Исследование оптимального плана и альтернативы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование оптимального плана и альтернативы

1. Назначение разработки, область применения и её ограничения

Программно-методическая разработка по теме «Исследование оптимального плана и альтернативы» предназначена для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям «Государственное и муниципальное управление», «Менеджмент», «Экономика и управление промышленным предприятием» и др. Пособие может быть использовано для изучения предметов «Основы математического моделирования социально-экономических процессов», «Экономико-математические методы и модели», «Программные средства решения экономических задач», и т.п. Оно содержит описание компьютерной технологии моделирования и исследования оптимального решения задачи оптимизации многопродуктовой линейной балансовой экономической системы, в которой определен критерий оптимизации. Цель пособия - поддержка изучения базовых компьютерных технологий моделирования и исследования социально-экономических систем на уровне основных понятий теории двойственности и практических методов исследования оптимального решения в среде электронного табличного процессора EXCEL с применением программы «Поиск решения». Приведено детальное описание компьютерной модели неопределенной балансовой системы с контролируемым показателем в среде EXCEL, интерфейсы используемых программ EXCEL, схемы размещения исходных данных и промежуточных и окончательных результатов расчетов. Пособие может быть полезным также и для студентов магистратуры, аспирантов, преподавателей и всех, интересующихся применением компьютерных технологий для моделирования социально-экономических процессов и преподавания соответствующих дисциплин.

После того, как для балансовой системы найден оптимальный план, следует подтвердить правильность решения канонической задачи оптимизации и оптимальность плана. Для этого ставится и решается двойственная задача оптимизации. Кроме контроля решения исходной задачи, анализ данных, полученных в ходе решения двойственной задачи, позволяет рассмотреть и оценить альтернативу производственной деятельности, основываясь на объективных характеристиках используемых на данном производстве технологий и запасов ресурсов. Проведем исследование решения канонической задачи оптимизации линейной балансовой системы.

Математическая модель. Двойственная задача (ДЗ) ставится по следующим правилам.

1. Исходными данными ДЗ являются, как и для исходной задачи, удельные затраты, запасы ресурсов и прибыльность изделий.

2. Число аргументов ДЗ равно числу ограничений (ресурсов) исходной задачи. Будем обозначать двойственные аргументы нашей задачи Y1 - соответствует меху, Y2 - шелку, Y3 - трудозатратам, Y4 - прибыли, Y5 - валовому выпуску.

3. Целевая функция ДЗ формируется как сумма попарных произведений аргументов ДЗ на объемы запасов соответствующих ресурсов. Тип экстремума целевой функции ДЗ противоположен типу экстремума целевой функции исходной задачи. В нашем случае целевая функция ДЗ должна иметь тип экстремума - минимум.

4. Число ограничений ДЗ равно числу аргументов исходной задачи - каждому аргументу исходной задачи соответствует одно ограничение ДЗ. В нашем случае будет 7 ограничений, которые соответствуют: первое - Х1 (плану выпуска ММ), второе - Х2 (плану выпуска Ч), третье - Х3 (плановым остаткам меха), четвертое - Х4 (плановым остаткам шелка), пятое - Х5 (плановым излишкам фонда рабочего времени), шестое - Х6 (дополнительной прибыли) и седьмое - Х7 (дополнительной продукции).

5. Левые части ограничений ДЗ формируются как суммы попарных произведений двойственных переменных на соответствующие данному виду продукции (реальной или фиктивной) объемы удельных расходов ресурсов.

6. Правые части ограничений ДЗ - прибыльность соответствующего изделия. Ограничения ДЗ для канонической задачи оптимизации имеют вид неравенств типа «больше или равно».

Таким образом, математическая модель двойственной задачи для исследуемой системы имеет вид

Содержательная интерпретация модели следующая. Двойственные аргументы рассматриваются как своего рода внутренние цены ресурсов, объективно обусловленные исходными данными, в качестве которых выступают используемые предприятием технологии, описываемые матрицей удельных затрат А, производственный потенциал предприятия, описываемый вектором запасов ресурсов В, и потребность рынка в продукции, описываемая вектором прибыльностей изделий С. Целевая функция представляет собой доход, который можно получить, если отказаться от производства изделий и вместо этого реализовать сырье сторонним покупателям. Слагаемые правых частей ограничений представляют доход от продажи соответствующих ресурсов, затрачиваемых на соответствующее изделие, по внутренним ценам. Сумма этих величин (левые части ограничений) - общая доходность каждого изделия по ресурсам во внутренних ценах. Целью решения задачи является определение таких внутренних цен, которые гарантируют получение минимально возможного суммарного дохода от продажи всех запасов ресурсов, при условии, что доход от продажи ресурсов, расходующихся на производство каждого вида изделий будет не меньше дохода, получаемого от продажи данного изделия.

