Разработка логико-вероятностных моделей, методов и алгоритмов для управления риском и эффективностью в структурно-сложных системах

Каждой строке таблицы соответствует состояние системы, которое характеризуется значениями влияющих параметров и параметра эффективности. Значения параметров обозначаются заглавными буквами , значения параметра эффективности буквой Y. Влияющие параметры могут быть как непрерывными, так и иметь естественную дискретизацию. Параметр эффективности задается по статистическим данным или вычисляться по значениям влияющих параметров.

Таблица 1. Значения влияющих параметров и параметра эффективности

Модификация базы данных. Некоторые влияющие параметры (табл. 1) изменяются непрерывно, т.е. множество возможных значений для них бесконечно. Для использования ЛВ-исчисления необходимо перейти к множествам с конечным числом элементов. Для этого диапазоны изменения значений влияющих параметров разобьем на интервалы. Число интервалов N_j в общем случае может быть разное для каждого параметра. Пронумерованные интервалы рассматриваются как состояния (или градации) . Параметр j обозначим переменной z_j. Состояние r параметра j обозначим как z_jr. Таким образом, переменная z_j принимает конечный набор значений . Табл.1 преобразуется к виду табл. 2.

Таблица 2. Состояния влияющих параметров и значения эффективности

Каждое состояние имеет вероятность его появления по статистике:

, (1)

где N_jr - число попаданий значения параметра j в интервал r;

T - объем статистических данных.

Состояния каждого параметра составляют группу несовместных событий (ГНС). Сумма вероятностей в ГНС равна 1:

. (2)

В простейшем виде структурная модель системы представлена на рис.1. Системе ставится в соответствие переменная y, имеющая множество значений, которым соответствуют состояния этой системы. Каждое из состояний y₁, y₂, …, y_i, …, y_N характеризуется уникальным набором градаций влияющих параметров z_i1, z_i2, …, z_in. Всего система может иметь следующее число разных состояний:

, (3)

где N_j - число состояний параметра j.

Важно, что после перехода к конечным множествам состояний можно применять ЛВ-исчисление и ЛВ-методы с ГНС. Будем рассматривать эти состояния как логические переменные. Так, переменная z_jr принимает значение 1, если параметр j принимает состояние r, т.е. его значение попадает в интервал r. Переменная y_i принимает значение 1, если система принимает состояние i.

Рисунок 1. Структурная модель системы

Такое рассмотрение позволяет решать задачи двух разных типов с разными логическими функциями. При этом в обоих случаях неуспех определяется как вероятность перехода эффективности системы за пороговое значение, а риск - как вероятность неуспеха.

§ Оценка вероятности появления того или иного состояния системы. В этом случае логическая функция имеет следующий вид:

. (4)

Задача сводится к моделированию различных состояний системы для получения дискретного распределения эффективности. Риск оценивается как интегральная характеристика множества состояний. Предполагается, что для каждого состояния системы можно вычислить эффективность, т.е. имеется функциональная зависимость:

. (5)

§ Оценка вероятности неуспеха того или иного состояния системы. Логическая функция формулируется, как «неуспех происходит, из-за любого одного события или двух..., или всех событий»:

. (6)

Это задача анализа, которая сводится к оценке влияния отдельных параметров и их градаций на риск и эффективность системы в целом. Решается она в тех случаях, когда эффективность невозможно вычислить по состояниям влияющих параметров.

Моделирование риска и эффективности. Запишем логическую функцию для всех возможных состояний системы:

. (7)

При этом состояние i описывается логической функцией:

. (8)

Таким образом, все состояния системы описываются совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ):

. (9)

Здесь строкам соответствуют состояния системы. Их связывает логическое сложение (дизъюнкция). Знак конъюнкции, связывающий состояния влияющих параметров, опущен. Любые два дизъюнкта (состояния системы) ортогональны. Например:

;

ортогональны, так как их логическое произведение равно 0:

, ибо ,

так как и входят в одну группу несовместных событий.

