Эволюционные процедуры решения комбинаторных задач на графах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эволюционные процедуры решения комбинаторных задач на графах

Б.К. Лебедев, О.Б. Лебедев

В работе излагается методика представления решения на базе матрицы смежности графа, адаптивные механизмы видоизменения матрицы смежности, и рассматривается структура процесса эволюционной модификации матрицы смежности для решения комбинаторных логических задач на графах.

Введение

Среди набора комбинаторно-логических задач на графах важное место занимает проблема определения паросочетаний, раскраски графа, выделения в графе внутренне устойчивого множеств вершин и клик. Эвристические алгоритмы решения данных задач применяются при проектировании инженерных сетей, коммуникаций, построения систем поддержки принятия решений в неопределенных условиях, проектировании СБИС и т.п. Задачи такого типа относятся к переборным задачам с экспоненциальной временной сложностью. В этой связи разрабатывают различные эвристики для построения алгоритмов с полиномиальной временной сложностью. Существуют алгоритмы определения паросочетаний в графе, основанные на использовании потоков в сетях [Андерсон, 2003], [Кормен и др., 2000], имитационного моделирования [Свами и др., 1984], генетического поиска [Курейчик и др., 2003] и других эвристиках. В работе предлагается новый метод определения максимального паросочетания в графе, основанный на идеях поисковой адаптации.

1. Основные положения

Одной из широко востребованных задач целочисленного программирования является задача о паросочетании максимальной мощности, рассматриваемой в комбинаторном направлении теории графов. Паросочетанием графа G=(X,U) называет подмножество таких рёбер U'U, что любые два ребра u_k,u_l U 'не имеют общих вершин, т.е. не смежны. Паросочетание максимальной мощности определяется как паросочетание, состоящее из максимального числа рёбер [Андерсон, 2003].

Процедура нахождения максимального паросочетания в графе входит в состав большого числа алгоритмов, решающих различные задачи, [Макконнел, 2004]. Часто эта процедура используется в итерационных структурах. Это предъявляет повышенные требования к качеству и времени решения задачи нахождения максимального паросочетания.

Существующее в настоящее время большее количество алгоритмов нахождения максимального паросочетания обеспечивают приемлемые результаты при решении задач малой и средней сложности. Возникшие потребности в решении задач большой и очень большой размерности является побудительным мотивом исследований и разработок новых эффективных алгоритмов. Анализ литературы показывает, что наиболее успешными в этих условиях являются методы, основанные на моделировании эволюционных процессов [Лебедев и др., 2005].

В работе излагается методика представления решения на базе матрицы смежности графа, адаптивные механизмы видоизменения матрицы смежности, и рассматривается структура процесса эволюционной модификации матрицы смежности для решения задачи нахождения максимального паросочетания в графе и раскраски графа.

Пусть дан граф G=(X,U) (рис. 1). U={u_i| i=1,2,…,9}. Паросочетание такого графа определяется как множество рёбер, не имеющих общих вершин. Например: паросочетание P={u₁, u₄, u₇, u₉}. Построим граф G_d=(U,V) - двойственный для графа G. Вершины графа G_d - соответствуют рёбрам графа G. Пара вершин (u_i, u_j) в графе G_d связаны ребром в том и только в том случае, если в графе G пара рёбер (u_i, u_j) смежны, т.е. инциденты одной вершине.

Рис. 1. Пример графа

Для примера, представленного на рис. 1, двойственный граф G_d имеет вид, представленный на рис. 2.

Рис. 2. Двойственный граф G_d

Множество X₀ вершин графа G=(X,U) называется внутренне устойчивым, если любые две вершины x_i X₀ и x_j X₀ не являются смежными. Максимальное число вершин во внутренне устойчивом множестве графа G называется числом внутренней устойчивости и обозначается как б(G). Иногда число внутренней устойчивости называют также числом независимости графа G.

Подмножество вершин P={u₁, u₄, u₇, u₉} является внутренне-устойчивым, т.к. любые две вершины подмножества P не смежны. Таким образом, паросочетанию графа G соответствует внутренне-устойчивое подмножество двойственного графа G_d.

