Оптимальное планирование многомерных балансовых систем

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оптимальное планирование многомерных балансовых систем

Разработчики:

Борчану М.Г., Пругеров Ф.А., Чуркин Е.А.

1. Назначение разработки, область применения и её ограничения

Программно-методическая разработка по теме «Оптимальное планирование многомерных балансовых систем» предназначена для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям «Государственное и муниципальное управление», «Менеджмент», «Экономика и управление промышленным предприятием» и др. Пособие может быть использовано для изучения предметов «Основы математического моделирования социально-экономических процессов», «Экономико-математические методы и модели», «Программные средства решения экономических задач», и т.п. Пособие содержит описание компьютерной технологии моделирования и оптимизации многопродуктовой линейной балансовой экономической системы, в которой определен критерий оптимизации, с приложением презентаций на русском и английском языках. Цель пособия - поддержка изучения базовых компьютерных технологий моделирования социально-экономических систем на уровне основных понятий теории оптимизации линейных экономических систем и практических методов решения задач линейной оптимизации в среде электронного табличного процессора EXCEL 2007 с применением программы «Поиск решения». Приведено детальное описание компьютерной модели канонической задачи оптимизации в среде EXCEL 2007, интерфейсы используемых программ EXCEL 2007, схемы размещения исходных данных и промежуточных и окончательных результатов расчетов. Пособие может быть полезным также и для студентов магистратуры, аспирантов, преподавателей и всех, интересующихся применением компьютерных технологий для моделирования социально-экономических процессов и преподавания соответствующих дисциплин.

Достоинством разработки является то, что она выполнена в среде Excel и доступна широкому круг пользователей имеющих стандартный офисный пакет Microsoft.

В процессе организации работ государственных, муниципальных и других структур, функционирующих на принципах бюджетного финансирования, возникают проблемы выбора одного варианта решения из множества возможных. Выбранное решение должно не только обеспечивать сбалансированность системы, но и иметь преимущества перед другими.

Например, оно должно обеспечивать достижение желаемого результата с максимальным эффектом или при минимальных затратах. Изучение методов решения задач оптимального планирования было начато в работах академика Л.В.Канторовича. Для поиска оптимального решения линейных задач оптимального планировании используются специальные численные методы, в основе которых лежит симплекс-метод, предложенный Дж.Данцигом. Он входит в число специальных численных методов, ориентированных на использование компьютерных технологий.

В качестве примера ниже рассмотрена задача поиска оптимального решения линейной балансовой двухпродуктовой системы с избытками. При этом основной задачей является обеспечение максимального благоустройства, что выражается в уровне посещаемости и вместимости, который может поддержать определенный муниципальный объект, такой как городская зона отдыха.

2. Формулировка задачи

Мэрия города N поставила задачу благоустроить один из городских парков ко дню города. В частности, требуется установка скамеек и урн в парке.

При этом планируется установка двух видов комплектов этих объектов: Комплект 1 - «Зона летних кафе», и Комплект 2 - «Зона детских площадок и аттракционов». Комплект 1 включает в себя 10 скамеек и 35 урн. Комплект 2 включает 20 скамеек и 5 урн.

Мэрия располагает определенными запасами готовой продукции. Так, в наличии имеется 3500 скамеек и 2400 урн.

Удельные трудозатраты на установку одного комплекта составляют 1 человеко-день. В то же время необходимо не превысить существующий фонд рабочего времени, который составляет 150 человеко-дней.

Количество установленных элементов благоустройства должно совпадать с количеством, предусмотренным планом по посещению и планом по установке, или превышать его. Значения, необходимые для соблюдения плана по посещаемости - 1400 человек в день. Для соблюдения плана по установке, необходимо 110 комплектов в общей сложности.

По усредненным статистическим данным, один Комплект 1 - «Зона летних кафе» обеспечивает посещаемость около 10 человек в день. Установка одного Комплекта 2 - «Зона детских площадок и аттракционов» обусловит посещаемость около 20 человек в день.

