К вопросу определения передаточного отношения многорядных планетарных механизмов с одновенцовыми сателлитами

Для планетарного механизма с количеством рядов, равным m, можно записать систему из m кинематических уравнений следующего вида:

(8)

где b₁₁=1; b₁₂= p-1; b₁₃= -p; b₂₁=1; b₂₂= q-1; b₂₃= -q; ; ; (-передаточное отношение обращенного механизма m-го ряда).

Систему линейных уравнений (8) можно решить методом Крамера, который был положен в основу рассматриваемой методики. Для каждого механизма можно записать расширенную матрицу , которая имеет размерность :

(9)

где m- число строк матрицы, равное количеству рядов механизма; j- число столбцов матрицы, равное количеству скобок в формуле строения механизма, не содержащих 0. Элементы матрицы можно определить по формуле строения механизма. Элементами первого столбца матрицы являются коэффициенты, показывающие, какие звенья механизма присоединены к входному валу А. Элементы второго столбца показывают, какие звенья присоединены к выходному валу В. Третий и последующие столбцы составляют коэффициенты, показывающие те звенья механизма, на которые не накладываются внешние связи (как правило, это сложные звенья). Покажем определение элементов матрицы для двухрядного механизма (таблица3).

Таблица 3. Определение элементов расширенной матрицы

При определении элементов матрицы для механизма с числом рядов больше 2-х параметры p(q) заменяются на соответствующие передаточные отношения обращенных рядов (например: для трехрядного механизма - на параметр r).

Основная матрица А имеет размерность , l = j-1, и имеет следующий вид:

. (10)

В соответствии с формулой (1) при систему уравнений (8) можно решить по правилу Крамера

, (11)

где - определитель системы уравнений (8), - определитель матрицы, полученной из основной матрицы А путем замены первого столбца на j-ый столбец матрицы . Аналогично можно найти :

, (12)

где - определитель матрицы, полученной из основной путем замены второго столбца на j-ый столбец матрицы .

Тогда по формуле (2) передаточное отношение механизма можно найти из соотношения:

(13)

Система линейных уравнений имеет решение при .

На примере двухрядных механизмов покажем, что это условие выполняется. Для двухрядных механизмов основная матрица А имеет вид:

.

Определителем системы является следующее выражение:

.

Найдем, при каких значениях коэффициентов определитель системы =0. Рассмотрим и проанализируем каждый вариант:

1) а₁₁=0, а₂₁=0 - в этом случае основная матрица А имеет вид:

.

Такие значения элементов матрицы показывают, что к входному валу А не присоединено ни одно звено механизма;

2) а₁₂=0, а₂₂=0 - основная матрица имеет вид:

.

Полученная матрица показывает, что к выходному валу В не присоединено ни одно звено механизма;

3) а₁₁=0, а₁₂=0 - в этом случае основная матрица примет вид:

.

Такая матрица показывает, что к входному и выходному валам присоединены одинарные звенья второй ступени;

4) а₂₁=0, а₂₂=0 - основная матрица запишется следующим образом:

.

В этом случае к входному и выходному валам присоединены одинарные звенья первой ступени;

5) - такое равенство выполняется, если все коэффициенты равны 1; это значит, что зубчатые колеса z₁ и z₄ присоединены к входному валу, и те же самые колеса соединяются с выходным валом (см. таблицу 3); такой случай не реален.

Варианты 1 и 2 исключаются, так как в любом механизме есть звенья, присоединенные к входному валу. Есть также звенья, которые соединяются с выходным валом (согласно методике синтеза планетарных механизмов в любом комплекте внешних связей есть символы «А» и «В», обозначающие входной и выходной валы).

В вариантах 3 и 4 входной и выходной валы присоединены к одинарным звеньям одного и того же ряда. Согласно рекомендациям [7] такие механизмы, с точки зрения конструкции, нецелесообразны или вовсе непригодны для использования.

Таким образом, можно заключить, что схемы, для которых определитель основной матрицы будет равен 0 либо не существуют либо нецелесообразны и исключаются из рассмотрения.

Данная методика позволяет вывести формулу передаточного отношения для механизмов с любым числом рядов (рациональных с точки зрения конструкции). Поскольку на практике широкое применение получили двухрядные и трехрядные механизмы, покажем вывод формулы передаточного отношения на примере указанных механизмов.

Пример 1. Выведем формулу передаточного отношения для двухрядного механизма, формула строения которого записывается следующим образом: (14A)(3f )(e0)(6B).

Схема механизма показана на рис. 7.

Зубчатые механизмы

Размещено на http://www.allbest.ru/

56

http://tmm.spbstu.ru

Рис. 7 Структурная схема механизма (14A)(3f)(e0)(6B)