Применение теории многокритериальных задач для оптимизации затрат на получение информации о качестве продукции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение теории многокритериальных задач для оптимизации затрат на получение информации о качестве продукции

В.И. Жуковский, С.М. Кирюхин, С.Ф. Литовченко

В статье приведено решение многокритериальной задачи оптимизации затрат на получение информации о качестве продукции.

Ключевые слова: показатели качество продукции, теория многокритериальных задач, критерии - стоимость и информативность, алгоритм нахождения числа показателей.

Введение

В квалиметрии под качеством понимают совокупность свойств продукции, определяющих её пригодность удовлетворять определённым потребностям в соответствии с назначением.

Информация о качестве продукции может быть получена с помощью показателей качества - количественных характеристик одного или нескольких свойств продукции, входящих в состав качества, рассматриваемых применительно к определённым условиям создания и эксплуатации.

Первым и наиболее ответственным этапом получения информации о качестве продукции является выбор определяющих показателей качества. Известны различные методы выбора этих показателей: эвристический, стоимостной, вероятностный, экспериментальный, комбинированные и др. Общим недостатком этих методов является то, что в них не рассматриваются экономические аспекты решения этой проблемы.

Выбор номенклатуры и числа показателей, по которым следует оценивать качество продукции, всегда является сложной компромиссной задачей, в основе которой лежит следующая «конфликтная ситуация». С одной стороны, чем больше используется показателей, тем более полной будет информация о качестве продукции. С другой стороны - определение численных значений показателей неизбежно приводит к затратам, объём которых будет постоянно расти при увеличении числа оцениваемых показателей. В этих условиях необходимо определить оптимальное число показателей, обеспечивающих максимально возможный объём информации при минимально возможных затратах на её получение.

В работе предлагается решение данной задачи на основе теории многокритериальных задач. Именно, найдено число показателей качества при оптимальном сочетании стоимости и информативности от количества их использования. Работа развивает исследования, начатые в [1] и проведённые там на основе математической теории игр. Здесь базируемся на математической теории многокритериальных (точнее, двухкритериальных) задач.

Постановка задачи исследования

Как уже упоминалось выше, при исследовании ряда задач квалиметрии возникает, в первую очередь, необходимость выбора числа показателей, характеризующих качество продукции. Здесь сталкивается, с одной стороны, желание увеличить число показателей (ибо с их ростом растёт и информативность), с другой - такое увеличение неизбежно влечёт рост затрат. Выбору качества показателей, при котором оптимально сочетаются, информативность и затраты, была посвящена работа [1]. В ней на основе математической теории игр получены общая формула оптимального числа показателей (в зависимости от инвестиций). Однако подход, основанный на теории игр, не является единственным. Фактически в рассматриваемой задаче использовалось два критерия: первый характеризует стоимость в зависимости от числа показателей, второй - информативность (также в зависимости от числа показателей). Таким образом, имеются два критерия - стоимость и информативность, и задачей ЛПР (Лица, Принимающего Решение) состоит в определении числа показателей, при которых стоимость станет возможно меньшей и одновременно информативность - возможно большей. Итак, получаем двухкритериальную задачу и поэтому в настоящей работы привлекаем математическую теорию многокритериальных задач для определения числа показателей продукта, оптимально сочетающих стоимость и информативность. правилами производство обуви относится к третьему классу и размер санитарно-защитной зоны.

Суть любой многокритериальной задачи заключается в следующем. Предполагается, что качество функционирования изучаемого процесса невозможно оценить одним критерием и приходится привлекать несколько критериев. Эти критерии представляют собой скалярные функции, определённые на множестве альтернатив. Выбор отдельной альтернативы (из заданного их множества) производится ЛПР. Цель ЛПР в многокритериальной задаче - выбор такой альтернативы, при которой значения всех критериев становятся возможно большими (строгое понятие векторного максимума - максимума по Парето - будет приведено далее). Если некоторые из критериев требуется уменьшить, то в многокритериальную задачу они входят со знаком «минус».

Как уже упоминалось, в рассматриваемой задаче квалиметрии таких критериев два - стоимость и информативность. Каждый из них задаётся функцией от числа показателей (число показателей обозначаем символом n, а множество их - через N). Причём функцию стоимость (затрат) будем рассматривать двух различных видов:

во-первых, показательную

s(n)=ae^kn-a, (1)

где постоянные а>0, k>1;

во-вторых, линейную

s(n)=bn, (b-const>0). (2)

Информативность характеризуется функцией желательности

. (3)

Критерии (1)-(3) определены на дискретном множестве показателей

N={1,2,…, N}, (4)

где наибольшее возможное число показателей N определяется инвестициями (подробно об этом - в разделе 3).

