Векторная оптимизация с равнозначными критериями и с заданным приоритетом критерия в моделировании технических систем



p(X^o) = , p(X) =, k =

и устанавливаются пределы изменения задаваемого вектора приоритетов

p(X^o) p p(X), k=, qK. (2.37)

где p(X^o)= , qK, k= - в точке X^o все критерии равнозначны;

p(X)==, qK, k= - в точке оптимума X приоритет q-го критерия максимальный.

Результаты расчетов выдаются на печать (на дисплей):

f, f, ..., f, (2.38)

f₁(X^o), f₂(X^o), ..., f_k(X^o),

f₁(X), f₂(X), ..., f_k(X),

₁(X), ₂(X), ..., _k(X)

и пределы изменения задаваемого вектора приоритетов (2.36).

Эти результаты и служат основой для принятия решения.

Шаг 5. Выбор приоритетной характеристики ТС и ее величины. Лицо, принимающее решение, проводит анализ результатов расчетов (2.38), из которого видно, что приоритетный критерий (приоритетная характеристика ТС, измеренная в натуральных единицах) лежит в пределах:



f_q(X^o) f_q f_q(X), kK. (2.39)

Из этого соотношения ЛПР выбирает f_q - числовую величину приоритетного критерия. Таким образом, ЛПР оперирует с критериями (техническими характеристиками), измеренными в натуральных единицах, ему понятных.

Шаг 6. Расчет относительной оценки. Для выбранной величины приоритетного критерия f_q вычисляется относительная оценка:

_q=, (2.40)

которая при переходе от точки X^o к X в соответствии (2.36) лежит в пределах:

_q(X^o) _qq(X), qK, где _q(X)=1. (2.41)

Шаг 7. Вычислим коэффициент пропорциональности между _q(X^o), _q, _q(X), которые назовем , ^*. Предполагая линейный характер изменения критерия f_q(X) в (2.35) и соответственно относительной оценки _q(X) в (2.36), используя стандартные приемы линейной аппроксимации, вычислим коэффициент пропорциональности между _q(X^o), _q:

=, qK, =, q K, (2.42)

взаимосвязь их очевидна = 1 - .

Ш а г 8. Вычислим все компоненты вектора приоритетов P^q={p, k=}.

Предполагая линейный характер изменения вектора P^q в (2.37) и используя полученный коэффициент пропорциональности , вычислим все составляющие вектора приоритетов P^q ={p, k=},

p = p (X^o) + (p (X) - p(X^o)), k=, qK. (2.43)

Получившийся вектор приоритетов P^q(X)={p, k=} является, во-первых, идентификатором неизвестной точки XS, у которой приоритетный q-й критерий равен f_q и, во-вторых, основой, которая позволяет эту точку найти. Точка (параметры) XS имеет N-мерную размерность, т.е. необходим переход в N-мерное пространство, что и выполняется с помощью -задачи.

Шаг 9. Построение и решение -задачи с приоритетом критерия.

Полученный вектор приоритетов (2.43) вводится в максиминную задачу оптимизации (2.10), которая примет вид:

^o = p_k(X), G(X)0, X^min X X^max. (2.44)

Теоретический анализ максиминной задачи (2.44) представлен в приложении. Максиминная задача (2.44) преобразуется в -задачу аналогично (2.11)-(2.13):

^o = max , (2.45)

- p 0, k=, (2.46)

f_k(X) , k, x x_j x, j =, (2.47)



где вектор неизвестных X имеет размерность N+1: X={, x₁, … , x_N}.

-задача (2.45)-(2.47) называется -задачей с приоритетом q-го критерия. Заметим, что, если p=1, k=, то -задача (2.45)-(2.47) примет вид -задачи (2.11)-(2.13), т. е. -задача (2.11)-(2.13) (равнозначными критериями) является частным случаем -задачи (2.45)-(2.47).

Шаг 10. Решение -задачи (2.45)-(2.47) с приоритетом критерия.

-задача (2.45)-(2.47) это стандартная задача выпуклого программирования и решается стандартными методами (например, методами, представленными в системе Matlab).В результате решения -задачи (2.45)-(2.47) получены:

X={, X} - точка оптимума;

- максимальная относительная оценка;

f_k(X), k= - величины всех критериев в точке оптимума;

_k(X), k= - величины всех относительных оценок, для которых верны неравенства: p_k(X), k = , qK;

p(X), k= - вектор приоритета q-го критерия над другими критериями.

Шаг 11. Анализ результатов.

Рассчитанная величина f_q(X), qK обычно не равна заданной f_q. Ошибка выбора f_q определяется ошибкой линейной аппроксимации действительного изменения относительных оценок _k(X), k= и вектора приоритетов p(X), k=, qK, выполненной на шагах 5-7.

Если ошибка f_q=|f_q(X) - f_q| меньше заданной f, то переходим к шагу 10, если f_qf, то выполняется следующий шаг.

Шаг 12. В точке X^o определяется вектор приоритетов критерия qK.



p(X^o) = _q(X^o)/_k(X^o), k=, qK.

Строится новый вектор приоритетов:

p = (p + p(X^o))/2, k=, qK.

Переход к шагу 7. При этом -задача строится с новым вектором приоритетов p, k=, qK вместо p, k=, qK.

Шаг 13. Будет ли решаться ВЗМП для другой величины приоритетного критерия? Если "да", то переход к шагу 3, если "нет", то выполняется следующий шаг.

Шаг 14. Будет ли решаться ВЗМП с другим приоритетным критерием? Если "да", то переход к шагу 2, иначе следующий шаг.

Шаг 15. Конец.

