Выбор математической формы функции при моделировании зависимости выпуска продукции от производственных факторов

где Y- выпуск продукции в стоимостном выражении;

К - величина капитала, направленного в основные производственные фонды;

L - денежные затраты на оплату труда;

Ао, А - коэффициенты шкалы (0 < А₀, А);

8, 0 - параметры ПФ Кобба-Дугласа (0 < 5 < 1; 0 < 0 < 1);

а - коэффициент веса производственного фактора CES-функции (0 < а < 1);

в - параметр CES-функции (-1 < в);

Y - показатель степени однородности CES-функции (0 < у).

ПФ (1) и (2) аналогичны в том, что касается предположения о постоянном убывании предельной отдачи производственных ресурсов K и L. Это так называемые неоклассические условия, вытекающие из теории поведения потребителя, поскольку в отношении ресурсов предприятие является потребителем и ПФ характеризует именно этот аспект - производство как потребление. Можно показать, что ПФ Кобба-Дугласа и CES-функция тесно связаны между собой, а общее поведение эффективности при изменении масштабов производства, характерное для этих двух функций, всегда совпадает.

Однако, между этими ПФ есть и существенные различия. Так, эластичность замещения ресурсов о, которая является мерой возможности замены труда капиталом и, наоборот, для функции Кобба-Дугласа всегда равна единице. Данное ограничение считается очень жестким, часто не отвечающим реальной экономической действительности.

В этом плане C^S-функция имеет явное преимущество по сравнению с функцией Кобба-Дугласа: величина о для нее может принимать любые значения. Для ПФ (2) эластичность замещения ресурсов равна о = 1/(1 + в), хотя, так же, как и в функции Кобба- Дугласа, о является постоянной величиной, что следует из самого ее названия. При в ^ 0 о ^ 1 и происходит переход от ПФ (2) к ПФ (1). Следовательно, можно говорить, что СДО-функция обобщает ПФ Кобба-Дугласа.

Кроме того, есть еще один веский аргумент в пользу выбора в качестве инструмента экономического анализа именно ПФ (2). Легко показать, что характер зависимости производительности труда (Y/L) от фондовооруженности (K/L) в рамках данных ПФ довольно разный. Для функции Кобба-Дугласа при K/L ^ да для любых допустимых значениях параметров А₀, 5, 0 производительность труда также стремится в бесконечность. А СДО-функция при произвольных значениях параметров А, а, в, у и K/L ^ да имеет верхний предел (Y/L)o (рис. 1).

производственный дуглас экономический фондовооруженность

Рис. 1. Графики зависимости производительности труда от фондовооруженности в рамках ПФ Кобба-Дугласа (I) и CEW-функции (II)

Считается, что ограниченность производительности труда в зависимости от фондовооруженности в рамках ПФ (2) является одним из преимуществ ее применения в экономических исследованиях по сравнению с ПФ (1). Хотя для отечественной промышленности экономическая ситуация, когда K/L ^ да, является скорее абстрактно-гипотетической, чем реальной.

Казалось бы, что по всем статьям преимущество на стороне СДО-функции и ее следует применять в экономических исследованиях производственной деятельности. Однако есть одно но - это проблема, связанная с вычислением неизвестных параметров CES-функции. Дело в том, что формула (2), в отличие от ПФ Кобба-Дугласа, даже после логарифмического преобразования остается нелинейной. Поэтому непосредственное оценивание неизвестных параметров А, а, в, у обуславливает применение нелинейных методов и, в частности, нелинейного программирования, а также других математических приемов. Указанное обстоятельство требует наличия соответствующего программного обеспечения, что, как правило, вызывает дополнительные трудности при использовании CES- функции на практике.

В связи с этим возникает вопрос: существуют ли объективные критерии, позволяющие принимать обоснованный выбор между ПФ (1) и (2), или же следует отдать предпочтение более простой, доступной и легко экономически интерпретируемой функции Кобба- Дугласа?

