Приближенный способ конструирования оптимального управления движениями подземных вод в неоднородной пористой среде

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 532.546

ОБ ОДНОМ ПРИБЛИЖЕННОМ СПОСОБЕ КОНСТРУИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯМИ ПОДЗЕМНЫХ ВОД В НЕОДНОРОДНОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Ч.Д. Джаныбеков

А.А. Уралиев

В работе предлагается методика приближенного конструирования одной проблемы управления процессами движения подземных вод. Создан конструктивный алгоритм, реализующий предложенную в работе методику, пригодную смоделировать реальный процесс, происходящий в природе, с применением вычислительной техники.

Математическая модель управляемого процесса фильтрации, происходящего на некоторой ограниченной односвязной области D, в отрезке времени (0;T0], рассматривается в виде [1]

Здесь t время, [T]; xi i-ая прямоугольная декартовая координата, [L]; (х) коэффициент водоотдачи, [L-1]; h(t,x) искомая напорная функция, [L]; k(х) коэффициент фильтрации, [LТ-1]; f(t,х) функция, учитывающая инфильтрацию и испарение, [T-1]; p(t,х) искомая управляющая функция К примеру функция p(t,x) может описать работу водозаборной вертикальной дрену и др., [T-1], причем, и k считаются положительными.

Для уравнения (1) ставим следующие начально-краевые условия

h(0,x)=f0(x), xD,

где - внешняя нормаль к поверхности S. Предположим, что , k, f, f0, , - заданные функции от перечисленных аргументов, причем, [f0]=L, []=T-1, []=LT-1. Допустимым управлением будем брать функцию р(t,х)L2(Q).

Рассматриваемая нами задача оптимального управления заключается в том, чтобы найти допустимое управление p0(t,x) и соответствующее ему решение h0(t,x) задачи (1)-(3) такие, чтобы функционал [2]

принимал наименьшее возможное значение при p=p0, h=h0.

Здесь Т0 - фиксированный момент времени, а (х)L2(D) - заданная функция, с размерностью [L].

Введем: Тх характерное время; Lх характерная длина; Нх характерный напор. Из (1)-(4) вычислим следующие характерные величины:

Используя обозначения:

з

адачу (1)-(4) представим через безразмерные величины, вид которой ничем не отличается от (1)-(4), за исключением того, что одноименные переменные снабжены знаком тильды. С целью упрощения записи далее опускаем знак тильды.

Для получения условий оптимальности возьмем произвольное допустимое управление р (t,х) и обозначим через h (t,х) соответствующее ему решение задачи (1)-(3). Управлению р (t,х) дадим некоторое приращение р и обозначим через h соответствующее ему приращение функции h (t,х). Понятно, что функция h (t,x) является решением начально-краевой задачи

Вычислим приращение функционала (4)

С этой целью вычислим:

Далее для J имеем

.

Введем произвольную функцию (t,х) и составим справедливое равенство

А

налогично, составим приращение функционала

Вторую слагаемую из (7) интегрируя по частям, находим

Подставляя (8) в уравнение (7), имеем

При получении (9) мы учли, что h является решением краевой задачи (5).

До сих пор считалось, что (t,x) была произвольной функцией из . Теперь определим ее как обобщенное решение краевой задачи

.

Здесь h(t,x) - решение краевой задачи (1)-(3), соответствующее управлению р(t,х), а (х) - функция, фигурирующая в определении функционала J из (4). конструктивный природа вычислительный функционал

Как и выше, образуем справедливое равенство

для любой функции ф(t,х), обращающейся в нуль при t=0. Далее проводим интегрирование по частям:

Подставляя соответствующие преобразованные значения, из (11) приходим к равенству

или приходим к тождеству

Здесь ф(t,х) любая функция из , обращающаяся в нуль при t=0.

Из того, что (х)L2(D) и h(T0,х)L2(D), следует, что тождеством (12) функция (t,х) определяется однозначно.

В тождестве (12) полагая ф(t,x)=h(t,x) и вычитая из (12) выражение (9), получим

Из равенства (6) с учетом (13) имеем

До сих пор считалось, что управление р(t,х) была произвольной функцией, т.е. произвольным допустимым управлением, а h(t,х) - соответствующим ему решением начально-краевой задачи (1)-(3).

Если в формуле (14) положить р=р0, h=h0 и =0, то получим, что

для любого допустимого приращения р(t,х) и соответствующего ему приращения h(t,x), удовлетворяющего начально-краевую задачу (10).

Поскольку в неравенстве второе и третье слагаемые неотрицательны, то справедлива:

Теорема 1. Для того, чтобы управление р0(,х) и соответствующее ему решение h0(t,х) начально-краевой задачи (1)-(3) были оптимальными, достаточно, чтобы для соответствующей им функции 0(t,х) и любого допустимого приращения р(t,х) имело место неравенство

Если введем функцию

то вместо (16) можем брать неравенство

для всех допустимых управлений p(t,x). Итак, неравенство (17) эквивалентно следующему равенству

Здесь символ означает равенство, справедливое почти всюду в области Q, а максимум берется по всем р(t,х) из области допустимых значений.

Можно доказать, что сформулированное в теореме 1 достаточное условие оптимальности является также и необходимым. Поэтому окончательный вывод можно записать в виде следующей теоремы - принципа максимума:

Теорема 2 (принцип максимума). Для того, чтобы допустимое управление p(t,x) и соответствующее ему решение h0(t,x) начально-краевой задачи (1)-(3) были оптимальными, необходима и достаточно, чтобы функция Н удовлетворяла условию (17), в котором 0- решение краевой задачи (10) при h=h0.

Итак, предложенная методика дает возможность построить алгоритм, приближенно решающая сформулированную проблему оптимального управления.

Литература

1. Гидрогеологическое прогнозирование. Пер. с англ./Под ред. М.Г.Андерсона и Т.П.Берта. -М.: Мир, 1988. -736с.

2. Егоров А.С. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. -М.: Наука, 1978. -464с.

Размещено на Allbest.ru