Как было указано выше, требуется выбрать число показателей nN таким образом, чтобы критерий (стоимость) s(n) принимал бы возможно меньшее значение, а критерий i(n) (информативность) одновременно стал возможно большим. Тогда рассматриваемая двухкритериальная задача задаётся упорядоченной тройкой

< N, {- s(n), i(n)}>, (5)

где N, s(n) и i(n) заданы в (4), (1)- (3).

Подчеркнём ещё раз, что одновременное увеличение обоих критериев - s(n) и i(n) из (5) эквивалентно уменьшению критерия s(n) и одновременному увеличению i(n).

Итак, цель ЛПР в задаче (5) - выбор такой альтернативы (числа показателей) nN, при которой оба критерия - s(n) и i(n) из (5) принимали бы одновременно возможно большие значения.

Сведения из теории многокритериальных задач

Будем использовать следующее понятие векторного максимума из теории многокритериальных задач [2]. инвестиция стоимость качество

Определение. Число показателей n^PN называется максимальным по Парето в задаче (5), если при любых nN несовместна система неравенств

, (6)

,

причём, по крайней мере, одно неравенство строгое.

Эквивалентным определению (6) является следующее: число показателей n^PN называется максимальным по Парето в задаче (5), если для каждого nN,

либо и ;

либо ;

либо .

Для практического построения максимального по Парето числа показателей n^P теория многокритериальных задач предлагает [2] следующий способ:

во-первых, следует от «размерных» критериев перейти к «безразмерным», например, с помощью замены

,

; (7)

во-вторых, для какой-либо постоянной найти n^P из условия

; (8)

полученная в (8) альтернатива (число показателей) n^P и будет максимальной по Парето в задаче (5). Заметим, что положительные постоянные и 1- называются «коэффициентами важности» соответствующих критериев и .

В результате получаем следующий способ построения числа показателей n^P, оптимально сочетающий стоимость и информативность рассматриваемые в настоящей работе задаче квалиметрии.

I этап. Исходя из заданной инвестиции (в размере С), найти максимально возможное число показателей качества N и построить множество N=[1; N].

II этап. Найти экстремумы

,

,

где критерии и заданы в (1)-(3).

III этап. Построить «безразмерные» критерии и по формулам (7).

IV этап. Взяв в (8) конкретную постоянную (например, положив ), найти из условия:

Полученное в результате число

(скобки [m] означают целую часть m) и является искомым числом показателей качества продукта, оптимально сочетающим затраты и информативность в рассматриваемой задаче квалиметрии. Следуя приведённому способу, проведём поэтапное решение поставленной задачи.

Максимально возможное число показателей в зависимости от инвестиции (этап I)

Далее будем предполагать, что на данный проект инвестирована сумма С. Эта сумма ограничивает максимально возможное число показателей N следующим образом.

Утверждение 1. При заданной сумме инвестиций С для показательной функции затрат (1) максимально возможное число показателей

, (9)

для линейной функции затрат (2) число N есть

, (10)

где означает целую часть числа K.

Доказательство проведено в [1]. Приведём его для полноты изложения. Справедливость (10) получаем из равенства

и цепочки импликаций ( - означает знак «следует»)

Аналогично докажем (10):

.

Замечание. Имеет смысл рассматривать задачу, если, естественно, максимальное число показателей N>1. Установим ограничения на инвестиции С, при которых N>1.

Утверждение 2. Требование N>1 имеет место

для показательной функции затрат (1), если

, (11)

для линейной функции затрат (2), если

C>2b.

Доказательство. Из (6) следует

а из (3.4) получаем

.

Вывод 1. Итак, пусть для проекта поступила инвестиция в размере С. Тогда диапазон изменения количества показателей продукта

n[1; N]= N,

где, в случае показательной функции затрат (1), целое число

,

а для линейной функции затрат -

;

напомним, что [m] означает целую часть числа m.

Оптимальные значения стоимости и информативности (этап II)

а) Для показательной функции затрат вида (1).

B [1] было проведено исследование функции (1):

.

