки по другому критерию, который вместе с первым используется в процессе нахождения условного экстремума для третьего частного критерия и т.д. Далее проводится выявление экстремального значения последнего по степени важности параметра с условием, что отличие значения для каждого из первых частных критериев от экстремального составляет не более чем значение величины допустимой уступки. Полученное на последней итерации решение принимается в качестве оптимального.

Один их существенных недостатков метода последовательных уступок связан с тем, что решение, полученное с использованием данного метода, может являться неоптимальным по Парето.

Данный метод предполагает сведение задачи многокритериальной оптимизации к одному критерию. Для этого проводится выбор одного из рассматриваемых критериев как главного, и далее проводится преобразование остальных критериев в ограничения.

Основные параметры при построении модели многокритериальной оптимизации включаютКорнеенко В. П. Методы многокритериального оценивания объектов с многоуровневой структурой показателей эффективности: монография / В. П. Корнеенко. - Москва: МАКС Пресс, 2018. - с.87:

1. Себестоимость продукции

2. Объёмы выпуска продукции

3. Характеристики производственных мощностей

4. Ресурсоемкость для каждого из производственных участков

5. Характеристики, определяющие длительность выполнения работ

Приведем формулировку задач многокритериальной оптимизации. Первоначально необходимо определить главный критерий . Далее, для других критериев определяются контрольные показатели. Т.е. для каждого из критериев необходимо задать условия, что они не должны превышать или быть меньшими, чем некоторая заданная величина. После этого проводится решение задачи, связанной с однокритериальной условной оптимизацией, где проводится вычисление экстремума основной функции, взятой с учетом условий вхождения параметров в заданный диапазон.

,

При этом все значения Х должны входить в рассматриваемое допустимое множество. Наиболее часто данный способ используется в инженерной практике.

Достоинства данного метода связаны с простотой интерпретации полученных результатов, отсутствием высоких требований к квалификации экспертов, а также наличию специализированного программного обеспечения и вычислительных мощностей. Далее, после сведения задачи многокритериальной оптимизации к одному критерию, становится возможным использование стандартных программных средств, в частности, поиска решения в Microsoft Excel.

Основными недостатками данного метода являются:

1) чрезмерность упрощения структуры задач;

2) затруднение при определении критерия в качестве главного;

3) вероятность потери эффекта, связанного с совокупным влиянием нескольких второстепенных критериев;

4) наличие ограничений для остальных критериев должно быть обоснованным;

5) существует вероятность получения неэффективных решений;

6) даже если существует критерий, который является более важным, чем любой другой, то это не означает, что сумма остальных критериев не окажется весьма значимый.

В методе главного критерия, при наличии единственно допустимого решения, то оно будет являться эффективным по Парето. При наличии более, чем одного допустимого решения, то множество данных решений будет содержать решения, являющиеся эффективными по Парето. При этом вероятно нахождение и слабо эффективных решений.

Таким образом, процесс поиска решения в данном случае включает две стадии:

1) задача по нахождению массива допустимых решений;

2) выбор из найденных решений эффективных по Парето решений.

Практически, критерии зачастую имеют различные масштабы и шкал измерения, и тогда появляется необходимость в нормировке данных критериев.

Нормировка критериев

Для возможности приведения критериев к сопоставимой форме и обеспечению их эквивалентности применяются механизмы нормировки:

,

при .

Из значений критерия вычитаются минимальные значения данных критериев и далее полученная разность делится на разность максимального и минимального значений данного критерия. При этом предполагается несовпадение максимального и минимального значений. При данной нормировке, все нормированные значения будут принадлежать интервалу [0;1].

Приведём пример задачи, в которой предполагается, что необходима организация рекламной компании по продвижению новой продукции. Для этого могут применяться несколько альтернатив . В качестве критериев оптимальности выступают минимизация затрат на рекламу, максимизация доли рынка и объемов продаж в течение заданного промежутка времени. Обозначения переменных: - Затраты на рекламу, - доля занимаемого рынка, - объем реализации продукции.

Запись исходных данных приведена на рисунке 2.

Рисунок 2 - Таблица исходных данных

Перед запуском решения задачи, необходимо проведение нормировки критериев. Главным критерием определим критерий - объём затрат на рекламу, а критерии и преобразуем в ограничения. Таким образом, для нормировки вводим ограничения только для критериев и . Для критерия в минимальным значением будет 15, а максимальным - 35. Для критерия 3 минимум 50, максимум 75. Проведем расчет нормированного значения для критерия 2 для первой из альтернатив:

,

Проведем фиксацию постоянных значений, т.е. максимумов и минимумов у критериев 2 и 3, далее с использованием автозаполнения проведем заполнение остальных ячеек. Полученная таблица приведена на рисунке 3.