В результате решения ВЗМП (1.26)-(1.28) и соответствующей -задачи (2.45)-(2.47) с приоритетом q-го критерия получили:

· X^oo={X^oo, ^oo} - точку оптимума, которая представляет конструктивные параметры ТС и максимальную относительную оценку ^o такую, что ^o p_k(X), k=, qK, где вектор приоритетов p, k= соответствует заданным понятиям ЛПР о приоритете q-го критерия над остальными;

· f_k(X^oo), k= - величины критериев (характеристик ТС);

· _k(X^oo), k= - величины относительных оценок;

^oo -максимальный нижний уровень среди всех относительных оценок, измеренный в относительных единицах: ^oo=min (p_k(X^oo), k=);

^oo - также называют гарантированным результатом в относительных единицах, т. е. _k(X^oo) и соответственно характеристики ТС f_k(X^oo) нельзя улучшить, не ухудшая при этом другие характеристики.

Предполагается, что анализ результатов решения выполняются ЛПР (пользователем), который ведет анализ одного из "K" критериев в естественных (ему понятных) единицах. ЛПР не обязательно знать об относительных единицах _k(X), о приоритетах критерия p(X), k=. Они вычисляют автоматически, а на дисплей выдается только получившаяся величина q-го критерия и соответствующая точка оптимума X^oo.

Таким образом, предложен метод выбора из множества точек, оптимальных по Парето, точки (параметров ТС), которая определена заранее заданной величиной приоритетного критерия (характеристики ТС). Точность выбора определена заранее заданной ошибкой аппроксимации.

2.5 Проблема размерности решения задачи векторной оптимизации

Проблема размерности возникает при практической реализации решения задачи векторной оптимизации в двух случаях.

Первая проблема размерности связана при устранении неопределенности в задачи векторной оптимизации (1.13)-(1.16) и её преобразования в задачу (1.26)-(1.28) в условиях определенности. Сложность преобразования исходных данных в задачах с условиями неопределенности (1.13), (1.14):

{{f_k(X_i, i=}^T, k=}, {f_k(X_i, i=}^T, k=}}

в функции: f_k(X) , k=, f_k(X), k= связаны с размерностью факторов (конструктивных параметров) вектора X={X_i ={x_ij, j=}, i=}, с соответствующем увеличении размерности системы линейных уравнений (1.22) и сложностью программной реализации больших систем.

Вторая проблема размерности связана с геометрической интерпретацией результатов решения задачи векторной оптимизации (1.26)-(1.28), как при равнозначных критериях, так и при приоритете одного из критериев.

В работах [10, 11, 12] эта проблема решалась достаточно успешно в двухмерной системе координат: где, например, на рис. 1[10] представлен вектор X={x₁ x₂} в точках оптимума X, k= и точке оптимума X^o, полученной при равнозначных критериях. Конфигурация всех критериев представлена в трехмерной системе координат на рис. 2[10], где в третьей координате представлены все критерии, измеренные в относительных единицах.

Вид и оценка величины критерия в N-мерном пространстве вектора управляемых переменных (параметров ТС) не представляется возможным, поэтому желателен переход от N-мерного к двухмерному пространству, где и дается оценка точек оптимума X, k= и выбор величины характеристики ТС. Под выбранную величину критерия формируется ВЗМП с приоритетом критерия и решается, т.е. осуществляется переход обратно в N-мерное пространство.

Представленный подход с учетом определенности и неопределенности в общем виде реализуется в два этапа:

1 этап. Построение векторной задачи математического программирования модели технической системы:

· в условиях неопределенности путем проведения анализа экспериментальных данных и использования регрессионных методов;

· в условиях определенности с учетом физических, технологических процессов.

Результат - векторная задача математического программирования в условиях определенности (1.26)-(1.28) построена.

2 этап. Решение ВЗМП (1.26)-(1.28), выбор величины приоритетной характеристики ТС в двухмерном пространстве и расчет параметров в N-мерном пространстве. (Этап является общим для условий определенности и неопределенности).

1. Решается ВЗМП (1.26)-(1.28) с равнозначными критериями - метод решения основан на нормализации критериев и принципе гарантированного результата - представлен в разделе 2.2. Результаты решения ВЗМП (1.26)-(1.28) показаны на шаге 1 алгоритма решения ВЗМП с приоритетом критерия.

2. Переход к двухмерному пространству, выбор приоритетной характеристики ТС и ее величины (Принятие решения).

Ш а г 1. Из анализа, выполненного на 3-м шаге решения ВЗМП при равнозначных критериях, получили, что в каждой оптимальной точке X, k= из шага 1.3 известны величины всех критериев и матрица относительных оценок в этих точках:

Ц(X)= , (X)=. (2.48)

Вычислим в точке оптимума при равнозначных критериях X^o величины всех критериев и соответствующие относительные оценки:

f_k(X^o), _k(X^o), k=. (2.49)

Матрицы (2.48) показывают величины всех критериев, измеренных в натуральных единицах и в относительных единицах на границе множества Парето. А величины (2.49) показывают те же данные при равнозначных критериях, условно «центр» множества точек, оптимальных по Парето.

В задачах размерности X={x₁ x₂} этих данных вполне хватало, чтобы построить геометрическую интерпретацию множества точек, оптимальных по Парето, представленных на рис. 1, 2 работ [10, 11, 12]. В задачах размерности X={x₁ x₂ x₃} и выше необходимо выбрать две управляющие переменные X={x_p x_q}, на базе которых будет строиться геометрическая интерпретация. Для этого последовательно выполняется шаг 2 алгоритма решения ВЗМП с приоритетом критерия.

Ш а г 2. Выбор приоритетного критерия qK. Анализируется два наиболее противоречивых критерия qK и vK, для которых в относительных единицах выполняется точное равенство (2.34).

Спроектируем точки X, k= (границу множества Парето) и X^o («центр») на двухмерную поверхность. Для этого из всего множества параметров N выбираем два параметра, которые, по мнению ЛПР, оказывают наиболее существенное влияние на множество показателей ТС К, например, 1N и 2N. Размеры (верхняя и нижняя граница) этих параметров соответствуют данным полученных на шаге 1, 2 алгоритма решения ВЗМП с равнозначными критериями.

x x₁ x, 1N ; x x₂ x, 2N, (2.50)

где x, x; x, x - минимальные и максимальные значения первого и второго параметров соответственно.

