Построение эффективного численного метода решения осесимметрической задачи армированной среды

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 539.3+539.4

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск

ПОСТРОЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОГО ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ АРМИРОВАННОЙ СРЕДЫ

Н.А. Федорова

В работах [1--4] решена задача рационального армирования семействами криволинейных волокон осесимметричной кольцевой пластины в полярной системе координат. Поиск криволинейных структур армирования выполнен на основе структурной модели в рамках плоской неоднородной линейной задачи упругости. Получена разрешающая система дифференциальных уравнений относительно радиального и окружного перемещений. Коэффициенты системы учитывают все структурные параметры (углы армирования, интенсивности армирования, число семейств армирующих волокон, свойства материалов арматуры связующего). Поставлена краевая задача на внутреннем и внешнем контуре пластины. Особенностью полученной системы является то, что она представляет собой систему дифференциальных уравнений второго порядка, не разрешенных относительно производной.

В настоящей работе рассматриваются вопросы численного решения этой системы, запишем ее в виде

,

где .

В этой формуле матрицы коэффициентов, образованные из коэффициентов разрешающей системы. Коэффициенты , полученные в [4], учитывают все структурные характеристики армированного материала. В статье их не приводим в виду громоздкости. Например, матрица коэффициентов при производных второго порядка выглядит так

 Для таких дифференциальных уравнений через некоторую точку пространства решений, вообще говоря, проходит уже не одна, а несколько интегральных кривых. Пусть в некоторой области определитель функциональной матрицы не равен нулю, то есть выполняется неравенство . Что всегда выполнено для коэффициентов армированного материала из [4].

Запишем систему уравнений (1) в виде

,

где .

Согласно [5], система (2) двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, разрешенная относительно старших производных, называется канонической системой.

Для канонической системы в [5] доказана теорема существования и единственности: если правые части канонической системы являются непрерывными в некоторой области, включающей точку и удовлетворяют в этой области условиям Липшица по , то существует одно и только одно решение системы (2), определенное в некотором интервале и удовлетворяющее начальным условиям при а именно .

Рассмотрим решение однородной системы (2) на интервале . Поставим краевые условия

Поставив условия на ранг матрицы, составленной на основе граничных условий и используя метод Лагранжа вариации постоянных, можно показать [6,7], что задача с граничными условиями имеет единственное решение.

Для предотвращения возможных последствий большого разброса собственных значений матрицы коэффициентов, приводящих к сильному росту ошибки, в [6,7] предлагается проводить пошаговую ортогонализацию определяемых разложения многообразий решений, данный метод называется также ортогональной прогонкой [8].

Пусть весь интервал разбит на участков точками . Выбираем линейно независимые начальные данные , проинтегрировав систему (2) с этими начальными данными на интервале , получим векторы решений . Проортогонализируем и пронормируем эти векторы в точке , обозначим их . Вектор получим вычитая из вектора его проекцию в пространство, натянутое на векторы . Вектор не нормируется.

С помощью численного интегрирования и проведения ортогонализаций на каждом шаге строится последовательность систем векторов

,

.

Любое решение системы (2), удовлетворяющее граничным условиям на левом конце, принимает на правом конце значение, представимое в виде

,

где - прогоночные коэффициенты, вычисляемые на каждом шаге и используемые для нахождения значений решения. В промежуточных точках эти значения определяются по рекуррентным формулам.

В этих формулах используются также численные решения системы (2) с начальными данными. При численном решении системы дифференциальных уравнений, состоящей из двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с начальными данными вместо сведения этой системы к четырем дифференциальным уравнениям первого порядка используется более экономичная расчетная схема типа схемы Рунге - Кутты для решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Для получения расчетной схемы метода Рунге-Кутты проинтегрируем обе части каждого из уравнений (2) от до

.

Введем параметр , по которому можно проинтегрировать (2) еще раз, и проводя все выкладки, получим

Экономичность расчетной схемы, получаемой без сведения (2) к системе 4-х уравнений первого порядка, состоит в том, что при вычислении интеграла в (4) за счет множителя можно применить квадратурную формулу с меньшим числом узлов, чем при вычислении интеграла в системе четырех уравнений первого порядка. Для данной разрешающей системы (1) плоской задачи армированной среды полученный метод позволил вычислять численные решения, сходящиеся при уменьшении шага сетки, с наименьшими вычислительными затратами.

Пример расчета криволинейно армированного кольца.

Численное решение находится для обезразмеренной системы, соответствующей (1). Траекториями армирования являются семейства спиралей Архимеда и семейства траекторий «спицы велоколеса» (рис. 1). Фиксируем нагрузку в 2 МПА, в качестве граничных условий выбрана жесткая заделка. На графиках рассматриваем для указанных структур четыре варианта начальных интенсивностей выхода арматуры на внутреннем контуре. На рисунке выводим четыре типа графиков: 1 -- сплошная линия ( ), 2 -- линия, состоящая из тире () , 3 -- линия, состоящая из точек ( ), 4 -- линия, состоящая из точек-тире

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

На рис. 2, рис. 3 показано существенное влияние начальных интенсивностей армирования на значение функции Баландина [1,2, 3] . Характер зависимостей для двух видов материалов связующего и арматуры аналогичны, но числовые значения для кольцевой пластинки из титана с керамическими волокнами на порядок меньше, чем пластинки из алюминия со стальными волокнами.

Разрешающая система учитывает способы армирования семействами волокон в направлении любых криволинейных траекторий, что дает широкое разнообразие структур армирования и позволяет в рамках единой схемы решения получить конструкцию с заранее заданными прочностными свойствами.

уравнение осесимметрический армированный деформация

Библиографический список

1. Немировский Ю. В. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов / Ю. В. Немировский, Н. А. Федорова -- Красноярск: СФУ, 2010. 136 с.

2. Немировский Ю. В. Армирование плоских конструкций по криволинейным ортогональным траекториям / Ю. В. Немировский, Н. А. Федорова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. наук. -- Самара, 2010. № 5(21)-- С. 96-104.

3. Немировский Ю. В. Предельное деформирование дисков газовых и гидротурбин при различных структурах армирования / Ю. В. Немировский, Н. А. Федорова // Известия высших учебных заведений. Физика. -- 2013.-- Т. 56, № 7/3.-- С. 191-196.

4. Немировский Ю. В. Исследование рациональных структур криволинейного армирования в полярной системе координат / Ю. В. Немировский, Н. А. Федорова // Вестн. Сам. Гос.тех.ун-та. Сер. Сер. Физ.-мат. науки. -- 2013. № 1 (30). -- С. 233-244.

5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов -- М.: ГИТ-ТЛ, 1961. - 436 с.

6. Бабенко К. И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко - М.: Наука, 1986.

7. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / С. К. Годунов // Успехи математических наук. - 1961. Т. 16, вып. 3(99). - С. 171-174.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - М.: Наука, 2004.

Аннотация

Получены разрешающие уравнения осесимметрической задачи для плоской конструкции, армированной вдоль криволинейных траекторий. Разрешающая система формулируется в перемещениях и приводит к обобщенной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно радиального и окружного перемещений. Построена и исследована численная схема определения решения, учитывающая все особенности задачи рационального проектирования плоских конструкций семействами криволинейных волокон в осесимметрической постановке. В качестве иллюстрации приведены численные решения задачи о предельных деформациях концентрических колец, армированных вдоль двух семейств траекторий: семейств спиралей Архимеда и семейств траекторий «спицы велоколеса».

Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории армирования

Размещено на Allbest.ru