Многомерные финансовые рынки и CC-VAR

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Многомерный рынок - это рынок, порожденный несколькими (n > 1) базовыми активами (акциями), цены которых в конце периода образуют случайный вектор с плотностью вероятности, прогнозируемой инвестором. Рынок достаточно разнообразен, так чтобы на нем можно было строить и торговать портфелями, платежные функции которых весьма произвольны (например, просто измеримы).

Как и в одномерном случае, сначала определяется -рынок (см., например, [1,2,4]), а затем рынок -опционов - инструментов, являющихся обобщением обычных опционов. Их платежные функции определяются ценами, вообще говоря, всех n активов и заимствуют черты платежных функций обычных одномерных опционов колл и пут.

Пусть X = iNXi, Xi, N = {1,2,…,n}. Заданы две неотрицательные функции p(x) и c(x), x X, порождающие меры P{M} и С{M}, MX, первая из которых - вероятностная мера, являющаяся прогнозом инвестора на конец периода, а вторая - ценовая мера, которую предоставляет рынок.

Вводится инструмент D(x), называемый -инструментом, платежной функцией которого служит -функция относительно x, x X, при этом |D(x)| = c(x), x X, где |I| означает стоимость инструмента I. Эти инструменты играют роль базисных инструментов, на основе которых можно строить иные инструменты. Инструмент G с произвольной измеримой платежной функцией g(x) и его стоимость представляются соответственно в виде.

инвестор рыночный многомерный актив

.

Так, инструмент H[M] - "индикатор M" - для произвольного M X, а также единичный безрисковый актив U = H[X] и их стоимости определяются соответственно формулами

, ,

,

где r имеет смысл безрискового дохода за период. Без ущерба для общности можно принять r = 1.

Предполагается, что инвестор привержен континуальному критерию VaR (CC-VaR), а его рисковые предпочтения описываются непрерывной и монотонно возрастающей функцией (), [0,1] (см. [1,2]). Построение оптимального портфеля инвестора основано на анализе мер C{} и P{} - функции относительного дохода (x) = p(x)/c(x), xX. К ней применяется известная из математической статистики процедура Неймана-Пирсона [3].

Рассматривается -рынок - рынок многомерных опционов, доход по которым определяется совокупностью будущих цен всех базовых активов. Пусть x = (x1, x2, …, xn), s = (s1, s2, …, sn) и = (1, 2, …, n) - векторы соответственно цен базовых активов xi, страйков si, iN, и чисел -1 и +1 в любом порядке, характеризующих тип опциона. Тогда -опцион A(s; ) определяется своей платежной функцией, фактически означающей доход, выплачиваемый по опциону в конце периода, a(x; s; ) = max(0, 1(s1-x1)) max(0, 2(s2-x2)) ... max(0, n(sn-xn)).

"Производные" первого порядка A'(s; б) от б-опционов, их платежные функции a'(x; s; б) и цены, где б - произвольный вектор с компонентами +1 (для компоненты типа колла) и -1 (для компоненты типа пута), определяются соответственно по формулам ((б) = iN б i):

Например, для двумерного рынка платежная функция "производной" первого порядка от б-опциона является характеристической функцией одного из четырех квадрантов в вершиной в точке s, определяемого параметром б, со знаком, равным (б).

"Производные" второго порядка A"(s; б) от б-опционов, их платежные функции a"(x; s; б) и цены определяются соответственно по формулам

Эти формулы означают, что платежные функция "производных" второго порядка от б-опциона для всех возможных наборов значений векторного параметра б совпадают между собой и равны n-мерной -функции относительно s.

Теоремы паритета для A(s; б) и A'(s; б) и их цен непосредственно следуют из импликации, проверяемой подходящей группировкой слагаемых,

Они имеют соответственно вид

При этом, вообще говоря,

,

и равенство здесь гарантируется лишь в случае взаимно независимого ценообразования для всех базовых активов.

В работе используются два способа дискретизации теоретической континуальной модели. Первый из них осуществляет переход от континуального -рынка к сценарному. При этом для каждого iN применяется равномерное разбиение множеств Xi на сценарии. Полагая Ii = {1, …, ki}, iN, и принимая исключительно для удобства записи, что Xi = [-1,1], выбираем в качестве сценариев подмножества Si,j Xi, такие что Si,j = (si,j-1, si,j], j Ii\{1}, Si,1 = [si,0, si,1], а si,j = 2(j/n) - 1, j Ii{0}.

