Обчислення детермінованого еквіваленту випадкового трикутно розподіленого прибутку

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Оптимізаційні задачі фінансового менеджменту (наприклад, задачі формування календарних планів реального інвестування, управління портфелем фінансових активів, визначення страхувальником розміру страхової суми, управління валютним резервом, формування кредитного портфелю тощо) доводиться розв'язувати за умов ризику, оскільки економічна діяльність практично завжди є недетермінованою щодо майбутніх результатів, особливо щодо витрат, доходу, прибутку, терміну окупності тощо [1_3]. За умов ризику про майбутнє значення цільового фінансового показника можна говорити лише з точністю до певного проміжку його можливих значень та відповідного закону (функції) розподілу ймовірностей. Проте закон розподілу ймовірностей випадкової величини може бути невідомим. З іншого боку, можуть існувати вагомі підстави вважати функцію щільності розподілу імовірностей цієї випадкової величини одновершинною, з прийнятною оцінкою модального (найімовірнішого) значення її аргументу. У таких випадках слушно скористатися припущенням про трикутний закон розподілу ймовірностей, за якого функція щільності розподілу ймовірностей лінійно спадає до нуля по мірі відхилення аргументу від модального до будь-якого з граничних значень (йдеться про загальний, а не лише симетричний випадок трикутного розподілу).

Функція щільності розподілу імовірностей неперервної трикутно розподіленої на відрізку випадкової величини має наступний аналітичний вигляд:

де _ модальне (найімовірніше) значення цієї випадкової величини, тобто таке її значення, за якого функція щільності розподілу імовірностей набирає на відрізку свого максимального значення, що дорівнює .

Графік цієї функції щільності розподілу імовірностей наведено на рисунку 1.

Рис. 1. Графік функції щільності розподілу імовірностей неперервної трикутно розподіленої на відрізку випадкової величини з мінімально можливим значенням , максимально можливим та модальним значенням

Нагадаємо, що основні статистичні характеристики неперервної трикутно розподіленої на відрізку випадкової величини з модальним значенням обчислюються за формулами:

· математичне сподівання: ;

· стандартне відхилення: .

Відомо, що в одній і тій самій ризиковій ситуації різні особи можуть обирати різні рішення, керуючись власною системою переважань - їх індивідуальним ставленням до невизначеності та ризику. Сучасна теорія корисності, започаткована Нейманом і Моргенштерном [4], стверджує, що за умов ризику щодо майбутнього, скажімо, прибутку ООР (особа, яка обирає рішення) керується не показником очікуваного прибутку, а показником очікуваної корисності прибутку, який одночасно враховує як індивідуальні переважання ООР (для цього слугує функція корисності), так і закон (функцію) розподілу ймовірностей можливих значень відповідного випадкового прибутку.

Очікувана корисність неперервно розподіленого на відрізку випадкового прибутку визначається за формулою:

,

де _ визначена принаймні на відрізку індивідуальна функція корисності прибутку, а _ функція щільності розподілу імовірностей випадкового прибутку.

Розрізняють три основних типи індивідуального ставлення до ризику: нейтральність, несхильність і схильність За нейтрального ставлення ООР до ризику її функція корисності прибутку є лінійною: , за несхильного - вгнутою, за схильного - опуклою. Причому у випадках, коли ставлення до ризику відрізняється від нейтрального, слушно використовувати експоненційні залежності [1, 5, 6]: (). Параметри та дозволяють обирати зручні масштаб і початок відліку, тобто визначати межі варіації значень відповідної функції корисності, а параметр в експоненційній залежності корисності від прибутку характеризує особливості індивідуальних переважань ООР у випадку, якщо її ставлення до ризику відрізняється від нейтрального. Зокрема, у зростаючій залежності корисності від прибутку , якщо ООР є несхильною до ризику, або , якщо схильною; причому є тим більшим, чим більше ставлення ООР до ризику відрізняється від нейтрального типу чи то у бік несхильності, чи у бік схильності. Типові графіки нормованих значеннями 0 та 1 на множині можливих значень прибутку від 100 до 1000 грошових одиниць (г.о.) функцій корисності доходу, які відповідають різним типам переважань ООР, наведені на рисунку 2. Ідентифікація функції корисності здійснюється за результатами відносно простого опитування ООР.