Максимальному по мощности паросочетанию графа G соответствует предельное внутренне-устойчивое подмножество (содержащее наибольшее число вершин) двойственного графа G_d.

Построим для двойственного графа G_d матрицу смежности R (рис. 3). Переставим все столбцы и строки помеченные элементами некоторого внутренне-устойчивого подмножества P таким образом, чтобы они располагались рядом друг с другом начиная с левой (верхней) стороны матрицы. Для нашего примера модифицированная матрица R имеет вид, представленный на рис. 4. Анализ состояния матрицы смежности показывает что если столбцы матрицы с номерами от l до l+m помечены элементами, образующими внутренне-устойчивое подмножество, то симметрично относительно главной диагонали матрицы R на пересечении столбцов и строк матрицы с номерами от l до (l+m -1) формируется область P_i квадратной формы размером m*m, элементы которой имеют нулевое значение. Назовем такую область -областью. В приведенном примере -область - это область, образованная при пересечении 1-4 столбца с 1-4 строкой. Столбцы и строки помечены элементами 1,4,7,9. P_i=P_i(l,m), где l - номер первого столбца (и первой строки), с которого начинается -область P_i, m - число столбцов и строк, на пересечении которых образована -область P_i. Для нашего примера P₁=P₁(1,4).

матрица смежность граф комбинаторный

Рис. 3. Исходная матрица смежности Рис.4. Матрица смежности с построенной -областью

Таким образом, если в результате некоторой перестановки строк и столбцов матрицы смежности образуется -область P_i(l,m), то это значит, что элементы, которыми помечены столбцы и строки с номерами от l до (l+m-1), образуют внутренне-устойчивое подмножество U_i. И если операция производилась на графе G_d, двойственном к G, то подмножеству U_i соответствует паросочетание в G. Отсюда схема нахождения в графе G паросочетания максимальной мощности выглядит так.

Строится граф G_d , двойственный к графу G. Путём перестановок строк и столбцов матрицы смежности R графа G_d формируется -область P_i(l,m) с максимально возможным значением параметра m. Множество элементов U_i, которыми в матрице смежности R помечены столбцы с номерами от l до (l+m-1), будут составлять максимальное паросочетание в графе G.

Раскраской графа называется такое приписывание цветов его вершинам, что никакие две смежные вершины не получают одинакового цвета. Минимальное число цветов, в которое можно раскрасить граф G, называется хроматическим числом и обозначается ч(G) [Курейчик, 1990].

Будем считать, что -область P_i(l,m) покрывает строки и столбцы матрицы смежности R с номерами от l до (l+m-1). Назовём две -области P_i(l_i,m_i) и P_j(l_j,m_j) смежными друг к другу, если l_j=l_i+m_i. Пересечение двух смежных -областей равно . Если в результате перестановок столбцов и строк матрицы R образуется цепочка из s последовательно прилегающих друг к другу, то есть смежных -областей, объединение которых покрывает все столбцы и строки матрицы R, то можно считать, что в графе G выделено s внутренне-устойчивых подмножеств вершин и, следовательно, граф можно раскрасить в s цветов.

Таким образом задача раскраски графа сводится к задаче формирования в матрице смежности графа цепочки -областей с вышеперечисленными свойствами. Формирование цепочки с минимальным числом -областей соответствует раскраске в минимальное число цветов.

На рис. 4 в матрице R сформирована цепочка из 3-х областей. Следовательно, граф раскрашивается в 3 цвета. {u₁, u₄, u₇, u₉} - 1 цвет, {u₅, u₂, u₈} - 2 цвет, {u₃, u₆} - 3 цвет.

Рассмотрим задачу о клике. Кликой графа G называется максимальное по включению множество X₀ вершин графа, любые две из которых являются смежными. Нетрудно видеть, что при переходе от графа G к его дополнению каждая клика в G переходит в независимое множество в . Отсюда следует, что задача выделения клики в графе G сводится к задаче выделения независимого множества вершин в графе , являющегося дополнением графа G.

