Синтез структуры системы обогрева помещений в условиях неполноты измерений

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Самарский государственный технический университет, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Синтез структуры системы обогрева помещений в условиях неполноты измерений

А.Н. Дилигенская, В.Г. Щетинин



Аннотация

Дилигенская Анна Николаевна - доцент кафедры «Автоматика и управление в технических системах», к.т.н., доцент.

Щетинин Владимир Георгиевич - доцент кафедры «Автоматика и управление в технических системах», к.т.н., доцент.

Рассматривается задача синтеза замкнутой системы поддержания температуры воздуха в помещении, недоступной для измерения в условиях действия неконтролируемых возмущений. Синтез системы управления сводится к независимому решению задач синтеза наблюдателя состояния и синтеза регулятора состояния.

Ключевые слова: пространство состояний, характеристический полином, неконтролируемые возмущающие воздействия, регулятор состояния, идентификатор состояния.



Рассмотрим задачу синтеза системы управления автономной отопительной установкой, предназначенной для поддержания заданной температуры воздуха в комплексе бытовых или производственных помещений в условиях действия неконтролируемых возмущений разнообразной природы - внешних, внутренних, параметрических. В этом случае подлежащая наложению требований на поведение величина - температура воздушной массы помещения - является недоступной для непосредственного контроля и соответствует цели управления со значительной долей отклонений. Величиной, доступной для измерения, является температура теплоносителя на выходе нагревателя.

Будем осуществлять синтез системы управления в пространстве состояний с использованием формализованных упрощенных векторно-матричных моделей. Построение векторно-матричной модели рассматриваемого объекта в условиях действия неконтролируемых возмущений приводит к следующим уравнениям [1]:

(1)

где порядок объекта ,

- вектор состояния системы;

-

вектор входов системы; - знак транспонирования; Y - вектор наблюдений; - помеха, действующая на входе объекта, которая считается аддитивной; - погрешности измерения. Компонентами вектора состояния объекта являются величины, характеризующие процесс нагрева: - соответствует температуре на выходе нагревателя, - температуре воздушной массы помещения. Первая составляющая вектора входных воздействий соответствует объемной мощности тепловыделения в нагревателе, а - температуре окружающей среды. Матрица состояния объекта А, матрица управления В и матрица наблюдений С имеют следующий вид:

, (2)

и их коэффициенты считаются известными величинами, определяемыми технологическими характеристиками нагревательного устройства, габаритами и теплофизическими параметрами помещения. В случае их линейности и стационарности при синтезе системы управления динамические показатели системы, определяющие качество управления, можно формировать в виде желаемого полинома системы на основе распределения корней характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости [2]. Конкретное размещение полюсов системы на комплексной плоскости определяется формализацией критерия качества управления и зависит от требований, предъявляемых к качеству переходного процесса с обязательным условием обеспечения его устойчивости.

В случае стационарного полностью наблюдаемого объекта синтез системы управления в пространстве состояний осуществляется с помощью регуляторов состояния на основе модального управления, изменяющего собственные значения матрицы системы (моды) для достижения заданных целей управления.

Принципы модального управления используются при конструировании регуляторов состояния, включаемых в контуры обратных связей по состоянию и обеспечивающих заданное размещение собственных чисел замкнутой системы на комплексной плоскости.

В этом случае управляющее воздействие является линейной комбинацией компонент вектора состояния:

(3)

где r(t) - задающее воздействие, - искомая матрица коэффициентов регулятора состояния.

Тогда уравнение динамики замкнутой системы без учета случайных воздействий определяется с учетом соотношений (1) и (3) и имеет вид

(4)

Синтез управляющего воздействия сводится к выбору такой матрицы коэффициентов обратной связи , чтобы характеристический многочлен матрицы совпадал с желаемым.

При такой постановке задачи для синтеза системы управления с регулятором состояния необходимо измерение всех компонент вектора состояния объекта . В условиях действия неконтролируемых возмущений и одна из компонент вектора состояния объекта , необходимая для синтеза управления, измеряется с существенными случайными ошибками, а подлежащая наложению требований величина недоступна для измерения.

При недоступной непосредственному контролю компоненте оценим ее с помощью наблюдателя состояния. Применим для этой цели наблюдатель состояния с минимальной дисперсией - фильтр Калмана, формирующий на выходе оптимальную в смысле минимума среднеквадратичного отклонения оценку частично ненаблюдаемого и зашумленного вектора состояния по результатам измерения входного и выходного сигналов объекта управления. При использовании фильтра Калмана оценка вектора состояния асимптотически стремится к своему истинному значению. На этом основании для синтеза управляющего воздействия (3) заменим в цепи обратной связи неконтролируемый вектор на полученную оценку:

(5)

Таким образом, задача синтеза системы управления сводится к синтезу наблюдателя состояния, синтезу регулятора состояния и синтезу управляющего воздействия.