Рис. 2. Нормовані функції корисності прибутку осіб з різними типами ставленням до ризику

Детермінований еквівалент неперервного на відрізку випадкового прибутку, у свою чергу, визначається рівнянням:

,

причому наближено детермінований еквівалент випадкового прибутку можна обчислити за формулою [1, 7, 8]:

,

де значення множника визначається індивідуальним ставленням ООР до ризику. А саме: , якщо ООР є нейтральною щодо ризику, , якщо вона несхильна до ризику та , якщо ООР схильна до ризику. Орієнтовні значення цього множника наступні: , якщо ставлення до ризику дещо відрізняється від нейтрального; , якщо ставлення до ризику впевнено відрізняється від нейтрального; , якщо ставлення ОПР до ризику значно відрізняється від нейтрального.

Але корисно мати інструменти для більш точного обчислення детермінованого еквіваленту неперервного трикутно розподіленого на відрізку випадкового прибутку.

Знайдемо спочатку, маючи на увазі відповідну функцію корисності, очікувану корисність трикутно розподіленого на відрізку випадкового прибутку.

За нейтрального ставлення до ризику:

=

.

Якщо ставлення до ризику відрізняється від нейтрального, очікувана корисність трикутно розподіленого на відрізку випадкового прибутку дорівнюватиме:

=

.

Нарешті, з рівняння знайдемо детермінований еквівалент трикутно розподіленого на відрізку випадкового прибутку.

За нейтрального ставлення до ризику матимемо рівняння:

,

Тобто:

.

Отже, за нейтрального ставлення до ризику детермінований еквівалент трикутно розподіленого на відрізку випадкового прибутку збігається з математичним сподіванням цього випадкового прибутку. До речі, така властивість справджується не лише для трикутно розподіленого, а й для будь-якого випадкового прибутку.

Якщо ставлення до ризику відрізняється від нейтрального, детермінований еквівалент трикутно розподіленого на відрізку випадкового прибутку визначатиметься рівнянням:

,

з якого випливає, що:

і, остаточно:

.

В інший спосіб останню формулу можна подати і так:

.

Бачимо, що значення детермінованого еквіваленту випадкового прибутку не залежить від параметрів та функції корисності. Тобто для обчислення детермінованого еквіваленту випадкового прибутку лишається визначити тип індивідуального ставлення до ризику (нейтральність, несхильність або схильність) та оцінити параметр у випадку, коли ставлення до ризику відрізняється від нейтрального. Для цього можна скористатися такою методикою /розроблено за матеріалами [1, 8, 9]/.

Спочатку оберемо межі області визначення функції корисності, тобто межі можливої варіації прибутку: та (), і з'ясуємо, чому дорівнює, на думку ООР, детермінований еквівалент лотереї з двома однаково імовірними рівнями прибутку: або , або грошових одиниць.

Можливі варіанти відповіді ООР наступним чином характеризують її ставлення до ризику:

Корисність детермінованого еквіваленту лотереї , можливі наслідки або якої є однаково імовірними, дорівнює . Тому, якщо ставлення ООР до ризику відрізняється від нейтрального, тобто коли , для оцінювання параметру експоненційної функції корисності () маємо рівняння: , з якого випливає, що .

Уведемо замість невідомої величини нову невідому величину : , тобто виконаємо заміну змінної: . Крім цього, подамо у вигляді: , де (чим більшим є значення , тим сильніше ставлення ООР до ризику відрізняється від нейтрального), знак "-" відповідає несхильності до ризику (коли ), а знак "+" - схильності до ризику (коли ). Тоді щодо нової змінної матимемо рівняння: . У таблиці 1 наведено нетривіальні (що відрізняються від 1), обчислені з точністю до трьох знаків після коми, значення коренів відповідних рівнянь, що відповідають різним можливим значенням .