Таким образом в основе процедур построения максимального паросочетания, раскраски графа, выделения в графе внутренне устойчивого множеств вершин и клик лежит одна общая процедура формирования з-областей в матрице смежности графа.

2. Эволюционные механизмы формирования з-областей

Формирование з-областей в матрице R осуществляется в процессе её эволюционной модификации. Эволюционная модификация матрицы R производится путём выборочных групповых перестановок соседних столбцов и строк, что обеспечивает направленное последовательное перемещение элементов матрицы R с нулевым значениями и объединение их в з-области.

Адаптивный процесс состоит из повторяющихся шагов, каждый из которых представляет собой переход от одного решения (состояния матрицы R) к другому - лучшему [Лебедев, 1999].

На каждом шаге анализируются пары (i, i+1) соседних строк матрицы. Анализ осуществляется в два такта. На первом такте анализируются все пары (i, i+1), у которых первый элемент i-нечетное число. На втором такте анализируются пары, у которых первый элемент i-четное число.

Например: пусть n=9, тогда на первом такте рассматриваются пары строк {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}. На втором такте - {(2,3),(4,5),(6,7),(8,9)}.

Пары строк анализируются независимо друг от друга. По результатам анализа принимается решение о перестановке соседней пары строк.

Локальная цель перестановок - перемещение нулевых элементов матрицы снизу-вверх и справа-налево. Глобальная цель - формирование з-области P_i(l,m) с максимальным значением параметра m, то есть выделение максимального внутренне-устойчивого множества.

Пусть для анализа выбрана пара строк (i, i+1) матрицы R=||r_ij|| размером n*n .В строках выделяют две части: 1 - (j=1чi-1); 2 - j=i+2чn).Суть анализа заключается в определении истинностного значения трёх нижеприведенных условий.

1. > - 1-я часть.

2. = - 1-я часть, и> - 2-я часть.

3.= - 1-я часть, и= - 2-я часть.

Ответ «да», то есть - переставлять, вырабатывается, если выполняются условия 1 и 2 . В случае выполнения условия 3 ответ «да» вырабатывается с вероятностью P, задаваемой априорно. В остальных случаях вырабатывается ответ «нет».

Адаптивная поисковая процедура продолжается, пока существуют пары, для которых выполняются условия 1 и 2. в результате будет сформирована з-область P₁(1,m) и в графе G_d определено максимальное внутренне-устойчивое подмножество X¹_d.

Если целью поиска было нахождение максимального паросочетания, то работа алгоритма на этом завершается.

Если же решается задача раскраски, то в графе G_d удаляется подмножество вершин X¹_d, а из матрицы R удаляются m столбцов и строк, покрывающих область P₁(1,m). Образуя граф G¹_d и матрицаR. Далее над полученной матрицей R¹ производится аналогичные действия, то есть в G¹_d выделяется максимальное внутренне-устойчивое подмножество X²_{d .}Выше перечисленные действия продолжаются, пока матрица смежности не станет пустой, т.е. все вершины будут окрашены.

Пример. Пусть дан граф G , представленный на рис. 1. Двойственный к графу G граф G_d представлен на рис. 2.

Матрица смежности графа G_d представлена на рис. 3.

На каждом шаге, на первом такте рассматриваются пары {(1,2),(3,4),(5,6), (7,8)}, на втором такте - пары {(2,3),(4,5),(6,7), (8,9)}. Пара строк и столбцов переставляется, если выполняется одно из трёх вышеперечисленных условий. В исходной матрице R столбцы и строки помечены номерами вершин графа G_d. Перестановка соседней пары строк (i, i+1) или столбцов приводит также к перестановке их меток. Будем в дальнейшем для идентификации строк и столбцов использовать их метки.

Шаг 1, такт 1: (1,2) - нет; (3,4) -да (по условию 1); (5,6) - нет, (7,8) - нет. Итак, на 1-м такте 1-го шага осуществляется перестановка пары (3,4). Модифицированная матрица R после шага 1,1 представлена на рис. 5.