Основная цель вычислений - рассчитать план установки комплектов урн и скамеек, который бы обеспечил максимальные показатели посещаемости за день. При этом допускается наличие остатков составляющих комплектов и превышение вторичных плановых показателей. Комплекты можно устанавливать или не устанавливать.

многомерный балансовый моделирование

3. Структурная модель

Граф. Отобразим элементы множеств R и P кругами, связи между ними - стрелками, соответствующими элементам отношения использования ресурса в процессе производства продукта Т=RP. В верхнем секторе кругов приведено обозначение ресурса как элемента множества обобщенных ресурсов RI. В центре - обозначение как элемента соответствующего подмножества R - множества SI или VI. В левом секторе показана расчетная величина расхода данного ресурса DI, в правом - запас BI, в нижнем - остаток OI. В верхних секторах кругов продуктов Р приведены их обобщенные индексы PJ, в центре - частные индексы GJ для изделий и OJ для складских остатков ресурсов, внизу - планируемые объемы выпуска XJ.

Стрелки на графе исследуемой структуры отображают отношения расхода ресурсов в процессе производства продуктов - элементы множества Т=RP. Направление стрелок отображает факт расхода или возникновения обобщенного ресурса в процессе производства обобщенного продукта. Если ресурс RI (скамьи, урны, труд) расходуется на производство продукта PJ (Комплект 1, Комплект 2), то стрелка (красная) направлена от ресурса к продукту. Такими же стрелками показаны элементы Т, соответствующие условному производству особых продуктов - складских остатков ресурсов, образующих множество OP. Если в процессе производства продукта PJ ресурс RI возникает (изделие, прибыль), то стрелка (синяя) направлена от продукта к ресурсу. На стрелках проставлены шифры элементов отношения Т=RP в форме (I,J), где I - номер ресурса, J - номер продукта. Эти элементы выделены желтым цветом.

4. Математическая модель

Поскольку требуется вычислить не только объемы выпуска изделий, которые обозначим Х1 (комплект 1) и Х2 (комплект 2), а еще и величины складских остатков и отклонения контрольных показателей от заданных значений, то в число аргументов следует добавить Х3 - остатки скамеек, Х4 - остатки урн, Х5 - избыток фонда рабочего времени, Х6 - дополнительные посещения, Х7 - дополнительные (сверхплановые) комплекты. Первые две переменные представляют собой реальную продукцию, остальные - фиктивную. Все аргументы в соответствии с их экономическим смыслом должны подчиняться одному ограничению - они должны быть неотрицательными.

Аргументы Х1 и Х2, кроме того, должны быть целыми. Записывая для каждого вида ресурсов уравнение баланса расходов и запасов, объемы ресурсов, расходуемых в процессе производства (комплекты, трудозатраты), будем учитывать в левой части уравнений со знаком плюс, а ресурсов возникающих (изделия и прибыль) - со знаком минус. Слагаемые, учитывающие остатки ресурсов и перевыполнение планов, будем считать положительными. В правых частях уравнений имеющиеся запасы ресурсов - положительные; плановые задания (своего рода задолженность), запишем с отрицательным знаком.

Данную совокупность линейных уравнений принято называть системой ограничений (канонической).

Требование получения максимально возможной вместимости в данных условиях можно формализовать, введя в математическую модель исследуемой системы дополнительный элемент - функцию плана, описывающую зависимость посещаемости от количества установленных муниципальных объектов, поддерживающих её - скамеек и урн. В нашем случае вклад в целевой показатель вносит только реальная продукция - два вида комплектов скамеек и урн. Фиктивная продукция - избытки ресурсов (скамеек и урн) и контролируемых показателей (трудозатраты на установку, план по посещаемости, план по установке) на показатели посещаемости не влияют. Поэтому критерий эффективности системы можно записать в виде:

В этой записи отражено также требование максимизации уровня посещаемости. Объединяя критерий эффективности Z(X), который также называется целевой функцией задачи оптимизации, с комплексом условий, накладываемых на план, получаем математическую модель:

Отметим, что функциональные ограничения здесь имеют вид равенств. Такого рода модели называются каноническими задачами оптимизации. Прямые ограничения, в соответствии с экономическим смыслом аргументов, включают условия неотрицательности всех и целочисленности первых двух аргументов.