Согласно принципам разделимости и дуальности [3] характеристические полиномы замкнутой системы управления и наблюдателя независимы друг от друга и собственные числа наблюдателя и регулятора выбираются независимо. Следовательно, задачи синтеза наблюдателя состояния и синтеза регулятора состояния могут быть решены раздельно. При этом выбранные характеристические числа системы с обратной связью и характеристические числа наблюдателя войдут в замкнутую систему управления без изменений.

На этом основании рассмотрим решения задач синтеза регулятора состояния и наблюдателя, осуществляемые независимо друг от друга. Сначала рассмотрим задачу синтеза замкнутой системы управления, сводящуюся к выбору матрицы коэффициентов обратных связей .

Положим, что система (1) управляема и наблюдаема [1]. Желаемый характеристический полином замкнутой системы управления объекта второго порядка имеет вид

(6)

Для нахождения коэффициентов желаемого характеристического многочлена замкнутой системы будем использовать типовые стандартные распределения, аппроксимирующие переходный процесс в системе с заданными показателями качества. Применим фильтр Бесселя, минимизирующий среднеквадратичную ошибку и обладающий наилучшими показателями качества переходных процессов во временной области [4], и выберем для данного распределения конкретные значения коэффициентов .

С целью использования универсальных алгоритмов синтеза регуляторов состояния исходную математическую модель с двумя входами рассматриваемого объекта (1) преобразуем к новой инвариантной форме модели объекта с одним входом, при этом общность описания объекта сохраняется. Для этого введем новые базисные переменные

(7)

При этом

(8)

Скалярное входное воздействие в новом инвариантном базисе формируется соответственно следующей линейной комбинации:

Описание системы в новом базисе с учетом входной помехи и погрешностей измерения примет следующий вид:



(10)

где

- вектор состояния системы в новом базисе; - вектор наблюдений в новом базисе; - матрица управления объекта в новом базисе. Матрицы А и С сохраняют тот же вид, что и в исходном базисе.

Характеристическое уравнение рассматриваемого объекта запишется как

(11)

где - единичная матрица второго порядка.

Таким образом, коэффициенты характеристического полинома второго порядка

(12)

принимают следующие значения:

Для вычисления значений коэффициентов регулятора перейдем к канонической управляемой форме представления объекта [3]. В этом случае матрицы А и В можно записать сразу в стандартном виде, а для вычисления матрицы С нужно найти матрицу преобразования .

Переход к базису канонической управляемой формы осуществим через вычисление промежуточных матриц в соответствии с [3, 5]: матрицы управляемости

; вспомогательной матрицы ;

определяющей матрицы

и матрицы линейного преобразования

Матрица преобразования задает переход матриц объекта к базису канонической управляемой формы по соотношениям

(13)

В канонической управляемой форме матрица является матрицей Фробениуса

,



где коэффициенты характеристического уравнения расположены в последней строке, а матрица также имеет специальный вид

[3, 5].

В координатном базисе вектора состояний

,

соответствующем канонической управляемой форме, динамическое уравнение объекта примет вид:

(14)

При расчете коэффициентов регулятора положим задающее воздействие , не меняющее характер свободного движения системы, нулевым, и в этом случае запишем на основе (3) уравнение регулятора в следующем виде:

, (15)

где матрица коэффициентов регулятора имеет вид

.



Подставляя (15) в (14), получим векторное уравнение динамики замкнутой системы управления

(16)

Характеристический полином, отвечающий системе (16), запишем как

(17)

Из сравнения полиномов желаемого расположения полюсов (6) и замкнутой системы (17) получим соотношения для вычисления коэффициентов матрицы регулятора:

. (18)

Далее на основе уравнения (15) определим выражение, связывающее управляющую переменную и вектор состояния в выбранном инвариантном базисе:

(19)

Из соотношения (19) определим матрицу реальных коэффициентов обратных связей по полному вектору состояния :

. (20)



На основе соотношений (7) и (8) осуществим обратный переход к переменным и в исходном базисе, отвечающим реальным переменным - значениям температуры нагревателя и воздуха в помещении.

Рассмотрим теперь независимое решение задачи синтеза наблюдателя состояния для объекта (10) [3, 6].

В реальных условиях эксплуатации системы нагрева учет помех разного рода и случайных возмущений приводит к тому, что задача детерминированного управления заменяется стохастической задачей. Помехи и будем считать случайными процессами типа белого шума с нулевыми математическими ожиданиями

и известными ковариационными матрицами

где - дельта-функция, и - симметричные неотрицательно определенные матрицы интенсивности белого шума и соответственно. Положим, что начальное состояние системы задано статистическими характеристиками: математическим ожиданием и ковариационной матрицей . Также положим, что процессы , и не коррелируют между собой.