Целью моделирования является построение дискретного распределения эффективности системы. Для этого для каждого из N состояний системы определяется эффективность и вероятность его появления. Эффективность определяется по известной функции вида (5). Вероятности появления состояний системы вычисляют по-разному с помощью разных ЛВ-моделей. Дискретное распределение (рис.2) получается после сортировки состояний по возрастанию эффективности.

Рисунок 2. Распределение эффективности системы

Число состояний системы может быть астрономически большим (3). Но поскольку разные состояния логически ортогональны, с помощью метода Монте-Карло достаточно сгенерировать только небольшую их часть (несколько тысяч).

Основными интересующими показателями являются минимально допустимая эффективность Y_ad и уровень риска Risk. Risk - это вероятность того, что эффективность системы окажется ниже минимально допустимой Y_ad. Эти величины взаимосвязаны, и при наличии дискретного распределения, задав одну, всегда можно определить другую.

Для определения риска при заданной величине Y_ad необходимо просуммировать вероятности состояний, эффективность которых ниже Y_ad:

, , (10)

где - вероятность состояния i системы; - эффективность состояния i.

Для определения Y_ad при заданном риске необходимо суммировать вероятности состояний системы пока сумма меньше заданного риска.

Дополнительно к Risk и Y_ad можно вычислить: мат. ожидание эффективности , стандартное отклонение у и др. характеристики.

Оптимизация системы сводится к подбору оптимальных весов влияющих параметров x₁,…,x_j,…,x_n для удовлетворения одному из критериев.

Критерии оптимизации:

1. Максимизация минимально допустимой эффективности при заданном уровне риска:

; . (11)

Этот критерий использовался ранее для портфеля ценных бумаг.

2. Минимизация риска при заданной минимально допустимой эффективности:

;. (12)

Этот критерий ранее не использовался. Он предполагает непосредственное снижение риска как вероятности неуспеха.

Ограничения: сумма весов влияющих параметров должна равняться 1:

, . (13)

Особенности задачи оптимизации:

§ Она является нелинейной и отличается большой вычислительной сложностью.

§ Целевая функция задается в неявной форме. Аналитические производные целевой функции по x вычислить невозможно.

§ Сумма параметров x должна быть равна 1.

§ Задача оптимизации решается алгоритмическим итеративным методом.

Предложены алгоритмы ее решения на основе метода случайного поиска и метода градиентов. Их особенностью является учет условия (13), что существенно усложняет оптимизацию. На каждом шаге оптимизации сгенерированные значения х нужно нормировать:

; j=. (14)

В методе оптимизации на основе случайного поиска приращения для x генерируются случайным образом на каждом шаге по формуле:

(15)

где K - случайное число с равномерным распределением в интервале [-1, +1]; k₁ - коэффициент; N_v , N_opt - номер шага и заданное число оптимизаций.

После генерации приращений x и нормирования (14), вычисляется значение целевой функции G^*. Если она увеличилась (G^*>G), то ее значение и соответствующие x запоминаются. Если целевая функция не увеличилась, то генерация x повторяется до тех пор, пока она не увеличится, но не больше заданного числа повторений N_mc.

Если целевая функция так и не увеличилась, то производят отступ. Для этого берется ее меньшее значение, например, по предыдущему шагу оптимизации (G=G^v-1). Смысл этого приема следующий. Целевая функция может находиться в локальном экстремуме. Поэтому уменьшают достигнутое ранее значение G. При продолжении оптимизации целевая функция стремится увеличиться. На новых шагах оптимизации будут получены другие значения параметров x₁,…,x_j,…,x_n. Траектория оптимизации искривится, и целевая функция может увеличиться.