5. Алгоритм и инструменты. Компьютерная модель

Схема вычисления оптимального решения предполагает размещение исходных данных, настройку расчетных формул и программы ПОИСК РЕШЕНИЯ. Алгоритм решения следующий:

Отвести блок ячеек [D8:H8]для размещения аргументов задачи - плана Х.

В диапазоне [А5:H8] создаем таблицу. Вводим исходные значения компонентов вектора X=1. (Рисунок 1)

Рис. 1

Разместить исходные данные - матрицу затрат А [A10:H15], вектор запасов В (J10:J15) и вектор коэффициентов целевой функции С (A25:H27). (Рисунок 2, 3)

Рис. 2

Рис. 3

Вычислить матрицу расходов ресурсов на установление D1=A*X как попарное произведение элементов строк матрицы А на соответствующие элементы Х.

Выделяем блок ячеек: [В19:Н19], затем вводим формулу

«=В11:Н11*В$8:Н$8». (F4 - двойное нажатие).

Копируем формулу на 4 строки ниже. Получаем таблицу: (Рисунок 4)

Рис. 4

Вычислить суммарный расход каждого вида ресурса как скалярное произведение векторов строк матрицы А на вектор плана Х.

В созданной таблице [J18:J23] в ячейку J19 введем формулу:

=СУММПРОИЗВ(В11:Н11;В$8:Н$8)

Затем копируем формулу в ячейки J20-J23. Таблица принимает вид: (Рисунок 5)

Рис. 5

Вычислить величину вклада всех установленных комплектов в общую посещаемость по парку.

В таблицу показателей эффективности [A25:H27] в ячейку B27 вводим формулу:

=B26:H26*B8:H8

Растягиваем до H27. Получаем произведение удельной посещаемости комплектов на планируемое количество их установки. (Рисунок 6)

Рис. 6

Вычислить значение целевой функции - посещаемости.

В ячейку J27 вводим формулу для вычисления общей посещаемости Z(X):

=СУММПРОИЗВ(B26:H26;B8:H8)

Получаем значение: (Рисунок 7)

Рис. 7

Вычислить вектор аргументов при помощи встроенных программ EXCEL.

Применим программу «Поиск решения» для вычисления вектора плана Х. В настройках программы вводится условие максимума целевой функции, значение которой содержится в ячейке J27 (после ввода адреса нажать F4). В поле «Изменяя ячейки» вводим диапазон, содержащий аргументы функции - [$B$8:$H$8]. При добавлении ограничений, ставим следующие условия:

целочисленность первых двух аргументов - $B$8:$C$8 = цел;

положительность всех аргументов $B$8:$H$8 >= 0;

равенство показателей запасов и расходов - $J$19:$J$23 = $J$11:$J$15 (Рисунок 8).

Рис. 8

Итоговая таблица принимает вид:

Результаты расчётов и их анализ

Найденный в результате расчетов наилучший по критерию посещаемости план размещен в блоке [B8:H8]: Х=(84,66,2,6,0,760,40). (Рисунок 9)

Рис. 9

Таким образом, для соблюдения условий баланса расходов и запасов ресурсов и получения максимально возможных в данных условиях показателей дневной посещаемости в парке - 2160 человек, следует установить 84 Комплекта 1, и 66 Комплектов 2. При этом фонд рабочего времени будет израсходован полностью, лишних урн останется 6, а лишних скамеек - 2. План по валу будет перевыполнен на 40 комплектов в общей сложности, план по посещаемости - на 760 человек.

Используемые технические средства

Для создания данного электронного продукта использовался персональный компьютер типа Intel Сore i5 с операционной системой Windows 7, с офисным пакетом Microsoft Office 2010 с текстовым редактором Microsoft Office Word 2010, интернет браузеры Internet Explorer и Google Chrome.

Размещено на Allbest.ru