При построении оптимального наблюдателя полного порядка с минимальной дисперсией в качестве идентификатора состояния примем математическую модель объекта в пространстве состояний. Наблюдатель формирует на выходе несмещенную оценку вектора состояния объекта по критерию минимума среднеквадратичного отклонения оцененного значения от истинного . Для этого идентификатор реализует рекуррентную процедуру обработки результатов наблюдений входного и выходного сигналов объекта, в которой для минимизации дисперсии оценок в алгоритм идентификатора вводится корректирующая обратная связь по выходу системы .

Уравнения наблюдателя имеют вид

(21)

Матрица коэффициентов усиления фильтра , формирующая динамические свойства идентификатора, определяется соотношением

(22)

В (22) - ковариационная матрица ошибок оценивания, которая в случае стационарности процессов определяется решением алгебраического матричного уравнения Риккати:

(23)

Решение матричного уравнения Риккати (23) найдем путем организации вычислительной процедуры на основе построения рекуррентных соотношений при [6].

По априорным значениям характеристик сигналов вычислим априорное значение ковариационной матрицы сигнала:



(24)

Рассчитаем апостериорное значение ковариационной матрицы сигнала:

(25)

Найдем матрицу коэффициентов усиления , определяющую вес поправок к начальным условиям на основе ковариационных матриц оценок состояний:

(26)

Вычисления на основе рекуррентных соотношений (24)-(26) будем продолжать, пока не установится стационарный режим работы фильтра, условием которого является равенство

или, соответственно,

.

Матрица , рассчитанная с помощью (22) и (23), обеспечивает минимальную ошибку



восстановления зашумленного и частично ненаблюдаемого вектора состояния, стремящуюся в асимптотике к нулю. Коэффициенты идентификатора однозначно определяются с помощью уравнений фильтра Калмана на основе априорной информации о характеристиках помех в соответствии с выбранным критерием.

В соответствии с изложенным, объединяя алгоритмы синтеза управляющего воздействия (5) с учетом инвариантного координатного базиса, регулятора (19) и наблюдателя состояния (21), структурную схему системы управления представим в следующем виде (рис. 1).

Рис. 1 Структурная схема системы управления с регулятором состояния и наблюдателем

Проведенные вычислительные эксперименты с имитационными моделями синтезированных систем управления доказывают корректность алгоритмов синтеза регулятора и наблюдателя для рассматриваемого объекта нагрева. При проведении экспериментов случайные воздействия и , отражающие неучтенные взаимодействия среды и изменение различных параметров в пределах , были имитированы с помощью случайных сигналов типа белого шума.

Результаты моделирования рассмотренной системы управления с использованием наблюдателя состояния представлены на рис. 2.

На рис. 2 а в относительных единицах представлено сравнение выходной величины объекта нагрева с учетом случайных воздействий (кривая 2) и ее оценка (кривая 1), полученная с помощью синтезированного наблюдателя состояния. Результаты экспериментов показывают удовлетворительное качество фильтрования помех.

На рис. 2 б показаны истинные (промоделированные) значения вектора состояния замкнутой системы управления, являющиеся ненаблюдаемыми величинами (кривые 1 и 3), и их оценки (кривые 2 и 4), полученные с выхода идентификатора. Кривые 1 и 2 соответствуют истинному значению координаты , отвечающей температуре нагревателя, и его оценке; кривые 3 и 4 - истинному значению и оценке координаты , соответствующей температуре воздушной массы помещения. Отставание полученной оценки от реальной траектории зависит от интенсивности помех, действующих на входе и выходе объекта, а также от вычислительных особенностей реализации алгоритма управления.



Рис. 2 Выходные воздействия объекта и наблюдателя состояния (а) и истинные значения вектора состояния и его оценка (б)

управление обогрев помещение автономный



Библиографический список

1. Дилигенская А.Н., Щетинин В.Г. Устойчивость, управляемость и наблюдаемость систем обогрева помещений в условиях неполноты измерений // Вестник СамГТУ. Серия «Технические науки». - 2009. - №2 (24). - С. 12-16.

2. Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов, I-IV // Автоматика и телемеханика. - 1960. - №4. - С. 436-441; 1960. - №5. - С. 561-568; 1960. - №6. - С. 661-665; 1961. - №4. - С. 425-435.

3. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. - М.: Наука, 1976. - 424 с.

4. Справочник по активным фильтрам: Пер. с англ./ Д. Джонсон, Дж. Джонсон, Г. Мур. - М: Энергоатомиздат, 1983. - 128 с.

5. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления: Пер. с англ. - М.: Наука, 1985. - 298 с.

6. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1975. - 683 с.

Размещено на Allbest.ru