В методе на основе градиентов приращения x_j вычисляют по знаку изменения целевой функции Следуя классической схеме нелинейной оптимизации, такая задача решается алгоритмически за несколько шагов, включающих в себя две операции:

1. Поочередно определяются знаки приращения для x₁,…,x_j,…,x_n:

, (16)

где k₁ - коэффициент из интервала [0,1; 0,2]. После нормирования x определяется знак изменения целевой функции: G_j = G^v - G_j

2. Вычисляются новые значения x:

, (17)

где k₂ - коэффициент из интервала [0,3; 0,7].

Анализ риска и эффективности. Задача анализа состоит в определении степени влияния разных параметров и их градация на риск и эффективность системы. Особенно она важна для тех параметров, которые непосредственно не входят в формулу для расчета эффективности (5). Анализ предлагается проводить на основе расчета частотных и вероятностных вкладов в риск и эффективность.

Частотные вклады определяются по статистическим данным (табл.2):

(18)

где N^b_jr - число опасных состояний по условию (19), содержащих градацию r параметра j; N_ad - число всех опасных состояний.

(19)

Эти вклады позволяют выделить те градации влияющих параметров, которые чаще всего приводят к отклонению эффективности системы ниже минимально допустимого уровня.

Вероятностные вклады определяются решением задачи идентификации ЛВ-модели по статистическим данным. Логическая функция (6) ставится в соответствие каждому состоянию системы из статистики (табл.2). Таким образом, осуществляется переход от базы дынных к базе знаний в виде системы логических уравнений:

(20)

Переменная y принимает значение 0 для состояний удовлетворяющих условию (19) и значение 1 в остальных случаях.

Логическая функция (6) приводится в ортогональную форму:

, (21)

которая позволяет подставлять вместо логических переменных вероятности, соответствующих событий, а вместо знаков конъюнкции и дизъюнкции - умножение и сложение. Таким образом, от системы логических уравнений можно перейти к системе вероятностных полиномов:

(22)

Здесь - вероятность, с которой градация параметра вызывает нежелательное событие (эффективность ниже допустимой); r - номер градации; j - номер параметра. Эти вероятности являются вкладами, которые определяются решением задачи идентификации.

Общее число состояний системы велико (3). Только часть из них реализована в статистике. Результаты вероятностного анализа позволяют оценить риск того, что эффективность окажется ниже минимально допустимого значения для еще не реализованных состояний системы. Чтобы сделать это, необходимо подставить вероятности v_jr, соответствующие градациям влияющих параметров, в (21).

Помимо вкладов градаций можно определить вклады параметров в целом, отражающие степень их влияния на риск нежелательного события:

, (23)

где - число градаций параметра j; - частота появления градации r параметра j в статистических данных (1).

ЛВ-модели риска и эффективности. При вычислении вероятности состояний системы не всегда можно пренебрегать зависимостью влияющих параметров. В связи с этим, рассмотрены три модели риска.

ЛВ-модель без учета зависимости. Поскольку взаимосвязь параметров между собой не учитывается вероятности можно подставлять в (8) вместо соответствующих логических переменных. Получим следующую формулу для расчета вероятности состояния i:

. (24)

По (24) можно рассчитать вероятность любого из возможных состояний системы, и таким образом, восстановить информацию о состояниях, не встречавшихся в статистике.

ЛВ-модель с полным учетом зависимости между влияющими параметрами использует многомерное совместное распределение. При этом вероятность состояния i системы равна:

, (25)

где - число появлений комбинации состояний .

При использовании (25) вероятности только части состояний будут отличны от 0. Все остальные считаются невозможными. Совместное распределение содержит в себе всю информацию о зависимости между влияющими параметрами. В этом его достоинство. Недостатком является то, что оно предоставляет информацию только о состояниях, которые встречались в истории (табл. 2). Для того чтобы распределение параметра эффективности было достоверным необходимо накопить информацию за достаточно большой период времени.

ЛВ-модель с учетом зависимости влияющих параметров от внешнего фактора имеет следующее допущение: влияющие на эффективность системы параметры не зависят друг от друга, но зависят от какого-то внешнего параметра. Будем называть его внешним фактором. Такой подход интересен главным образом при решении задач, связанных с инвестициями. В качестве внешнего фактора можно взять индекс фондового рынка.

