Особенности линейной и нелинейной регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

Построить и оценить линейную однофакторную регрессию.

В результате проведения однофакторных экспериментов были получены по 10 точек парных зависимостей y=f(x). Известно, что зависимости имеют линейный характер.

Таблица 1. Результаты однофакторных экспериментов

1 Построение экспериментальных точек в декартовой системе координат.

Откладываем экспериментальные точки в декартовой системе координат. Координатная плоскость представлена на рисунке 1.

Рисунок 1. Изображение экспериментальных точек в декартовой системе координат

2. Построение оценочной прямую линию зависимости по методу контура.

Строим контур вокруг экспериментальных точек и рисуем примерную прямую линию, проходящую близко ко всем точкам вдоль контура. Оценочная прямая представлена на рисунке 2.

Рисунок 2. Изображение оценочной прямой в контуре

3. Расчет коэффициентов линейной регрессии b₀ и b₁.

Рассчитываем коэффициенты уравнения b₀ и b1. Сводим предварительные расчеты сумм в таблицу 2.

Таблица 2 - Предварительные расчеты сумм

Средние значения фактора и функции:

Для проверки правильности вычисления сумм используем выражение:

Подставляя числовые данные, получим:

Или

Следовательно, вычисления выполнены правильно.

В формулы для постоянных коэффициентов b₀ и b₁ подставляем найденные значения сумм из таблицы 2.

Формула, которая отображает с некоторой вероятностью зависимость y от х (уравнение однофакторной линейной регрессии), имеет вид:

4 Расчет коэффициентов парной корреляции.

Коэффициент парной корреляции равен:

5 Построение прямой по полученной регрессионной зависимости в тех же координатах (с экспериментальными точками и оценочной прямой).

Линию регрессии на координатной плоскости строим по двум точкам:

6 Проверка значимости полученного уравнения регрессии по критерию Фишера.

Проверяем значимость полученного уравнения регрессии:

Вычисленные параметры остаточной дисперсии оформляем в виде таблицы 3.

линейный корреляция регрессия

Таблица 3 - Параметры остаточной дисперсии

Общая дисперсия уравнения равна:

Остаточная дисперсия уравнения равна:

F-критерий Фишера:

где - табличное значение критерия Фишера .

Фактическое значение F-критерия меньше табличного, поэтому нет основания отклонять нулевую гипотезу.

Задание 2

Построить и оценить нелинейную однофакторную регрессию.

Таблица 4 - Результаты однофакторных экспериментов

Требуется:

1 Построение экспериментальных точек в декартовой системе координат. Построим опытные парные точки на координатной плоскости. По точкам определяем парную зависимость y = f(x), как близкую к квадратичной (рисунок 3).

Рисунок 3 - Изображение оценочной парной зависимости

2 Расчет коэффициентов нелинейной (квадратичной) зависимости a, b, c методом исключения переменных в нормальных уравнениях.

Вычисляем суммы, необходимые для вычисления коэффициентов a, b и с, в табличной форме.

Таблица 5 - Вычисляем суммы, необходимые для вычисления коэффициентов a, b и с

Полученные значения сумм подставляем в нормальные уравнения, получим:

Окончательно получаем квадратичное уравнение:

Для проверки найденные значения коэффициентов подставляются в исходные уравнения:

3 Проверка адекватности полученного уравнения регрессии по F критерию Фишера;

Проверяем адекватность полученного уравнения регрессии по F-критерию Фишера. Для этого вычисляем общую и остаточную дисперсию функции у. Сводим вычисления сумм в таблицу 6.

Таблица 6 - Сводные данные вычисления сумм

Среднее значение у равно:

Вычисляем предсказанные значения y и строим кривую y=f(x) (см. рис. 2):

Общая дисперсия уравнения равна:

где v_числ=8-1=7.

Остаточная дисперсия уравнения равна:

где v_знам=8-2=6.

F-критерий Фишера:

Для того чтобы уравнение квадратичной регрессии адекватно описывало результаты экспериментов, необходимо, чтобы это уравнение при 5 %-м уровне значимости описывало результаты опытов в 4,2 раз лучше среднего.

F-критерий показывает, что уравнение регрессии в 138,57 раз лучше среднего описывает результаты опытов при 5 % уровне значимости F.

Список использованных источников

Размещено на Allbest.ru