Таблиця 1. Нетривіальний корінь рівняння , залежно від значення параметра ()

Припустимо, наприклад, що деяка особа детермінованим еквівалентом лотереї вважає прибуток у розмірі 685 грошових одиниць. Це свідчить про її схильність до ризику, причому:

.

З таблиці 1 знаходимо, що , тобто обчислення параметру здійснюватиметься за формулою:

.

Якщо інша особа вважає, що детермінований еквівалент лотереї дорівнює 325 грошових одиниць, вона є несхильною до ризику та для неї матимемо такі обчислення:

,

,

і, остаточно, з використанням знаку "-" для несхильної до ризику ООР:

.

Ще один спосіб визначення параметру експоненційної функції корисності полягає у такому. Позначимо через лотерею з двома альтернативними рівнями прибутку та грошових одиниць (), в якій більший рівень прибутку може статися з імовірністю , а менший рівень прибутку - відповідно - з імовірністю (). Запропонуємо ООР вказати саме таку ймовірність , за якої детермінований еквівалент лотереї дорівнюватиме . Тоді (інакше, якщо , маємо випадок нейтрального ставлення ООР до ризику, що відтворюється не експоненційною, а лінійною функцією корисності), а для параметру експоненційної функції корисності справджуватиметься рівність: . Очевидно, що значення відповідає несхильній, а значення _ схильній до ризику особі.

Скажімо, якщо прибуток у розмірі 550 грошових одиниць є, на думку ООР, детермінованим еквівалентом лотереї , в якій кращий наслідок 1000 г.о. може статися з імовірністю 0.75 (), а гірший наслідок 100 г.о. - з імовірністю 0.25, це свідчить, що ООР є несхильною до ризику (оскільки ), причому .

Наявність двох способів обчислення параметру дозволяє зменшити можливі похибки у відповідях ООР при оцінюванні її індивідуального ставлення до ризику.

Приклад. Потрібно порівняти за показником майбутнього прибутку альтернативні варіанти бізнес-плану, якщо прибутки за кожним із варіантів вважаються випадковими величинами з відомими лише мінімальними, максимальними та модальними значеннями (таблиця 2), що дає підставу скористатися припущенням про трикутні закони розподілу відповідних випадкових величин.

Таблиця 2. Показники прибутків за альтеративними варіантами бізнес-плану, грошових одиниць (г.о.)

Насамперед визначимо межі варіації значень прибутку, в яких будемо відбивати переважання ООР. Зараз нас цікавитиме проміжок в межах від 100 до 1000 г.о. (мінімальне значення відповідає П варіанту бізнес-плану, а максимальне - першому варіанту). Далі опитаємо ООР і припустимо, що, на її думку, детермінований еквівалент лотереї з двома рівноймовірними наслідками - або 100, або 1000 г.о. _ дорівнює 325 грошових одиниць, а рівень прибутку у розмірі 550 грошових одиниць є, в свою чергу, детермінованим еквівалентом лотереї , в якій наслідок 1000 г.о. може статися з імовірністю 0.75, а наслідок 100 г.о. - з імовірністю 0.25. Це свідчить, що особа є несхильною до ризику, тобто що для відбиття її переважань слід користуватися не лінійною, а експоненційною функцією корисності прибутку:

, .

Як було проілюстровано вище, для параметру цієї залежності ми отримаємо дві оцінки: за першим способом , а за другим _ .

Послідовність обчислення детермінованих еквівалентів випадкових прибутків за кожним з варіантів бізнес-плану при значенні показана у таблиці 3, з якої бачимо, що , , грошових одиниць.

Обчислення детермінованих еквівалентів випадкових прибутків за кожним з варіантів бізнес-плану за формулою:

при

Таблиця 3

За аналогічною послідовністю обчислюються і детерміновані еквіваленти випадкових прибутків за кожним з варіантів бізнес-плану при другому значенні . Зведені підсумки усіх розрахунків наведено у таблиці 4.