На этом рынке базисными служат инструменты

, iN.

Здесь множество M является произвольным n-мерным сценарием - прямым произведением компонентных одномерных сценариев. Их количество равно iN ki, а вероятности каждого из них получаются интегрированием n-мерной плотности p(x, y) в пределах соответствующего сценария. Второй способ дискретизации модели нацелен на ее приложение к многомерному опционному рынку с конечным множеством страйков. Здесь Ii = {1, …, ki} означает уже индексное множество страйков для i-го актива, iN. В этом случае для каждого iN одномерными базисными инструментами служат опционы, страйки которых i,j, jIi, совпадают с центрами введенных выше сценариев. Имеем i,j = (si,j-1-1+si,j)/2 = (2j-1)/ki-1, jIi; полагаем еще для удобства i,0 = -1, i,n+1 = 1 - это крайние точки Xi. Совокупность всех векторных страйков обозначим .

Все страйки естественным образом подразделяются на внутренние и граничные. Для внутренних векторных страйков базисный баттерфляй имеет представление:

где

E = {-1,+1}, vi = {vij, jN}, vij = {1, j = i; 0, j i}, i, jN.

По своим правилам строятся и базисные баттерфляи для граничных страйков, как нульмерных (вершинных), так и m-мерных, m < n. В совокупности они образуют нормированный базис - дискретный опционный аналог континуального точечного базиса {D(s), s X} для -рынка.

В основе их построения лежат генераторы (платежные функции) одномерных простейших нормированных баттерфляев, как собственно (обычных, или полных) баттерфляев, так и "усеченных", фактически являющихся кредитными спредами и используемых для двух крайних (левой и правой) пар страйков. Платежная функция каждого базисного баттерфляя получается перемножением подходяще подобранных генераторов.

Для опционной компоненты типа колл эти генераторы имеют следующий вид (соответственно для внутренних страйков, крайне левого и крайне правого страйка с расстоянием между ближайшими страйками h):

,

, .

То же для опционной компоненты типа пут:

,

,

.

Для смешанных баттерфляев, составленных, например, из левого пут-спреда совместно с правым колл-спредом, используется смешанный генератор (применяемый вместе с безрисковым единичным инструментом U):

.

Во всех приведенных представлениях генераторов базисному страйку соответствует точка x = 0.

Мы здесь не приводим для произвольного n представлений базисных баттерфляев для граничных страйков, но делаем это далее для двумерных рынков.

На двумерном рынке обращаются всего четыре типа
-опционов A(s; б), их будем обозначать C(s), S(s), P(s), F(s) соответственно при б = (+1,+1), (-1,+1), (-1,-1), (+1,-1).

Для внутренних страйков представление базисных баттерфляев в терминах опционов C имеет вид:

Здесь уже

vi = {vij, j = 1,2}, vij = {1, j = i; 0, j i}, i, j = 1,2.

По иному строятся представления вершинных базисных баттерфляев, они являются "усеченными" по обоим измерениям C-баттерфляев. В частности, для s = (1, 1) имеет место

Здесь отметим участие в образовании баттерфляя также и одномерных опционов. Для вершин s = (k1, 1) и s = (k1, k2) соответственно

Реберные базисные баттерфляи являются "усеченными" по одному измерению баттерфляями. В частности для s = (1, j), j = 2, ..., k2-1, они представляются в виде (здесь также привлекаются одномерные опционы)

Для s = (k1, j), j = 2, ..., k2-1, имеет место представление

Прочие не приводимые здесь варианты базисных баттерфляев получаются из уже полученных по соображениям симметрии. Итак, в двумерном случае всего насчитываются 6 существенно различающихся вариантов базисных баттерфляев (как полных, так и "усеченных"): 1 внутренний, 3 вершинных и 2 реберных. Справедливо равенство

.