Анализ последних исследований и публикаций. М.В. Казакова в ходе анализа свойств ПФ Кобба-Дугласа показала, что доля вознаграждения фактора в общем объеме номинального выпуска продукции постоянна и равна факторной эластичности 5, 0. Данный результат нередко применяют для оценки этих неизвестных параметров. Также его можно использовать для первичного анализа данных: если доля вознаграждения фактора в общем объеме выпуска примерно постоянна, соответствующий производственный процесс можно описать с помощью ПФ Кобба-Дугласа [4].

На наш взгляд, данный критерий носит скорее эмпирический, субъективный характер и вряд ли может застраховать исследователя от ошибок при выборе между ПФ (1) и (2).

Р. Винн, К. Холден при решении данной проблемы рекомендуют либо проверять условия максимизации прибыли при выполнении гипотезы совершенной конкуренции и убывающей эффективности на рынке изучаемой продукции, либо пытаться аппроксимировать CES-функцию. Они выводят числовые значения параметров ПФ (1) и (2), позволяющие сделать правильный выбор между ними [5, с. 82-83].

Мы считаем, что выдвигаемые предпосылки в реальной действительности чаще всего не выполняются, поскольку совершенная конкуренция является скорее эталоном рыночной экономики, довольно далеким от современного состояния отношений товаропроизводителей в сфере отечественного материального производства.

По нашему мнению, более конструктивным представляется подход к аппроксимации СДО-функции, предложенный Дж. Кментой. Он основан на ее логарифмировании и разложении в ряд Тейлора с последующим применением к полученной приближенной модели корреляционно-регрессионного анализа [6].

M. Кубинива и др. используя подход Кменты в качестве метода нахождения первоначальной оценки параметров СДО-функции, разработали процедуру отыскания решения поставленной задачи с заданной точностью на базе применения итеративного алгоритма минимизации целевой функции остатков модели по методу Марквардта, который нашел свое воплощение в программе MACRO6, написанной на языке Бейсик [7]. Авторы данной статьи адаптировали указанное программное обеспечение с помощью соответствующего макроса редактора Excel.

Нерешенные ранее части общей проблемы. Расценивая позитивно методы Кменты, Кубинивы и др., мы считаем, что при выборе между ПФ (1) и (2) совершенно не учтен вероятностностатистический аспект рассматриваемой задачи. В частности, возможен вариант предварительного определения пригодности именно ПФ Кобба-Дугласа для целей моделирования исследуемых производственных процессов с обоснованным отказом от соответствующего программного обеспечения, которое обязательно необходимо при использовании СДО-функции.

Цели статьи заключаются в обсуждении вероятностностатистического аспекта выбора между ПФ (1) и (2) с применением элементов теории статистических критериев - проверки статистических гипотез, мощности ^-критерия Стьюдента, необходимого объема выборки и др.

Изложение основного материала исследования. Следуя Кменте [6], поделим левую и правую часть выражения (2) на L, преобразуя его к виду:

г-1-Р-^L

Y/L=AL \dKIL) +(1-а)] ^р (3)

Такой переход привлекателен тем, что двухфакторная модель (2) превращается в однофакторную (парную) с автоматическим устранением коллинеарности производственных переменных К и L. Это всегда позитивно отражается на точности оценки неизвестных параметров модели, поскольку факторы К и L коррелированны вследствие того, что они оба косвенно отражают размер предприятия.

Прологарифмировав (3), получим

ln( Y / L) = lnA + (у - 1 )lnL - (у /Р)Щ (4)

где

f(fi) = ln[a(K / L)^{- e} + (1 - a)]

Функция f(e) в окрестностях точки в = 0 раскладывается в ряд Тейлора:

Щ = f(0)+ef'(0)+(e ²/2!) f"(0) + ... (5)

Определив далее значения f(0), f'(0), f"(0), можно вывести приближенное выражение для f(e):

f(e)~-e(1-^)ln(K/L)+^²/2)a(1-a)[ln(K/L)]² (6)

Следовательно, выражение (4) представляется так:

ln(Y/ L) ~ lnA+(y-1)lnL+y(1-a)ln(K/L) - 0,5eay(1-a)[ln(K/L)]2 (7)

Введем следующие обозначения:

ln(Y / L) = (Y / L)';

lnA = А'; (у - 1) = В; lnL = L;

у(1 - а) = С; ln(K / L) = (K / L)';

0,5вау(1 - а) = D.