Логическая функция (8) описывает все состояния системы. Запишем функцию для состояния i c учетом влияния фактора f:

, (26)

где , , , .

Каждое из состояний системы составное. Его части отличаются разными градациями фактора f:,,…,. Все слагаемые ортогональны друг другу, так как состояния фактора ортогональны, ибо они составляют ГНС. Запишем формулу вероятности состояния i:

. (27)

Вероятность - это частота появления в статистических данных градации параметра j, при условии, что фактор f имеет градацию :

. (28)

Как и в случае без учета зависимости, логическая функция помогает восстановить состояния, не встречавшиеся в статистике. При этом за счет учета зависимости можно повысить точность прогнозирования модели.

В ГЛАВЕ 3 выполнены исследования разработанных ЛВ-моделей, методов и алгоритмов на реальных и модельных данных. Основная часть исследований проводилось для такой системы, как портфель ценных бумаг. Методы анализа апробировались для газоперекачивающего агрегата (ГПА), используемого в системах магистрального транспорта газа.

Для модели без учета зависимости проводилось сопоставление с аналитическим подходом. Показана одинаковая точность расчета показателей риска и эффективности для случая с нормально распределенными доходностями активов.

Показана возможность замены полного множества возможных состояний портфеля (3) неполным числом случайных состояний, полученных методом Монте-Карло, что решает проблему вычислительной сложности при высокой близости результатов. В табл.3 приведены результаты вычислений, которые свидетельствуют, что уже при моделировании 50000 состояний обеспечивается приемлемая точность вычисления средней и минимально допустимой Y_ad эффективности (доходности) портфеля.

Таблица 3. Характеристики портфеля и число моделируемых состояний

Проводились исследования по оценке точности прогнозирования ЛВ-моделей по следующей технологии. Брался некоторый уровень риска, например Risk=0,05. На заданном периоде времени ежедневно моделировалось дискретное распределение доходности портфеля. С помощью него определялась минимально допустимая доходность Y_ad. На следующий день фиксировалась фактическая доходность Y. Она может быть как выше, так и ниже прогнозной Y_ad. Вычислялась частота отклонений в меньшую сторону:

, (29)

где - частота наблюдений, когда фактическая доходность была ниже прогнозной; - число наблюдений, когда фактическая доходность была ниже прогнозной; N - общее число наблюдений.

Значение частоты должно быть как можно ближе к выбранному уровню риска Risk. Отклонение в ту или иную сторону свидетельствует о неточности модели. Такие расчеты проводились одновременно для нескольких уровней риска: 0,01; 0,05; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7. Для удобства сопоставления моделей рассчитывалась ошибка :

, (30)

где - величина для уровня риска Risk_i; m - количество уровней риска.

В табл. 4 приведены результаты оценки точности моделей риска и эффективности для портфеля из акций 6 российских компаний (Татнефть, Уралсвязьинформ, Сбербанк, РАО ЕЭС, Сургутнефтегаз, ГМК Норильский Никель). Брался 300 дневной период (с 8/11/2004 по 30/12/2005). Лучшие результаты показала модель с учетом зависимости от фактора.

Таблица 4. Результаты оценки точности моделей риска и эффективности

Экспериментальные исследования методов итеративной оптимизации показали эффективность обоих разработанных методов. Метод на основе градиентов требует несколько меньше вычислительного времени. Отличия в получаемых значениях x незначительны.