График получен в виде рисунка 1.

s

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1 N n

N

Рис.1. График функции s(n) = ae^kn-a

Из рисунка 1 следует, что

(12)

в) Для линейной функции затрат (2) график показан на рисунке 2.

s

Nb

b

n

1 N

N

Рис. 2. График функции s(n) = bn

Согласно рисунку 2 для функции (2) имеем:

, . (13)

с) График функции желательности (3) также построен в [1] и имеет вид, представленный на рисунке 3.

i

1

e^-1

e^-3

1/3 1 N n

N

Рис.3. График функции

Из приведённого графика следует:

(при N› ?), . (14)

Переход к «безразмерным» критериям (этап III)

Воспользуемся при этом формулами (7). Именно,

а) для показательной функции стоимости (1) вводим критерии с помощью равенств (12):

,

где >0;

в) для линейной функции стоимость (2), с учётом равенств (13), получаем

с) для функции желательности (3), с учётом (7) и равенства (14), имеем

.

Вывод 2. Следовательно, «безразмерный» критерий имеет вид:

а) в случае показательной функции затрат (1)

,

Где k>1, >0,

число , инвестиция С>0, a = const>0;

в) в случае линейной функции затрат (2) -

,

где целое число , постоянная b>0;

с) в случае функции желательности (3) -

Для всех трёх приведённых критериев далее n[1; N]= N,

здесь уже считаем N есть отрезок [1, N] положительной числовой полуоси R₊=[0,).

Задача максимизации (этап IV)

Перейдём к нахождению точки максимума в задаче

.

Эта задача эквивалента (с точки зрения построения )

. (15)

Ограничимся пока случаем линейной функции стоимости вида (2). Тогда (15) примет вид:

,(16)

где означает, что в квадратных скобках следует заменить n на . Обозначим через

,(17)

.(18)

С учётом обозначений (16) и (17) нахождение в (15) или (16) эквивалентно построению из условия:

.(19)

Для решения задачи (19) понадобятся производная

, (20)

а также лемма 1

Лемма 1. График функции

(21)

при имеет вид, представленный на рисунке 4,

n₁ 0,5 n₂ n* n

Рис.4. График функции

где точки перегиба .

В самом деле, из (21) получаем:

, (22)

,

где .

Найдем также пределы:

во-первых,

(23)

(где воспользовались заменой и правилом Лопиталя);

во-вторых,

(24)

и, следовательно, положительная ось является ассимптомой.

Из (22) следует:

· точка является точкой максимума функции , причём

;

· точки и будут точками перегиба графика .

Наконец, объединяя (22)-(24) и учитывая, что >0 при , получаем график , представленный на рисунке 4.

Окончательный результат в случае, когда функция стоимости линейная и имеет вид (2), получаем в следующем виде:

Утверждение. Если функция стоимости имеет вид , где коэффициент b = const > 0, то

а) при инвестиции

оптимальное число показателей ;

б) при инвестиции

(25)

число n* является корнем уравнения

,

где число определено в (18).

Доказательство. Действительно, если

, (26)

то разность (20), а именно,

,

и, следовательно, функция не возрастает при росте n от 0 до .

Поэтому

,

т.к. N>1 и N=[2, N]. С учётом (18) и (10) из (26) получаем

или

.

Перейдём к доказательству пункта б) утверждения.

Пусть

, (27)

тогда, согласно (20) и рисунка 4,

при

И

при .

Поэтому в точке

=0

и тогда при функция достигается своего максимума. Опять-таки из (18), (10) и (27) получаем

или

.

Заключение

В результате выполненного анализа установлено:

1. При нахождении числа показателей качества продукта, оптимально сочетающего стоимость и информативность, можно применять не только математическую теорию игр (как в [1]), но и ТМ3 - теорию многокритериальных задач (как в настоящей статье).

2. ТМ3 позволяет предложить следующий алгоритм для нахождения упомянутого числа показателей, сводящихся к четырем последовательным этапам:

· зная инвестиции, построить отрезок изменения числа показателей качества;

· найти максимумы и минимумы функций стоимости и желательности, определенных на простроенном в (а) отрезке;

· перейти к безразмерным критериям по формулам (7),

· решить задачу максимизации (8), именно найти число , максимизирующую линейную свертку критериев,

· искомое число показателей .

3. Следуя упомянутому в пункте 2 алгоритму, для линейной функции стоимости , где , в работе получен следующий результат: если размер инвестиций мал, именно

,

то оптимальное число показателей n^P=2, если же велико, именно,

,

то оптимальное число показателей , где [m] означает целую часть числа m, а является корнем алгебраического уравнения , причём N - максимально возможное число показателей.

Библиографический список

1. Углов В.А., Жуковский В.И., Кирюхин С.М., Литовченко С.Ф. Применение математической теории игр для оптимизации затрат на получение информации о качестве продукции. Современные информационные технологии. Сб.: Новое в науке и производстве текстильной и лёгкой промышленности. Вып. 2. М.: РосЗИТЛП, 2006.

2. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М: Наука, 1982.

Размещено на Allbest.ru