Тогда формулу (7) запишется так:

(Y/L)' - A'+BL'+C(K/L)' - D[(K/ L)']2 (8)

В выражении (8) величины (Y / L) ', L', (K / L) ' являются известными переменными, например, для пространственной выборки - значения логарифмов производительности труда, фонда заработной платы, фондовооруженности по отдельным предприятиям, а для временной выборки - значения этих же экономических показателей для одного и того же предприятия за разные периоды времени. Параметры А', В, С, D являются неизвестными коэффициентами регрессии, которые можно оценить по обычному методу наименьших квадратов, рассматривая уравнение (8) как некоторую регрессионную модель CES-функции, описывающую корреляционную зависимость результативного признака (Y/ L) от факторов L и (K/ L).

Уравнение, аналогичное (7), можно вывести и для ПФ Кобба- Дугласа:

ln(Y / L) = lnA0 + (0 - 1 + 5)lnL + 5ln(K / L) (9)

Обозначим

lnA₀ = А₀'; (0 - 1 + 5) = Е

Тогда модель (9) примет вид:

(Y / L)' = Ао ' + EL' + 5(K / L)' (10)

Сравнение выражений (8) и (10) показывает, что по сути различия между CES-функцией и ПФ Кобба-Дугласа сводятся лишь к одному дополнительному слагаемому, стоящему в правой части уравнения (8). При в = 0 D = 0 и эти функции полностью совпадают, т.е. происходит переход от ПФ (2) к ПФ (1). Следовательно, оценка коэффициента D в модели (8), а точнее, проверка его статистической надежности (значимости) с помощью ^-критерия Стьюдента может служить базой для выбора конкретной формы из двух рассматриваемых ПФ. Подробнее с процедурой проверки статистических гипотез можно ознакомиться в работах [8; 9, с. 127131] (см. блок-схему на рис. 2).

Приведенные выше рассуждения справедливы в той ситуации, когда оба уравнения регрессии (8) и (10) являются статистически надежными, значимыми по F-критерию Фишера, т.е. нулевая гипотеза Н₀ : R² = 0 против альтернативы Н_А : R² > 0 для них отклоняется (R² - коэффициент детерминации уравнений (8), (10)). В противном случае (нулевая гипотеза Н₀ : R² = 0 против альтернативы Н₀ : R² > 0 не отклоняется для обеих уравнений) следует вообще отказаться от моделирования или попытаться расширить информационную базу исследования за счет новых наблюдений.

Рис. 2. Блок-схема процедуры проверки статистических гипотез

Пусть оба уравнения регрессии (8) и (10) являются статистически надежными, значимыми по F-критерию Фишера. Тогда можно переходить к решению поставленной задачи с помощью t- критерия Стьюдента. Если коэффициент D оказывается статистически значимым (нулевая гипотеза Н₀ : D = 0 против альтернативы Н_А : D ф 0 отклоняется), то приходим к выводу о том, что в проводимом экономическом исследовании необходимо использовать CES-функцию. Достоверность такого вывода составляет 1 - а, где а - уровень значимости, который задается исследователем и выбирается обычно среди малых значений (а = 0,05; 0,01; 0,005). Величина а характеризует вероятность ошибки 1-го рода - отклонить нулевую гипотезу Н₀, когда она верна.

В противном случае, когда нулевая гипотеза Н₀ : D = 0 против альтернативы Н₀ : D ф 0 не отклоняется, следует отдать предпочтение ПФ Кобба-Дугласа. При этом вероятность правильности указанного вывода равняется мощности статистического критерия 1 - Ь, где Ь - вероятность ошибки 2-го рода - не отклонить нулевую гипотезу Н₀, когда верна альтернатива Н_А.