Переменные x₁ и x₂ являются основой двухмерной системы координат, на которую спроектированы первая и вторая координата точек оптимума X, k= и X^o. Соединим их между собой, в итоге получим множество точек, оптимальных по Парето. При необходимости рассчитываются дополнительные точки уточняющие границу множества Парето. Для этого решается -задача (2.17)-(2.19) с двумя критериями, например, с первым и вторым критерием - в итоге получается точка оптимума Х с двумя равнозначными критериями. (Вид такой двухмерной системы координат представлен на рис.1 при реализации прикладной части работы). Соединив точки X^o с Х, Х и т. п. можем выделить области, где тот или иной критерий имеет приоритет над другими.

Далее следуют шаги алгоритма решения ВЗМП с приоритетом критерия.

Шаг 3. Определяются числовые пределы изменения величины приоритета критерия qK.

Шаг 4. Определяются пределы изменения вектора приоритета критерия P^q, qK, и т. д.

Шаг 9. Строится -задачи с приоритетом критерия (2.45)-(2.47)

Шаг 10. Решение -задачи (2.45)-(2.47) с приоритетом критерия.

Шаг 10. Решение -задачи (2.45)-(2.47) с приоритетом критерия.

Результат - под выбранную величину приоритетного критерия определены параметры ТС в N-мерном пространстве, т.е. выполнен переход от двухмерного пространства к N-мерному. Результаты (координаты точки X={x₁ x₂}) наносятся на рис. 1, а величины целевых функций в относительных единицах на рис.2 (подробнее см. практическую реализацию.

2.6. Программная реализация решения задачи векторной оптимизации при равнозначных критериях и при заданном приоритете

Программная реализация решения задачи векторной оптимизации выполнена в системе Matlab и включает в себя четыре блока.

1 блок. Преобразование задачи принятия решения в условиях неопределенности в задачу векторной оптимизации в условиях определенности (1.26)-(1.28). Задается таблица с экспериментальными данными: координаты вектора X={x₁ x₂ x₃} и величины параметров Y={y_ik, k=, i=}:

{X Y} ={x_i1 x_i2 x_i3 y_ik, k=, i=}.

Затем, в цикле k=, используя решение системы линейных уравнений (1.21)-(1.22), получим матрицу коэффициентов величин неизвестных:



a_k0, a_k1, a_k2, a_k3, a_k4, a_k5, k=,

которые определяют уравнение регрессии для каждого критерия ВЗМП:

f_k(X) =a_k0+a_k1x_1i+a_k2x₂+a_k3x_k3+a_k4x_k4+a_k5x₅, k=, (2.51)

или промежуточные состояния, в которых, например, х₁ и х₂ представлены полиномом второй степени и т. п.:

f_k(X) =a_k0+a_k1x₁+a_k2x₁^2+a_k3x₂+a_k4x₂^2+a_k5x₃, k=. (2.52)

В результате векторная задача математического программирования вида (1.26)-(1.28) построена.

2 блок. Реализован конструктивный алгоритм решения векторной задачи (1.26)-(1.28) при равнозначных критериях. В результате решения ВЗМП получаем: X^o={^o, X^o} - точку оптимума; f_k(X^o), k= - величины критериев в этой точке; _k(X^o) =, k= - величины относительных оценок;

^o - максимальную относительную оценку, которая является максимальным нижним уровнем для всех относительных оценок _k(X^o), или гарантированным результатом в относительных единицах, т.е. ^o гарантирует, что в точке X^o все относительные оценки _k(X^o) больше или равны ^o, _k(X^o)^o, k= или ^o - _k(X^o) 0, k=.

3 блок. Алгоритм решения в задачи векторной оптимизации с приоритетом критерия. В программном обеспечении реализован диалоговый блок, на экран дисплея выводится: 1) наиболее противоречивые критерии (как правило, таких критериев два, но может быть и больше), из которых выбирается (указывается) номер приоритетного критерия; 2) пределы приоритетного критерия (приоритетная характеристика ТС, измеренная в натуральных единицах):

f_q(X^o) f_q f_q(X), kK.

Из этого соотношения ЛПР выбирает (указывает на компьтере) f_q - числовую величину приоритетного критерия, для которой в последующем реализуется построение ВЗМП с приоритетом и ее решение. Таким образом, ЛПР оперирует с критериями (техническими характеристиками), измеренными в натуральных единицах, ему понятных.

В результате решения -задачи (2.45)-(2.47) получены:

X={, X} - точка оптимума; - максимальная относительная оценка;

f_k(X), k= - величины всех критериев в точке оптимума; _k(X), k= - величины всех относительных оценок, для которых верны неравенства: p_k(X), k = , qK; p(X), k= - вектор приоритета q-го критерия над другими критериями.

4 блок. Геометрическая интерпретация результатов решения 3 видов:

точек оптимума X, k= и X^o в двухмерной системе координат (параметров) X={x₁ x₂}, (см. рис.1 практической части работы);

взаимосвязь всех критериев (характеристик ТС), измеренных в относительных единицах в совокупности, (см. рис. 2);

взаимосвязь двух противоречивых критериев (характеристик ТС) (см. рис.3). Рисунок является аналогом рис. 2, на нем удалены все функции, кроме обоих наиболее противоречивых критериев, и на котором видна технология выбора величины приоритетного критерия.

Таким образом, программное обеспечение настраивается на каждую конкретную задачу. Автоматизация всех четырех блоков в единую программу целесообразна лишь для комплекса однотипных (имеющих одинаковую размерность) задач. Авторы готовы участвовать в решении векторных задач математического программирования.

3. Результат. Численное решение задачи моделирования технической системы с тремя параметрами

Рассматривается задача принятия решений, в которой известны данные о некотором наборе дискретных значений показателей, характеризующих техническую систему, т. е. в условиях неопределенности ограничений накладываемых на функционирование технической системы.