Рисунок 3 - Нормированные критерии

Проведем выбор такого ограничения, при котором частные критерия и не должны превышать 0,7 умноженное на максимум значения данных критериев: . На рисунке 4 приведены результаты расчета.

Рисунок 4 - Окончательный результат расчета с помощью метода главного критерия

Тогда данным ограничениям для критерия 2 удовлетворяют альтернативы и . А для критерия альтернативы и . Единственной альтернативой, одновременно удовлетворяющей ограничениям по критерию 2 и по критерию 3 является альтернатива , которая в рассматриваемом случае и определяется как оптимальное решение.

Для сравнения, возьмем как ограничение значение 0,8 умноженное на максимум значения критериев 2 и 3: . Новому ограничению, для критерия 2 удовлетворяет только альтернатива , а для критерия удовлетворяют альтернативы 3 и 4. Не существует ни одной альтернативы, одновременно удовлетворяющей ограничениям по критериям 2 и 3. Отсюда следует, что множество решений будет пустым, т.е. невозможен выбор оптимального решения при указанных ограничениях.

Метод свертки критериев связан с преобразованием набора имеющегося набора частных критериев к одному суперкритерию.

,

Таким образом, полученный новый суперкритерий F, являющийся функций от частных критериев будет являться определяющи при поиске решения. Функция называется сверткой частных критериев.

Основные стадии решения задачи многокритериальной оптимизации методом свертки Соловьев С. В. Методы оптимизации. Примеры и задачи. - Хабаровск: Изд-во ТОГУ, 2017. - с.59:

1. Определение возможности проведения свертки

Обоснование допустимости свертки предполагает однородность входящих в нее критериев. Выделяются такие группы показателей эффективности, как:

- параметры результативности;

- параметры ресурсоемкости;

- параметры оперативности.

Критерии, подлежащие свертке, должны входить в одну и ту же группу, нельзя проводить свёртку критериев, относящихся одновременно, например, к параметрам оперативности и параметрам результативности. Таким образом, для каждой группы свертка частных критериев выполняется отдельно. В случае нарушения данного принципа теряется смысл результатной функции.

2. Нормирование критериев

3. Оценка приоритетности критериев

Учет приоритетности, как правило, определяется некоторым вектором весовых коэффициентов, отображающих степень важности того или иного критерия для поставленной задачи.

4. Вывод функции свертки

При проведении свертки критериев, используются такие следующие виды функций Шукаев Д. Н. Прикладные методы оптимизации: учебник / Д. Н. Шукаев. - Москва: ИД "Академия естествознания", 2017. - с.104. URL: https://mirlib.ru/knigi/nauka_ucheba/318379-prikladnye-metody-optimizacii.html:

- Аддитивные функции свертки;

- Мультипликативные;

- Агрегированные, а также могут существовать иные варианты сверток.

Аддитивная свертка

Аддитивная свертка критериев рассматривается как реализация принципов справедливой компенсации по абсолютным значениям нормированных частных критериев. В данном случае построение суперкритерия проводится через взвешенную сумму частных критериев

,

Выбор весовых коэффициентов проводится таким образом, чтобы их сумма была равна единице . В методах равномерной оптимизации, которые являются частным случаем аддитивной свертки, весовые коэффициенты подбираются равными между собой . В процессе решения задач более удобным является подход к определению весовых коэффициентов , связанный с использованием таблицы 1.

Таблица 1 - Таблица относительной важности критериев

	Относительная важность
1	Сравнимые требования эквивалентны
3	Наличие умеренного (слабого) превосходства одного над другим
5	Наличие сильного (существенного) превосходства
7	Наличие очевидного превосходства
8	Наличие абсолютного (подавляющего) превосходства
2, 4, 6, 8	Наличие промежуточных решений между двумя соседними оценками

Мультипликативная свертка

Технология мультипликативной свертки основана на принципах справедливой компенсации в относительных изменениях для частных критериев. В данном случае функция суперкритерия принимает вид , произведения частных критериев , каждый из которых возводится в степень . При этом суммарное значение весовых коэффициентов должно быть равно единицы , а каждый из весовых коэффициентов должен представлять собой неотрицательную величину .

