Применение критерия Келли для управления капиталом в случае усеченного нормального распределения доходности торговой системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Донецкий национальный технический университет

ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ КЕЛЛИ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ КАПИТАЛОМ В СЛУЧАЕ УСЕЧЕННОГО НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДОХОДНОСТИ ТОРГОВОЙ СИСТЕМЫ

Гурьянова Т.В.

Анотація

Робота присвячена аналізу алгоритмів динамічного управління капіталом, що грунтуються на критерії Келлі. Встановлені загальні закономірності залежності величини f* Р.Вінса від параметрів торгівельної системи, що оптимізується, для випадку обмеженого нормального закону розподілу прибутковості торгівельної системи.

Введение

Начало современной дискуссии об оптимальном управлении капиталом было положено Дж. Л. Келли. В своей работе [1], ставшей классической, он показал, что для достижения максимального роста своего благосостояния при реинвестировании, игрок должен максимизировать ожидаемую величину логарифма темпа роста своего капитала. В настоящее время известно большое количество алгоритмов динамического управления капиталом (ДУК), являющихся развитием критерия Келли.

В своей монографии [2] Р. Винс предложил оригинальный алгоритм ДУК - теорию «оптимального ». На недостатки применения этого эмпирического метода, связанного с высокой чувствительностью к величине наибольшего проигрыша, было указано в самой монографии [2], и для устранения этого недостатка Р. Винсом был предложен параметрический метод нахождения «оптимального ». Однако подробного анализа зависимости величины «оптимального » от параметров оптимизируемой торговой системы не приводится.

Данная работа посвящена изучению связи величины «оптимального » с доходностью торговой системы для случая нормального закона распределения.

Модель функционирования торговой системы

Любая торговая система может быть описана одномерным законом распределения вероятностей ее выходных случайных величин на интервале стационарности их реализации . В большинстве практических случаев это нормальный закон, который вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей (когда на систему действует одновременно большое количество разноправленных случайных факторов). В этом случае на интервале стационарности система характеризуется двумя числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией , которые являются постоянными и не зависят от времени.

В то же время, для реальной торговой системы на значения накладываются некоторые ограничения, которые в нашем исследовании сформулированы следующим образом: максимальный проигрыш системы не может быть больше 100%, максимальный выигрыш не может превышать значения 100%. Таким образом, . Например, если система при -й сделке выиграла 10% от вложенного капитала, то , если проиграла на -й сделке 90% от вложенного капитала, то . Следовательно, после сделок капитал игрока можно найти по формуле:

, (1)

где - капитал игрока после сделок, - первоначальный капитал игрока, - выигрыш (проигрыш) системы в -й сделке, - часть капитала, вложенная в -ю сделку. Тогда коэффициент приумножения капитала за сделок равен:

. (2)

где - средняя геометрическая сделка или темп роста капитала.

капитал келли доходность торговый

Алгоритм динамического управления капиталом

В монографии [2] Р. Винсом был предложен параметрический метод определения оптимальной части капитала при реинвестировании. В этом случае для нахождения - оптимальной доли капитала для реинвестирования, необходимо максимизировать логарифм темпа роста системы при реинвестировании, что может быть выражено уравнением:

, (3)

где - заданный закон распределения доходности системы.

Анализ результатов

Уравнение (2) решалось с использованием численных методов - метода Ньютона [3]. Для заданного закона распределения методом Симпсона [3] рассчитывалось значение интеграла (3), затем выбиралось начальное приближение значения (как правило ), далее проводилось уточнение решения. Расчеты значений проводилось с точностью до , поиск решения проводился на отрезке . Численное моделирование проводилось в среде табличного процессора MS Excel.

Расчеты значений «оптимального » проводилось для с шагом , с шагом .

Из анализа проведенных расчетов следует, что в этом случае существует достаточно широкая область значений параметров и , для которых значение почти не отличается от 1 (так, при любых значениях и значение ). В таких торговых системах применение критерия Келли почти наверное приведет к разорению. Таким образом, торговые системы, где , не представляют интереса для нашего исследования.

В таблице 1 приведены значения зависимости при с шагом , с шагом . В таблице 2 приведены значения зависимости при с шагом , с шагом .

На рис. 1 приведена поверхность, построенная по результатам расчета зависимости .

На рис. 2 приведен график зависимости .

Рисунок 1 Зависимость для случая усеченного нормального закона распределения

Таблица 1

Результаты расчетов для торговых систем при с шагом , с шагом

Таблица 2

Результаты расчетов для торговых систем при с шагом , с шагом

Рисунок 2 Зависимость для случая усеченного нормального закона распределения

Из анализа проведенных расчетов следует, что для случая ограниченного нормального закона распределения зависимость является практически линейной в широком диапазоне значений . Причем, при и значение (с точностью до 1%). При дальнейшем увеличении вариабельности величины выигрыша экономической системы зависимость становится существенно нелинейной.

Выводы

Проведенный анализ позволяет сделать вывод об общих закономерностях зависимостей и от параметров торговой системы и выбрать оптимальные параметры моделей торговых систем для анализа эффективности алгоритмов ДУК.

Очевидно, что для реальной задачи ДУК торговой системы (с ее ограниченным набором реализаций , на котором проводится оптимизация доли реинвестирования капитала) результаты будут отличаться от значений, полученных на неограниченном числе реализаций, однако общие закономерности сохранятся. При этом с увеличением периода анализа интервала стационарности для оценки последующего поведения ряда они будут выполняться с увеличивающейся степенью точности.

Литература

1. J. L. Kelly Jr. A New Interpretation of Information Rate. The Bell System Technical Journal, 35(4), 1956. P. 917-926.

2. Винс Р. Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров: Пер. с англ. М.: Альпина Паблишер, 2001. 400 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. 6-е изд. М.: Бином, 2008. 636 с.

Размещено на Allbest.ru