Постановка задачи.

Дано. Техническая система, функционирование которой определяется тремя параметрами X={x₁, x₂, x₃} - вектор (управляемых) переменных (N>2). Исходными данными для принятия решений являются четыре критерия (характеристики) F(X)={f₁(X), f₂(X), f₃(X), f₄(X)}, величина оценки которых зависит от вектора Х. Числовые значения параметров X и характеристик F(X) представлены в табл. 1.

Таблица 1. Числовые значения параметров и характеристик ТС.

Имеются функциональные ограничения 1000f₂(X) 3100, и параметрические ограничения: 20x₁80, 20x₂80, 20x₃80.

В принимаемом решении, величину оценки по первой и третьей характеристики (критерию) желательно, получить как можно выше (max), по второй и четвертой как можно ниже (min). В ТС параметры X={x₁, x₂, x₃} изменяются в следующих пределах: x₁, x₂, x₃[20. 40. 60. 80.].

Эти данные можно представить в виде векторной задачей в условиях неопределенности (1.9)-(1.12).

Требуется, Принять наилучшее (оптимальное) решение.

Решение задачи принятия решений, в соответствии с рассмотренной методологией, представим в два этапа:

1 этап. Построение векторной задачи математического программирования - модели технической системы.

Ш а г 0. Подготавливаются исходные данные в системе Matlab в виде матрицы I (1.17) на основе табл. 1:



I=[ x₁ x₂ x₃ f₁ f₂ f₃ f₄].

Ш а г 1. Для каждого экспериментального набора данных f_k , k= строится функция регрессии методом наименьших квадратов (1.19) в системе Matlab. Для этого формируется полином определяющий взаимосвязь факторов x₁, x₂, x₃ вида (1.25) и решается система уравнений (1.21)-(1.22).

Результатом является система коэффициентов A={a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅}, которая в программе представлена в виде табл. 2.

Таблица. 2. Таблица 2. Коэффициенты функции регрессии характеристик ТС

Коэффициент детерминации RRj = [0.9835 0.9985 0.9986 0.9871] по каждому критерию соответственно, подробнее в [9, с. 394].

Ш а г 2. Используя коэффициенты функции регрессии табл. 2, построим функциональную зависимость каждой характеристики kK и ограничений от всех параметров ТС в виде задачи (1.26)-(1.28), в итоге векторная задача (1.9)-(1.12) в условиях неопределенности преобразуется в векторную задачу в условиях определенности (1.26)-(1.28). Множество критериев K=4, из них два критерия f₁ , f₃ >max и два f₂ , f₄ >min. Задача принятия решений в условиях определенности, как векторная задача математического программирования в численном виде выглядит следующим образом:



opt F(X)={max F₁(X)={

max f₁(X)45.0+11.6167*x₁-0.0875*x+4.45*x₂-0.0875*x+0.0167*x₁*x₃, max f₃(X) 43.01-0.0375*x₁+0.004*x+0.1031*x₂+0.0792*x-0.0048*x₁*x₃ , min F₂(X)={min f₂(X)-46.6937+0.8339*x₁-0.0082*x+51.8453*x₂-

-0.1818*x+0.0719*x₁*x₃, (3.3)

min f₄(X)17.2937-0.2747*x₁ +0.015*x-0.1*x₂-0.0061*x₁*x₂+0.0207*x₁*x₃, (3.4)

при ограничениях

1000f₂(X) -46.6937+0.8339*x₁-0.0082*x+51.8453*x₂-0.1818*x+ 0.0719*x₁*x₃3100, 20x₁80, 20x₂80, 20x₃80. (3.5)

Модель ТС (3.1)-(3.5), у которой функциональная зависимость каждой характеристики (критерия) kK (3.1)-(3.4) и ограничений (3.5) от всех параметров ТС с учетом физических, технологических процессов трактуется, как модель в условиях определенности.

Результат, как в условиях определенности, так и неопределенности, - векторная задача математического программирования - модель ТС сформирована.

2 этап. Выбор величины приоритетной характеристики ТС и расчет параметров (общий для условий определенности и неопределенности).

2.1. Решаем ВЗМП (3.1)-(3.5) с равнозначными критериями.

Ш а г 1. Решение задачи (3.1)-(3.5) по каждому критерию отдельно, при этом используется функция fmincon(…) системы Matlab [2], обращение к функции fmincon(…) рассмотрено в [9]. В результате получаем точки оптимума: X и f=f_k(X), k= - величины критериев в этой точке, т. е. наилучшее решение по каждому критерию:



X={x₁=80.0, x₂=25.4286, x₃=80.0}, f= f₁(X) = -577.7946 - (max);

X={x₁=21.1709, x₂=20.5619, x₃=28.6039}, f=f₂(X) =1000.0 - (min);

X={x₁=80.0, x₂= 80, x₃=20.0}, f= f₃(X)= -573.0605 - (max);

X={x₁=20.0, x₂=80.0, x₃=20.0}, f= f₄(X) = 8.1677 - (min).

Частично ограничения (3.5) и полученные точки оптимума в координатах {x₁, x₂} представлены на рис 1.

Шаг 2. Определяется наихудшая неизменяемая часть каждого критерия (антиоптимум):

X={x₁=20.0, x₂=80.0, x₂=20.0}, f=f₁(X) = 45.014 - (min);

X ={x₁=56.6058, x₂=79.9087, x₃=35.3173}, f= f₂(X) = 3100 - (max);

X={x₁= 52.6875, x₂=20.0, x₃=80.0}, f=f₃(X) = 65.6506 - (min);

X={x₁=80.0, x₂=20, x₃=80.0}, f= f₂(X) = -211.9997 - (max).