Следует иметь в виду, что расчетное значение t-критерия Стьюдента определяется отношением

D / S_D

где S_D - стандартная ошибка коэффициента регрессии D. Поскольку D = 0,5Рау(1 - а) и максимальное значение произведения 0,5а(1 - а) равно 0,125 при а = 0,5, т.е. когда производственные факторы K и L равновесны, то в условиях линейной однородности CES-функции (у = 1) выполняется неравенство D < 0,125р. Ясно, что отклонение нулевой гипотезы будет происходить только при высоких значениях коэффициента регрессии D, когда параметр р ПФ (2) достаточно велик (Р ф 0).

При неотклонении Н0 возникает вопрос: как определить мощность статистического критерия 1 - Ь, в данном случае мощность t-критерия Стьюдента. Часто мощность путают с вероятностью 1 - а, однако, вообще говоря, 1 - Ь ф 1 - а, т.к. величины а и Ь связаны между собою обратно пропорциональной зависимостью. Следовательно, вероятности 1 - Ь и 1 - а связаны аналогично. Кроме того, известно, что на мощность критерия существенно влияют также и другие факторы.

Так, на величину 1- Ь воздействует характеристика альтернативной гипотезы ф = Н_А - Н₀, которая отражает различия между нулевой и альтернативной гипотезами. По определению, мощность - это вероятность отклонить Н₀, когда верна Н_А. Мощность характеризует чувствительность критерия, его способность улавливать различия между нулевой и альтернативной гипотезами. Имеется прямая связь между 1 - Ь и величиной ф. Для значений ф, близких к нулю, мощность критерия невысока: ему трудно улавливать малые различия между гипотезами и ошибка 2-го рода допускается часто. При ф ^ max ф (1 - Ь) ^ max (1 - Ь).

Третьим важным фактором, определяющим величину 1 - Ь, является число степеней свободы критерия k = N - m - 1, которое при проведении корреляционно-регрессионного анализа зависит от объема статистических наблюдений N и числа оцениваемых параметров модели m. Для преобразованной ПФ Кобба-Дугласа (10) m = 3, а для преобразованной CES-функции (8) m = 4. В соответствие с законом больших чисел при N (k) ^ да мощность 1 - Ь ^ 1. При m ^ N k ^ 0 и 1 - Ь ^ а. Иными словами, обоснованное отклонение нулевой гипотезы будет происходить не только при высоких значениях коэффициента регрессии D, когда параметр в ПФ (2) достаточно велик, но также и при большом объеме наблюдений (N > 20).

Следует иметь в виду, что оба рассмотренных параметра (ф, k) могут выступать как заданными, так и расчетными показателями статистического критерия. Дело в том, что взаимосвязь параметров статистического критерия выражается в виде функции мощности. Для сложной альтернативной гипотезы эта функция является непрерывной, монотонно возрастающей функцией от а, ф, k. Функция мощности задаётся обычно в виде графиков, построенных для так называемых нецентральных F- и t-распределений, т.е. распределений статистики критерия в условиях справедливости альтернативной гипотезы (см. подробнее в работах [8; 10]).

Однако, даже не прибегая к использованию функции и графиков мощности статистических критериев, можно дать следующую рекомендацию по оценке 1 - Ь: малый объём выборки (N < 30) обычно указывает на низкий уровень мощности критерия и, наоборот. Этот простой, хотя и приближённый метод оценки 1 - Ь достаточно хорошо зарекомендовал себя в практике моделирования выпуска продукции с использованием ПФ.

Пусть оба уравнения регрессии (8) и (10) оказались статистически надежными, значимыми по F-критерию Фишера и нулевая гипотеза Н₀ : D = 0 против альтернативы Н_А : D ф 0 отклонена с помощью t-критерия Стьюдента с достаточно высокой достоверностью, например, 1 - d = 0,95. Тогда возникает вопрос: как определить неизвестные параметры CES-функции (2)?