Для использования мультипликативных критериев нет необходимости в нормировке частных критериев, что является их достоинством.

Осуществление выбора между аддитивными и мультипликативными критериями связано с важностью учета в абсолютных или относительных изменениях параметров частных критериев.

Агрегирование частных критериев используется также в различных вариантах агрегирования. В частности, если компенсация значений одних параметрах эффективности другими является недопустимой, то используется функции агрегирования, имеющая вид:

,

Для каждого из частных критериев, проводится нахождение его нормированного значения и умножение на соответствующий весовой коэффициент. Далее из всех полученных значений проводится выбор либо максимума, либо минимума.

Если необходимо увеличение первых m показателей, и уменьшение остальных, то используется функция агрегирования вида:

,

В числителе данного соотношения находится произведение тех параметров, значение которых необходимо максимизировать, а в знаменателе - произведение тех параметров, для которых необходим поиск минимума. Таким образом, получается новый критерий, подлежащий максимизации.

Методика, связанная со свертыванием критериев, находит широкое применение в решении задач многокритериальной оптимизации. При этом они содержат ряд проблем и недостатков. В частности, имеются трудности в обосновании выбора метода по свертыванию критериев, а от выбор метода определяет полученные результаты. Другой недостаток связан с трудностью в обосновании выбора весовых коэффициентов, для чего необходимо привлечение экспертов, проведение опросов с дальнейшей обработкой полученных результатов. Все это требует значительных временных и трудовых затрат. Еще наличие одной проблемы связано с тем, что данные методы, как правило, дают возможности компенсации малых значений одних критериев большими значениями других, что часто является неприемлемым для конкретных решений.

Приведем решение задачи с использованием методов светртки.

,

,

.

Перед запуском преобразования данных критериев в единый критерий, необходимо привести их к однородному состоянию. Т.е. в указанном случае необходимо провести максимизацию функции .

В таком случае получаем: . После этого проводим суммирование частных критериев в единый критерий, и далее проводим решение задачи максимизации: .

Также необходимо учитывать наличие весовых коэффициентов, при этом их сумма должна составлять единицу. Весовые коэффициенты также должны быть неотрицательными. Распределение весовых коэффициентов проводится по степени важности данных частных критериев . В рассматриваемом примере весовые коэффициенты распределены следующим образом: 0,5; 0,3; 0.2.

После проведения подсчетов с учетом весовых коэффициентов, целевая функция принимает вид: или .

Нахождение оптимального решения проводим с использованием поиска решения в MS Excel (рисунок 5). На рисунке 6 приведены параметры поиска решения, на рисунке 7 приведен результат поиска решения.

Рисунок 5 - Исходные данные задачи оптимизации

Рисунок 6 - Параметры поиска решения

Рисунок 7- Результат поиска решения

Приведенные методы сводятся, в основном, к сравнению заданных альтернатив и выбору лучшего варианта. Зачастую критерии, с использованием которых проводится оценка альтернатив, являются противоречивыми. В данном случае целесообразно использовать разные методы и шкалы оценивания.

С позиции математических методов, не существует идеальных способов или методов для решения многокритериальных задач оптимизации. Тем не менее, данные методы помогают осуществить подготовку всей необходимой для принятия решения информации для поддержки процесса принятия управленческих решений и в максимальной степени разобраться в сложившейся ситуации.



Заключение

Решение задачи, в модели которых встречается многокритериальная оптимизация связано с определением множества целей, которые не могут быть смоделированы с использованием единого критерия (например, по показателям стоимости и надежности). В задачах с множеством целевых функций необходимо проводить поиск точки, принадлежащей области допустимых решений, в которой целевые функции имеют экстремум. Если целевая функция связана с однородными объектами, то решение задачи проводится с использованием модели векторной оптимизации.

В рамках данной работы проведен анализ теоретических аспектов в области использования математических моделей, использующих многокритериальную оптимизацию с использованием метода Парето. В результате использования специализированных программных продуктов возможна реализация алгоритмов поддержки принятия решений с дальнейшим получением оптимального плана использования материных и трудовых ресурсов в рамках поставленных задач многокритериальной оптимизации.