Шаг 3. Выполняется системный анализ множества точек, оптимальных по Парето, для этого в оптимальных точках X={X, X, X, X} определяются величины целевых функций F(X)=, вектор D=(d₁ d₂ d₃ d₄)^T отклонений по каждому критерию на допустимом множестве S, d_k = и матрица (X)= значений относительных оценок, где отношение



_k(X) = .

F(X)=, D=, (X)=

Шаг 4. Построение -задачи.

Построение -задачи осуществляется в два этапа: первоначально строится максиминная задача оптимизации с нормализованными критериями:

^o = _k(X), G(X)0, X 0, (3.6)

которая на втором этапе преобразуется в стандартную задачу математического программирования (-задача):

^o = max , (3.7)

-0, (3.8)

-0, (3.9)

- 0, (3.10)

-0, (3.11)



при ограничениях

1000f₂(x) 3100; 01, 20x₁80, 20x₂80, 20x₃80, (3.12)

где вектор неизвестных имеет размерность N+1: X={x₁, … , x_N, }.

В результате решения ВЗМП (3.1)-(3.5) при равнозначных критериях и соответствующей ей -задачи (3.7)-(3.12) получим:

X^o={X^o, ^o}={x₁=49.8463, x₂=51.5887, x₃=38.8002, ^o=0.3789} - точку оптимума - конструктивные параметры ТС;

f_k(X^o), k= - величины критериев (характеристик ТС);

_k(X^o), k= - величины относительных оценок;

^o=0. 3789 - это максимальный нижний уровень среди всех относительных оценок, измеренный в относительных единицах: ^o=min (₁(X^o), ₂(X^o), ₃(X^o), ₄(X^o)), ^o - также называют гарантированным результатом в относительных единицах, т. е. _k(X^o) и соответственно характеристики ТС f_k(X^o) нельзя улучшить, не ухудшая при этом другие характеристики.

2.2 Переход к двухмерному пространству и выбор приоритетной характеристики

Шаг 1. Формирование двухмерного пространства параметров, т. е. подготовка к принятию решений.

В каждой точке X, k= вычислим величины всех критериев и относительных оценок (шаг 1.3): {f_q(X), _q(X), q=}, k=:



F(X)=, (X)=

В точке X^o вычислим величины всех критериев f_k(X^o), k= и соответствующие относительные оценки _k(X^o), k=:

f(X^o)={f₁(X^o)= -435.6, f₂(X^o)= 2304.3, f₃(X^o)= -257.9, f₄(X^o)=60.0}; (3.14)

(X^o)={₁(X^o)=0. 7332, ₂(X^o)=0.3789, ₃(X^o)= 0.3789, ₄(X^o)= 0.7459}.

Спроектируем эти показатели на двухмерную поверхность, для этого из всего множества параметров N=3 выбираем два параметра, которые, по мнению ЛПР, оказывают наиболее существенное влияние на множество показателей ТС К, например, j=1N и j=2N. Размеры (верхняя и нижняя граница) этих параметров соответствуют (3.5):

x=20 x₁80=x, 1N; x=20 x₂80=x, 2N. (3.16)

x₁ и x₂ являются основой двухмерной системы координат, на которую спроектированы все точки оптимума X, k= (граница множества Парето) и X^o. Представим их на рис.1.



Рис. 1. Множество Парето, S^oS в двухмерной системы координат

математический программирование технический

Допустимое множество точек S, образованное ограничениями (3.5) и точки оптимума X, X, X, X, объединенных в контур, представляют множество точек, оптимальных по Парето, S^o S. Рассчитаем дополнительные точки уточняющие границу множества Парето. Для этого -задача (3.7)-(3.12) решается с двумя критериями. При решении -задачи с первым и вторым критерием получаем множество точек, оптимальных по Парето, лежащее на отрезке XX, при этом точка оптимума X определяет результат решения с двумя равнозначными критериями, ^o(X) - максимальный уровень, при этом

₁(X)=₂(X)=0.8522, (аналогично с другими критериями):



X={56.2578 24.8958 20.0000 0.8522}, ^o(X)=0. 8522;

X={80.0163 63.0154 19.9837 0.6337}, ^o(X)=0. 6337;

X={35.9432 79.9631 20.0028 0.9500}, ^o(X)=0. 9500;

X={20.5000 27.7623 39.3686 0.9009}, ^o(X)=0. 9009.

Представим их на рис 1. Множество Парето S^oS лежит между точками оптимума XXXXXXXX, т. е. множество точек, оптимальных по Парето S^o, включено в область допустимых точек S, образованных ограничениями (3.12). Координаты всех полученные точек и относительных оценок представленные на рис. 1 покажем в трех мерном пространстве на рис. 2, где третья ось - относительная оценка.

В задаче (3.1)-(3.5) точках оптимума X, k= все относительные оценки равны единице: _k(X)==1, k=. В точках оптимума X, k= (наихудшие) все относительные оценки равны нулю: _k(X)==0, k=. Отсюда kK, XS, 0_k(X)1. На рис.2 все четыре функции _k(X), k= построены с учетом отсутствия третьей координаты, которая представлена константой, в частности, х₃=38.8002, как в точке Х^o, полученной при равнозначных критериях. Так критерий f₁(X) из (3.1) примет вид:

f(X )=45.0+11.6167*x₁-0.0875*x+4.45*x₂-0.0875*x+0.0167*x₁*38.8,

аналогично для остальных критериев.

Ошибка аппроксимации легко подсчитывается, например, в оптимальной точке X, где в трехмерной (а в общем случае N-мерной) ₁(X)=1.0, а в двухмерной системе координат f(X)=522.8 и соответствующая относительная оценка (X)=0. 8967 представлена на рис.2. Ошибка аппроксимации:

₁(X)=₁(X)-(X)= 0.1033

Точка оптимума X^o характеризует, с одной стороны, оптимальные параметры X^o, а с другой, гарантированный результат ^o=0. 3789, но его на рис. 2 невидно, так как ^o закрывают третий - ₃(X) и четвертый - ₄(X) критерий, относительная оценка которого ₄(X^o)= 0.7459 показана на рис. 2. В совокупности на рис. 2 видна взаимосвязь всех критериев (характеристик ТС), измеренных в относительных единицах.