Шаг 1, такт 2: (2,4) - да (по условию 1), (3,5) - да (по условию 1), (6,7) - да (по условию 1), (8,9) - да (по условию 1). Модифицированная матрица R после шага 1,2 представлена на рис. 6.

Шаг 2, такт 1: (1,4) - нет; (2,5 ) - да (по условию 1); (3,7) - да (по условию 1); (6,9) - да (по условию 1). Модифицированная матрица R после шага 2,1 представлена на рис. 7.

Шаг 2, такт 2: (4,5) - нет; (2,7) - да (по условию 1); (3,9) - да (по условию 1); (6,8) - да (по условию 1). Модифицированная матрица R после шага 2,2 представлена на рис. 8.

Шаг 3, такт 1: (1,4) - нет; (5,7) - да (по условию 1); (2,9) - да (по условию 1); (3,8) - да ( по условию 1). Модифицированная матрица R представлена на рис. 9.

Шаг 3, такт 2: (4,7) - нет; (5,9) - да (по условию 1), (2,8) - нет; (3,8) - нет. Модифицированная матрица R представлена на рис. 10.

После выполнения трёх шагов в модифицированной матрице сформировано три -области: P₁(1,4), P₂(5,3), P₃(8,2). Поскольку в исходном графе G содержится 8 вершин, то максимальное паросочетание может включать четыре ребра. -области P₁(1,4) соответствуют четыре вершины графа G_d , которым в исходном графе G соответствует паросочетание из четырех ребер - (1,4,7,9).

Рис. 5. Матрица R после 1,1 шага Рис. 6. Матрица R после 1,2 шага

Рис. 7. Матрица R после 2,1 шага Рис. 8. Матрица R после 2,2 шага

Рис. 9. Матрица R после 3,1 шага Рис. 10. Матрица R после 3,2 шага

Сформированные области P₁(1,4), P₂(5,3), P₃(8,2) покрывают все столбцы и строки матрицы R. Следовательно, граф G_d можно раскрасить в 3 цвета: 1 цвет - вершины 1,4,7,9; 2 цвет - вершины 5,2,8; 3 цвет - вершины 3,6.

Для преодоления локального барьера, используются подходы, основанные на сочетании различных видов эволюции.

В первом подходе используются идеи метода моделирования отжига. Если в процессе анализа обнаруживается, что условия 1,2,3 не выполняются, то перестановка осуществляется с вероятностью P=exp(-?F/kT), где T - температура, ?F - разница между суммами значений элементов анализируемых строк.

Во втором подходе используется одна из структур генетического поиска [Лебедев, 2000]. Популяция представляет собой множество матриц смежности (закодированных в виде хромосом). Декодирование, т.е. получение решения, осуществляется с помощью вышеописанной адаптивной процедуры.

Временная сложность адаптивной процедуры на одном шаге - О(n). Сравнение с известными алгоритмами показало, что при меньшем времени работы новый алгоритм дает более качественные решения.

Список литературы

1. [Андерсон, 2003] Андерсон Д. Дискретная математика и комбинаторика. М.: Вильямс, 2003.

2. [Курейчик и др., 2003] Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетический алгоритм определения паросочетаний графа. Труды 10-ой международной конференции “Knowledge-dialogue-solution”, 2003.

3. [Курейчик, 1990] Курейчик В.М. Математическое обеспечение конструкторского и технологического проектирования с применением САПР. М.: Радио и связь, 1990.

4. [Кормен и др., 2000] Кормен К., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы построение и анализ. М.: МЦМНО, 2000.

5. [Лебедев, 1999] Лебедев Б.К. Адаптация в САПР. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999.

6. [Лебедев, 2000] Лебедев Б.К. Методы поисковой адаптации в задачах автоматизированного проектирования СБИС. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.

7. [Лебедев и др., 2005] Лебедев Б.К., Лебедев О.Б. Эволюционный алгоритм нахождения максимального паросочетания. 3-й Международный НТС “Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте”, 2005.

8. [Макконнел, 2004] Дж. Макконнел. Основы современных алгоритмов. М.: Техносфера, 2004.

9. [Свами и др., 1984] Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984.

Размещено на Allbest.ru