Таблиця 4. Межі варіації детермінованих еквівалентів випадкових прибутків за кожним з варіантів бізнес-плану, з огляду на похибки при визначенні індивідуальних переважань

Отже, згідно переважань ООР, найбільш прибутковим слушно вважати Ш варіант бізнес-плану, а найменш прибутковим _ П варіант, хоч показники математичного сподівання випадкових прибутків за кожним із трьох варіантів бізнес-планів збігаються (таблиця 5). Звернемо увагу, що наближена формула обчислення детермінованих еквівалентів за найбільш прибутковий теж вказувала б на Ш варіант, проте її висновки щодо порівняння І та П варіантів бізнес-плану були б іншими, оскільки за несхильності до ризику, якою є наша ООР, наближена формула кращим у разі однакових математичних сподівань (за несхильності до ризику в ній слід обирати значення ) визначала б такий випадковий прибуток, стандартне відхилення якого є меншим, тобто віддавала б перевагу П варіанту бізнес-плану у порівнянні з І варіантом.

Таблиця 5. Основні статистичні характеристики випадкових прибутків за альтеративними варіантами бізнес-плану, г.о.

випадковий прибуток статистичний бізнес

Результати порівняння І та П варіантів бізнес-плану за точною і наближеною формулою свідчать про перевагу точного способу обчислення детермінованого еквіваленту порівняно із наближеним. Це пояснюється тим, що випадкова величина прибутку не характеризується повністю лише її математичним сподіванням та стандартним відхиленням, тобто при порівнянні випадкових альтернатив ООР бере до увага ще щось, що не враховано у наближеній формулі. Так, на користь І варіанту бізнес-плану, у порівнянні з П варіантом, свідчить те, що за І варіантом і мінімально можливе, і максимально можливе значення випадкового прибутку є вищими, аніж відповідні значення за П варіантом.

Розроблено інструментарій обчислення детермінованого еквіваленту випадкового прибутку у випадку, коли цей прибуток є трикутно розподіленою випадковою величиною. Показано переваги точного оцінювання у порівнянні з наближеним. Наведено приклад використання методу для задачі порівняння альтернативних бізнес-планів з метою вибору найприбутковішого.

Література

1. Кігель В.Р. Методи і моделі підтримки прийняття рішень у ринковій економіці: Монографія. /В.Р. Кігель. - К.: ЦУЛ, 2003. - 202 с.

2. Вітлінський В.В. Ризикологія в економіці та підприємництві: Монографія. /В.В. Вітлінський, Г.І. Великоіваненко. - К.: КНЕУ, 2004. - 480 с.

3. Степанкевич К.С. Ризикологія та оцінювання економічних ризиків. /К.С. Степанкевич, О.І. Шаров. - К.: Університет "КРОК", 2007. - 119 с.

4. Нейман фон Дж. Теория игр и экономическое поведение. /Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн: пер. а англ. - М.: Наука, 1970. - 700 с.

5. Кини Р.Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. /Р.Л. Кини, Х. Райфа Х: пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1981. - 560 с.

6. Кігель В.Р. Про можливості відбиття різних типів переважань ОПР лінійними, степеневими та показниковими функціями цінності (корисності). /В.Р. Кігель //Вчені записки. Інститут економіки, управління та господарського права. - 1999. - Вип. 3. - С. 183-190.

7. Кігель В.Р. Наближене обчислення детермінованого еквіваленту випадкового прибутку з метою визначення найприбутковішої альтернативи за умов ризику. /В.Р. Кігель // Вчені записки /Університет економіки та права “КРОК”. - 2009. - Вип. 20, том Ш (Серія “Економіка”). - С. 209-214.

8. Кігель В.Р. Оптимізація фінансових рішень: навчальний посібник. /В.Р. Кігель. _ К.: Дорадо_Друк, 2011. - 172 с.

9. Олексюк О.С. Системи підтримки прийняття фінансових рішень на мікрорівні Монографія. /В.Р. Кігель. - К.: Наукова думка, 1998. - 508 с.

Размещено на Allbest.ru