Подобные базисы, разумеется, можно построить также и на основе прочих -опционов: S(s), P(s) и F(s). Более того, можно сформировать и смешанный базис с одновременным участием опционов нескольких типов. Так, например, для внутренних страйков s = (i, j), справедливо представление

Все такие возможные представления эквивалентны по платежным функциям, хотя на реальном рынке стоимости соответствующих портфелей могли бы разниться.

Рассмотрим конкретный двумерный рынок опционов, а для простоты и определенности положим X = Y = [-1,+1]. Заданы две неотрицательные функции p(x, y) и c(x, y), x X, y Y, первая из которых - плотность вероятности, являющаяся прогнозом инвестора на конец периода, а вторая - ценовая плотность, которую должен был бы "формировать" сам рынок:

p(x, y) = 13/36 - x2/6 - y2/6;

c(x, y) = 37/120 - (x + 1/2)2/6 - (y - 1/2)2/6.

Дискретизация осуществляется выбором k1 = 6, k2 = 5. Таким образом, по координате x имеем по 6 сценариев и опционных одномерных страйков, а по координате y - по 5. Для обозначения векторного страйка используем обозначение (s, t).

Первая из плотностей порождает дискретное распределение вероятностей на сценариях. Эти вероятности получаются интегрированием плотности в пределах каждого сценария. Упорядочивая вероятности лексикографически, получаем вектор

p = {0.0179918, 0.0286584, 0.0322140, 0.0286584, 0.0179918, 0.0278683, 0.0385350, 0.0420905, 0.0385350, 0.0278683, 0.0328066, 0.0434733, 0.0470288, 0.0434733, 0.0328066, 0.0328066, 0.0434733, 0.0470288, 0.0434733, 0.0328066, 0.0278683, 0.0385350, 0.0420905, 0.0385350, 0.0278683, 0.0179918, 0.0286584, 0.0322140, 0.0286584, 0.0179918}.

Вторая плотность используется для нахождения цен базисных баттерфляев. Строго говоря, ценовые характеристики рынка должны доставляться самим рынком. Именно из него необходимо черпать информацию для расчета цен базисных баттерфляев. Конечно, в целях иллюстрации проще было бы сразу задавать эти цены - именно 65 = 30 положительных значений цен базисных баттерфляев, в сумме дающие единицу.

Однако изначально рынок поставляет цены не баттерфляев, а опционов. И для проверки работоспособности модели следовало бы задавать именно последние. Но назначить правдоподобные цены всех участвующих в формировании рынка опционов так, чтобы цены баттерфляев оказались положительными непросто; во всяком случае, это сделать, назначая их наугад, почти никогда не удается. Поэтому предлагается, исходя из плотности c(x, y), находить теоретические цены опционов, и тогда цены баттерфляев должны будут автоматически получаться положительными.

Для формирования цен баттерфляев из цен опционов в примере используются следующие формулы теоретических цен для опционов разных типов, как двумерных, так и одномерных по обоим измерениям.

Для опционов типа колл имеем

,

.

Если строить портфель в терминах опционов иного типа, например F, то формулы видоизменяются очевидным образом:

,

.

Отметим еще, что в соответствии с определениями типов опционов справедливы, например, равенства WFX(s) = WCX(s), WFY(t) = WPY(t).

Использованием этих формул применительно к представлениям базисных баттерфляев получаются их теоретические цены. Упорядочивая их лексикографически, получаем вектор

c = {0.0292284, 0.0347617, 0.0384951, 0.0400951, 0.0396728, 0.0298765, 0.0354099, 0.0391432, 0.0407432, 0.0403210, 0.0291358, 0.0346691, 0.0384025, 0.0400025, 0.0395802, 0.0269136, 0.0324469, 0.0361802, 0.0377802, 0.0373580, 0.0232099, 0.0287432, 0.0324765, 0.0340765, 0.0336543, 0.0183025, 0.0238358, 0.0275691, 0.0291691, 0.0287469}.