Алгоритм. Можно заметить, что математическая модель ДЗ в общем аналогична модели исходной задачи, отличаясь типом экстремума целевой функции (минимум вместо максимума) и типом соотношений в ограничениях («больше или равно» вместо равенств). Поэтому алгоритм решения ДЗ аналогичен алгоритму решения исходной задачи, используемые программные инструменты - те же, компьютерная модель ДЗ основана на той же схеме размещения исходных данных.

Отвести блок ячеек для размещения аргументов ДЗ - вектора Y.

Разместить исходные данные - матрицу затрат А, вектор запасов В и вектор коэффициентов целевой функции С.

Вычислить матрицу доходности изделий по ресурсам F1=Y*A как попарное произведение элементов Y на соответствующие элементы столбцов матрицы А.

Вычислить суммарный доход каждого изделия по ресурсам как скалярное произведение вектора Y на вектора столбцов матрицы А.

Вычислить величину вклада запасов каждого вида ресурсов в доход от продажи ресурсов.

Вычислить значение целевой функции ДЗ - расчетного дохода от продажи запасов ресурсов.

Вычислить вектор аргументов при помощи встроенных программ EXCEL.

Компьютерная модель. Компьютерная технология исследования решения канонической задачи оптимизации производственной операции и анализа идеи продажи запасов ресурсов как альтернатива производству включает в себя дополнение компьютерной модели исходной задачи рядом элементов. В первую очередь это блок для размещения двойственных аргументов Y[J32:J36]. Вначале вводим в ячейки этого блока тестовый план - 1.

Затем выделяем блок для размещения расчетных доходностей изделий по ресурсам во внутренних ценах F1[B32:H36]. Для его расчета в первый столбец [B32:B36] вводим формулу попарного произведения элементов вектора Y[J32:J36] и первого столбца матрицы удельных затрат A[B11:B15]. Поскольку для всех столбцов блока [B32:36] первый аргумент один и тот же, следует зафиксировать номер его столбца, трижды кликну кнопку F4. Второй аргумент - соответствующий столбец А, динамически меняется, поэтому его фиксировать не надо. Формула имеет вид =$J32:$J36*B11:B15. После ввода кода, копируем столбец [B32:36] вправо.

Далее в первую ячейку [B40] блока расчетных доходов от продажи ресурсов, идущих на одно изделие каждого типа W1[B40:H40] заносим формулу вычисления скалярного произведения векторов Y[J32:J36] и вектора удельных затрат ресурсов на первое изделие - столбец [B11:B15]: =СУММПРОИЗВ($J32:$J36;B11:B15). Здесь первый аргумент также фиксирован по номеру столбца. Это позволяет после ввода формулы скопировать ее в остальные ячейки правее.

Наконец, программируем расчет суммарного дохода от продажи всех запасов ресурсов по минимальным объективно обусловленным внутренним ценам W[J40] - значение целевой функции ДЗ. В ячейку [J40] вводим код формулы для вычисления скалярного произведения вектора двойственных аргументов Y[J32:J36] на вектор запасов ресурсов B[J11:J15]: =СУММПРОИЗВ($J32:$J36;J11:J15).

Перед запуском программы «ПОИСК РЕШЕНИЯ» курсор фиксируем на ячейке целевой функции [J40]. Запустив «ПОИСК РЕШЕНИЯ», отмечаем тип экстремума - минимальное значение. В строку «Изменяя ячеки» вводим блок двойственных аргументов Y[J32:J36]. В ограничения добавляем условие неотрицательности Y и функциональные ограничения и выполняем программу. Общий вид компьютерной модели ДЗ с результатами показан на рисунке 1.

Рис.1 Компьютерная модель задачи

моделирование оптимальный план

Анализ решения. Поскольку целевая функция ДЗ совпадает по величине с целевой функцией исходной задачи (2300), можно утверждать, что обе задачи решены верно и найденные решения - оптимальные. Поскольку двойственные аргументы, соответствующие второму, четвертому и пятому ресурсам равны 0, эти ресурсы недефицитны и увеличение их запасов не приведет к росту целевой функции исходной задачи - прибыли. Дефицитными для производства являются первый и третий ресурсы. Увеличение их запасов на единицу приведет к росту прибыли на 4 и 6 единиц соответственно. Наиболее выгодным вложением дополнительных средств является затраты на третий ресурс. Реализацию излишков второго ресурса можно производить по любым ценам. Первого - не ниже 4 у.е., третьего - 6 у.е. за единицу.

2. Используемые технические и программные средства

Для создания данного электронного продукта использовался персональный компьютер типа Intel Pentium IV c операционной системой Microsoft Windows XP Professional версия 2005 Service Pack 2. Использовался пакет MS-OFFICE с текстовым редактором MS-Word 2003 и MS-Excel 2003.

Размещено на Allbest.ru