Математическое моделирование систем и процессов

Имеется Марковская цепь с 5 состояниями. Задана матрица интенсивностей переходов А и начальное распределение вероятностей состояний:

Исходные данные

Матрица интенсивностей переходов:

Рис. 5

Граф состояний

Рис. 6

По графу состояний видно, что все состояния системы существенны, поэтому цепь регулярна.

Нахождение стационарного распределения вероятностей состояний

Рис. 7

Записываем уравнение Колмогорова. Последнее уравнение заменяем условием нормировки. Составляем матрицу коэффициентов вектор правых частей.

Решаем систему уравнений, находим стационарные вероятности.

компьютерный моделирование матрица вероятность

Рис. 8

Создание модели

Для запуска моделирования в ячейке Mod/Reset записывается «1» для сброса установки в начальное состояние (по условию задачи в первое) -«0».

Поскольку ячейка не может одновременно задавать номер текущего события и принимать номер очередного, то эти действия необходимо разнести. Для этого используется дополнительная ячейка Tr, это обеспечивает поочерёдную фиксацию текущего состояния при просмотре строк времени до перехода (Tr =1) и пересылку номера очередного состояния (Tr = -1).

Рис. 9

Времена до перехода в следующее состояние образуют массив случайных чисел с показательным распределением и параметрами л, взятыми из матрицы интенсивностей перехода Л. Случайные числа с показательным распределением получаются из равномерно распределённых:-1/ л *ln(СЛЧИС()). При этом, если л?0, то задаётся число, заведомо большее всех возможных времён до перехода.

Рис. 10

Следующее состояние:

Если Tr = 1, значение не меняется. В следующей итерации, когда Tr = -1, сначала проверяется, совпадает ли номер строки таблицы (столбец «из состояния»), текущему состоянию.

Если нет то, записывается «0», если да то номер состояния с минимальным временем до перехода.

Текущее состояние:

При Mod/Reset = 0 устанавливается в. При Tr = 1 хранится предыдущее состояние. При Tr = -1выбирется максимальное значение из столбца «следующее состояние» (фактически не нулевое значение).

Время нахождения в состоянии:

При Mod/Reset = 0 сбрасывается в 0. Иначе если в столбце «следующее состояние» не 0, то текущему значению прибавляется минимальное время в противном случае сохраняется предыдущее значение.

Общее время t- сумма времени для всех состояний вероятность нахождения в состоянии - отношения соответствующего времени к общему.

Рис. 11

Общее время t составит

Моделирование

Переводим MSExcelв режим циклических расчётов с предельным количеством итераций, равным 1 (файл -параметры - формулы- Включить итеративные вычисления).

Устанавливаем систему в 1 состояние и сбрасываем результаты вычислений Mod/reset =0

Для запуска расчёта записываем в Mod/reset =1, нажимаем и удерживаем F9.

Проводим моделирование и определяем значение вероятностей для различных времён t, примерно в логарифмическом масштабе. Результаты копируем в таблицу (вставляем только значения). В эту же таблицу добавляем стационарные вероятности.

Рис. 12

Составим график и диаграмму:

Рис. 13

Рис. 14

Рассчитаем коэффициент корреляции k между текущими вероятностями и стационарными для различных t (функция коррел()).

Рис. 15

Рис. 16

После моделирования системы было определенно время нахождения системы в каждом из 5 состояний. Далее был составлен график зависимости вероятности от времени, согласно которому вероятность нахождения в каждом состоянии стремилась к соответствующей стационарной вероятности. Кроме того, рассчитали коэффициент корреляции между текущими и стационарными вероятностями, которые с течением времени стремится к единице.

Вывод и результаты

В первой задаче рассчитали площадь фигуры методом МК. Определили зависимость относительной погрешности от числа опытов. Исходя из полученных результатов относительная погрешность в районе 22-25 шагов колеблется в пределах от 78-79%

После моделирования системы было определенно время нахождения системы в каждом из 5 состояний и определена вероятность нахождения систем в каждом из этих 5 состояний. Далее был составлен график зависимости вероятности от времени, согласно которому вероятность нахождения в каждом состоянии стремилась к соответствующей стационарной вероятности. Кроме того, рассчитали коэффициент корреляции между текущими и стационарными вероятностями, который с течением времени стремится к единице.

Список литературы

1. ТахаХемди А.Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. - 912 е.: ил. - Парал. Тит. Англ.

2. Балдин, К.В. Математическое программирование: Учебник / К.В. Балдин,Н.А Брызгалов, А.В.Рукосуев / Под общ. Ред. д.э.н., проф. К.В. Балдина,- 2-у изд.- М: Издательско-торговая корпорация “Дашков и Ко”, 2013. - 220 с.

3. Гниломедов, П.И. Математическое моделирование: учеб-метод. Пособие для студентов заочной формы обучения / П.И. Гниломедов, И.Н. Пирогова, П.П. Скачков - Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2012. - 73, [3] с.

4. Скачков, П.П. Введение в имитационное моделирование: метод. Указания для студентов заочного обучения / П.П. Скачков, Г.А. Тимофеева, В.Е. Замыслов. - Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2012 - 28с.

Размещено на Allbest.ru