Посредством алгоритма из [1,2], опирающегося на процедуру Неймана-Пирсона, сравнивающую векторы p и c, в предположении () = 2, [0,1], находятся веса базисных баттерфляев в "оптимальном" портфеле (в дискретном случае можно говорить лишь о приближенной оптимальности), лексикографическое упорядочение которых дает вектор

g = {0.00129482, 0.0193656, 0.0538469, 0.0122107, 0.000323704, 0.0856875, 0.252012, 0.1764, 0.109733, 0.00669838, 0.286027, 0.68703, 0.616852, 0.214807, 0.0399342, 0.545191, 0.924415, 0.842709, 0.380471, 0.0701487, 0.458201, 1., 0.758576, 0.32873, 0.0278986, 0.142816, 0.49782, 0.421249, 0.129541, 0.00291333}.

Далее портфель G = ij gij B[i,j] переписывается в терминах опционов C, CX и CY:

GC = 0.00129482 U + 1.1119 C[1,1] - 1.93761 C[1,2] + 0.637968 C[1,3] - 0.495872 C[1,4] + 0.683605 C[1,5] + 0.648179 C[2,1] + 0.218282 C[2,2] - 3.19406 C[2,3] + 2.47241 C[2,4] - 0.144813 C[2,5] - 1.92342 C[3,1] + 1.7962 C[3,2] + 2.1911 C[3,3] - 2.54095 C[3,4] +0.477073 C[3,5] + 1.38265 C[4,1] - 2.49407 C[4,2] + 1.80581 C[4,3] + 0.392654 C[4,4]- 1.08705 C[4,5] - 2.62027 C[5,1] + 5.05454 C[5,2] - 1.64117 C[5,3] + 0.442252 C[5,4] - 1.23535 C[5,5] + 1.40096 C[6,1] - 2.63735 C[6,2] + 0.200356 C[6,3] - 0.270493 C[6,4] + 1.30653 C[6,5] +0.253178 CX[1] + 0.34784 CX[2] + 0.176474 CX[3] - 1.03846 CX[4] - 0.685186 CX[5] + 0.946156 CX[6] + 0.0451771 CY[1] +0.0410261 CY[2] - 0.190294 CY[3] + 0.074373 CY[4] + 0.0297175 CY[5].

Тот же портфель в терминах, например, опционов F имеет другое представление:

GF = 0.000323704 U + 1.1119 F[1,1] - 1.93761 F[1,2] + 0.637968 F[1,3] - 0.495872 F[1,4] + 0.683605 F[1,5] + 0.648179 F[2,1] + 0.218282 F[2,2] - 3.19406 F[2,3] + 2.47241 F[2,4] - 0.144813 F[2,5] - 1.92342 F[3,1] + 1.7962 F[3,2] + 2.1911 F[3,3] - 2.54095 F[3,4] + 0.477073 F[3,5] + 1.38265 F[4,1] - 2.49407 F[4,2] + 1.80581 F[4,3] + 0.392654 F[4,4] - 1.08705 F[4,5] - 2.62027 F[5,1] + 5.05454 F[5,2] - 1.64117 F[5,3] + 0.442252 F[5,4] - 1.23535 F[5,5] + 1.40096 F[6,1] - 2.63735 F[6,2] + 0.200356 F[6,3] - 0.270493 F[6,4] + 1.30653 F[6,5] + 0.019124 FX[1] + 0.0805834 FX[2] - 0.00906392 FX[3] - 0.217394 FX[4] + 0.0517943 FX[5] + 0.0749559 FX[6] + 0.0451771 FY[1] + 0.0410261 FY[2] - 0.190294 FY[3] + 0.074373 FY[4] + 0.0297175 FY[5];

График платежной функции (доходов) "оптимального" портфеля опционов дается на рисунке.

Рис. 1. Доходы "оптимального" портфеля при ()=2

Литература

1. АГАСАНДЯН Г.А. Финансовая инженерия и континуальный критерий VaR на рынке опционов // Экономика и математические методы. 2005. Т. 41, №4. С. 88-98.

2. АГАСАНДЯН Г.А. Основные теоретические схемы применения континуального критерия VaR. М. ВЦ РАН. 2009. 33 с.

3. КРАМЕР Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 948 с.

4. AGASANDIAN G.A. Optimal Behavior of an Investor in Option Market / International Joint Conference on Neural Networks. The 2002 IEEE World Congress on Computational Intelligence (Honolulu, Hawaii, Mai 12-17, 2002). P. 1859-1864.

Размещено на Allbest.ru