Рис. 2

Рис. 2. Решение -задачи в трехмерной системы координат x₁, x₂ и .

Из рис. 1, 2 так же видно, что область (множество точек) ограниченная точками S={XX X^o XX} характеризуется тем, что ₁(X)_k(X), k=, XS, (на рис. 1 показано, как ₁₂, ₃, ₄), т. е. она приоритетна по первому критерию SS^o . В этой области приоритет первого критерия относительно остальных всегда больше или равен единице: p(X)=₁(X)/_k(X)1, XS.

Аналогично показаны области (множества точек) приоритетные по соответствующему критерию, в совокупности они дают множество точек, оптимальных по Парето: S^o=X^oUSUSUSUSS. Используя понятие «приоритет критерия», можно выбирать любую точку из множества Парето.

Таким образом, на рис. 2 в двухмерной системе координат показаны основные ситуации, которые возникают из анализа множества точек, оптимальных по Парето, в задачах моделирования технических систем, модель которых представлена векторной задачей математического программирования и эти данные являются основой для принятия решений.

Запоминаются данные -задачи (3.7)-(3.12).

Шаг 2. Выбор приоритетной характеристики ТС и ее величины (Принятие решения). Как показано в теореме, в оптимальной точке X^o всегда имеется два наиболее противоречивых критерия, qK и pK, в которых выполняется точное равенство в относительных единицах: ^o = _q(X^o)=_p(X^o), q, pK, а для остальных выполняется неравенства (2.6). В векторной задаче (3.1)-(3.5) такими критериями являются второй и третий (3.15):

^o = ₂(X^o)=₃(X^o) =0. 3789. (3.18)

На дисплей выдается сообщения:

«Критерии в точке оптимума Хо: FXo = 435.6 2304.3 257.9 59.96»;

«Относительные оценки в Хо; LXo =0.73318 0.37888 0.37888 0.74589» .

Как правило, из этой пары выбирается критерий, который ЛПР хотел бы улучшить, такой называется «приоритетным критерием».

Выдается сообщение: q=input('Введите приоритетный критерий (номер) q= ') - Ввели: q=2, (q=2)K.

Ш а г 3. Из матриц (3.13) и (3.14), показывающих величины всех критериев, измеренных в натуральных единицах, в точках оптимума X^o и X, определяются пределы изменения приоритетного критерия (показателя) qK в натуральных единицах и соответствующие пределы относительных оценок и результаты выдаются на дисплей:

f₁(X^o)= 2304.3?f₂(X) ? 1000 =f₂(X), k=2K. (3.19)

₂(X^o)=0. 3788 ₂(X) 1=₂(X), k=2K. (3.20)

Выдается сообщение:

fq=input('Введите величину приоритетного критерия q=1 ') - вводим f_q=1500.

На рис.3 представим оба наиболее противоречивых критерия 2K и 3K, используя их, покажем обратный переход в трехмерное пространство (аналог N-мерного).

Рис. 3. Выбор характеристики ТС в -задаче и ее решение



Шаг 4. Для выбранной величины приоритетного критерия вычисляется относительная оценка:

_q===0.7619

которая при переходе от точки X^o к X в соответствии с (3.20) лежит в пределах: ₂(X^o) =0.3788 ₂=0.76191=₂(X), q=2K, аналогично определяются пределы изменения относительных оценок для критериев: f₁(X), f₃(X), f₄(X):

₃(X^o)=0.3788 ₃0.0218=₃(X), ₁(X^o) = 0.7332₁0.5093=₁(X),

₄(X^o) =0.7459 ₄0.9126=₄(X). Эти линии показаны на рис. 3.

Шаг 5. Предполагая линейный характер изменения критерия f_q(X) в (3.19) и соответственно относительной оценки _q в (3.20), используя стандартные приемы линейной аппроксимации, вычислим коэффициент пропорциональности между _q(X^o), _q, который назовем :

===0.6167, q=2K

Шаг 6. Предполагая линейный характер изменения вектора P^q в (2.37) и используя полученный коэффициент пропорциональности , вычислим по формуле (2.43) все составляющие вектора приоритетов P^q ={p, k=},

P^q=[p=1.4090 p=1.0 p=28.6771 p=0.8705]. (3.23)



2.3 Построение -задачи с приоритетом критерия и выбор параметров в N-мерном пространстве для приоритетного критерия

Полученный вектор приоритетов (3.23) вводится в -задачу (3.7)-(3.12):

^o = max , (3.24)

-1.409*0,

-1.0*0,

- 28.7*0,

-0.87*0,

при ограничениях

1000f₂(X) 3100; 01, 20x₁80, 20x₂80, 20x₃80, (3.29)

где вектор неизвестных имеет размерность N+1: X={x₁, … , x_N, }.

2.4 Решение -задачи с приоритетом критерия (3.23)-(3.29)

Шаг 1. -задача (3.24)-(3.29) это стандартная задача выпуклого программирования и решается стандартными методами (например, в системе Matlab). В результате решения получаем:

точку оптимума X^oo={x, j=, ^oo} - параметры технической системы:



X^oo=[X^o={25.8517 30.1838 20.0000}, ^oo=0.8068];

максимальную относительную оценку ^oo=0. 8068;

величины целевых функций f_q(X^oo), k= - характеристик ТС:

F_q={f₁(X^oo)=350.1, f₂(X^oo)= 1405.8, f₃(X^oo)= 117.5, f₄(X^oo)= 23.1}; (3.30)

величины относительных оценок _k(X^oo), k=:

L_q={₁(X^oo)=0. 5726, ₂(X^oo)=0.8068, ₃(X^oo)=0.1022, ₄(X^oo)=0. 9268}.