Исходя из найденных коэффициентов регрессии (8) А', В, С, D и принятых под формулой (7) обозначений, получаем следующие приближенные значения искомых коэффициентов ПФ (2):

A = ехрА'; у = В + 1; а = 1 - С/(В + 1)

в = 2D(B + 1)/С(В + 1 - С) (11)

Их можно использовать как в качестве конечного приближенного решения задачи оценки неизвестных параметров CES-функции, так и в роли начального решения в итеративной процедуре нелинейного метода наименьших квадратов, основанной на алгоритме минимизации целевой функции остатков модели по методу Марквардта [7, с. 137-149].

Выводы

Результаты проведенного сравнительного анализа ПФ (1) и (2) показали, что существуют довольно веские аргументы в пользу применения CES-функции в ходе моделирования зависимости выпуска продукции предприятий от агрегированных производственных факторов «капитал» и «труд». Это, прежде всего, отказ от постулата для ПФ Кобба-Дугласа о том, что эластичность замещения ресурсов равна о = 1. Кроме того, ограниченность производительности труда в зависимости от фондовооруженности в рамках ПФ (2) также является одним из преимуществ ее применения в экономических исследованиях по сравнению с ПФ (1).

Однако, необходимость применения нелинейных методов и других специальных математических приемов оценивания неизвестных параметров CES-функции с использованием соответствующего программного обеспечения, как правило, вызывает на практике дополнительные и зачастую непреодолимые трудности. Поэтому предварительная оценка значимости коэффициента регрессии D в модели (8) представляет собой полезный этап обоснования выбора адекватной математической формы функции, базирующийся на применении элементов теории статистических критериев.

Дальнейшие перспективы исследований в данной сфере и практического расширения использования СЕБ-функции в экономическом анализе производства мы видим в следующих основных направлениях:

- разработка современного программного обеспечения расчета ее параметров;

- понимание широким кругом исследователей ее преимуществ по сравнению с традиционной ПФ Кобба-Дугласа.

Литература

1. Клейнер Г. Б. Производственные функции : теория, методы, применение / Г. Б. Клейнер. - М.: Финансы и статистика, 1986. - 239 с.

2. Вітлінський В. В. Моделювання економіки : Навч. посібник / В. В. Вітлінський. - К. : КНЕУ, 2003. - 408 с.

3. Производственные функции [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://i.kpi.ua/podladchikov/-menu=micro-firm-2-.htm

4. Казакова М. В. Анализ свойств производственных функций, используемых при декомпозиции экономического роста / М. В. Казакова [Электронный ресурс]. - Режим доступа: ftp://ftp.repec.Org/opt/ReDIF/RePEc/rnp/wpaper/31 .pdf

5. Винн Р., Холден К. Введение в прикладной эконометрический анализ / Р. Винн, К. Холден. Пер. с англ. С. А. Николаенко. - М. : Финансы и статистика, 1981. - 294 с.

6. Kementa J. (1967). On Estimation of the CES Production Function. International Economic Review, vol. 8, p. 180-189.

7. Математическая экономика на персональном компьютере : Пер. с япон. / M. Кубинива, М. Taбaтa, С. Taбaтa, Ю. Хасэбэ; под ред. М. Кубонива. - М. : Финансы и статистика, 1991. - 304 с.

8. Головач А. В. Критерии математической статистики в экономических исследованиях / А. В. Головач, А. М. Ерина, В. М. Трофимов. - М. : Статистика, 1973. - 136 с.

9. Янковой А. Г. Основы эконометрического моделирования / А. Г. Янковой. - Одесса, ОГЭУ, ротапринт, 2006. - 133 с.

10. Шеффе Г. Дисперсионный анализ / Г. Шеффе. Пер. с англ. - М. : Наука, 1980. - 512 с.

Размещено на Allbest.ru