В процессе моделирования алгоритмов многокритериальной оптимизации проведен анализ порядка решения задач, позволяющих находить оптимальные производственные планы. В процессе решения было показано, что в настоящее время не существует универсального алгоритма, позволяющего решать задачи, содержащие множество требований к целевым функциям. Использование каждого из приведенных решений может давать различные результаты. Рассмотрены алгоритмы решения задач, связанные с проведением последовательных уступок (при котором проводится корректировка требований к каждой из целевых функций до тех пор, пока не достигается оптимальный для построенной модели план), метод сведения задачи к однокритериальной оптимизации, посредством которого определяется главный критерий, а остальные критерии преобразуются в ограничивающие условия. Также для решения поставленной задачи существует алгоритм свертки, при котором определяются весовые коэффициенты для каждого из критериев и в соответствии с этим производится свертка целевой функции к единому условию поиска экстремума.



Список использованной литературы

1. Болотова Л. С., Сорокин А. Б. Многокритериальная оптимизация / Болотова Л.С., Сорокин А.Б. - Москва: МИРЭА, 2015. - 263с.

2. Бураков Д. П., Гарина М. И. Теория принятия решений: методы оптимизации и многокритериального выбора: учебное пособие / Д. П. Бураков, М. И. Гарина. - Санкт-Петербург: ФГБОУ ВО ПГУПС, 2017. - 65 с.

3. Холопкина Л.В., Кремер О.Б. Методы оптимизации. Компьютерные технологии: учебное пособие / Л. В. Холопкина, О.Б. Кремер. - Воронеж: Воронежский государственный технический университет, 2016. - 146 с.

4. Корнеенко В. П. Методы многокритериального оценивания объектов с многоуровневой структурой показателей эффективности: монография / В. П. Корнеенко. - Москва: МАКС Пресс, 2018. - 292 с.

5. Зак Ю. А. Прикладные задачи многокритериальной оптимизации / Ю.А. Зак. - Москва: Экономика, 2014. - 455 с.

6. Соловьев С. В. Методы оптимизации. Примеры и задачи. - Хабаровск: Изд-во ТОГУ, 2017. - 162

7. Пицюк И. Л., Фишман Б. Е. Математические методы в экономике: линейные задачи оптимизации: учебное пособие / И. Л. Пицюк, Б. Е. Фишман. - Хабаровск: Изд-во ТОГУ, 2016. - 127 с.

8. Корнеенко В.П. Методы оптимизации / Корнеенко В.П. - М.: Высшая школа, 2007. - 664с.

9. Коробкин А.Д. Оптимизация производственного планирования на предприятии / Коробкин А.Д., Мироносецкий Н.Б. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 2004. - 336с.

10. Данциг Д. Линейное программирование, его применения и обобщения / Данциг Д. -М.: Прогресс, 1966. - 600с. URL: https://mirlib.ru/knigi/programming/320657-lineynoe-programmirovanie-ego-obobscheniya-i-primeneniya.html

11. Зорин В.А., Павлов А.П., Пегачков А.А. Контроль качества продукции и услуг. Учебное пособие.- М.: МАДИ (ГТУ), 2007 - 82с.- URL: http://www.lib.madi.ru/fel/fel1/fel08E029.pdf

12. Каверина В. К. Задачи оптимизации и планирования: учебное пособие / В. К. Каверина. - Воронеж: Воронежский ГАСУ, 2015. - 62 с. URL: https://www.docme.su/doc/1260304/kaverina-v.k.zadachi-optimizacii-i-planirovaniya-na-setyah

13. Колпаков В.М. Теория и практика принятия управленческих решений / Колпаков В.М. - К.: МАУП, 2004. - 504с. URL: https://may.alleng.org/d/manag/man328.htm

14. Павлов Н. Microsoft Excel: мастер формул: подробное руководство в формулах и функциях Microsoft Excel / Николай Павлов. - Москва: ДМК, 2017. - 239 с. URL: https://mirlib.ru/knigi/programming/199574-microsoft-excel-master-formul-podrobnoe-rukovodstvo-po-vysshemu-pilotazhu-v-formulah-i-funkciyah.html

15. Шукаев Д. Н. Прикладные методы оптимизации: учебник / Д. Н. Шукаев. - Москва: ИД "Академия естествознания", 2017. - 211 с. URL: https://mirlib.ru/knigi/nauka_ucheba/318379-prikladnye-metody-optimizacii.html

16. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. / Л.И. Лопатников. - М.: Дело, 2003. - 121с. URL:https://may.alleng.org/d/econ/econ268.htm

Размещено на Allbest.ru