Полученные относительные оценки представлены на рис. 3 в точке X^oo.

Максимальная относительная оценка ^oo обладает свойством [9] таким, что верны следующие неравенства ^oop(X^oo)_k(X^oo), k= где p(X^oo), k= берется из (3.23), а _k(X^oo) из (3.31). Действительно:

^oo=0.8068P^q*L_q={0.8068 0.8068 2.9305 0.8068},

т.е. ^oo действительно гарантированный результат и принятое решение X^oo для f_q=1405.8 оптимально.

Ш а г 2. Анализ результатов. Рассчитанная величина f₂(X^oo) =1405.8, 1K обычно не равна заданной f_q=1500. Ошибка выбора f_q определяется ошибкой линейной аппроксимации изменения относительных оценок _k(X), k= и вектора приоритетов p(X), k=, qK, выполненной на шагах 5, 6.

Если ошибка f_q=|f_q(X^oo) - f_q|=|1405.8-1500|=|-94.2| - (6.2%) меньше заданной f, то переходим к шагу 6, если f_qf, то выполняется следующий шаг. Шаг 3-5 выполняется по мере необходимости. Шаг 6. Конец.



Заключение

Проблема принятия оптимального решения в сложной технической системе по некоторому набору функциональных характеристик является одной из важнейших задач системного анализа и проектирования. В статье представлена новая технология (методология) построения математической модели при приоритете (предпочтении) какой-либо технической характеристики (критерия) в условиях определенности или неопределенности и принятия оптимального решения на ее основе.

При построении такой характеристики использованы регрессионные методы преобразования информации и построения модели технической системы в виде векторной задачи оптимизации. Методология моделирования и принятие оптимального решения при заданном приоритете критерия основана на аксиоматике с использованием нормализации критериев и принципа максимина. Точность выбора такой точки определена заранее заданной ошибкой. Данная методология имеет системный характер - она может быть использована при исследовании, моделировании и принятии оптимального решения для широкого класса технических систем в различных отраслях, а также моделирования экономических и т. п. систем.

Приложение. Теоретический анализ максиминной задачи

По своей структуре максиминная задача (2.44) внешне не отличается от аналогичной задачи, рассмотренной в ряде работ:

^o = w_{k k}(X), XS, X 0, (2.44п)

где _k(X)=, k= - относительные оценки по k-му критерию, - оптимальное и наихудшее, соответственно, значение k-го критерия, т. е. исследование, осуществляется в относительных единицах _k(X); w_k - весовые коэффициенты, удовлетворяющие обычным условиям w_k > 0, =1 и выражающие предпочтение критериев. Предпочтения определяется тем, что предпочтительному (приоритетному) критерию присваивается больший вес.

Но внутренне задачи (2.44) и (2.44п) полностью отличаются друг от друга. Покажем это отличие на двухкритериальной задачи максимизации:

opt F(X) = {max f₁(X), max f₂(X)}, (1)

g(X) b, X={x₁, x₂}, x₁ 0, x₂ 0, (2)

где множество допустимых точек S, представленными ограничениями (2) не пусто, S и представляет собой компакт. Построим на основе векторной задачи (1)-(2) максиминную задачу с нормализованными критериями:

^o = (₁(X), ₂(X)), XS, X 0, (3)

где ₁(X)=, ₂(X)= - относительные оценки по первому и второму критерию, X, X - точки оптимума, полученные при решении ВЗМП (1)-(2) по первому и второму критерию соответственно; f = f₁(X), f = f₂(X) - величины целевых функций в точках оптимума; X, X, f=f₁(X), f = f₂(X) - точки и величины целевых функций при решении ВЗМП (1)-(2) на минимум (антиоптимум). Полученную максиминную задачу преобразуем в -задачу:

^o = , (4). - ₁(X) 0, (5). - ₂(X) 0, (6)



Представим неравенства (5), (6) в виде равенств, добавив дополнительные перемен-ные x, x, и вычтем (6) из (5): - ₁(X)+ x- + ₂(X) - x=0, или

₁(X)- x= ₂(X) - x. (7)

Дополнительные перемен-ные x и x для двухкритериальной задачи сбалансированы и в оптимальной точке равны нулю (и это равенство подтверждает выше приведенная теорема на этапе 2.2), в итоге:

₁(X^o) = ₂(X^o). (8)

Поэтому алгоритм и называется при равнозначных критериях.

Рассмотрим, как изменится равенство (8) при введении вектора приоритета и вектора весовых коэффициентов. Примем, что первый критерий имеет приоритет над вторым в два раза, тогда вектор приоритетов будет выглядеть следующим образом: P¹={p ==1, p ==2},

а вектор весовых коэффициентов: w={w₁=2/3, w₂=1/3}, w₁+w₂=1

Равенство (8) с вектором приоритетов P¹ приобретет следующий вид:

p₁(X^o) = p ₂(X^o) или ₁(X^o) = 2₂(X^o), (9)

а равенство (8) с вектором весовых коэффициентов:

w₁₁(X^o)=w₂₂(X^o) или 2/3₁(X^o)=1/3₂(X^o) или 2₁(X^o)=1₂(X^o), (10)

т.е. с точностью наоборот.

В результате решения ВЗМП (1)-(2) с вектором приоритетов (9) относительная оценка по первому критерию ₁(X^o) будет в два раза выше относительной оценки по второму критерию ₂(X^o), что и требовалось по условиям задачи. При решении ВЗМП (1)-(2) с вектором весовых коэффициентов (10) относительная оценка по первому критерию ₁(X^o) будет в два раза меньше относительной оценки по второму критерию ₂(X^o), что полностью противоречит условиям задачи. Покажем этот анализ на примере векторной задачи линейного программирования с двумя критериями.