Выполнялись также исследования по управлению портфелем ценных бумаг. Это периодическое изменение долей активов в соответствии с результатами оптимизации. Приведен пример управления портфелем, состоящим из акций 8 российских компаний (Аэрофлот, ГМК Норильский Никель, Иркутскэнерго, Лукойл, Ростелеком, РАО ЕЭС, Сбербанк-п, Татнефть), па периоде с 1/1/2005 по 1/6/2005. В табл. 5 представлены показатели качества управления портфелем. Среди них коэффициенты Шарпа и Сортино, которые говорят, на сколько доходность портфеля оправдана принятым уровнем риска. Для сравнения также приведены характеристики для неизменяемого портфеля и индекса РТС. Данные свидетельствуют об эффективности управления портфелем. По доходности удалось значительно превысить индекс рынка и равновесный портфель, при этом стандартное отклонение доходности управляемого портфеля ниже. Коэффициенты Шарпа и Сортино оказались выше в 3,2 и в 4,8 раза. График изменения стоимости тестируемых позиций (рис. 3) также отражает эффективность подхода.

Таблица 5. Показатели качества управления портфелем

Рисунок 3. Графики изменения стоимости позиций

Анализ риска и эффективности работы ГПА по данным мониторинга. ГПА - это устройство, которое используется в компрессорных станциях для повышения давления в газопроводе. В системе Газпрома на 2002г. число ГПА составило 4039 шт. Каждое состояние ГПА определяется множеством измеряемых параметров, таких как: обороты центробежного нагнетателя, объемный расход газа, обороты турбин высокого и низкого давления, давление и температура окружающей среды, давление и температура газа на входе и на выходе ГПА и т.д. Эти параметры измеряются для всех работающих ГПА через каждые 2 часа и сохраняются в центральной базе данных. В качестве параметра, характеризующего эффективность работы ГПА, была выбрана температура на выходе центробежного нагнетателя. Чем выше степень повышения давления, тем выше эта температура. Вместе с тем, высокая температура газа приводит к усилению коррозии и эрозии, разрушающих внутреннюю стенку трубопровода. Также она может означать неудовлетворительное техническое состояние каких-то элементов ГПА (износ каналов, увеличение торцевых и осевых зазоров для перетекания газа в центробежном нагнетателе), а, следовательно, неэффективную работу агрегата. В соответствии с ЛВ-подходом были введены конечные множества для значений параметров газа на входе и на выходе ГПА, задан допустимый уровень эффективности и рассчитаны частотные и вероятностные вклады для градаций влияющих параметров. Исследования показали перспективность разработанных методов анализа для диагностирования ГПА в режиме эксплуатации.

В ГЛАВЕ 4 описывается программный комплекс Portfolio RiskLab, реализующий разработанные в работе методы для управления риском и эффективностью портфеля ценных бумаг. Программный комплекс имеет следующие режимы работы: редактирование портфелей, оценка риска, оптимизация, тестирование управления портфеля на исторических данных, оценка точности моделей риска. Вид приложения в режимах редактирования портфелей и оценки риска представлен на рис. 4 и рис. 5.

Рисунок 4. Редактирование портфелей

Рисунок 5. Оценка риска портфеля

В режиме оценки риска возможно использование всех моделей, описанных в главе 2, а также нормального распределения с учетом корреляции. Рассчитываются такие характеристики как минимально допустимая эффективность (доходность) Y_ad при заданном уровне риска Risk, VaR портфеля, стандартное отклонение эффективности , мат ожидание эффективности , минимально допустимая стоимость V_ad.

Оптимизации структуры портфеля осуществляется как методом случайного поиска, так и методом градиентов и возможна по одному из критериев: максимизация минимально допустимой эффективности при заданном риске (11), минимизация риска при заданном уровне минимально допустимой эффективности (12).

В режиме тестирования управления портфелем можно выбрать разные портфели или разные модели риска и эффективности для одного и того же портфеля и сравнить их. Также можно сопоставить результаты управления с неизменным портфелем либо единичным инструментом, например индексом рынка. Учитывается комиссия за совершение операций купли и продажи ценных бумаг.

В режиме оценки точности моделей риска для заданного портфеля выбирается несколько моделей с разными параметрами. Задается интервал тестирования, горизонт прогнозирования и уровни риска. Как результат рассчитываются частоты (29) и ошибки (30) для каждой модели.