Пример. Однородная векторная задача линейного программирования - максимизации (ВЗЛП).opt F(X)={max f₁(X) =(5x₁ + x₂), (11)

max f₂(X) = (20x₁ +80x₂} (12)

при ограничениях: 5x₁ +5x₂ 125, (13)

x₁ 28, x₂ 20, x₁0, x₂0, (14)

В этой за-даче формулируется следующее: требуется найти неотрицательное решение x₁, x₂ в системе неравенств (13)-(14) такое, при котором функции f₁(X) и f₂(X) принимают, возможно, мак-симальное значение. Вид допустимого множества решений, определяемых ограничениями (13)-(14) показан на рис. 1п.



Рис. 1п. Решение ВЗЛП (11)-(14).

Решение векторной задачи линейного программирования (11)-(14) в соответствии с алгоритмом решения ВЗЛП на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата представим в системе Matlab.

Решение по каждому критерию представляет обращение к функции linprog(…), решающей задачу линейного программирования.

Ш а г 1. В результате решения получим: X={x₁=28 , x₂=1.6}; f=141.6;

X={x₁ =5, x₂ =20}, f=2500. Точки оптимума показаны на рис. 1п.

Ш а г 2. Не выполняется. Для ВЗЛП с ограничениями , наихудшие значения критериев f=f=0, [9, 11]. В итоге нормализация:

_k(X)=, примет вид: _k(X)=.

Шаг 3. Выполняется анализ критериев в ВЗЛП, для чего в оптимальных точках X X определяются величины целевых функций

F(X)= и матрица относительных оценок (X)=

F(X^*)==, (X^*)==.

Шаг 4. Строится -задача: ^o = max ,

при ограничениях: - f₁(X) /f 0, - f₂(X) /f 0, (13)-(14).

С числовыми данными -задача примет вид:

^o = max , (15)

при ограничениях: - (5x₁ + 1x₂)/141.6 0, (16)

- (20x₁ + 80x₂)/ 2500 0, (17)

5x₁ +5x₂ 125, x₁ 28, x₂ 20, x₁0, x₂0, (18)

Обращение к функции linprog(…) для решения -задачи:

[Xo, Lo]=linprog(Lо,Ao,bo,Aeq,Beq,X0).

Результаты решения -задачи: оптимальные значения переменных:

X^o= {₁=0.6547, x₁= 16.3585, x₂ =10.9132};

оптимальное значение целевой функции: ^o =0.6547, ^o - это максимальный среди всех минимальных относительный уровень на допустимом множестве XS, т. е. ^o = _k(X^o), X 0.

Полученные функции ₁(X), ₂(X), а также точки оптимума X^o и ^o на их пересечении, показаны на рис. 2п.

Рис. 2п. Решение ВЗЛП (11)-(14) с приоритетом первого критерия.

Выполним проверку: f₁(X^o)=92.7, ₁(X^o)= 0.6547; f₂(X^o)= 1636.8, ₂(X^o)= 0.6547, т. е. ^o_k(X^o), k=1,2. Эти результаты показывают, что в точке X^o оба критерия в относительных единицах достигли уровня ^o=0.6547 от своих оптимальных величин. Любое увеличение одного из критериев выше этого уровня приводит к уменьшению другого критерия, т.е. точка X^o оптимальна по Парето, см. рис 2п.

Решим ВЗЛП (11)-(14) и соответственно -задачу (15)-(18) с заданным вектором приоритетов: P¹={p=1, p=2}, и вектором весовых коэффициентов:

w={w₁=2/3, w₂=1/3}, w₁+w₂=1. -задача примет вид:

^o = max , (19)



при ограничениях: - p (5x₁ + 1x₂)/f 0, (20)

- p(20x₁ + 80x₂)/f 0, (21)

5x₁ +5x₂ 125, x₁ 28, x₂ 20, x₁0, x₂0. (22)

Для данной задачи при переходе от точки X^o, полученной при равнозначных критериях -задачи (15)-(18), к точке оптимума X, полученной при решении по первому критерию, приоритет первого критерия лежит в пределах:

p(X)pp(X^o). (23)

Понятие приоритета критерия вытекает из аксиоматики, которая показывает, что допустимое множество точек S, в том числе множество точек оптимальных по Парето, S^o, лежащее между точками X и X, подразделяется на три подмножества точек:

подмножества S₁ и S являются областью приоритета первого критерия над вторым (характеризуется тем, что ₁(X)>₂(X), XSS₁S^o), S лежит между точками X и X^o;

подмножества S₂ и S являются областью приоритета второго критерия над первым ₂(X)>₁(X), XSS₂S, S лежит между точками X^o и X;

подмножество точек S'S, где критерии равнозначны ₁(X)=₂(X), XS'S. Подмножеству S' принадлежит точка X^o, в которой ^o - максимальный уровень, причем ^o=₁(X^o)=₂(X^o) в соответствии с теоремой. X^o также принадлежит и множеству точек, оптимальных по Парето, S^o, см. рис. 1п, 2п.

В задаче (11)-(14) неравенства (23) примут вид:



p(X)= 3.3245p1=p(X^o), (24)

из него выбирается p, например p=2, который вводится в -задачу (19)-(22).

В результате решения -задачи (19)-(22) с заданным вектором приоритетов: P¹={p=1, p=2} получим: точку оптимума

X= {₁=0.8694, x₁= 23.5959, x₂ =5.1233}, см. рис. 2п;

оптимальное значение целевой функции: ^o =0.8694,

Выполним проверку: f₁(X)= 123.1, ₁(X)= 0.8694; f₂(X)= 1086.7, ₂(X)= 0.4347, т. е. ^o1*₁(X)=2*₂(X)=0.8694.

Эти результаты показывают, что в точке оптимума X, относительная оценка ₁(X) в два раза больше относительной оценки ₂(X), - это соответствует условиям задачи: приоритете первого критерия над вторым, при этом плоскость, определяемая функцией 2*₂(X) в области Парето в точке X достигла уровня ^o=0.8694=2*₂(X) - это видно на пунктирной прямой, проходящей через точку X.